大学物理：第三章 刚体定轴转动定律

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1、第一节第一节 刚体的运动刚体的运动 刚体：在外力作用下，买大小和形状始终保持不变的物体。刚体：在外力作用下，买大小和形状始终保持不变的物体。刚体最简单的运动形式是刚体最简单的运动形式是平动和转动平动和转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条连接两质元直线，在运当刚体运动时，如果刚体内任何一条连接两质元直线，在运动中始终保持平行，这种运动叫平动。动中始终保持平行，这种运动叫平动。 （1 1）无论多大的外力作用其上，系统内任意两质点间）无论多大的外力作用其上，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。的距离始终保持不变。（2 2）是一种理想化的模型。）是一种理想化的模型。 刚体刚体 ： 质点质点- -

2、质元质元1、刚体的平动、刚体的平动第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动bcabcabcabcabcabcabca刚体的平动过程刚体的平动过程 刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质元的位刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质元的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质元的速度和加速度也移都是相同的。而且在任何时刻，各个质元的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质元的运动，都可代表整个都是相同的。所以刚体内任何一个质元的运动，都可代表整个刚体的运动。刚体的运动。 刚体运动时，如果刚体中的各个质元都绕同一直线做圆周刚体运动时，如果刚体中的各个质元都绕同一直线做圆周运动，这种

3、运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 2、刚体的转动、刚体的转动 刚体上各点都绕同一转轴作刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动不同半径的圆周运动，且在相同，且在相同时间内刚体上各点都转过相同的角度。时间内刚体上各点都转过相同的角度。定轴和定点转动定轴和定点转动 (1)转动的最简单情况是转动的最简单情况是定轴转动定轴转动。在此运动中，质元都做。在此运动中，质元都做圆周运动且各圆的圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。圆周运动且各圆的圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。刚体的一般运动都可认为是平动和定轴转动的结合。刚体的一般运动都可认为是平动和

4、定轴转动的结合。 (2) 定点转动：有一点固定不动，如陀螺。定点转动：有一点固定不动，如陀螺。 (3) 平面平行运动平面平行运动：刚体上任一点轨迹均平行于某一固定平：刚体上任一点轨迹均平行于某一固定平面。面。3. 用角量描述转动用角量描述转动（1） 角位移角位移 : 在在 t 时间内刚体转动角度。时间内刚体转动角度。（2）角速度）角速度 : （3）角加速度）角加速度 : z刚体定轴转动刚体定轴转动角速度角速度的方向按右手螺旋法则确定。的方向按右手螺旋法则确定。 m1 m2 角加速度角加速度 在定轴转动中，角速度的方向在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。沿转轴方向。 角加速度也是矢量，方向与角

5、速度增量的方向相同，在定角加速度也是矢量，方向与角速度增量的方向相同，在定轴转动中，轴转动中，与与同向或反向。同向或反向。定轴转动时，定轴转动时， 、退化为代数量。退化为代数量。 定轴转动时，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，定轴转动时，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且且 ， 都相等。都相等。 刚体的转动其转轴是可以改变的，为反映瞬时轴的方刚体的转动其转轴是可以改变的，为反映瞬时轴的方向及其变化情况，引入角速度矢量和角加速度矢量。向及其变化情况，引入角速度矢量和角加速度矢量。角速度矢量切向分量切向分量 法向分量法向分量 zO2. 线量与角量关系线量与角量关系匀变速直线运动匀变速直线运动匀变

6、速定轴转动匀变速定轴转动质 点的运动定律或刚体平动F = m a合合 外外 力力惯性质量惯性质量合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？OFrMo叉乘右螺旋方向平行于轴的力对刚体定轴转动不起作用平行于轴的力对刚体定轴转动不起作用 外力 在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动切向Ft tMj jdrF2POM = r F2力矩1M2Mj j1d1r1F1P1OF2r2P2j j2d2如果多个力作用在刚体上d33j j3F3r3M13O 刚体一对内力的力矩刚体一对内力的力矩: :某质元fi受内力受外力FiFi+ f =aiiOri瞬时角速度瞬时角加

7、速度t tnFifiij jq qi与牛顿第二定律对比与牛顿第二定律对比转动惯量转动惯量 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义:1. 刚体转动惯性大小的量度刚体转动惯性大小的量度2. 转动惯量与刚体的质量有关转动惯量与刚体的质量有关3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关在质量一定的情况下与质量的分布有关4. J与转轴的位置有关与转轴的位置有关与与对应对应刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律对固定轴对固定轴三、转动惯量的计算三、转动惯量的计算 3 3、对同一刚体，转轴不同，质量对对同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布不同，转动惯量就不同。轴的分布不同，转动惯量就不同。m1转动惯量的定义：转动惯量

8、的定义：1 1、形状、大小相同的均匀刚体总质、形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。量越大，转动惯量越大。2 2、总质量相同的刚体，质量分布离、总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。轴越远，转动惯量越大。zm2o2o1称为刚体对转轴的转动惯量称为刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体对质量连续分布刚体线分布线分布 面分布面分布体分布体分布是质量的线密度是质量的线密度是质量的面密度是质量的面密度是质量的体密度是质量的体密度dmdm质元的质量质元的质量r r质元到转轴的距离质元到转轴的距离18竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大

9、都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？例：求质量为例：求质量为m m，半径为，半径为R R的均匀薄圆环的转动的均匀薄圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过其圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过其圆心。薄壁圆筒对其轴的转动惯量也为薄壁圆筒对其轴的转动惯量也为mRmR2 2m对同一转轴转动惯量对同一转轴转动惯量J J具有可叠加性具有可叠加性解：解：取小质元取小质元dm如图如图 环上各质元到轴的垂直距离都等环上各质元到轴的垂直距离都等于于RRodm薄壁圆筒薄壁圆筒R求质量为求质量为m m，半径为，半径为R R的均匀薄圆环的转动惯量。轴沿直径方的均匀薄圆环的转动惯量。轴沿直径方向。向。r解：解： 在圆盘上取

10、一半径为在圆盘上取一半径为r r，宽，宽度为度为drdr的圆环的圆环设圆盘的质量体密度为设圆盘的质量体密度为环的体积：环的体积：环的质量环的质量: :R Rror r例例 求质量为求质量为m m，半径为，半径为R R，厚为，厚为 的均匀圆盘的转的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘面垂直并通过盘心。动惯量。轴与盘面垂直并通过盘心。实心圆柱对该轴的转动惯量也为实心圆柱对该轴的转动惯量也为d dr r oZ 2例例: 一均匀细棒长一均匀细棒长 l 质量为质量为 m1) 轴轴 z1 过棒的中心且垂直于棒；过棒的中心且垂直于棒；2) 轴轴 z2 过棒一端且垂直于棒；过棒一端且垂直于棒；求求: 上述两种情况下的转

11、动惯量。上述两种情况下的转动惯量。 oZ 1解解: 棒质量的线密度棒质量的线密度所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义。所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义。l有关转动惯量计算的几个定理有关转动惯量计算的几个定理 平行轴定理平行轴定理zh式中式中: 是通过质心轴的转动惯量，是通过质心轴的转动惯量，m 是刚体质量是刚体质量, h 是是 c 到到 z 的距离，的距离，是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量。是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量。 垂直轴定理垂直轴定理0对于薄板刚体对于薄板刚体 C薄板刚体对薄板刚体对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量等于对等于对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量

12、与对与对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量之和。之和。 转动惯量叠加转动惯量叠加 （ 如图）如图）ACz式中式中: 是是 A 球对球对 z 轴的转动惯量；轴的转动惯量；是是 B 棒对棒对 z 轴的转动惯量；轴的转动惯量；是是 C 球对球对 z 轴的转动惯量。轴的转动惯量。B匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加距 为 、半径为 、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中第三节第三节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体的刚体的转动动能转动动能一、刚体定轴转动的动能一、刚体定轴转动的动能二、力矩的功二、力矩的功力力 的元的元功功力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对

13、转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，作的总功为作的总功为三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。的增量。例例3-2: 3-2: 均匀细直棒质量均匀细直棒质量m m，长，长l l。一端固定在光滑的水平轴上，。一端固定在光滑的水平轴上，可在竖直平面内转动，今使棒在水平位置从静止开始绕可在竖直平面内转动，今使棒在水平位置从静止开始绕O O轴转轴转动，不计空气阻力，求（动，不计空气阻力，求（1 1）棒在水平位置刚启动时的角加速

14、）棒在水平位置刚启动时的角加速度，（度，（2 2）棒转到竖直位置时的角加速度和角速度。（）棒转到竖直位置时的角加速度和角速度。（3 3）棒在）棒在竖直位置时，棒的竖直位置时，棒的A A媏和中点的速度和加速度。媏和中点的速度和加速度。解：解：O 、mgmgC例例: : 均匀圆柱体，质量为均匀圆柱体，质量为m m，半径为，半径为R,R,重锤的质量为重锤的质量为m m1 1 ，最初最初系统处于静止状态，求重锤下落系统处于静止状态，求重锤下落h h高度时的速率？（不计阻力，高度时的速率？（不计阻力，绳的质量及伸长）。绳的质量及伸长）。势一、质点的角动量一、质点的角动量第四节第四节 角动量守恒定律角动量

15、守恒定律角动量的方向：角动量的方向：由右手螺旋定则确定。由右手螺旋定则确定。 质点做圆周运动时质点做圆周运动时太阳系中的行星变变变=常量二二 、角动量定理、角动量定理角动量定理：角动量定理： 质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。变化率。 om三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律 om开普勒第二定律开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星对太阳的径失在相同时间内扫过相等的面积常量(t)(t+dt)定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量其角动

16、量大小全部质元的总角动量对质量连续分布的刚体合外力矩合外力矩角动量的时间变化率角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量由刚体所受合外力矩若则即 当刚体所受的合外力矩 等于零时， 刚体的角动量 保持不变。回转仪定向原理回转仪定向原理万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒恒矢量恒矢量回转仪定向原理回转仪定向原理其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度 高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基 座回转体 （转动惯量 ）角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力

17、矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小共轴系统若外则恒矢量轮、转台与人系统轮人台初态全静初人沿某一转向拨动轮子轮末态人台轮轮末人台人台初得人台人台轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干 CH47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴

18、转动例例: 一个质量为一个质量为M ，半径为，半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中心的的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站着一个质量为光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站着一个质量为m的人，二者的人，二者最初都相对地面静止。当人在盘上沿盘边走一圈时，盘对地面最初都相对地面静止。当人在盘上沿盘边走一圈时，盘对地面转过的角度多大？转过的角度多大？以以j和和J表示人和盘对轴的转动惯量表示人和盘对轴的转动惯量 对盘和人组成的系统，竖对盘和人组成的系统，竖直轴的外力矩为零，角动量定直轴的外力矩为零，角动量定恒。恒。解：解：oMRxm俯视图俯视图和和分别表示任一时刻人和分别表示任一时刻人和盘绕

19、轴的角速度，盘绕轴的角速度，则：则：和和表示人和盘相对地面的角位移表示人和盘相对地面的角位移xmRMo人在盘上走一圈时人在盘上走一圈时例：已知匀质直棒，水平光滑轴竖直悬挂，开始静止，杆长为例：已知匀质直棒，水平光滑轴竖直悬挂，开始静止，杆长为l， 质量为质量为M,子弹为子弹为m，水平，水平 射入杆的下端，求射入杆的下端，求（1）杆开始运动瞬时杆的角速度。（杆开始运动瞬时杆的角速度。（2）棒的最大偏角）棒的最大偏角角动量守恒：角动量守恒：o例： 一质量为 ，长为 的均匀细杆放在水平桌面上，可绕杆的一端转动（如图所示），初始时刻的角速度为 。设杆与桌面间的摩擦系数为 ，求：（1）杆所受到的摩擦力矩；（2）当杆转过90时，摩擦力矩所做的功和杆的转动角速度。