数字信号处理：第3章2离散付里叶变换

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1、厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版1第八节第八节DFT的应用的应用厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版2引言引言n nDFT及及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。统分析、通讯理论方面有广泛的应用。n n 归归 结结 起起 来来, 有两个大方面有两个大方面,一是计算线性卷积、一是计算线性卷积、线性相关；二是用线性相关；二是用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变作为连续傅里叶变换换 的近似的近似.n n FFT并不是什么新的变换并

2、不是什么新的变换,只是只是DFT在计算机上在计算机上的的 一一 种高速算法，虽实际种高速算法，虽实际 中广泛使用的是中广泛使用的是 FFT, 但但 其应用的理论基础仍是其应用的理论基础仍是 DFT. n n通过考察计算线性卷积通过考察计算线性卷积(相关相关)和连续傅里叶逼近和连续傅里叶逼近这两种这两种DFT应用应用,就可以说我们建立了一就可以说我们建立了一 般般 FFT 应用的基本理论基础应用的基本理论基础.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版3应用方面应用方面 一、采一、采 用用 DFT 办办 法法 求求 解解 线线 性性 卷卷 积。积。二、

3、采二、采 用用 DFT 逼逼 近近 连连 续续 时时 间间 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换 (级级 数数) 厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版4一、采用一、采用DFT办法求解线性卷积办法求解线性卷积（1）引入）引入 想：若做卷积的两序列都是有限长序列想：若做卷积的两序列都是有限长序列,能否能否用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积结果呢结果呢?即圆周卷积与线性卷积的关系是什么即圆周卷积与线性卷积的关系是什么?线性时不变系统h(n)y(n)=x(n)*h(n)x(n)厦门大学厦门大学厦门大学

4、厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版5（2）定理）定理 设设 有有 限限 长长 序序 列列x1(n) 0nN1-1, x2(n) 0nN2-1 我我 们们 把把x1(n)、 x2(n)补零点补零点 至至 N 点点, N max(N1, N2).(注注 意意: yc(n) 是是 N 点点 序序 列列, yL(n)是是L=N1+N2-1点序列点序列)只要经过简单的推导当只要经过简单的推导当N L,就会得到就会得到yc(n)与与yL(n)的关系定的关系定理理厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版6（3）圆卷积代替线卷积的实现方

5、法）圆卷积代替线卷积的实现方法n n设设 x(n) 是是 激激 励励, 是是0nN1-1 的的 有有 限限 长长 序序 列列;h(n)是线性时不变系统的系统函数是线性时不变系统的系统函数(冲激响应冲激响应),是是0nN2-1的有限长序列的有限长序列;n ny(n)是激励通过系统后的响应是激励通过系统后的响应,即即 y(n)=x(n)* h(n). 选好圆卷积点数选好圆卷积点数L（L N1+N2-1）圆卷积圆卷积L点圆周延拓，再取主值点圆周延拓，再取主值线性卷积线性卷积n n设设L为圆卷积点数为圆卷积点数: 厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版7

6、n n上图依据的是圆周卷积定理上图依据的是圆周卷积定理,做的是圆周卷做的是圆周卷积积.然而由于然而由于L选取符合条件选取符合条件, 因而结果是因而结果是与与 线性卷积结果一致的线性卷积结果一致的. L点点DFTh(n)L点点DFTL点点IDFTx(n)y(n)n n取取L N1+N2-1情况下情况下,圆周卷积代替线性圆周卷积代替线性 卷卷积的实积的实 际际 实实 现现 的的 框框 图图 如如 下下厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版8二、用二、用DFT逼近连续时间信号的付逼近连续时间信号的付里叶变换（级数）里叶变换（级数）n n我我 们们 知知

7、 道道 DFT 的的 最最 初初 引引 入入 就就 是是 为为 了了 使使 数数 字字 计计 算算 机机 能能 够够 帮帮 助助 分分 析析 连连 续续 时时 间间 信信 号号 的的 频频 谱谱n n DFT 的的 快快 速速 算算 法法 - 快快 速速 傅傅 里里 叶叶 变变 换换 (FFT) 的的 出出 现现 使使 得得DFT这这种分析种分析 方方 法具有实用价值和重要性法具有实用价值和重要性.n n 我我 们们 这这 里里 将将 简简 单单 的的 讨讨 论论 逼逼 近近 的的 方方 法法 和和 同同 时时 产产 生生 的的 问问 题题.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程

8、系通信工程系通信工程系2007版版9讨论内容讨论内容n n1、用、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换。逼近连续非周期信号的傅里叶变换。n n2、用、用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数。逼近连续周期信号的傅里叶级数。 n n3、用、用DFT逼近有限长信号的傅里叶变换。逼近有限长信号的傅里叶变换。n n4、用、用DFT做傅里叶变换做傅里叶变换(级数级数)的逼近时所产的逼近时所产生的问题。生的问题。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版101、用、用DFT逼近连续非周期信号的傅逼近连续非周期信号的傅里叶变换里叶变换n n在在 信信 号号 与与 系

9、系 统统 中中 详详 细细 讨讨 论论 的的 连连 续续 非非 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换 是连续非是连续非周期性的频谱函数，周期性的频谱函数， 数数 字字 计计 算算 机难机难 于于 处处 理理 的的, 因因 而而 我我 们们 采采 用用 DFT 对对 其其 进进 行行 逼逼 近近.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版11（1）分析）分析n n 设设设设: :对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔

10、为为为为 T T ( (时域时域时域时域); );对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样样样样, ,频域抽样间隔为频域抽样间隔为频域抽样间隔为频域抽样间隔为 F(F(频域频域频域频域). ).n n又因又因又因又因时域抽样时域抽样时域抽样时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为，频域必然周期延拓；且延拓周期为，频域必然周期延拓；且延拓周期为，频域必然周期延拓；且延拓周期为时域抽样的频率值时域抽样的频率值时域抽样的频率值时域抽样的频率值, ,即即即即频域周期频域周期频域周期频域周期F Fp

11、 p = 1/ T= = 1/ T=fsfs; ;n n从从从从频域抽样频域抽样频域抽样频域抽样理论可知：频域抽样后对应理论可知：频域抽样后对应理论可知：频域抽样后对应理论可知：频域抽样后对应时域时域时域时域按频域按频域按频域按频域抽样间隔的倒数抽样间隔的倒数抽样间隔的倒数抽样间隔的倒数周期延拓周期延拓周期延拓周期延拓, , 即时域周期即时域周期即时域周期即时域周期 TpTp = 1/F. = 1/F.n n对无限长的信号计算机是不能处理的对无限长的信号计算机是不能处理的对无限长的信号计算机是不能处理的对无限长的信号计算机是不能处理的, ,必须对时域必须对时域必须对时域必须对时域与与与与 频域

12、做截断频域做截断频域做截断频域做截断, ,若时域取若时域取若时域取若时域取N N点点点点, ,则频域至少也要取则频域至少也要取则频域至少也要取则频域至少也要取N N点点点点. (. (参见频域抽样不失真条件参见频域抽样不失真条件参见频域抽样不失真条件参见频域抽样不失真条件). ).n n我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版12连续时间非周期信号的付里叶变换对连续时间非周期信号的付

13、里叶变换对n n连续时间非周期信号连续时间非周期信号x(t)的付里叶变换为的付里叶变换为厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版13（2)时域的抽样与截断时域的抽样与截断其频谱为：其频谱为：时域抽样：时域抽样：厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版14再进行时域截断：截断后序列的长度内包含有再进行时域截断：截断后序列的长度内包含有N个抽样点。个抽样点。其频谱为：其频谱为：可见：时域抽样，抽样频率为可见：时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域限带信号，则

14、有可为周期的周期延拓，如果频域限带信号，则有可能不产生混叠，成为连续周期频谱序列，其频域周能不产生混叠，成为连续周期频谱序列，其频域周期为期为Fp=fs=1/T.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版15(3)频域的抽样与截断频域的抽样与截断频域也进行抽样，在频域的一个周期频域也进行抽样，在频域的一个周期fs内中也内中也抽抽N个样点个样点其中其中F0为频域抽样间隔为频域抽样间隔第第k个抽样点频率为：个抽样点频率为：则则厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版16频域抽样频域抽样,截断：截断：同时，由于

15、频域抽样、截断，导致时域周期延拓同时，由于频域抽样、截断，导致时域周期延拓.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版17结论：结论：厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版18（4）由对连续非周期信号进行频域）由对连续非周期信号进行频域抽样就推出抽样就推出DFT变换式变换式n n 把把 后后 两两 式式 进进 行行 从从 连连 续续 域域 到到 离离 散散 域域 的的 必必 要要 的的 处处 理理, 如如 令令 T=1 等等, 就就 得得 到到 了了 我我 们们 熟熟 悉悉 的的 DFT 变变 换换 对

16、对 定定 义义 式式. 厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版19（5）用）用 DFT 逼逼 近近 连连 续续 非非 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换结论换结论1n n从从 以以 上上 分分 析析, 特特 别别 是是 最最 后后 得得 出出 的的 两两 式式, 不不 难难 看看 出出 ： 如如 果果 用用 DFT 定定 义义 式式 去去 计计 算算 一一 个非个非 周周 期期 的的 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换, 则则 频频 谱谱 的的 正正 常常 电电 平平 幅幅 度度 与与 用用 DFT 算算 得得

17、的的 频频 谱谱 幅幅 度度 相相 差差 一一 个个 加加 权权 - T. 厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版20（6）用）用 DFT 逼逼 近近 连连 续续 非非 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换结论换结论2n n同同 理理, 用用 IDFT 定定 义义 式式 去去 计计 算算 一一 个个 非非 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 反反 变变 换换, 则则 需需 再再 加加 权权 一一 个个 N * F0 = fs. 由由 于于 fs = 1 / T, 所所 以以 一一 个个 时时 间间 信信 号号 从从

18、 时时 域域 到到 频频 域域 再再 到到 时时 域域 的的 整整 个个 变变 换换 过过 程程 中中, 电电 平平 幅幅 度度 并并 未未 受受 到到 影影 响响.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版21（7）用）用 DFT 逼逼 近近 连连 续续 非非 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换注意点换注意点n n用用 DFT 逼逼 近近 连连 续续 非非 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换 过过 程程 中中 除除 了了 对对 幅幅 度度 的的 线线 性性 加加 权权 外外, 由由 于于 用用 到到 了

19、了 抽抽 样样 与与 截截 断断 的的 方方 法法, 因因 此此 也也 会会 带带 来来 一一 些些 可可 能能 产产 生生 的的 问问 题题 (如如 : 混混 叠叠 效效 应应, 频频 谱谱 泄泄 漏漏, 栅栅 栏栏 效效 应应 等等). 厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版222、用、用DFT逼近连续周期信号的傅逼近连续周期信号的傅里叶级数里叶级数n n在在 信信 号号 与与 系系 统统 中中 详详 细细 讨讨 论论 的的 连连 续续 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 级级 数数 是是 数数 字字 计计 算算 机机 所所 难难

20、 于于 处处 理理 的的, 因因 而而 我我 们们 采采 用用 DFT 对对 其其 进进 行行 逼逼 近近.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版23（1）用）用 DFT 逼逼 近近 连连 续续 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 级级 数的分析数的分析n n连连 续续 周周 期期 信信 号号 的的 时时 域域 是是 连连 续续 的的, 频频 域域 是是 离离 散散 的的. 若若 用用 DFT 逼逼 近近, 则则 先先 要要 对对 时时 域域 抽抽 样样 (抽抽 样样 间间 隔隔 为为 T), 然然 后后 截截 断断 取取 N 点点

21、序序 列列 (类类 似似 DFT 逼逼 近近 连连 续续 非非 周周 期期 信信 号号 傅傅 里里 叶叶 变变 换换 中中 的的 抽抽 样样 与与 截截 断断, 下下 同同) . 这这 将将 导导 致致 频频 域域 周周 期期 延延 拓。拓。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版24复习：连续周期时间信号的付里叶级复习：连续周期时间信号的付里叶级数对数对n n其中其中T0为连续周期时间信号的周期。为连续周期时间信号的周期。正变换：正变换：反变换：反变换：厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版25（2

22、）对连续周期信号进行）对连续周期信号进行时域抽样时域抽样设一个周期内的采样点数为设一个周期内的采样点数为N点，则点，则厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版26（3）对连续周期信号）对连续周期信号频域进行进行截断n n然然 后后 再再 对对 频频 域域 进进 行行 截截 断断, 若若 截截 断断 后后 有有 限限 长长 序序 列列 长长 度度 正正 好好 是是 一一 个个 周周 期期 (或或 是是 其其 整整 数数 倍倍), 则则厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版27（4）用）用 DFT 逼逼

23、近近 连连 续续 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 级级 数的结论数的结论n n从从从从 上上上上 面面面面 得得得得 到到到到 的的的的 公公公公 式式式式 可可可可 以以以以 看看看看 出出出出, , 利利利利 用用用用 DFT DFT 去去去去 求求求求 一一一一 个个个个 连连连连 续续续续 周周周周 期期期期 信信信信 号号号号 的的的的 DFSDFS与与与与 正正正正 常常常常 级级级级 数数数数 之之之之 间间间间 相相相相 差差差差 加加加加 权权权权 1/ 1/N.N.n n同同同同 理理理理, , 以以以以 IDFT IDFT 计计计计 算算算算 的的的的 傅

24、傅傅傅 里里里里 叶叶叶叶 级级级级 数数数数 反反反反 变变变变 换换换换 与与与与 正正正正 常常常常 值值值值 相相相相 差差差差 加加加加 权权权权 N. N. 所所所所 以以以以 一一一一 个个个个 时时时时 间间间间 信信信信 号号号号 从从从从 时时时时 域域域域 到到到到 频频频频 域域域域 再再再再 到到到到 时时时时 域域域域 的的的的 整整整整 个个个个 变变变变 换换换换 过过过过 程程程程 中中中中, , 电电电电 平平平平 幅幅幅幅 度度度度 并并并并 未未未未 受受受受 到到到到 影影影影 响响响响. .厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工

25、程系通信工程系2007版版28（5）用）用 DFT 逼逼 近近 连连 续续 周周 期期 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 级级 数的注意点数的注意点n n逼近值除了加权差别外逼近值除了加权差别外逼近值除了加权差别外逼近值除了加权差别外, ,还有如下特别注意处还有如下特别注意处还有如下特别注意处还有如下特别注意处: :n nDFTDFT逼近周期信号的逼近周期信号的逼近周期信号的逼近周期信号的DFSDFS中中中中, ,曾设频域的截断长度为曾设频域的截断长度为曾设频域的截断长度为曾设频域的截断长度为其周期的整数倍其周期的整数倍其周期的整数倍其周期的整数倍. .n n如果截断长度不等于周期的整数倍如

26、果截断长度不等于周期的整数倍如果截断长度不等于周期的整数倍如果截断长度不等于周期的整数倍, ,则会造成离散和则会造成离散和则会造成离散和则会造成离散和连续傅里叶变换之间出现显著差异连续傅里叶变换之间出现显著差异连续傅里叶变换之间出现显著差异连续傅里叶变换之间出现显著差异, ,而不而不而不而不 是只相差是只相差是只相差是只相差一个加权因子一个加权因子一个加权因子一个加权因子. .n n另外当长度不是周期另外当长度不是周期另外当长度不是周期另外当长度不是周期 的整数倍时的整数倍时的整数倍时的整数倍时, ,时域会表现为有时域会表现为有时域会表现为有时域会表现为有间断点的周期函数间断点的周期函数间断点

27、的周期函数间断点的周期函数, ,频域表现为频谱泄漏成分增大频域表现为频谱泄漏成分增大频域表现为频谱泄漏成分增大频域表现为频谱泄漏成分增大. .n n由于由于由于由于DFT DFT 逼逼逼逼 近近近近 连连连连 续续续续 周周周周 期期期期 信信信信 号号号号 过过过过 程程程程 中中中中 用用用用 到到到到 抽抽抽抽 样样样样 与与与与 截截截截 断断断断, , 因因因因 此此此此 还还还还 会会会会 带带带带 来来来来 一一一一 些些些些 可可可可 能能能能 产产产产 生生生生 的的的的 问问问问 题题题题 ( (如如如如: : 混混混混 叠叠叠叠 效效效效 应应应应, , 频频频频 谱谱谱

28、谱 泄泄泄泄 漏漏漏漏, , 栅栅栅栅 栏栏栏栏 效效效效 应应应应 等等等等). ). 厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版293、用、用 DFT 逼逼 近近 有有 限限 长长 时时 间间 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换n n 对对对对 于于于于 有有有有 限限限限 长长长长 的的的的 时时时时 域域域域 信信信信 号号号号, , 其其其其 傅傅傅傅 里里里里 叶叶叶叶 变变变变 换换换换 的的的的 频频频频 域域域域 必必必必 然然然然 是是是是 无无无无 限限限限 带带带带 宽宽宽宽 的的的的. .n n因因因因 而而而而

29、 这这这这 种种种种 信信信信 号号号号 抽抽抽抽 样样样样 后后后后 频频频频 域域域域 的的的的 混混混混 叠叠叠叠 是是是是 不不不不 可可可可 避避避避 免免免免 的的的的. . 混混混混 叠叠叠叠 的的的的 大大大大 小小小小 由由由由 频频频频 谱谱谱谱 高高高高 频频频频 分分分分 量量量量 衰衰衰衰 减减减减 的的的的 速速速速 度度度度 决决决决 定定定定: : 衰衰衰衰 减减减减 越越越越 快快快快 混混混混 叠叠叠叠 越越越越 小小小小. . n n如如如如 果果果果 选选选选 择择择择 N N 小小小小 于于于于 长长长长 度度度度 有有有有 限限限限 的的的的 函函函

30、函 数数数数 的的的的 样样样样 本本本本 点点点点 数数数数, , 则则则则 误误误误 差差差差 仅仅仅仅 由由由由 混混混混 叠叠叠叠 效效效效 应应应应 造造造造 成成成成. . 选选选选 抽抽抽抽 样样样样 间间间间 隔隔隔隔 T T 足足足足 够够够够 小小小小, , 可可可可 减减减减 少少少少 这这这这 种种种种 效效效效 应应应应 所所所所 引引引引 起起起起 的的的的 误误误误 差差差差. . n n在在在在 这这这这 种种种种 情情情情 况况况况 下下下下, , DFT DFT 变变变变 换换换换 的的的的 计计计计 算算算算 值值值值 和和和和 连连连连 续续续续 傅傅傅

31、傅 里里里里 叶叶叶叶 变变变变 换换换换 的的的的 样样样样 本本本本 值值值值 将将将将 很很很很 好好好好 的的的的 一一一一 致致致致 ( (相相相相 差差差差 一一一一 个个个个 系系系系 数数数数). ).厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版304、用、用 DFT 做做 傅傅 里里 叶叶 变变 换换 (级级 数数) 的逼的逼 近近 时时 所所 产产 生生 的的 问问 题题n n为为 了了 能能 在在 数数 字字 计计 算算 机机 上上 分分 析析 连连 续续 信信 号号 的的 频频 谱谱, 常常 常常 用用 DFT 来来 逼逼 近近

32、 连连 续续 时时 间间 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换, 但但 同同 时时 也也 产产 生生 以以 下下 问问 题题: （1）混）混 叠叠 现现 象象（2）频）频 谱谱 泄泄 漏漏（3）栅）栅 栏栏 效效 应应厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版31（1）混）混 叠叠 现现 象象n n利利利利 用用用用 DFT DFT 逼逼逼逼 近近近近 连连连连 续续续续 时时时时 间间间间 信信信信 号号号号 的的的的 傅傅傅傅 里里里里 叶叶叶叶 变变变变 换换换换 , ,为为为为 避避避避 免免免免 混混混混 叠叠叠叠 失失失失 真真

33、真真, , 要求满足抽样定理，即要求满足抽样定理，即要求满足抽样定理，即要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则奈奎斯特准则奈奎斯特准则奈奎斯特准则： f fs s2f2fh h n n其中其中其中其中f fs s为抽为抽为抽为抽 样样样样 频频频频 率率率率 , , f fh h 为信号最高频率为信号最高频率为信号最高频率为信号最高频率. .但此条件但此条件但此条件但此条件只规定出只规定出只规定出只规定出f fs s的下限为的下限为的下限为的下限为f fh h , , 其上限要受抽样间隔其上限要受抽样间隔其上限要受抽样间隔其上限要受抽样间隔 F F0 0的的的的约束约束约束约束. .n n 抽抽抽抽

34、 样样样样 间间间间 隔隔隔隔 F F 即即即即 频频频频 率率率率 分分分分 辨辨辨辨 力力力力, , 它是它是它是它是 记记记记 录录录录 长长长长 度度度度的的的的 倒倒倒倒 数数数数, , 即即即即 T T0 0 = 1 / F = 1 / F0 0 n n若若若若 抽抽抽抽 样样样样 点点点点 数数数数 为为为为 N, N, 则则则则 抽抽抽抽 样样样样 间间间间 隔隔隔隔 与与与与 f fs s 的的的的 关关关关 系系系系 为为为为 F F 0 0= = f fs s / N 2f / N 2fh h / /N N厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通

35、信工程系2007版版32混混 叠叠 现现 象的结论象的结论n n由由F F 0 0= = fsfs / N 2f / N 2fh h / /N N 看出：看出：看出：看出：n n 在在在在 N N 给给给给 定定定定 时时时时, , 为为为为 避避避避 免混免混免混免混 叠叠叠叠 失失失失 真真真真 而而而而 一一一一 味味味味 提提提提 高高高高 抽抽抽抽 样样样样 频频频频 率率率率 f fs s , , 必必必必 然然然然 导导导导 致致致致 F F 增增增增 加加加加, , 即即即即 频频频频 率率率率 分分分分 辨辨辨辨 力力力力 下下下下 降降降降; ; 反反反反 之之之之, ,

36、若若若若 要要要要 提提提提 高高高高 频频频频 率率率率 分分分分 辨辨辨辨 力力力力 即即即即 减减减减 小小小小 F F0 0, , 则则则则 导导导导 致致致致 减减减减 小小小小f fs s, , 最最最最 终终终终 必必必必 须须须须 减减减减 小小小小 信信信信 号号号号 的的的的 高高高高 频频频频 容容容容 量量量量. .n n以以以以 上上上上 两两两两 点点点点 结结结结 论论论论 都都都都 是是是是 在记录长度内抽样点数在记录长度内抽样点数在记录长度内抽样点数在记录长度内抽样点数 N N 给给给给 定定定定 的的的的 条条条条 件件件件 下下下下 得得得得 到到到到 的

37、的的的. . 所所所所 以以以以 在在在在 高高高高 频频频频 容容容容 量量量量 f fh h 与与与与 频频频频 率率率率 分分分分 辨辨辨辨 力力力力 F F 0 0参参参参 数数数数 中中中中, , 保保保保 持持持持 其其其其 中中中中 一一一一 个个个个 不不不不 变变变变 而而而而 使使使使 另另另另 一一一一 个个个个 性性性性 能能能能 得得得得 以以以以 提提提提 高高高高 的的的的 唯唯唯唯 一一一一 办办办办 法法法法, , 就就就就 是是是是 增增增增 加加加加 记记记记 录录录录 长长长长 度度度度 内内内内 的的的的 点点点点 数数数数 N, N, 即即即即 f

38、fh h 和和和和 F F0 0 都都都都 给给给给 定定定定 时时时时, , 则则则则 N N 必必必必 须须须须 满满满满 足足足足 N 2fh /F0n n这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本为实现基本为实现基本为实现基本DFTDFT算法所必须满足条件。算法所必须满足条件。算法所必须满足条件。算法所必须满足条件。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版33例子例子n n有一频谱分析仪用的

39、有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样处理器，其抽样点数必须是点数必须是2的整数幂。假定没有采用任的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：何特殊的数据处理措施，已给条件为：（1）频率分辨力）频率分辨力10Hz(2)信号的最高频率信号的最高频率4kHz试确定以下参量：试确定以下参量：（1）最小记录长度）最小记录长度T0；（2）抽样点的最大时间间隔抽样点的最大时间间隔T；（3）在一个记录中的最少点数）在一个记录中的最少点数N。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版34n n解：（解：（1）由分辨力的要求确定最小记录长度）由分辨力的要

40、求确定最小记录长度T0.T0=1/F=1/10=0.1(s)故最小记录长度为故最小记录长度为0.1秒。秒。（2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T. fs2fh, T=1/fs 1/2fh=0.125*10-3 (s)（3）最小记录点数）最小记录点数N，它应满足它应满足N2fh /F=800该处理器所需最少采样点数为该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点。点。（因为（因为N=29=512点不够）点不够）厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版35作业作业n n第第140页，页，13、14题。题

41、。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版36（2）频）频 谱谱 泄泄 漏漏n n在实际中，要把观测的信号在实际中，要把观测的信号在实际中，要把观测的信号在实际中，要把观测的信号x(n)x(n)限制在一定的时间限制在一定的时间限制在一定的时间限制在一定的时间间隔之内，即采取截断数据的过程。间隔之内，即采取截断数据的过程。间隔之内，即采取截断数据的过程。间隔之内，即采取截断数据的过程。 n n时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上时域的截断在数学上的意义为原

42、连续时间信号乘上一个窗函数一个窗函数一个窗函数一个窗函数, ,使原连续时间函数成为两端突然截断使原连续时间函数成为两端突然截断使原连续时间函数成为两端突然截断使原连续时间函数成为两端突然截断, ,中间为原信号与窗函数相乘的结果中间为原信号与窗函数相乘的结果中间为原信号与窗函数相乘的结果中间为原信号与窗函数相乘的结果. .n n时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积. .由于窗函由于窗函由于窗函由于窗函数不可能取无限宽数不可能取无限宽数不可能取无限宽数不可能取无限宽, ,即其频谱不可能为一冲

43、激函数即其频谱不可能为一冲激函数即其频谱不可能为一冲激函数即其频谱不可能为一冲激函数, ,信号的频谱与窗函数的卷积必然产生信号的频谱与窗函数的卷积必然产生信号的频谱与窗函数的卷积必然产生信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾拖尾拖尾拖尾现象现象现象现象. .造成造成造成造成 频谱泄漏频谱泄漏频谱泄漏频谱泄漏. . n n所所所所 以以以以 在在在在 截截截截 取取取取 ( (即即即即 在在在在 窗窗窗窗 函函函函 数数数数 的的的的 选选选选 取取取取) ) 时时时时, , 应应应应 尽尽尽尽 量量量量 选选选选 择择择择 适适适适 当当当当 形形形形 状状状状 的的的的 窗窗窗窗 函函函函 数

44、数数数 对时域信号进行截对时域信号进行截对时域信号进行截对时域信号进行截断断断断, , 使频谱泄漏最小使频谱泄漏最小使频谱泄漏最小使频谱泄漏最小. . 厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版37频频 谱谱 泄泄 漏注漏注 意意 点点n n由于我们无法取无数个点，所以在由于我们无法取无数个点，所以在DFT时，时域的截断是必然的，因而泄漏也时，时域的截断是必然的，因而泄漏也是必然存在的。是必然存在的。n n为了减少频率泄漏可采用：为了减少频率泄漏可采用：n n（1）适当加大窗口宽度，增加）适当加大窗口宽度，增加M值；值；n n（2）采用适当形状的窗函

45、数截断）采用适当形状的窗函数截断n n指出：泄漏是不能与混叠完全分开的。指出：泄漏是不能与混叠完全分开的。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版38例子例子n n设信号为设信号为设信号为设信号为x(n)=1/x(n)=1/（22）, ,经过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数前后的频谱函数。经过矩形窗函数前后的频谱函数。经过矩形窗函数前后的频谱函数。经过矩形窗函数前后的频谱函数。n n解：设信号经过矩形窗函数后的信号为解：设信号经过矩形窗函数后的信号为解：设信号经过矩形

46、窗函数后的信号为解：设信号经过矩形窗函数后的信号为x x1 1(n),(n),矩形窗函矩形窗函矩形窗函矩形窗函数为数为数为数为W(n),W(n),其频谱函数为其频谱函数为其频谱函数为其频谱函数为X X1 1(e(ejwjw) ) x x1 1(n)=x(n)W(n) (n)=x(n)W(n) 时域相乘时域相乘时域相乘时域相乘 X X1 1(e(ejwjw)=)=X(eX(ejwjw)*W ()*W (e ejwjw) ) 频域卷积频域卷积频域卷积频域卷积很明显：很明显：很明显：很明显： X1(eX1(ejwjw) ) X(eX(ejwjw) ) 相当于相当于相当于相当于X(eX(ejwjw)

47、)失真，这种失真是失真，这种失真是失真，这种失真是失真，这种失真是由于由于由于由于X(eX(ejwjw) )的频谱泄漏引起，其现象为的频谱泄漏引起，其现象为的频谱泄漏引起，其现象为的频谱泄漏引起，其现象为“ “拖尾（扩展现拖尾（扩展现拖尾（扩展现拖尾（扩展现象），称之频谱泄漏。象），称之频谱泄漏。象），称之频谱泄漏。象），称之频谱泄漏。因为因为因为因为X(eX(ejwjw)=(w),)=(w),矩形窗函数矩形窗函数矩形窗函数矩形窗函数厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版39wX(ejw)X1(ejw)w产生泄漏厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学

48、通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版40（3）栅）栅 栏栏 效效 应应n n 利利 用用 DFT 逼逼 近近 连连 续续 时时 间间 信信 号号 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换, 其其 频频 谱谱 将将 不不 再再 是是 连连 续续 函函 数数 而而 是是 基基 频频 F 的的 整整 数数 倍倍。n n用用 DFT 计计 算算 频频 谱谱, 就就 如如 通通 过过 一一 个个 栅栅栏观栏观 看看 一一 个个 景景 色色, 只只 能能 在在 离离 散散 点点 的的 地地 方方 看看 到到 真真 实实 的的 景景 象象, 从从 而而 产产 生生 栅栅 栏栏 效效 应应. n n

49、如如 果果 在在 两两 离离 散散 的的 谱谱 线线 间间 频频 谱谱 有有 很很 大大 变变 化化, 不不 作作 特特 殊殊 处处 理理, 则则 无无 法法 将将 其其 检检 测测 出出 来来.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版41减减 小小 栅栅 栏栏 效效 应方应方 法法 n n减减 小小 栅栅 栏栏 效效 应应 的的 一一 个个 方方 法法 是是 在在 所所 取取 数数 据据 的的 末末 端端 加加 一一 些些 零零 值值 点点, 使使 一一 个个 周周 期期 内内 点点 数数 增增 加加, 但但 是是 不不 改改 变变 原原 有有

50、的的 记记 录录 数数 据据. n n 这种方法这种方法 等等 效效 于于 加加 长长 了了 周周 期期 T0 . 因因 公公 式式 F = 1/ T0 (F是是 抽抽 样样 间间 隔隔). T0 增增 加加, 抽抽 样样 间间 隔隔 变变 小小, 从从 而而 能能 保保 持持 原原 来来 频频 谱谱 形形 式式 不不 变变 的的 情情 况况 下下 使使 谱谱 线线 变变 密密, 也也 就就 使使 频频 谱谱 抽抽 样样 点点 数数 增增 加加. n n 这这 样样, 原原 来来 看看 不不 到到 的的 频频 谱谱 分分 量量 就就 有有 可可 能能 看看 到到 了了.厦门大学厦门大学厦门大学

51、厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版42补零加长使谱线细化补零加长使谱线细化n n在在DFT与与Z变换的关系一节中变换的关系一节中,我们也曾从另一角我们也曾从另一角度阐明时域补加零值点后对频域的影响。下图从度阐明时域补加零值点后对频域的影响。下图从 该角度解释这一现象的该角度解释这一现象的.补零加长谱线细化厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版43减减 小小 栅栅 栏栏 效效 应应 注注 意意 点点n n补补 加加 零零 点点 以以 改改 变变 周周 期期 时时, 所所 用用 窗窗 函函 数数 宽宽 度度 却却 不不 能

52、能 变变, 亦亦 即即 必必 须须 按按 数数 据据 记记 录录 原原 长长 来来 选选 择择 窗窗 函函 数数, 而而 不不 能能 按按 补补 了了 零零 值值 点点 后后 的的 长长 度度 来来 选选 择择 窗窗 函函 数数. 通通 俗俗 地地 说说, 就就 是是 应应 先 加 窗, 再 补 零.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版44厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版45厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版46厦门大学厦门大学厦门大学厦门

53、大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版47厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版48厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版49例子例子n n画出画出x(n)=1, 0 n 3, x(n)=0, 其它其它n时时的的4点点DFT，8点点DFT，16点点DFT图形。图形。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版50（4）频率分辨力）频率分辨力n n一般来说，信号长度一般来说，信号长度T0越长，即越长，即N越大，则分辨越大，则分辨力越好，但是

54、这个长度力越好，但是这个长度T0是指真正实际的信号长是指真正实际的信号长度，度，抽样点数抽样点数N也是指这个长度上的抽样点数，也是指这个长度上的抽样点数，而不是补零后的长度或抽样点数。而不是补零后的长度或抽样点数。T0是信号长度（真正信号的长度），所以说频率是信号长度（真正信号的长度），所以说频率分辨力与信号实际长度成反比，信号越长（分辨力与信号实际长度成反比，信号越长（T0越大）越大），其分辨力（，其分辨力（F0越小）。越小）。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版51设原数据长度设原数据长度T01，抽样点数，抽样点数N1，补零后的数，补零后的

55、数据长度据长度T02，抽样点数，抽样点数N2，则，则例子例子看出：看出：N2N1, 故故F02F01。故认为补零后，频率分辨力提高了，这是错误的。故认为补零后，频率分辨力提高了，这是错误的。因为：补零不能增加数据的有效长度，上面实际因为：补零不能增加数据的有效长度，上面实际数据的有效长度仍为数据的有效长度仍为T01（有效抽样点数为（有效抽样点数为N1），因而补零是不能提高频率分辨力的。），因而补零是不能提高频率分辨力的。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版52补零的好处补零的好处（1）可使）可使X(ejw)的抽样更密，即对的抽样更密，即对X(k

56、)取中取中间的插值，可克服栅栏效应；间的插值，可克服栅栏效应；（2）使）使N为为2的整数幂值，便于的整数幂值，便于FFT计算。计算。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版53第九节第九节序列的抽取与插值序列的抽取与插值(P374)厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版54引言引言n n前面抽样频率前面抽样频率fs为固定的抽样频率。为固定的抽样频率。n n现讨论抽样频率的变换问题，系统工作在现讨论抽样频率的变换问题，系统工作在“多抽样率多抽样率”情况下。情况下。n n例如：多种媒体的传输、语言、视频、

57、数据例如：多种媒体的传输、语言、视频、数据等，它们的频率很不相同，抽样率自然不同，等，它们的频率很不相同，抽样率自然不同，必须实行抽样率的转换；必须实行抽样率的转换；n n又如：为了减少抽样率太高造成的数据冗余，又如：为了减少抽样率太高造成的数据冗余，有时需要降低抽样率；有时需要降低抽样率；厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版55n n再如：两数字系统的时钟频率不同，信号要再如：两数字系统的时钟频率不同，信号要在此系统中传输时，为了便于信号的处理、在此系统中传输时，为了便于信号的处理、编码、传输和存储，则要求根据时钟频率对编码、传输和存储，则要

58、求根据时钟频率对信号的抽样率加以转换，等等。信号的抽样率加以转换，等等。n n上面的各种应用都要求转换抽样率，或者要上面的各种应用都要求转换抽样率，或者要求系统工作在多抽样率状态。求系统工作在多抽样率状态。n n“多抽样率数字信号处理多抽样率数字信号处理”的重要性逐渐显现的重要性逐渐显现出来，使它成为数字信号处理的一个重要内出来，使它成为数字信号处理的一个重要内容。容。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版56实现抽样率转换的方法实现抽样率转换的方法n n以往把离散时间信号以往把离散时间信号(序列序列)x(n)经过经过D/A变变换器变成模拟信号换

59、器变成模拟信号x(t),再经再经A/D变换器对变换器对x(t)以另一种抽样率抽样。但是，经过以另一种抽样率抽样。但是，经过D/A和和A/D变换器都会产生量化误差，影响精度。变换器都会产生量化误差，影响精度。n n我们采用直接在数字域对抽样信号我们采用直接在数字域对抽样信号x(n)作抽作抽样频率的变换，以得到新的抽样信号样频率的变换，以得到新的抽样信号。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版57抽取、插值概念抽取、插值概念n n减少抽样率减少抽样率的过程称为信号的的过程称为信号的“抽取抽取” 也称为也称为“抽样率压缩抽样率压缩”。n n增加抽样率增

60、加抽样率的过程称为信号的的过程称为信号的“插值插值”，亦称为，亦称为“抽样率扩张抽样率扩张”。n n二者即为信号二者即为信号时间尺度变换时间尺度变换。n n抽取和插值有时是抽取和插值有时是整数倍整数倍，有时是，有时是有理有理分数倍分数倍的。抽取的插值是多抽样率数字的。抽取的插值是多抽样率数字信号处理的信号处理的基本环节基本环节。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版58复习复习1、连续时间信号的尺度变换其付里叶变换、连续时间信号的尺度变换其付里叶变换 2、连续时间信号付里叶变换与抽样后信号的、连续时间信号付里叶变换与抽样后信号的付里叶变换的关系付

61、里叶变换的关系厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版59一、序列的抽取一、序列的抽取n n当信号的抽样数据量太大时，可以在每当信号的抽样数据量太大时，可以在每D个抽样中取出一个，或说每隔个抽样中取出一个，或说每隔D-1个抽样个抽样取出一个，以便减小数据量，取出一个，以便减小数据量，D是整数是整数，称为称为抽样因子抽样因子，这样的抽取，这样的抽取，称为整数倍称为整数倍抽取抽取。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版60例子例子n n模拟信号模拟信号xa(t),序列为序列为x(n),其抽样时间间其抽样时

62、间间隔为隔为T1，抽样频率为：，抽样频率为： 再进行整数倍（再进行整数倍（D）抽取，抽取后的序列）抽取，抽取后的序列是是xd(n),其抽样时间间隔为其抽样时间间隔为T2，抽样频率，抽样频率为为fs2,由于是由于是D个抽样取一个，所以有：个抽样取一个，所以有：厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版61tnn原信号原信号采样后的信号采样后的信号x(n)=xa(t)|t=nT抽取后的信号抽取后的信号xd(n) (D=T2/T1=3)厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版621、抽取过程对频域产生的影响、抽

63、取过程对频域产生的影响用连续信号抽样的概念来直观地讨论抽取过程用连续信号抽样的概念来直观地讨论抽取过程对频域所产生的影响对频域所产生的影响.如果令序列如果令序列x(n),xd(n)所对应的模拟信号为所对应的模拟信号为xa(t),它们各自满足以下的付里叶变换关系；它们各自满足以下的付里叶变换关系；厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版63可得序列的付里叶变换与连续信号付里叶变换的可得序列的付里叶变换与连续信号付里叶变换的关系：关系：厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版64厦门大学厦门大学厦门大学厦门

64、大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版65xa(t)信号的频谱信号的频谱0x(n)信号的频信号的频谱谱00xd(n)信号频谱信号频谱厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版662、抽取器框图、抽取器框图其中其中 D表示抽样率降低为原来的表示抽样率降低为原来的1/D，即表，即表示抽取器。示抽取器。抽取器抽取器D D等效于等效于厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版67从图看出：从图看出：n n时域抽取得愈大，即时域抽取得愈大，即D愈大，或抽样率愈愈大，或抽样率愈低，则频域周期延拓的间

65、隔愈近，因而低，则频域周期延拓的间隔愈近，因而有可能产生频率响应的混叠失真。有可能产生频率响应的混叠失真。n n所以，对所以，对x(n)不能随意抽取，只有在抽取不能随意抽取，只有在抽取之后的抽样率仍之后的抽样率仍满足抽样定理满足抽样定理要求时，要求时，才不会产生混叠失真，才能恢复出原来才不会产生混叠失真，才能恢复出原来的信号，否则必须采取另外的措施。的信号，否则必须采取另外的措施。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版68例子例子n n例如，在抽取器之前加上防混叠的滤波器。例如，在抽取器之前加上防混叠的滤波器。即：把序列即：把序列x(n)先通过数

66、字低通滤波器先通过数字低通滤波器H(ejw)，使信号的频带限制在：，使信号的频带限制在：以下，得到以下，得到Y(ejw).然后进行抽取得到然后进行抽取得到Xd(ejw).厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版69h(n)H(ejw)抽样抽样 D抽取过程框图抽取过程框图厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版70厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版713、序列域的直接抽取、序列域的直接抽取-其频谱间的关系其频谱间的关系（2 2）然后）然后）然后）然后 去

67、掉零值点去掉零值点去掉零值点去掉零值点 得到得到得到得到抽取抽取抽取抽取序列序列序列序列x xd d(n(n) )。如图如图如图如图所示。所示。所示。所示。（3 3）（1 1）将）将）将）将x(n)x(n)序列序列序列序列 进行脉冲抽样进行脉冲抽样进行脉冲抽样进行脉冲抽样 得到得到得到得到x xp p(n(n) )已知：已知： 求：求：厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版72nn0n序列序列x(n)抽样序列抽样序列p(n)已抽样序列已抽样序列抽取序列抽取序列厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版7

68、3（1）直接抽取过程）直接抽取过程n n直接抽取：即直接抽取：即序列的脉冲串抽样序列的脉冲串抽样问题。问题。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版74（2）脉冲串脉冲串p(n)的时频表示的时频表示即：每即：每D个抽样中取一个抽样。个抽样中取一个抽样。P(n)其为离散周期序列其为离散周期序列(周期为周期为D个点）个点），其频域，其频域为付里叶级数表示：为付里叶级数表示：厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版75即：即： (2)式中，用式中，用(1)式和式和(3)代入代入 厦门大学厦门大学厦门大学厦门大

69、学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版76n n再研究再研究p(n)的付里叶变换的付里叶变换P(ejw).n n把把周期序列表示成频域中的冲激周期序列表示成频域中的冲激，那么，那么周期序列周期序列p(n)也可以付里叶变换表达式。也可以付里叶变换表达式。n np(n)的付里叶变换的付里叶变换P(ejw)为：为： 一个周期序列的付里叶变换一个周期序列的付里叶变换P(ejw)，可以直可以直接从它的离散付里叶级数系数接从它的离散付里叶级数系数P(k)得到。式中是得到。式中是ws=2 /D抽样频率抽样频率.厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系200

70、7版版77（3）抽样后的序列）抽样后的序列xp(n)时频表示时频表示即：抽样过程在时域上就是相乘，即即：抽样过程在时域上就是相乘，即在频域就是卷积关系为在频域就是卷积关系为厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版78（5）抽样后序列）抽样后序列xp(n)的频谱的频谱代入式中可得抽样后序列代入式中可得抽样后序列xp(n)的频谱的频谱Xp(ejw)为为将上面求得的式子将上面求得的式子厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版79（6）X(ejw)、Xp(ejw)、Xd(ejw)的关系的关系 为了确定抽取后在频

71、域的效果，求为了确定抽取后在频域的效果，求xd(n)的的付里叶变换付里叶变换Xd(ejw)和和X(ejw)之间的关系之间的关系.xp(n)和和x(n)在在D的整数倍上的值都是相等的整数倍上的值都是相等的，可等效为的，可等效为由下图可知：由下图可知：厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版80nn0n序列序列x(n)抽样序列抽样序列p(n)已抽样序列已抽样序列抽取序列抽取序列厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版81Xd(ejw)表示为:令令n=Dk或或k=n/D,就可得就可得厦门大学厦门大学厦门大学厦

72、门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版82Xd(ejw)表示为:当当n不为不为D的整数倍时的整数倍时又因为又因为厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版83原信号的频谱000厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版84看出看出看出看出: :n n(1)(1)已抽样序列已抽样序列已抽样序列已抽样序列x xp p(n(n) )和抽取序列和抽取序列和抽取序列和抽取序列x xd d(n)(n)的的的的频谱差别频谱差别频谱差别频谱差别在在在在频率尺度频率尺度频率尺度频率尺度上不同。上不同。上

73、不同。上不同。n n(2)(2)原来的频谱原来的频谱原来的频谱原来的频谱X(eX(ejwjw) )限带，则限带，则限带，则限带，则X Xp p(e(ejwjw) )中不存在频率中不存在频率中不存在频率中不存在频率响应的混叠失真。抽取的效果使原序列的频谱带宽响应的混叠失真。抽取的效果使原序列的频谱带宽响应的混叠失真。抽取的效果使原序列的频谱带宽响应的混叠失真。抽取的效果使原序列的频谱带宽扩展。扩展。扩展。扩展。n n（3 3）为避免在抽取过程中发生频率响应的混叠失真，）为避免在抽取过程中发生频率响应的混叠失真，）为避免在抽取过程中发生频率响应的混叠失真，）为避免在抽取过程中发生频率响应的混叠失真

74、，原序列原序列原序列原序列x(n)x(n)的频谱的频谱的频谱的频谱X(eX(ejwjw) )就不能占满整个频带就不能占满整个频带就不能占满整个频带就不能占满整个频带(0(0 ). ).n n（4 4）减抽样：减抽样：减抽样：减抽样：如果序列能够抽取而又不产生频率响如果序列能够抽取而又不产生频率响如果序列能够抽取而又不产生频率响如果序列能够抽取而又不产生频率响应的混叠失真，其原来的连续时间信号是过抽样，应的混叠失真，其原来的连续时间信号是过抽样，应的混叠失真，其原来的连续时间信号是过抽样，应的混叠失真，其原来的连续时间信号是过抽样，使原抽样率可以减小而不发生混叠，此抽取的过程使原抽样率可以减小而

75、不发生混叠，此抽取的过程使原抽样率可以减小而不发生混叠，此抽取的过程使原抽样率可以减小而不发生混叠，此抽取的过程称之。称之。称之。称之。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版85二、序列的插值二、序列的插值n n将将x(n)的抽样频率的抽样频率fs增加增加I倍，即为倍，即为I倍插值倍插值结果。结果。n n最简单的整数倍插值方法：在已知的相邻最简单的整数倍插值方法：在已知的相邻抽样点之间插入抽样点之间插入(I-1)个抽样值，但由于这个抽样值，但由于这(I-1)个抽样值并不是已知的，所以这个问个抽样值并不是已知的，所以这个问题比整数倍抽取看起来要复杂

76、一些。题比整数倍抽取看起来要复杂一些。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版86理论上说，和抽取时一样。理论上说，和抽取时一样。（1）将序列）将序列: x(n)=xa(nT1)进行进行D/A变换得到原来的连续时间信号变换得到原来的连续时间信号xa(t)。（2）再对）再对xa(t)作较高抽样率的抽样得到作较高抽样率的抽样得到 x1(n)=xa(nT2), T1=IT2n n式中式中I是大于是大于1的整数，称为的整数，称为插值因子插值因子。但是。但是这样做是不经济的，因此，我们都是在离散这样做是不经济的，因此，我们都是在离散时域进行插值。时域进行插值

77、。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版871、整数倍（、整数倍（I倍）插值的方法倍）插值的方法n n整数倍（整数倍（I倍）插值的方法：倍）插值的方法：（1）在已知抽样序列）在已知抽样序列x(n)的相邻两抽样点的相邻两抽样点之间等间隔地插入之间等间隔地插入(I-1)个零值点个零值点（2）然后进行数字低通滤波，即可求得）然后进行数字低通滤波，即可求得I倍插值的结果。倍插值的结果。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版882、整数倍（、整数倍（I倍）插值的框图倍）插值的框图图中图中 I表示在表示在x(n

78、)的相邻抽样点间补（的相邻抽样点间补（I-1）个零）个零值点，也就是它表示零值插值，称为值点，也就是它表示零值插值，称为零值插值零值插值器器.x(n)经零值插值器后得到经零值插值器后得到xp(n),再经数字低通滤再经数字低通滤波波(抗镜像滤波器）得到抗镜像滤波器）得到I倍插值的结果倍插值的结果xI(n).I厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版893、插值过程、插值过程=抽取过程的逆过程抽取过程的逆过程n n插值过程可以看成抽取过程的逆过程。插值过程可以看成抽取过程的逆过程。n n由下图可知，通过插值和数字低通滤波器后，由下图可知，通过插值和数字

79、低通滤波器后，这些插值的零点将不再是零，从而得到插值这些插值的零点将不再是零，从而得到插值后的输出后的输出x1(n)。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版90(a)原信号原信号x(n)及其频谱及其频谱X(ejw)原信号的频谱原信号x(n)厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版910插入零值后信号的频谱0插值后信号(b)插入零值点后的信号插入零值点后的信号及其频谱及其频谱厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版920插值后信号0插值后信号频谱(c)插值后

80、的信号插值后的信号及其频谱及其频谱厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版93三、比值为有理数的抽样率转换三、比值为有理数的抽样率转换给定信号给定信号x(n)，若将抽样率转变为若将抽样率转变为I/D倍倍.例如例如:原来的抽样率为原来的抽样率为1KHz的序列，要变成抽样的序列，要变成抽样率为率为1.4kHz的序列的序列.解：（解：（1）思路；先将序列经过）思路；先将序列经过I=7倍的插值转换倍的插值转换为的抽样率为为的抽样率为7kHz的序列，然后再进行的序列，然后再进行D=5倍倍的抽取，得到抽样率为的抽取，得到抽样率为1.4kHz的序列。的序列。(2

81、)作法；先做作法；先做I倍的插值，再做倍的插值，再做D倍的抽样实现倍的抽样实现抽样率的有理数转换抽样率的有理数转换.或先抽取、后插值。但或先抽取、后插值。但先抽取使先抽取使x(n)的数据点减少，会产生信息丢失，的数据点减少，会产生信息丢失，并可能产生频率响应的混叠失真。并可能产生频率响应的混叠失真。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版941、插值和抽取的级联实现、插值和抽取的级联实现合理的方法：先对信号插值，然后再抽取。合理的方法：先对信号插值，然后再抽取。Ih1(n)插值Ih(n)（a)使用两个低通滤波器（b)使用一个低通滤波器厦门大学厦门大

82、学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版952、抽取和插值的级联的频率响应、抽取和插值的级联的频率响应图图(a)中中:(1)h1(n)是插值所必须的抗镜像低通滤波器是插值所必须的抗镜像低通滤波器(2)h2(n)是抽取前级联的防混叠低通滤波器是抽取前级联的防混叠低通滤波器(3)抽样信号的抽样率是抽样信号的抽样率是Ifs(4)可合并成一个滤波器可合并成一个滤波器h(n),图图(b)所示所示.(5)h(n)的频率响应为的频率响应为厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版963、结论、结论可知：可知： 无论是抽取或是插值，其

83、输无论是抽取或是插值，其输入到输出的变换都相当于经过一个入到输出的变换都相当于经过一个线性移变线性移变（时变）系统。（时变）系统。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版974、例子、例子用一例子说明：用一例子说明：(1)比值为有理数比值为有理数(I/D)抽样率的转换。即抽样率的转换。即如何将插值与抽取结合，以便对序列进如何将插值与抽取结合，以便对序列进行抽样变化而又不会带来混叠失真。行抽样变化而又不会带来混叠失真。(2)抽样率减小到使序列频谱在一个周期内抽样率减小到使序列频谱在一个周期内的非零部分已经扩展到的非零部分已经扩展到- 到到 的整个频带

84、的整个频带内，就不能再减小抽样率。内，就不能再减小抽样率。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版98（1）题目）题目n n某序列某序列x(n)的付里叶变换为的付里叶变换为X(ejw),如图所如图所示。示。原信号的频谱原信号的频谱厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版99n n从频谱图看，这个序列只采用整数抽取（即从频谱图看，这个序列只采用整数抽取（即脉冲抽样）而又不产生混叠的最低抽样数字脉冲抽样）而又不产生混叠的最低抽样数字频率为频率为n n即每即每3个抽样值抽取一次。这样就得到序列个抽样值抽取一次

85、。这样就得到序列xd(n)(注意，抽取后序列抽取值之间的零值注意，抽取后序列抽取值之间的零值已被摒弃）它的频谱如下图所示。已被摒弃）它的频谱如下图所示。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版100n n显然，不产生混叠显然，不产生混叠.n n然而在然而在6 /7 |w| 这段频带内频谱还是这段频带内频谱还是零零.n n可进一步减抽样。可进一步减抽样。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版101n n将频率尺度扩大将频率尺度扩大7/2倍，所得到的频谱的倍，所得到的频谱的非零值就占满了整个非零值就占满了

86、整个- 到到 的频率范围。的频率范围。n n7/2是有理数，（是有理数，（1）可先进行）可先进行I=2的插值，的插值，即将即将x(n)以以2来来增抽样增抽样，得到序列，得到序列xI(n),其频谱为其频谱为XI(ejw)。（。（2）再进行）再进行D=7的抽的抽取，即取，即x(n)再以再以7来来减抽样减抽样得到得到xId(n),其其频谱频谱XId(ejw)。厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版102厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版103n n抽取和插值联合作用的结果是：抽取和插值联合作用的结果是

87、：n n（1）x(n)以一个非整数的有理数以一个非整数的有理数7/2进行减进行减抽样。抽样。n n（2）如果）如果x(n)代表一个连续时间信号代表一个连续时间信号xa(t)的无混叠抽样序列，则这个经过插值的无混叠抽样序列，则这个经过插值(I=2)和抽取和抽取(D=7)的序列的序列xId(n)就代表了就代表了xa(t)的的最大无混叠的减抽样序列。最大无混叠的减抽样序列。n n抽取和插值的概念应用于很多重要的信号处抽取和插值的概念应用于很多重要的信号处理中，其中包括通信系统、数字高频、高分理中，其中包括通信系统、数字高频、高分辨率电视以及其他很多应用领域。辨率电视以及其他很多应用领域。厦门大学厦门

88、大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版104作业作业n nP399页页 1,3,4题题厦门大学厦门大学厦门大学厦门大学 通信工程系通信工程系通信工程系通信工程系2007版版105小结小结n n本章主要讲几个问题：本章主要讲几个问题：n n（1）付里叶变换的四种形式付里叶变换的四种形式n n（2）离散付里叶级数离散付里叶级数n n（3）离散付里叶变换离散付里叶变换n n（4）离散付里叶变换的有关性质离散付里叶变换的有关性质n n（5）频率抽样理论频率抽样理论n n（6）离散付里叶变换的应用离散付里叶变换的应用n n（7）DFT逼近连续时间信号产生的问题逼近连续时间信号产生的问题n n（8）序列的抽取与插值）序列的抽取与插值