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1、 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型5 5 二次型及其标准型二次型及其标准型二次型及其标准形的概念二次型及其标准形的概念:矩阵对角化应用矩阵对角化应用称为称为二次型二次型. .的二次齐次函数的二次齐次函数个变量个变量含有含有定义定义nxxxn, 1 121L; , 称为称为是复数时是复数时当当faij复二次型复二次型. ,称为称为是实数时是实数时当当faij实二次型实二次型1 1用和号表示用和号表示对对二次型二次型二次型的表示方法二次型的表示方法2 2用矩阵表示用矩阵表示; 的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵矩阵一一对应。矩阵一一对
2、应。解解例例若要求上述二次型用矩阵记号表示出来，则应如何表示。若要求上述二次型用矩阵记号表示出来，则应如何表示。. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA化二次型为标准形化二次型为标准形（法一）（法一）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线可逆的线性变换，性变换，将二次型化为将二次型化为标准形（法式）标准形（法式）ax2bxycy21选择适当的坐标变换选择适当的坐标变换 化标准形的过程就是通过化标准形的过程就是通过变量的线性变换变量的线性变换化简一个化简一个二次齐次多项式二次齐次多项式 使它只含有平方项使它只含有平方项 把方程化为
3、标准形把方程化为标准形mxmx 2 2 nyny 2 2 1 1 设设仿照如上思路仿照如上思路就是要使就是要使, 变成变成标准形标准形经可逆变换经可逆变换要使二次型要使二次型Cyxf ( () )化为标准形化为标准形使使正交变换正交变换总有总有任给二次型任给二次型定理定理fCyxaaxxafjiijnjijiij, 1, ( ( ) ).,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf l ll ll lL用正交变换化二次型为标准型用正交变换化二次型为标准型二次型一定可以二次型一定可以化成标准型化成标准型用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解解:
4、1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2 22 2求特征向量求特征向量当当由由取对应的基础解系为对应的特征向量取对应的基础解系为对应的特征向量对应的齐次线性方程组的解为对应的齐次线性方程组的解为当当由由对应的齐次线性方程组的解为对应的齐次线性方程组的解为取对应的基础解系为对应的特征向量取对应的基础解系为对应的特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组对对 进行施密特正进行施密特正交化交化4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵5 5写出正交变换的形式，并写出二次型的标准型写出正交变换的形式，并写出二次
5、型的标准型矩阵合同的定义矩阵合同的定义设设A A和和B B是是n n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵C C，使，使 ，则称矩阵，则称矩阵A A和和B B合同。合同。矩阵合同的性质（合同关系的不变量）矩阵合同的性质（合同关系的不变量）若若A A为对称阵，为对称阵，B B也为对称阵。也为对称阵。R(A)=R(B)R(A)=R(B)：二次型化标准型时秩不变：二次型化标准型时秩不变对称阵对称阵A A，B B对应的正惯性指数和负惯性指数相等。对应的正惯性指数和负惯性指数相等。对称阵对称阵A A，B B对应的二次型的规范形相同。对应的二次型的规范形相同。 二次型化标准形的过程就是将二次型矩阵化为对
6、角阵的过程。且二次型化标准形的过程就是将二次型矩阵化为对角阵的过程。且把这一过程称为将对称阵把这一过程称为将对称阵A合同对角化。合同对角化。二次型的规范型二次型的规范型v推论 任任给给n n元元二二次次型型 f f x xT TAxAx 总总有有可可逆逆变变换换x x CzCz 使使 f f( (czcz) )为规范形为规范形 定义定义 如果二次型的标准形中，其平方项的如果二次型的标准形中，其平方项的系数为系数为1 1，-1 -1 或或0 0，即，即则称为则称为实二次型的规范形实二次型的规范形证明：证明：设二次型的秩为设二次型的秩为r r，则，则( (n-rn-r) )个特征值为零，不妨设个特
7、征值为零，不妨设不等于不等于0 0，取取令令y=y=kzkz而而规范型的规范型的1、-1、零主要取决于特零主要取决于特征值的正、负、征值的正、负、零。零。求相似变换阵分两步：求相似变换阵分两步：先求正交阵先求正交阵P P，再求，再求K K阵阵记记C=PKC=PK，即知可逆变换，即知可逆变换x=x=CzCz, ,把二次型变成规范二次型。把二次型变成规范二次型。（1 1）先通过正交变换）先通过正交变换P P将二次型化为标准形。将二次型化为标准形。（2 2）再取可逆阵）再取可逆阵K K，即可求得将二次型化为规范二次型的可逆变换阵，即可求得将二次型化为规范二次型的可逆变换阵C=PKC=PK将二次型化为
8、规范形的步骤将二次型化为规范形的步骤例例3 3.,844141417 323121232221化成规范形化成规范形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf - - - - 步骤步骤：（1 1）先将二次型变成标准型，过程同例先将二次型变成标准型，过程同例2 2此例的标准型为：此例的标准型为：在此基础上选取在此基础上选取K K阵阵（2 2）在标准型的基础上将规范型变成规范二次型）在标准型的基础上将规范型变成规范二次型正交变换阵正交变换阵即做相应的可逆变换即做相应的可逆变换可得到二次型的规范形可得到二次型的规范形小结小结1.1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇实二次
9、型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法想方法2.2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法一节，我们将介绍另一种方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法3.用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变变作作 业业原教材原教材 P132P1321(1)1(1)2(1)2(1)3 3原教材原教材 P137P1371(1)(2)1(1)(2)3(1)3(1)
