线性代数第三章-线性空间课件

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1、第三章第三章 线性空间线性空间第一节第一节 n 维向量的线性相关性维向量的线性相关性 一、一、n 维向量维向量定义定义1由由 n 个数个数 所组成的有序数组所组成的有序数组称为称为 n 维向量维向量，或简称为或简称为向量向量其中其中 n 称为向量的称为向量的维数维数， 第第 i（ ）个数）个数 称为称为 n 维向量维向量的第的第 i 个个分量分量， 并且把并且把 n 个分量均为实数的向量称个分量均为实数的向量称为为实向量实向量；n 维向量可以写成一行形式维向量可以写成一行形式也可以一列的形式也可以一列的形式把个分量均为复数的向量称为把个分量均为复数的向量称为复向量复向量而用符号而用符号 表示行

2、向量表示行向量 按照上一章的约定，通常用黑体希腊字母按照上一章的约定，通常用黑体希腊字母表示列向量，表示列向量， 在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量 将所有将所有 n 维实向量的全体记为维实向量的全体记为 ，即即并将其称为并将其称为 n 维向量空间维向量空间事实上，事实上，n 维向量是解析几何中向量概念的推广维向量是解析几何中向量概念的推广 定义定义2设设 ，则，则对应的分量均相等，即对应的分量均相等，即1）称向量）称向量 与与 相等相等，记作，记作 ，如果，如果

3、与与2）称向量）称向量为向量为向量 与与 的的和和，并记，并记 ；3）称向量）称向量为数为数 k 与向量与向量 的的数量乘法数量乘法，也简称为，也简称为数乘数乘 向量的加法和数量乘法通常称为向量的向量的加法和数量乘法通常称为向量的线性运算线性运算 定义定义3将将 中分量全为中分量全为 0 的向量的向量称为称为零向量零向量，并且仍记为，并且仍记为 0； 设设 ，将向量，将向量 称为向量称为向量 的负向量，记为的负向量，记为 ； 并且，定义向量并且，定义向量 与与 的减法为的减法为 容易验证，向量的加法和数量乘法满足下面容易验证，向量的加法和数量乘法满足下面8条性质：条性质：1）加法交换律：）加法

4、交换律： ；2）加法结合律：）加法结合律： ；3）对于任意的）对于任意的 ，均有，均有 ；4）对于任意的）对于任意的 ，均存在负向量，均存在负向量 ，使得，使得5） ；6）数乘结合律：）数乘结合律： ；7） ；8） 二、二、n 维向量的线性相关性维向量的线性相关性定义定义4将若干个维数相同的向量所组成的集合称为将若干个维数相同的向量所组成的集合称为向量组向量组； 将由向量组的一部分向量组成的向量组称将由向量组的一部分向量组成的向量组称为原向量组的为原向量组的部分组部分组例如，将例如，将 s 个向量个向量 所组成的向量组记成所组成的向量组记成 I，即即 通常也将集合的大括号去掉，写通常也将集合的

5、大括号去掉，写成向量组成向量组 ，或向量组，或向量组 对于一个对于一个 mn 矩阵矩阵 A，按列进行分块，即，按列进行分块，即其全体列向量构成一个含有其全体列向量构成一个含有 n 个个 m 维列向量的向量维列向量的向量组，通常称为矩阵组，通常称为矩阵 A 的的列向量组列向量组；若对；若对 A 按行进行按行进行分块，即分块，即 其全体行向量构成一个含有其全体行向量构成一个含有 m 个个 n 维行向量的向量维行向量的向量组，称为矩阵的行向量组组，称为矩阵的行向量组 并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一一对应的一对应的 定义定义5设设 ， ，使得，使得

6、则称向量则称向量 是向量组是向量组 的一个的一个线性组合线性组合， 或者说，向量或者说，向量 可以由向量组可以由向量组 线性表线性表出出（或（或线性表示线性表示）此时，相应地被称此时，相应地被称为为组合系数组合系数或者或者表出系数表出系数两个向量之间成比例的关系是线性组合最简单两个向量之间成比例的关系是线性组合最简单的情形，的情形，使得使得 所谓两个向量和成比例，即存在数所谓两个向量和成比例，即存在数 k如果存在数如果存在数定义定义6将将 n 维向量维向量称为称为 n 维单位向量维单位向量 任何一个任何一个 n 维向量维向量 可以写成可以写成n 维单位向量维单位向量 的线性组合，的线性组合，

7、即即另外，零向量另外，零向量 0 是任何向量组的线性组合是任何向量组的线性组合 定义定义7设设 和和 是两个向是两个向量组量组均可以由向量组均可以由向量组 线性表出，线性表出， 则称向量则称向量组组 I 可以由向量组可以由向量组 II 线性表出线性表出如果向量组如果向量组 I 中的每一个向量中的每一个向量 ( ) 如果向量组如果向量组 I 和和 II 可以相互线性表出，则称这可以相互线性表出，则称这两个向量组两个向量组等价等价显然，任何一个向量组可以由其自身线性表出显然，任何一个向量组可以由其自身线性表出1）反身性：）反身性：2）对称性：）对称性：II 和和 I 也等价；也等价；3）传递性：）

8、传递性：和和 III 也等价，那么向量组也等价，那么向量组 I 和和 III 等等价价另外，向量组之间的等价关系满足如下规律：另外，向量组之间的等价关系满足如下规律：任何向量组均与本身等价；任何向量组均与本身等价；如果向量组如果向量组 I 和和 II 等价，那么向量组等价，那么向量组如果向量组如果向量组 I 和和 II 等价，且向量组等价，且向量组 II定义定义8给定一个向量组给定一个向量组 ，如果存在，如果存在不全为零不全为零的数的数 ，使得，使得则称向量组则称向量组 I 是是线性相关线性相关的；的；性无关性无关的的线性无关也就是线性不相关，线性无关也就是线性不相关，即不存在不全为即不存在不

9、全为零的数零的数 ，使得，使得否则，称向量组是否则，称向量组是线线因此，线性无关的定义也可以叙述为：因此，线性无关的定义也可以叙述为： 对于向量组对于向量组 ，如果由，如果由 可以推出可以推出则称向量组是则称向量组是线性无关线性无关的的 例例1证明：证明：n 维单位向量维单位向量 是线性无是线性无关的关的定理定理 1 向量组向量组 （ ）线性相关的）线性相关的充分必要条件是向量组充分必要条件是向量组 I 中至少有一个向量可以由中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出其余的向量线性表出定义定义 如果向量组如果向量组 （ ）中至少）中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出，则称向量有一个向量可以由

10、其余的向量线性表出，则称向量组组 I 是是线性相关线性相关的的任何包含零向量任何包含零向量 0 的向量组是线性相关的的向量组是线性相关的 另外，容易证明，另外，容易证明，性相关的性相关的由单个向量由单个向量 0 组成的向量组是线组成的向量组是线于是，于是，单个向量单个向量 组成的向量组线性相关当且仅当组成的向量组线性相关当且仅当换句话说，换句话说， 单个向量组单个向量组 成的向量组线性无关当成的向量组线性无关当且仅当且仅当定理定理2如果向量组如果向量组 的一个部分组线的一个部分组线性相关，那么这个向量组性相关，那么这个向量组 I 就线性相关就线性相关这个命题的逆否命题为：这个命题的逆否命题为：

11、 如果向量组如果向量组 线性无关，那么它任线性无关，那么它任何一个部分组也线性无关何一个部分组也线性无关定理定理3如果向量组如果向量组 线性无关，而向量线性无关，而向量组组 线性相关，则线性相关，则 可以由向量组可以由向量组 I 线线性表出，并且表示法唯一性表出，并且表示法唯一推论推论任意一个任意一个 n 维向量维向量 可以由可以由 n 维的单位向量维的单位向量 线性表出，且表示法唯线性表出，且表示法唯一一第二节第二节 向量组的秩和矩阵的秩向量组的秩和矩阵的秩将线性方程组将线性方程组 （1）的系数矩阵按列进行分块，的系数矩阵按列进行分块， 即即则方程组（）可以写成则方程组（）可以写成 线性方程

12、组（）有解当且仅当方程组的常数线性方程组（）有解当且仅当方程组的常数项向量可以由其系数矩阵的列向量组线性表出项向量可以由其系数矩阵的列向量组线性表出对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 （3）也将其系数矩阵按列进行分块：也将其系数矩阵按列进行分块：则方程组（）可以写成则方程组（）可以写成 齐次线性方程组（）有非零解当且仅当方程齐次线性方程组（）有非零解当且仅当方程组系数矩阵的列向量组是线性相关的组系数矩阵的列向量组是线性相关的 或者说或者说齐次线性方程组（）只有零解当且仅当方程齐次线性方程组（）只有零解当且仅当方程组系数矩阵的列向量组是线性无关的组系数矩阵的列向量组是线性无关的一、消元法解线性

13、方程组一、消元法解线性方程组定义定义9设设 A 是一个是一个 mn 矩阵矩阵 如果如果 A 满足下列满足下列两个条件：两个条件：1）如果第）如果第 i 行元素全为零，那么第行元素全为零，那么第 i+1 行（如果行（如果存在）的元素也全为零；存在）的元素也全为零；2）如果矩阵中存在非零元素，那么每个非零行）如果矩阵中存在非零元素，那么每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升则称则称 A 是一个是一个行阶梯型矩阵行阶梯型矩阵 特别地，特别地， 对于一个行阶梯型矩阵，如果它的每个非对于一个行阶梯型矩阵，如果它的每个非零行的第一个非零元素均为零

14、行的第一个非零元素均为 1，且这些元素，且这些元素 1 所在列所在列的其它元素均为的其它元素均为 0，则称是一个，则称是一个最简行阶梯型矩阵最简行阶梯型矩阵例如例如 行阶梯型矩阵中每一行的第一个不为零的元素的行阶梯型矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零左边及其所在列以下全为零例例2求解线性方程组求解线性方程组例例3求解线性方程组求解线性方程组例例4求解线性方程组求解线性方程组例例5判断向量组判断向量组的相关性的相关性例例6设向量设向量 试把试把 表示成其它向量的线性组合表示成其它向量的线性组合 二、向量组的极大无关组和向量组的秩二、向量组的极大无关组和向量组的秩定理定理4

15、如果向量组如果向量组 可以由向量组可以由向量组 线性表出，且线性表出，且 ， 线性相关线性相关推论推论1如果向量组如果向量组 可以由向量组可以由向量组 线性表出，且线性无关，线性表出，且线性无关，推论推论2如果如果 与与 等等价，且两个向量组均线性无关，则有价，且两个向量组均线性无关，则有 那么向量组那么向量组则有则有推论推论3任意任意 n+1 个个 n 维向量均线性相关维向量均线性相关定理定理5设向量组设向量组 线性无关，线性无关，且且如果在向量组如果在向量组 I 的每一个向量上均添加的每一个向量上均添加 r 个分量，个分量，得到一组得到一组 n + r 维向量维向量那么向量组那么向量组 仍

16、然线性无关仍然线性无关推论推论设设 线性相关，则将向量组的每线性相关，则将向量组的每一个向量去掉若干分量所得到的向量组仍线性相关一个向量去掉若干分量所得到的向量组仍线性相关定义定义10设向量组设向量组是向量组是向量组 的一个部分组的一个部分组 如果如果 1）向量组）向量组 是线性无关的；是线性无关的；2）向量组）向量组 I 可以由向量组可以由向量组 线性表出，线性表出， 则称部分组则称部分组 是向量组是向量组 I 的一个的一个极大无关组极大无关组非零向量组非零向量组 I 均存在极大无关组均存在极大无关组 线性无关的向量组的极大无关组就是这个向量线性无关的向量组的极大无关组就是这个向量组本身组本

17、身定理定理6 非零向量组与其极大无关组等价，非零向量组与其极大无关组等价，换句话说，换句话说，极大无关组是一个与向量组自身等价的无关部分组极大无关组是一个与向量组自身等价的无关部分组例例7验证验证 与与 均为向量组均为向量组 的极大无关组的极大无关组向量组的任意两个极大无关组是等价的向量组的任意两个极大无关组是等价的; 所含向量的个数是相同的所含向量的个数是相同的定义定义11将向量组将向量组 的极大无关组所含向量的极大无关组所含向量的个数称为向量组的的个数称为向量组的秩秩，记为记为 从而，从而，并规定，含有单个零向量的向量组的秩为并规定，含有单个零向量的向量组的秩为 0定理定理7向量组向量组

18、线性无关的充分必要条线性无关的充分必要条件是件是 向量组向量组 线性相关的充分必要线性相关的充分必要换句话说，换句话说， 条件是条件是定理定理8等价的向量组必有相同的秩等价的向量组必有相同的秩 定理定理9设向量组设向量组 的秩为的秩为 r 那么该向量那么该向量组中任意含有组中任意含有 r 个向量的无关部分组均为这个向量组个向量的无关部分组均为这个向量组的一个极大无关组的一个极大无关组三、矩阵的秩及性质三、矩阵的秩及性质定义定义12设设 是是 mn 矩阵，矩阵，是一个正整数是一个正整数 在中任取在中任取 k 行（第行（第 行）和行）和k 列（第列（第 列）交叉点上的列）交叉点上的 个元素，个元素

19、，它们在它们在 A 中所处的位置不变，中所处的位置不变，按照按照而得到的一个而得到的一个 k 阶行阶行列式列式称为矩阵的一个称为矩阵的一个 k 阶子式阶子式 当子式当子式 D 的值为零时，称这个子式的值为零时，称这个子式 D 为为零子式零子式，否则，称为否则，称为非零子式非零子式特别地，特别地， 当当 时，时， 称子式称子式 D 为为A 的一个的一个 k 阶主子式阶主子式定义定义13如果在矩阵如果在矩阵 A 中存在一个中存在一个 r 阶的非零子式阶的非零子式 D， 而的所有而的所有 r +1 阶子式（如果存在的话）均为零子式，阶子式（如果存在的话）均为零子式， 那么称为矩阵那么称为矩阵 A 的

20、一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式， 并将并将 D 的阶的阶数数 r 称为矩阵称为矩阵 A 的秩，记为的秩，记为 R(A)并规定零矩阵并规定零矩阵 O 的的秩为秩为 0mn 矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A) 满足满足 矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A) 即为即为 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 性质性质1 性质性质2如果矩阵如果矩阵 A 存在一个存在一个 k 阶的非零子式，那么阶的非零子式，那么 ;如果矩阵如果矩阵 A 的的 l 阶子式全为零子式，则阶子式全为零子式，则 性质性质3初等变换不改变矩阵的秩，即如果初等变换不改变矩阵的秩，即如果 ，则则 性质性质4设设 A 是一个是

21、一个 mn 矩阵，矩阵，P, Q 分别为分别为 m 阶、阶、 n 阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则性质性质5设设 A 是一个是一个 n 阶方阵则阶方阵则 的充分必的充分必要条件是要条件是 R(A) = n例例8计算下列矩阵的秩：计算下列矩阵的秩：例例9求矩阵求矩阵 R(A) ，并求，并求 A 的一个最高阶非零子式：的一个最高阶非零子式： 定义定义14设设 A 是一个矩阵将是一个矩阵将 A 的行向量组的秩称的行向量组的秩称为矩阵为矩阵 A 的的行秩行秩；的的列秩列秩例例10计算矩阵计算矩阵 A 的秩，及其行秩和列秩的秩，及其行秩和列秩 引理引理1初等行变换不改变矩阵的行秩初等行变换不改变矩阵的行秩

22、引理引理2初等行变换不改变矩阵的列秩初等行变换不改变矩阵的列秩 将将 A 的列向量组的秩称为矩阵的列向量组的秩称为矩阵 A定理定理10初等变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵初等变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列秩的列秩定理定理11矩阵的行秩与列秩相等，并且等于矩阵的秩矩阵的行秩与列秩相等，并且等于矩阵的秩 例例11求向量组的秩，并给出这个向量组的一个极大求向量组的秩，并给出这个向量组的一个极大无关组无关组 性质性质6 性质性质7 第三节第三节 线性空间的基本概念线性空间的基本概念一、线性空间的定义一、线性空间的定义定义定义15 设设 V 是一个非空集合，是一个非空集合， 或者或者 是一是一

23、个数域个数域定义两种运算：定义两种运算：1）加法加法： 对于任意的对于任意的 ，存在唯一的，存在唯一的与之对应，称为与之对应，称为 与与 的的和和，2）数量乘法数量乘法： 对于任意的对于任意的 ，存在唯一，存在唯一的的 与之对应，称为与之对应，称为 k 与与 的的数量乘积数量乘积， .如果加法和数量乘法满足以下如果加法和数量乘法满足以下 8 条运算规律，则称条运算规律，则称 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个线性空间线性空间，记为记为 ；记为记为仍记为仍记为 V 1）加法交换律：）加法交换律： ；2）加法结合律：）加法结合律： ；3）存在）存在 ，5） ；6）数乘结合律：）数乘结合律： ；

24、7） ；8） 使得使得 ，将将 0 称为称为零元素零元素； 4）存在）存在 ，使得使得将将 称为称为 的的负元素负元素； 当当 时，时， 我们称我们称 F 上的线性空间上的线性空间 V 为为实空间实空间， 当当 时，时， 我们称我们称 F 上的线性空间上的线性空间 V 为为复空间复空间 本课程中，如果不特别说明，涉及的线性空间本课程中，如果不特别说明，涉及的线性空间均为实空间均为实空间通常情况下，通常情况下， 我们仍将线性空间中的元素称为我们仍将线性空间中的元素称为向量向量，并用黑体希腊字母并用黑体希腊字母 表示，表示， 也将线也将线性空间中的加法和数量乘法称为性空间中的加法和数量乘法称为线性

25、运算线性运算 例例12 数域数域 F 本身按照数的加法和乘法，构成数域本身按照数的加法和乘法，构成数域 F上的一个线性空间上的一个线性空间 例例13所有所有 mn 实矩阵的全体，仍记为实矩阵的全体，仍记为 按照矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，按照矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，的一个线性空间的一个线性空间构成构成 上上同样，同样，所有所有 mn 复矩阵的全体，仍记为复矩阵的全体，仍记为按照矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，按照矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，的一个线性空间的一个线性空间构成构成 上上例例14 以数域以数域 F 中的数作为系数的多项式的全体，中的数作为系数的多项式的全体，为为 ，即

26、即按照多项式的加法和数与多项式的数量乘法，按照多项式的加法和数与多项式的数量乘法，记记 F 上的一个线性空间上的一个线性空间例例15 区间区间 a, b 上所有连续实函数的全体，上所有连续实函数的全体， 按照函数的加法和数与函数的乘法，按照函数的加法和数与函数的乘法，个线性空间个线性空间构成构成记为记为构成构成 上的一上的一二、线性空间的简单性质二、线性空间的简单性质性质性质1线性空间线性空间 V 中的零元素中的零元素 0 是唯一的是唯一的 一的一的性质性质2线性空间线性空间 V 中任意元素中任意元素 的负元素的负元素 是唯是唯性质性质3对于线性空间对于线性空间 V 中的任意元素中的任意元素

27、，的数的数 ，以及任意以及任意有有特别地，特别地，当当 k = 1 时，有时，有 性质性质4设设 ， 如果如果 ，那么，那么或者或者 第四节第四节 线性空间的基、维数线性空间的基、维数 及向量的坐标及向量的坐标 一、基、维数及向量坐标的定义一、基、维数及向量坐标的定义定义定义16设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间上的一个线性空间 V 中存在中存在 n 个线性无关的向量，个线性无关的向量，记为记为 ， 且任意的且任意的 均可由这组向量线性表出，均可由这组向量线性表出， 即存在即存在 ，使得使得则称则称 V 是一个是一个 n 维线性空间维线性空间，维数维数是是 n，记为记为 ，或者说线性

28、空间或者说线性空间 V 的的并且称并且称 是线是线性空间的一组性空间的一组基基如果在如果在如果在如果在 V 中存在无限多个线性无关的向量，中存在无限多个线性无关的向量，称称 V 是是无限维的线性空间无限维的线性空间 则则如果不特别说明，如果不特别说明，本课程提到的线性空间均为本课程提到的线性空间均为有限维的有限维的在在 n 维线性空间维线性空间 V 中，中， 任意向量任意向量 在在 V 的一组的一组基基 下的表出系数下的表出系数 是由是由 和这和这组基所唯一确定，组基所唯一确定， 下的下的坐标坐标或或坐标向量坐标向量， 将这组数称为将这组数称为 在基在基记为记为 例例16将数域将数域 F 看作

29、其自身上一个线性空间，看作其自身上一个线性空间，数数 1 就是一组基，从而这个线性空间是就是一组基，从而这个线性空间是 1 维的维的 且且对于任意的对于任意的 ，本身本身 关于基关于基 1 的坐标就是的坐标就是 k 这个数这个数例例17对于对于 n 维向量空间维向量空间 则有则有 是是 的一组基，的一组基，从而从而 的维数为的维数为 n对于任意的对于任意的 ， 在基在基下的坐标就为向量下的坐标就为向量 本身本身 那么那么例例18对于数域对于数域 F 上的线性空间上的线性空间令令 表示第表示第 i 行第行第 j 列是列是 1，其余位置均，其余位置均为零的为零的 mn 矩阵矩阵 容易验证容易验证

30、构成构成 的一组基，的一组基， 从而从而 任意任意 ， 关于上面这组基的坐标关于上面这组基的坐标为为例例19在数域在数域 F 上的线性空间上的线性空间中，中，对于一个固定的正整数对于一个固定的正整数 n，所有次数小于，所有次数小于 n 的多项的多项式的全体式的全体 按照多项式的加法、数与多项式的乘法也构成数域按照多项式的加法、数与多项式的乘法也构成数域 F上的一个线性空间上的一个线性空间并且并且 中的元素中的元素就是就是 的一组基，的一组基， 从而从而 任意多项式任意多项式 关于这组基的坐标就是多项式的系数构成的向量关于这组基的坐标就是多项式的系数构成的向量 二、基与基之间的过渡矩阵及坐标变换

31、二、基与基之间的过渡矩阵及坐标变换设设 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间， 且且是是 V 的两组基的两组基 由线性空间基的定义，由线性空间基的定义， 利用矩阵的乘法法则，可以将（利用矩阵的乘法法则，可以将（11）式写成）式写成 （11）（12）定义定义17设设 与与 是是 n 维线性空间维线性空间 V的两组基，的两组基，并且满足（并且满足（13）式的关系）式的关系将（将（13）式右端）式右端的的 n 阶方阵阶方阵称为从称为从 基到基基到基 的的过渡矩阵过渡矩阵 定理定理12 线性空间中两组基之间的过渡矩阵是可逆的线性空间中两组基之间的过渡矩阵是可逆的 推论推论 设设 是是 n 维线性空间维线性空间 V 的一组基，的一组基， n阶方阵阶方阵 是可逆矩阵是可逆矩阵令令即即 满足满足 则则 也是的一组基也是的一组基