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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第二节第二节第二节第二节 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限一、概念的引入一、概念的引入一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义二、数列的定义二、数列的定义三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质四、数列极限的性质四、数列极限的性质五、小结五、小结五、小结五、小结 思考题思考题思考题思考题1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2单击任意点开始观察单击任意点开始观察1. .【割圆术割圆术】观察完毕观察完毕“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，
2、割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽【引例引例】一、概念的引入机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 42. .【截丈问题截丈问题】“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前公元前300300年左右，中国年左右，中国古代思想家墨子语：古代思想家墨子语：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5二、数列的定义【例如例如
3、】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6【注意注意】1. .数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2. .数列是整标函数数列是整标函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7单击任意点开始观察单击任意点开始观察三、数列的极限观察结束观察结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8【问题问题1】当当 无限增大时无限增大时, , 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值? ?如果是如果是, ,如何确定如何确定? ?【问题问题2】 “无限接近无限接近
4、”意味着什么意味着什么? ?如何用数学语言如何用数学语言刻划它，刻划它，描述它描述它。通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :【直观定义直观定义】当当n无限增大时，无限增大时，xn无限接近于一个确无限接近于一个确定的常数定的常数a，称，称a是数列是数列xn的的极限极限.“距离任意距离任意 小小”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10【发散发散】如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就说数列是就说数列是发散发散的的. .【说明说明】发散有发散有 不存在不存在；-；+；。1. .【精确定义精确定义】设
5、设xn为一数列为一数列, , 若存在常数若存在常数a , , 对任给定的正数对任给定的正数( (不论它多么小不论它多么小),), 总存在正数总存在正数N , , 使得当使得当n N 时，时，不等式不等式 | xn -a |N时，有无穷多个点落在时，有无穷多个点落在(a-,a+)内内”是是等价解释等价解释，正确吗？，正确吗？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法. .【例例1】【证证】所以所以, ,【注意注意】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14【例例2】【证证】【练习练习】证明
6、常数列的极限等于它本身证明常数列的极限等于它本身. .（公式公式）所以所以, ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15【例例3】【证证】【小结小结】 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时, ,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N, ,但不必要求最小的但不必要求最小的N. .公式公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16【补例补例4】【证证】放大不等式放大不等式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17【注意注意】(1)即即 ，通过，通过不等式的放大等措施求出正整数不等式的放大等措施求出正整数N，再定出，再定出
7、n的的范围，从而保证范围，从而保证 成立成立. .( (2) ) N与与是相对应的，但是相对应的，但N不是唯一的不是唯一的; ;N有无有无穷多个，则穷多个，则“n N”允许为允许为“nN”. .( (3) )同理，因同理，因任意，则任意，则2， 等也任意，则等也任意，则允许为允许为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18四、数列极限的性质1. .唯一性唯一性【定理定理1】每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .【证证】注意以下证明都是已知极限存在时，利用注意以下证明都是已知极限存在时，利用的的给定性来论证的给定性来论证的用反证法用反证法机动机动 目录目
8、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19【例例5】【证证】由定义由定义, ,区间长度为区间长度为1.1.矛盾矛盾 【证完证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 202. .有界性有界性【例如例如】有界有界无界无界不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间内的区间内. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21(2)【定理定理2】收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .【证证】由定义由定义, ,【注意注意】逆否命题必成立：逆否命题必成立：无界数列必定发散无界数列必定发散. .逆命题不成立；逆命题不成立；有界列不一定收敛有界列不一定
9、收敛. .数列有界是收敛的数列有界是收敛的必要条件必要条件. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 223. .保号性保号性【定理定理3 】 【证明证明】由数列极限定义，由数列极限定义，有有从而从而【证完证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23【推论推论】【证明证明】以下用反证法以下用反证法由定理由定理3知知【证完证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 244. .【子数列的收敛性子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系收敛列与其子列的关系）【注意注意】例如例如（1）【定义定义】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
10、 返回返回 结束结束 25（2）【定理定理4】收敛数列的任一子数列也收敛收敛数列的任一子数列也收敛 且极限相同且极限相同【证证】【分析分析】 欲证欲证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26【证毕证毕】（寻找到（寻找到K）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27【注意注意】a . .常用此关系判断一个数列常用此关系判断一个数列极限不存在极限不存在方法方法：若数列有两个子列收敛于不同的极限，：若数列有两个子列收敛于不同的极限，则原数列发散则原数列发散. . 如数列如数列方法方法：若数列有一个子列发散：若数列有一个子列发散, ,则原数列发散则原数列发
11、散. . 如如b. .上例说明了发散数列也上例说明了发散数列也可能可能有收敛的子列有收敛的子列. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28五、小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律; ;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义; ;收敛数列的性质收敛数列的性质: :唯一性、有界性、保号性、子数列的唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性收敛性. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29【思考题思考题】【错证错证】可以证明可以证明因为因为解新的不等式解新的不等式故故当当时必有时必有证完证完机动机动 目
12、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 30【思考题解答思考题解答】【分析分析】错误错误：极限是极限是1 明显是不对的，明显是不对的，应为应为0.错误错误：推导过程中又将推导过程中又将不适当不适当的放大，致使不等式：的放大，致使不等式：不能对不能对任何任何 0成立成立.例如例如取取= 1/2时，找不到时，找不到 n 满足该不等式满足该不等式.【结论结论】 极限的分析定义严格描述了极限过程，如极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地果随心所欲地放大不等式放大不等式，就会导致荒谬，就会导致荒谬的结果的结果.切记证明中应切记证明中应适当放大适当放大，且最终必，且最终必须是须是无穷小无穷小（即极限为（即极限为0），否则无法保证），否则无法保证小于任给的小于任给的0.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 31【正确证法正确证法】因为因为解不等式解不等式故取故取则当则当nN 时，必有时，必有故故证完证完
