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1、第九章第九章 应力和应变分析和强度理论应力和应变分析和强度理论低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁1 1、问题的提出、问题的提出一般情况下，不同点应力是不相同一般情况下，不同点应力是不相同脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁F同一点在斜截面上时：同一点在斜截面上时： 此例表明：即使同一点在不同方位截此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。即应力的面的概念。 9-1 应力状态概念 一、 一点的应力状态 1
2、一点的应力状态概念 点的概念:指明是哪点的应力. 面的概念:过一点哪个方向面 上的的应力. 一点的应力状态:一个点各个 方向面上的应力情况.2 一点的应力状态的表示方法(1)空间应力状态:9个分量6个独立.(2)平面应力状态:4个分量3个独立.(3)单向应力状态:1个分量.xyzxyxzyxyzzyzxxyxyyx二 主平面和主应力 主平面:单元体上无剪应力作用的方向面. 主应力:主平面上的正应力. 约定 1 2 3 主方向:主平面外法线方向. 或平行于主应力的方向.三 应力状态分类 按主应力不为零个数划分为: 简单应力状态:单向应力状态1个主应力不为零. 复杂应力状态:二向应力状态2个主应力
3、不为零. 三向应力状态3个主应力不为零.231FF示例一示例一S S平面平面1111FFS S平面平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式: :示例二示例二:：FPl/2l/2S平面平面5432154321S平面平面54321543211S平面平面23F laS13S S S S 平面平面平面平面zMzT4321yx示示例例三三二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例圆形薄壁容器(tD/20)其内压为p,筒底总压力pDtp为二向应力状态为二向应力状态 = 1 = 2 = 1 = 2 ppyxdL9-2 二向应力状态分析解析法1 斜截面上的应力
4、 xxyyyx yxyxxyntN =0dA+xy dAcossin -xdAcoscos +yx dAsincos - y dAsin sin=0T=0dA-xy dAcoscos -xdAcossin +yx dAsin sin +y dAsin cos =0xy = yxxyxyyx dAdAsindAcos2 主平面和主应力直接判定法直接判定法: : 把单元体对称分把单元体对称分为四个象限为四个象限, ,剪应力箭头所指剪应力箭头所指交线象限内的主方位角对应的交线象限内的主方位角对应的主应力为极大值主应力为极大值, ,另一个为极另一个为极小值小值. .ct代入斜截面公式,求得主应力令主方
5、位角和主应力的对应关系的判定方法直接判定法取主方位角 0和0 +/23 极大极小剪应力及其所在平面 取极大极小剪应力所在平面方位角1和1+/2 令代入斜截面公式,求得极大极小剪应力 4 讨论 (1)(2(2) ) (3)(3)和9.3 二向应力状态分析图解法 1 应力圆(莫尔圆)(3) ,(2)二式平方称为应力圆方程,也称为莫尔圆.其中,为变量.相加得(1)(2)(3)为圆心,半径的圆方程.2 应力圆的画法(1)确定x平面及其应力大小所在位置D(2) 按比例量取OA=x,AD=xy,确定D点.(2) 确定y平面及其应力大小所在位置D 按比例量取OB=y,BD=yx,确定D 点.(3) 确定圆心
6、位置,画应力圆 连接DD交轴于C,以为CD半径画 应力圆.xyxyyxD(xxy)D(yyx)CABOE()F圆心座标半径12max知: x=80MPa, y=-40MPa, xy=-60MPa,yx=60MPa.求:(1) 画出单元体;(2)主应力; (3)主方向.解:(1)画出单元体 (2)解析法 0 = 22.50或者 112.50,主单元体图示(3)图解法作应力圆图示量得1=105MPa, 3 = -65MPa,0 = 22.50或者 112.50D(-40 60)COD(80 -60)131322.5112.5xyxyyx9.4 三向应力状态一 应力圆方程x123yzpxpypzt1
7、23yxznnn设斜面法线n的三个方向余弦为l,m,n且 l2 + m2 + n2 =1 (1)X=0, pxdA -1ldA = 0 Y=0, pydA 2mdA = 0Z=0, pzdA 3ndA = 0 px = 1l py = 2 m pz = 3 n又有 p = n2 + n 2n = pxl + pym + pzn= 1l 2+ 2m2 +3 n2 (2)n2 = p2-n2=12l 2+2 2m2 3 2n2-n2 (3)2y13xz总应力应力圆方程二、 应力圆D()12301213231 三个圆周交于一点,交点座标就是斜截面上的应力.2 三个应力圆的区域(1)l2(1-2)(1
8、-3)0第一个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(绿色).(2)m2(2-3)(2-1)0第二个应力圆方程半径小于和它同心的圆周(黄色).(3) n2(3-1)(3-2)0第三个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(粉红色).三个圆周围成的区域中任一点D表示任意斜截面上的应力.3 最大最小正应力 max= 1 min= 3 4 主剪应力9.5 *平面应变状态分析一 平面应变状态分析比较转轴公式比较斜截面应力公式三套公式类似yxxy在xoy座标下应变为x y xy 旋转角度在xoy座标下应变为,二 主应变和主应变方向 主应变三 应变的实测 实测中xy不易测定,可先测定 三个选定方向的线应变计算联立解出
9、x y xy 实测中常用的有 直角应变花和等应变花606060601200xy454504590maxmin=9.6 广义胡克定律 1 广义胡克定律yxzxyxzyxyzzyzxxyxyyxzyzzyzxxz+=ab棱边改变形状改变aacc角度改变剪应变以上六式称为广义胡克定律 棱边改变线应变132xyxyyx3 平面问题2 主应变或其中4 体积应变变形前体积 V=dxdydz变形后体积 V1=(1+1)(1+2)(1+3)dxdydz =(1+1+2+3)dxdydz123dxdy1dxdz2dy3dz单位体积改变称为体积应变令-体积弹性模量-平均应力 简单应力状态比能 三向应力状态比能12
10、3mmm1-m2-m3-m=+体积改变形状改变体积改变比能9.7 复杂应力状态的变形比能形状改变比能例 导出各向同性线性材料常数E, G,之间的关系.解: 纯剪切时 1= 2=0 3=- 变形比能 三向应力状态比能两式相等(1)(2)9.8 9.8 强度理论概述强度理论概述一一 材料的破坏形式材料的破坏形式(1) (1) 塑性屈服塑性屈服(2) (2) 脆性断裂脆性断裂二二 应力状态对材料破坏形的影响应力状态对材料破坏形的影响(1) (1) 拉伸带切口的低碳钢拉伸带切口的低碳钢发生脆性断裂的原因发生脆性断裂的原因: :切口尖端材料处于三向拉应力状态切口尖端材料处于三向拉应力状态. .(2)(2
11、)压缩加围压的大理石压缩加围压的大理石发生塑性屈服的原因发生塑性屈服的原因: :材料处于三向压应力状态材料处于三向压应力状态. .112=32=333332=1=p2=1=p1 1p pp pP P应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式. . . .如:拉伸低碳钢,压缩铸铁.如:拉伸铸铁,扭转铸铁.极限应力u和u是直接由实验测得,而建立的强度条件. 不考虑材料破坏的原因.2 复杂应力条件下的强度条件 (1) 提出假说 例如:常用的四个强度理论就基于如
12、下假说 a 材料的某一破坏是由某一特定因素引起的. b 无论是简单应力状态还是复杂应力状态下,某种类型的破坏 是由同一因素引起的.于是可以用简单应力状态下的结果建 立复杂应力状态下的强度条件.(2) 建立强度准则 (3) 实践检验 三 强度条件的建立 1 简单应力条件下的强度条件9.9 常用的四个强度理论实用范围:脆性材料,如铸铁,陶瓷,工具钢等.实用范围:脆性材料,如合金,铸铁,石料等. 脆性材料在二向压缩和二向拉伸情况下此理论误差较大.1 最大拉应力理论(第一强度理论) 引起材料破坏的主要原因: max= b= u强度条件2 最大伸长线应变理论(第二强度理论) 引起材料破坏的主要原因: m
13、ax= 1= u 简单应力状态下复杂应力状态下强度条件实用范围:塑性材料,如A3,45钢,銅,铝等.引起材料破坏的主要原因:简单应力状态下复杂应力状态下强度条件：3 最大剪应力理论(第三强度理论) 实用范围实用范围: :塑性材料塑性材料, ,如如A3,45A3,45钢钢, ,銅銅, ,铝等铝等. .4 形状改变比能理论(第四强度理论) 引起材料破坏的主要原因:简单应力状态下 1 =s 2 =0 3=0复杂应力状态下 强度条件5 相当应力其中 i = 1、 2 、 3 、 4123= =安全程度r123试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件,并寻求许用剪应力 与许用拉应力之间的关系.解:纯剪切
14、实为二向拉压应力状态:1= 2=0 3=- 脆性材料第一强度理论 1= 第二强度理论 1-(2+ 3) 取=0.25 =(0.8-1.0) =(0.8-1.0)第三强度理论 1- 3 + = 2 =0.5 第四强度理论 0.6 = 0.6 =(0.5-0.6) =(0.5-0.6)塑性材料+ =(1+) 9.10 莫尔强度理论一、莫尔强度理论修正的最大切应力理论）一、莫尔强度理论修正的最大切应力理论） 原原则则：剪剪应应力力是是使使材材料料达达到到危危险险状状态态的的主主要要因因素素，但但滑滑移移面面上上所所产产生生的的阻阻碍碍滑滑移移的的内内摩摩擦擦力力却取决于剪切面上的正应力却取决于剪切面
15、上的正应力s的大小。的大小。1.莫尔理论适用于脆性剪断：莫尔理论适用于脆性剪断：2.材料的剪断破坏发生在材料的剪断破坏发生在(t-fs)值最大的截面上值最大的截面上(这里这里f为内摩擦系数，为内摩擦系数，s压正拉负压正拉负)。 在一定应力状态下，滑移面上为压应力时，滑移阻力增大；在一定应力状态下，滑移面上为压应力时，滑移阻力增大；为拉应力时，滑移阻力减小；为拉应力时，滑移阻力减小； 脆性剪断：在某些应力状态下，拉压强度不等的一些材脆性剪断：在某些应力状态下，拉压强度不等的一些材料也可能发生剪断，例如铸铁的压缩。料也可能发生剪断，例如铸铁的压缩。 由实验确定剪断时的由实验确定剪断时的tjx、sn
16、关系：关系： 极极限限应应力力圆圆：材材料料达达到到屈屈服服时时，在在不不同同s1和和s3比比值值下下所所作作出的一系列最大应力圆出的一系列最大应力圆(莫尔圆莫尔圆)。 不考虑不考虑s2的影响，每一种材料可通过一系列的试验，作出的影响，每一种材料可通过一系列的试验，作出极限应力圆，它们的包络线就是曲线，当最大应力圆恰好与极限应力圆，它们的包络线就是曲线，当最大应力圆恰好与包络线相接触时，则材料刚刚达到极限状态；若最大应力圆包络线相接触时，则材料刚刚达到极限状态；若最大应力圆位于包络线以内时，则它代表的应力状态是安全的。位于包络线以内时，则它代表的应力状态是安全的。s st t极限应力圆极限应力
17、圆O1拉伸拉伸拉伸拉伸纯剪切纯剪切压缩压缩s st t压缩压缩O2s st tOD2D1用单向拉伸和压用单向拉伸和压缩极限应力圆作缩极限应力圆作包络线包络线tjx=F(sn)用单向拉伸、压用单向拉伸、压缩和纯剪切极限缩和纯剪切极限应力圆作包络线应力圆作包络线tjx=F(sn)2.莫尔强度准则：莫尔强度准则： 公式推导：公式推导： O1stscO2D2D1s3s3s1s1O3 O1E2E3D3s st tO 强度准则：强度准则： st拉伸许可应力；拉伸许可应力；sc压缩许可应力。如材料拉压压缩许可应力。如材料拉压许用应力相同，则莫尔准则与最大剪应力准则相同。许用应力相同，则莫尔准则与最大剪应力准
18、则相同。其相当应力为：其相当应力为： 例三例三 图示一图示一T型截面的铸铁外伸梁，试用摩尔强度理论校型截面的铸铁外伸梁，试用摩尔强度理论校核核B截面胶板与翼缘交界处的强度。铸铁的抗拉和抗压许用应截面胶板与翼缘交界处的强度。铸铁的抗拉和抗压许用应力分别为力分别为st=30MPa，sc=160MPa。 52208020120zO1m1mB9kNA1m4kNt ts s解：由上图易知，解：由上图易知，B截面：截面：M=-4kNM，Q=-6.5kN。 根据截面尺寸求得：根据截面尺寸求得： 从而算出：从而算出： 由于铸铁的抗拉、压强度不等，应使用莫尔准则，有：由于铸铁的抗拉、压强度不等，应使用莫尔准则，有： 故满足摩尔理论的要故满足摩尔理论的要求。求。 在截面在截面B上，翼缘上，翼缘b点的应力状态如上图所示。求出主应点的应力状态如上图所示。求出主应 力为：力为： 本 章 作 业9.7(c) 9.8(b)(d) 9.9 9.11 9.14 9.17 9.21
