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1、高等数学清华大学出版社“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入高等数学清华大学出版社正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积高等数学清华大学出版社2 2、截杖问题：、截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”高等数学清华大学出版社二、数列的定义例如例如高等数学清华大学出版社注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动
2、点在数轴上依次取2.数列是定义域为正整数集合的函数数列是定义域为正整数集合的函数高等数学清华大学出版社播放播放三、数列的极限高等数学清华大学出版社问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:高等数学清华大学出版社高等数学清华大学出版社如果数列不收敛如果数列不收敛, 就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：高等数学清华大学出版社几何解释几何解释:其中其中高等数学清华
3、大学出版社数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：高等数学清华大学出版社例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.高等数学清华大学出版社例例3证证高等数学清华大学出版社1.唯一性唯一性定理定理1.3.1 1.3.1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.四、数列极限的性质四、数列极限的性质高
4、等数学清华大学出版社2.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界高等数学清华大学出版社定理定理1.3.2 1.3.2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .高等数学清华大学出版社例例4证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.高等数学清华大学出版社3. 数列及其子数列的极限关系数列及其子数列的极限关系定理定理 1.3.3设设 是一个数列是一个数列. 正整数列正整数列 满足满足 则称数列则称数列是数列是数
5、列的一个子数列的一个子数列.若数列若数列 的极限为的极限为则它的任一则它的任一子数列子数列 都以都以 为极限为极限.例例 证明数列证明数列 发散发散.高等数学清华大学出版社证明证明记记则由则由及定理及定理1.3.3知数列知数列 发散发散.高等数学清华大学出版社4. 保号性保号性设设 且且 或或则存在正整数则存在正整数使当使当 时时 或或设设 且且 或或则则 或或证明证明因因则可取则可取使得使得于是由于是由 知存在正整数知存在正整数使当使当时有时有即即对于对于 的情况也可类似地证明的情况也可类似地证明.高等数学清华大学出版社用反证法用反证法, 设若设若则由则由(1)知存在正整数知存在正整数当当
6、时时这与假设这与假设 矛盾矛盾.推论推论 (保序性保序性)则存在正整数则存在正整数使当使当 时有时有(1) 设设且且(2) 设设且且则则注意：高等数学清华大学出版社例例5证证设设求证求证由题设及定理由题设及定理1.3.4知知若若则有则有若若则由则由 知任给知任给存在正整数存在正整数高等数学清华大学出版社使当使当 时时, 从而从而即即于是有于是有总之有总之有高等数学清华大学出版社定理定理 1.3.5 (极限的四则运算极限的四则运算)设设 是收敛是收敛数列数列,则则 也都是收敛数列也都是收敛数列,且且如果如果则则 也是收敛数列也是收敛数列, 且且高等数学清华大学出版社证明证明设设(1) 对任给的对
7、任给的存在正整数存在正整数使当使当时有时有又存在正整数又存在正整数使当使当时有时有于是当于是当时有时有对上述对上述高等数学清华大学出版社这就证明了这就证明了(2) 由于由于 收敛收敛, 故有界故有界:而而对于任给的对于任给的存在正整数存在正整数使当使当时有时有高等数学清华大学出版社又存在正整数又存在正整数使当使当时有时有于是当于是当时有时有这就证明了这就证明了高等数学清华大学出版社(3)先证明当先证明当 时时,对于对于存在正整数存在正整数使当使当时有时有此时有此时有这表明在这表明在 的条件下数列的条件下数列 中至多有有限中至多有有限项等于零项等于零. 在在 的情况下又有的情况下又有高等数学清华
8、大学出版社现考虑对于任意给定的现考虑对于任意给定的根据根据知存在正整数知存在正整数使当使当时有时有因此当因此当时有时有这表明这表明再由上述已证明的再由上述已证明的(2)即得即得高等数学清华大学出版社例例 求极限求极限解解高等数学清华大学出版社例例 求极限求极限解解由由知知因此因此高等数学清华大学出版社1.3.3 数列极限存在的条件1.3.6 （夹逼定理）（夹逼定理）证证高等数学清华大学出版社上两式同时成立上两式同时成立,高等数学清华大学出版社例例解解由夹逼定理得由夹逼定理得高等数学清华大学出版社例例 证明证明证明证明令令则当则当 时时且且由此得由此得即即于是由夹逼定理即得于是由夹逼定理即得高等
9、数学清华大学出版社例例设设求证求证证明证明先设先设则当则当 时时,由夹逼定理知由夹逼定理知当当 时时, 则则于是于是因此因此令令高等数学清华大学出版社例例设设 是正整数是正整数, 求证求证证明证明先考虑先考虑设设其中其中则则而而故故再考虑任意的正整数再考虑任意的正整数记记则则于是于是由此得由此得高等数学清华大学出版社例例证明证明证明证明由由及及利用夹逼定理即得利用夹逼定理即得高等数学清华大学出版社定理定理 1.3.7 (单调有界定理单调有界定理)若数列若数列单调上升单调上升有上界有上界:则该数列收敛则该数列收敛; 类似地类似地, 单调下降且有下界的数列单调下降且有下界的数列必收敛必收敛.例例
10、设设证明证明数列数列 的单调上升性是明显的的单调上升性是明显的, 求证求证 存在存在.高等数学清华大学出版社下面证明其有上界下面证明其有上界, 故由单调有界定理知故由单调有界定理知 存在存在.事实上事实上高等数学清华大学出版社例例 证明数列证明数列收敛收敛, 并求其极限并求其极限.证明证明设该数列的通项为设该数列的通项为则它显然满足则它显然满足递推公式递推公式为了证明其单调性为了证明其单调性, 考察考察高等数学清华大学出版社根据此式及根据此式及由数学归纳法由数学归纳法知数列知数列 是单调上升的是单调上升的.下面证明下面证明显然显然设若设若则则由数学归纳法知由数学归纳法知根据单调有界定理根据单调
11、有界定理,数列数列 收敛收敛.设其极限为设其极限为则由递推公式有则由递推公式有对此式两端求极限对此式两端求极限, 得到得到解得解得根据极限的保号性知根据极限的保号性知高等数学清华大学出版社注注对这类由递推公式两端取极限来求极限的对这类由递推公式两端取极限来求极限的题目题目, 必须首先证明其极限的存在性必须首先证明其极限的存在性, 否则会导否则会导致谬误致谬误.例如例如则则若直接对上式两端求极限若直接对上式两端求极限, 就得到就得到从而从而但显然但显然 不能成立不能成立.高等数学清华大学出版社例例 证明下列两个数列的极限存在且相等证明下列两个数列的极限存在且相等:证明证明显然数列显然数列 是单调
12、上升的是单调上升的. 又因又因即即 有上界有上界, 故故 存在存在, 记为记为 , 即即高等数学清华大学出版社对于数列对于数列利用二项式展开利用二项式展开, 有有从而从而高等数学清华大学出版社易知易知即数列即数列 单调上升单调上升.由式由式(1.3.7)可以看出可以看出根据单调有界定理根据单调有界定理,存在存在, 记为记为再由极限再由极限的保序性知的保序性知另一方面另一方面, 由式由式(1.3.7)知当知当 时时,固定固定令令 对上式取极限对上式取极限, 得得高等数学清华大学出版社再令再令即得即得总之总之高等数学清华大学出版社思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立高等数学清华大学出版社思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值高等数学清华大学出版社从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为高等数学清华大学出版社习题习题 1.31 (1)、(2)、(4)、(5)、(7)2(2)、(3)、(5)4、5、6. 高等数学清华大学出版社
