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1、第二节随机事件及其集合特性第二节随机事件及其集合特性第一章随机事件及其概率第一章随机事件及其概率一、随机事件一、随机事件 定义定义1 随机试验随机试验 E 的每一种可能结果称为的每一种可能结果称为随机事件随机事件，简称为简称为事件，事件，通常用大写英文字母通常用大写英文字母A,B,C来表示来表示.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 如如 “出现出现1点点”, “出现出现2点点”, , “
2、出现出现6点点”.基本事件基本事件 不能分解为其他事件的事件不能分解为其他事件的事件 如如 “点数不大于点数不大于4”，“点数为偶数点数为偶数” .复合事件复合事件 能分解为其他事件的事件能分解为其他事件的事件必然事件必然事件 每次试验中一定发生的事件每次试验中一定发生的事件，记作，记作 .不可能事件不可能事件 每次试验中一定不发生的事件每次试验中一定不发生的事件，记作，记作 . 若记若记A=点数不大于点数不大于6，B=点数大于点数大于6，则有则有 如上例中，如上例中， 2. 若事件若事件A为必然事件，则为必然事件，则A的对立面为不可能事件；的对立面为不可能事件；反之亦然；反之亦然；3. 必然
3、事件、不可能事件均相对于一定的试验条件必然事件、不可能事件均相对于一定的试验条件而言，若条件变了，事件的性质也可能发生改变而言，若条件变了，事件的性质也可能发生改变. .注注 1. 必然事件、不可能事件都是确定性的事件，但必然事件、不可能事件都是确定性的事件，但为了方便起见，今后必然事件和不可能事件都作为为了方便起见，今后必然事件和不可能事件都作为随机事件的极端情况予以统一处理随机事件的极端情况予以统一处理；为了研究的方便，可采用为了研究的方便，可采用集合集合的方法来表示事件：的方法来表示事件：二、随机事件的表示方法二、随机事件的表示方法 基本事件基本事件: :用只包含一个元素用只包含一个元素
4、 的单点集的单点集 表示表示. .复合事件复合事件: :用包含若干个元素的集合表示用包含若干个元素的集合表示. .例如例如 掷一颗骰子，掷一颗骰子，事件事件“点数为点数为4”“点数为偶数点数为偶数”，即可表示为单点集，即可表示为单点集4;，即表示为点集，即表示为点集2,4,6； “ “点数为负数点数为负数”，即为不可能事件，即为不可能事件 . . 而而“点数为正数点数为正数”，即为必然事件，即为必然事件 =1,2,3,4,5,6；定义定义2 基本事件又称为基本事件又称为样本点样本点；而由所有样本点组；而由所有样本点组成的集合称为成的集合称为样本空间样本空间. . 2. 同一试验，若试验的目的不
5、同，则对应的样本点同一试验，若试验的目的不同，则对应的样本点与样本空间也会不同与样本空间也会不同. .注注 1. 样本空间为必然事件，用样本空间为必然事件，用 表示表示. .(2) 若观察的内容为骰子出现点数的奇偶性，则若观察的内容为骰子出现点数的奇偶性，则事件事件点数为奇数点数为奇数, ,点数为偶数点数为偶数为样本点为样本点. .点数为奇数点数为奇数, , 点数为偶数点数为偶数为样本空间为样本空间 ； 例如例如 掷一颗骰子掷一颗骰子事件事件1,2,3,4,5,6为样本点为样本点. .而事件而事件“点数为偶数点数为偶数”，即，即2,4,6，则不是样本点则不是样本点. .(1) 若观察的内容为骰
6、子出现的点数，则若观察的内容为骰子出现的点数，则1,2,3,4,5,6为样本空间为样本空间 ；例如例如 1. 从一批产品中，依次任选二件，观察出现正从一批产品中，依次任选二件，观察出现正品与次品的情况，则品与次品的情况，则=正正，正次，次正，次次正正，正次，次正，次次2. 观察某公共汽车站某日观察某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数.3. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命.，其中，其中t为灯泡的寿命为灯泡的寿命. .2. 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个确定研究目的随机试验都相应地有每一个确定研究
7、目的随机试验都相应地有一个样本空间一个样本空间, 样本空间的子集就是随机事件样本空间的子集就是随机事件.注注 1. 样本空间中样本点数有可能为有限个，有样本空间中样本点数有可能为有限个，有可能为无限个；可能为无限个； 1. 包含关系包含关系图示图示: : B 包含包含 A BA三、事件间的关系及运算三、事件间的关系及运算若事件若事件 A 的发生必然导致的发生必然导致 B 发生发生 ,则称则称事件事件 B 包含事件包含事件 A或或A包含于包含于(蕴含蕴含)B,记作记作即属于即属于 A 的基本事件的基本事件( (样本点样本点) )一定也属于一定也属于B ，注注 对任一事件对任一事件A，有，有例如例
8、如 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合格产品不合格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”. 2. 相等关系相等关系 若事件若事件A包含事件包含事件B， 而且事件而且事件B 包含事件包含事件A，即事件，即事件A，B中的基本事件完全相同，中的基本事件完全相同，则称事件则称事件A与事件与事件B相等相等，记作记作A=B.3. 事件事件的和（事件的并）的和（事件的并）图示图示: :事件事件 A 与与 B 的和的和 BA “事件事件A，B中至少有一个发生中至少有一个发生”（即（即“A或或B”） 是一个事件，称为是一个事件，称为A与与B的和的和，记为，记为A
9、B或或A+B.和事件和事件AB是由是由A与与B中的所有基本事件构成中的所有基本事件构成.例如例如 若若某种产品的合格与否是由该产品的长度和某种产品的合格与否是由该产品的长度和直径是否合格所决定：直径是否合格所决定：则则“产品不合格产品不合格”是是“长度不合格长度不合格”与与“直径不直径不合格合格”的和的和. . 对任一事件对任一事件A，有，有4. 事件的积（事件的交）事件的积（事件的交） “事件事件A与与B 同时发生同时发生”（即（即“A且且B”） 是一是一个事件，称为个事件，称为A与与B的积的积，记为，记为AB或或AB.积事件积事件AB是由是由A与与B中公共的基本事件所构成中公共的基本事件所
10、构成.图示：事件图示：事件A与与B 的积的积事件事件 ABAB例如例如 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件. 对任一事件对任一事件A，有，有5. 事件的差事件的差 “事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生”是一个事件，是一个事件，称为称为事件事件A与与B的差的差. 记作记作A- - B.差差 A- - B由属于由属于A但不属于但不属于B的基本事件所构成的基本事件所构成.图示图示: A 与与 B 的差的差 ABAB
11、例如例如 掷一颗骰子试验中，若设掷一颗骰子试验中，若设则则 A- -B=2, 例如例如 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格” 是是 “长度合长度合格格”与与 “直径合格直径合格” 的差的差.A=1,2,3, B=1,3,5B- -A=5.6.互斥互斥事件事件 若事件若事件 A 与事件与事件 B 不能同时发生，即不能同时发生，即则称则称A与与B是互斥事件或互不相容事件是互斥事件或互不相容事件；反之若两；反之若两事件不互斥，则称为事件不互斥，则称为相容相容. .互斥事件互斥事件没有公共的基本事件没有公共的基本事件. .图示图示 ：A 与与 B 互斥互斥 AB“骰子出现骰子出现1点点” “骰
12、子出现骰子出现2点点”互斥互斥例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 例如例如 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现正面出现正面” 与与 “出现反面出现反面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.注注 同一试验的各基本事件之间是互斥的同一试验的各基本事件之间是互斥的. . “事件事件 A 不发生不发生”，即，即“非非A”是一个事件，是一个事件，称为事件称为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. 记作记作图示图示: A 与与 B 的对立的对立 B注注 若若A与与B对立，则有对立，则有A7. 对立事件对立事件 由样本空间中所有不属于由样本空间中所有不属
13、于A的基本事件组成的基本事件组成. .例如例如 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”对立对立 若若A与与B互斥，则有互斥，则有事件运算满足的运算律事件运算满足的运算律例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件，试将下列事件表示三个随机事件，试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 发生发生 , B, C 不发生不发生;(5) 三个事件都不发生三个事件都不发生;(2) A, B都发生都发生, C 不发生不发生;(3) 三个事件都发生三个事件都发生;(4) 三个事件至少有一个发生三个事件至少有一个发生;(6) 三个事件至少有两个发生三个事件至少有两个发生;(
14、7) A, B 至少有一个发生至少有一个发生, C 不发生不发生;例例2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验，从一批产品中每次取出一个产品进行检验，事件事件Ai表示第表示第i次取到合格品次取到合格品( (i=1,2,3) )，用事件，用事件的运算表示下列事件：三次都取到合格品，三次的运算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到中至少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合格品，三次中最多有一次取到合格品合格品，三次中最多有一次取到合格品. .解解 (1) A1A2A3(2) A1A2 A3(3)(4)例例3 求证求证: :证明证明 (1) (2)随机试验随
15、机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随随机机事事件件基本事件基本事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件四、小结四、小结1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系2. 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间，必然事件样本空间，必然事件全集全集不可能事件不可能事件空集空集基本事件基本事件元素元素随机事件随机事件子集子集A的对立事件的对立事件A的补集的补集A出现必然导致出现必然导致B出现出现A是是B的子集的子集事件事件A与事件与事件B相等相等集合集合A与集合与集合B相等相等事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素事件事件A与事件与事件B的和的和 集合集合A与集合与集合B的并集的并集 事件事件A与事件与事件B的的积事件积事件集合集合A与集合与集合B的交集的交集
