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1、高斯公式高斯公式物理意义物理意义-通量通量与与散度散度小结小结 思考题思考题 作业作业 flux divergence第六节第六节 高斯高斯 (Gauss)公式公式 通量通量与与散度散度第十章第十章第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 高斯高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德国数学家、物理学家、天文学家德国数学家、物理学家、天文学家1 格林公式格林公式把平面上的把平面上的闭曲线积分闭曲线积分与与本节的本节的高斯公式高斯公式表达了空间闭曲面表达了空间闭曲面上的上的曲面积分曲面积分与曲面所围空间区域上的与曲面所围空间区域上的它有明确
2、的物理背景它有明确的物理背景三重积分三重积分的关系的关系.所围区域的所围区域的二重积分二重积分联系联系起来起来. 通量与散度通量与散度. .高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度2一、高一、高 斯斯 公公 式式高斯公式称为奥高公式高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基或奥斯特洛格拉斯基公式公式.(俄俄)1801 1861具有具有则有公式则有公式一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,或或 高斯公式高斯公式外侧外侧, ,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度3 证明思路证明思路 分别证明以下三式分别证明以下三式,从而完成定理证明从而完成定理证明.只证其中第三式只证其中第三
3、式,其它两式可完全类似地证明其它两式可完全类似地证明.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度4证证 设空间区域设空间区域母线平行于母线平行于z轴的柱面轴的柱面.即即边界面边界面三部分组成三部分组成:(取下侧取下侧)(取上侧取上侧)(取外侧取外侧)高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度5由由三重积分三重积分的计算法的计算法投影法投影法( (先一后二法先一后二法) )高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度6 由由曲面积分曲面积分的计算法的计算法取取下下侧侧,取取上上侧侧,取取外外侧侧 一投一投,二代二代,三定三定号号高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散
4、度通量与散度7于是于是高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度8同理同理合并以上三式得合并以上三式得自自己己证证高斯公式高斯公式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度9高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度若区域若区域的边界曲面的边界曲面 与任一平行于坐标轴与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的可以引进几张辅助的曲面把曲面把分为有限个闭区域分为有限个闭区域,使得每个闭区域满使得每个闭区域满足假设条件足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反个曲面积分
5、的绝对值相等而符号相反, 相加时正相加时正好抵消好抵消.因此因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正高斯公式对这样的闭区域仍是正确的确的.10由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知高斯公式为计算高斯公式为计算(闭闭)曲面积分提供了曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算它能简化曲面积分的计算.一个新途径一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度高斯高斯Gauss公式的实质公式的实质11解解 球球 例例外侧外侧. . 因因是闭曲面是闭曲面,可可利
6、用利用高斯公式高斯公式计算计算.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度12使用使用Guass公式时易出的差错公式时易出的差错: :(1) 搞不清搞不清是对什么变量求偏导是对什么变量求偏导;(2) 不满足高斯公式的条件不满足高斯公式的条件, 用公式计算用公式计算;(3) 忽略了忽略了 的取向的取向,注意是注意是取闭曲面的取闭曲面的外侧外侧. .高斯公式高斯公式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度13例例解解 外侧外侧. .能否直接用能否直接用点点(x,y,z)在曲面在曲面上上,然后再用然后再用高斯公式高斯公式. .可先用曲可先用曲面方程将被积面方程将被积因被积函数中
7、的因被积函数中的函数化简，函数化简，高斯公式高斯公式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度14有时可作有时可作辅助面辅助面,(将辅助面上的积分减去将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分化为闭曲面的曲面积分, 然后利用然后利用高斯公式高斯公式.对有的对有的 非闭曲面非闭曲面的曲面积分的曲面积分,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度15例例 计算曲面积分计算曲面积分之间之间下下侧侧. .的的法向量的方向余弦法向量的方向余弦.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度部分的部分的解解 空间曲面空间曲面在在xOy面上的面上的曲面曲面 不是不是 为利用高斯公
8、式为利用高斯公式.投影域为投影域为补补构成构成封闭曲面封闭曲面, ,使用使用高斯公式高斯公式.封闭曲面封闭曲面, 16由对称性由对称性高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度先先二二后后一一法法17故所求积分为故所求积分为高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度18利用利用高斯公式高斯公式计算三重积分计算三重积分提示提示则则取取高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度考虑到考虑到选取相当自由，选取相当自由，19由高斯公式由高斯公式极坐标极坐标高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度20 被积函数中有抽象函数被积函数中有抽象函数,故无法直接计算故无
9、法直接计算. 如直接计算如直接计算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例是锥面是锥面所围立体的表面所围立体的表面计算设计算设f(u)是有连续的导数是有连续的导数,计算计算和球面和球面及及外侧外侧. .高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度21解解 由于由于故由故由高斯公式高斯公式= 球球高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度22例例证证高高高高斯斯斯斯公公公公式式式式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度23例例 设函数设函数u(x, y, z)和和v(x, y, z)在闭区域在闭区域上具有上具有其中其中是闭区域是闭区域的整个边界曲面的整个边界曲面, v
10、(x,y,z)沿沿的外法线方向的方向导数的外法线方向的方向导数,称为称为拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)算子算子.格格林林第第一一公公式式一阶及二阶连续偏导数一阶及二阶连续偏导数,证明证明为函数为函数符号符号高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度24证证 因为方向导数因为方向导数是是在点在点(x,y,z)处的外法线处的外法线向量的方向余弦向量的方向余弦. 于是曲面积分于是曲面积分高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度25移项后移项后,即证即证.高高斯斯公公式式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度26解解( (如图如图) )计算曲面积分计算曲面积分
11、1987年研究生考题年研究生考题,计算计算(10分分)绕绕y轴旋转曲面方程为轴旋转曲面方程为一周所成的曲面一周所成的曲面, 它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角轴正向的夹角绕绕y轴旋转轴旋转高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度27取右侧取右侧.有有 高斯公式高斯公式柱柱坐坐标标高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度28取右侧取右侧故故高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度291. 通量通量为向量场为向量场 设有一向量场设有一向量场则称沿则称沿场中场中有向曲面有向曲面某一侧的曲面积分某一侧的曲面积分:通量通量. . flux divergence穿过
12、曲面穿过曲面这这一侧的一侧的高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度二、物理意义二、物理意义 通量通量与与散度散度通量的计算公式通量的计算公式302. .散度散度设有向量场设有向量场为场中任一点为场中任一点,在在P点的某邻域内作一包含点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面点在其内的闭曲面它所围成的小区域及其体积记为它所围成的小区域及其体积记为表示表示内穿出的通内穿出的通量量,若当若当缩成缩成P点时点时, 极限极限高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度记为记为散度散度. .存在存在,则该极限值就称为向量场则该极限值就称为向量场在在P点处的点处的即即31散度的计算公式散度
13、的计算公式( 散度为零的场称为无源场散度为零的场称为无源场 )设设均可导均可导,点处的散度为点处的散度为高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度高斯公式高斯公式高斯公式高斯公式可写成可写成32例例 向量场向量场 1989年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分分)解解高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度33设设数量场数量场解解先求梯度先求梯度高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度34再求再求的散度的散度.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度设设数量场数量场35高斯高斯Gauss公式公式物理意义物理意义-通量通量与与散度散度高斯高斯(Ga
14、uss)公式公式 通量与散度通量与散度三、小结三、小结表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯高斯Gauss公式的实质公式的实质(注意使用的条件注意使用的条件)36思考题思考题曲面曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？应满足什么条件才能使高斯公式成立？高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度解答解答曲面应是分片光滑的曲面应是分片光滑的闭闭曲面曲面.37作作 业业习题习题10-6 (17410-6 (174页页) ) 1.(1) (3) (5) 2.(2) (3) 3.(1) (3) 4. 5.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量与散度通量与散度38
