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1、2.3 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概念与性质连续型随机变量的概念与性质一些常用的连续型随机变量一些常用的连续型随机变量1连续型随机变量的概率密度函数一、连续型随机变量的概念与性质一、连续型随机变量的概念与性质定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，存在，存在非负函数非负函数 f (x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数 x，有，有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数其中函数 f (x) 称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.连续型随机变量连续型随机变量记为记为 ：X f
2、(x) ，其图象称为密度曲线。，其图象称为密度曲线。说明：说明： 连续型随机变量的分布函数为连续函数。连续型随机变量的分布函数为连续函数。2连续型随机变量的概率密度函数概率密度概率密度 f(x) 具有具有以下性质以下性质：f (x)0x1f (x)x0前两个条件是概率密度的前两个条件是概率密度的 充分必要条件充分必要条件X落落在在 (x1,x2上概率是概上概率是概率密度在率密度在(x1,x2上的定积上的定积分值。分值。连续型随机变量连续型随机变量3连续型随机变量的概率密度函数事实上，事实上，既有既有5.设设X是连续型随机变量是连续型随机变量, 则对任意的实数则对任意的实数a, 有有连续型随机变
3、量连续型随机变量注意注意: :连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是变量分布律的性质非常相似，但是密度函数不是概密度函数不是概率！率！4连续型随机变量的概率密度函数说明：说明： 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它 在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题它在某一区间上取值的问题此公式非常重要！此公式非常重要！ 若已知连续型随机变量若已知连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为f(x),则
4、则X在任在任意区间意区间G(G可以是开区间可以是开区间,也可以是闭区间也可以是闭区间;可以是有限可以是有限区间区间,也可以是无穷区间也可以是无穷区间)上取值的概率为上取值的概率为连续型随机变量连续型随机变量5连续型随机变量的概率密度函数例例1 设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为解解 由密度函数的性质由密度函数的性质, 有有连续型随机变量连续型随机变量6连续型随机变量的概率密度函数例例2 某电子元件的寿命某电子元件的寿命 X（小时）是以（小时）是以为密度函数的连续型随机变量求为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的个同类型的元件在使用的前前 1
5、50 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解解 设设 A= 某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换设设Y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时的元件数，则小时的元件数，则 故所求概率为故所求概率为检验检验 5 个元件的使用寿命可以看个元件的使用寿命可以看作是在做一个作是在做一个5重重Bernoulli试验试验连续型随机变量连续型随机变量7连续型随机变量的概率密度函数例例3 设随机变量设随机变量X X的密度函数为的密度函数为连续型随机变量连续型随机变量8连续型随机变量的概率密度函数例例 3（续）（续）连续型随机
6、变量连续型随机变量9连续型随机变量的概率密度函数例例4 设有随机变量设有随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为求求1) A值值.解解2）X的分布函数的分布函数. 3）P1.5X2.5连续型随机变量连续型随机变量1) 由密度函数的性质由密度函数的性质, 有有2) X的分布函数的分布函数或或3)10连续型随机变量的概率密度函数二、一些常用的连续型随机变量二、一些常用的连续型随机变量1. . 均均 匀匀 分分 布布定义定义 若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为记作记作 X U a , babxF (x)01X的分布函数为：的分布函数为：连续型随机变量连续型随机变量则称随机变量则称随机变
7、量X服从区间服从区间 a,b 上的均匀分布上的均匀分布. .11连续型随机变量的概率密度函数显然，显然，分布函数随机变量分布函数随机变量12连续型随机变量的概率密度函数均匀分布的概率背景均匀分布的概率背景XXabllx0连续型随机变量连续型随机变量 如果随机变量如果随机变量X服从区间服从区间 a,b 上的均匀分布上的均匀分布, ,则随机变则随机变量量X在在区间区间 a,b 上任意一个子区间上取值的概率与该区间上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比的长度成正比, ,与该区间的位置无关与该区间的位置无关. .此时可认为随机变量此时可认为随机变量X在区间在区间 a,b 上取值是等可能的上取
8、值是等可能的. .13连续型随机变量的概率密度函数例例5 设公共汽车站从上午设公共汽车站从上午7 7时起每隔时起每隔15分钟来一班车分钟来一班车, ,如果某乘如果某乘客到达此站的时间是客到达此站的时间是 7:00 到到7:30之间的均匀随机变量试求该之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过乘客候车时间不超过5分钟的概率分钟的概率解：解：令：令：B=候车时间不超过候车时间不超过5分钟分钟 , ,则则连续型随机变量连续型随机变量乘客到达此站的时间是乘客到达此站的时间是 7:00 到到7:30之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量 设该乘客于设该乘客于7时时X 分到达此站分到达此站, , X 服从区
9、间服从区间 0,30 上的均匀分布上的均匀分布14连续型随机变量的概率密度函数例例 6解解 随机变量随机变量Y Y的密度函数为：的密度函数为：连续型随机变量连续型随机变量15连续型随机变量的概率密度函数2.指指 数数 分分 布布定义定义 若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为记为：记为：其分布函数为其分布函数为说明说明 指数分布常用于近似表示指数分布常用于近似表示 “寿命寿命”分布，如：分布，如：服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。连续型随
10、机变量连续型随机变量16连续型随机变量的概率密度函数例例 7令：令：B= 等待时间为等待时间为1020分钟分钟 ,则则连续型随机变量连续型随机变量 设打一次电话所用的时间设打一次电话所用的时间X(分钟分钟)是服从参数为是服从参数为=1/10的指数分布的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需求你需要等待要等待1020分钟的概率分钟的概率.X的密度函数为的密度函数为X(分钟分钟)是服从参数为是服从参数为=1/10的指数分布的指数分布17连续型随机变量的概率密度函数3.正正 态态 分分 布布0xf (x)(1) 概率密度函数概率密度函数连续型随机变量连
11、续型随机变量如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为( (其中其中(-(-0),),则称随机变量则称随机变量X X服从参数为服从参数为,2的的正态分布正态分布, ,由称高斯分布由称高斯分布. .记为记为: :XN(,2)18连续型随机变量的概率密度函数 特别是特别是,当当=0,2=1时称正态分布为时称正态分布为标准正态分标准正态分0xf (x)其图形如右其图形如右连续型随机变量连续型随机变量布布.记为记为:N(0,1)标准正态分布的概率密度函数为标准正态分布的概率密度函数为:19连续型随机变量的概率密度函数密度函数的验证密度函数的验证只验证只验证见高等见高等数学数
12、学（下）（下）二重积二重积分分连续型随机变量连续型随机变量20连续型随机变量的概率密度函数由正态分布密度函数的图形知：由正态分布密度函数的图形知：xf (x)0连续型随机变量连续型随机变量(1) 曲线关于直线曲线关于直线x=对称对称, ,这表明这表明：对任意的：对任意的h0,有有(2) 当当x=时时, f(x)取到最大值取到最大值21连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量连续型随机变量(3) 曲线曲线y=f(x)在在x=+, , x=-时处有拐点时处有拐点;曲线以曲线以x轴为轴为渐近线渐近线.(4) 若若固定固定, ,改变改变的值的值,则则y=f(x)的图形沿的图形沿x轴平行移动轴平行移动
13、,但但图形的形状不改变图形的形状不改变.(5) 若若固定固定, ,改变改变的值的值,当当越小越小, ,则则y=f(x)的图形越陡的图形越陡,即即X落在落在值附近的概率越大值附近的概率越大; ;反之反之, ,当当越大越大, ,则则y=f(x)的图形的图形越平缓越平缓,表明表明X取值越分散取值越分散.xf (x)022连续型随机变量的概率密度函数（2）分布函数分布函数且有且有连续型随机变量连续型随机变量23连续型随机变量的概率密度函数x0x-x证明：证明：由公式有，由公式有，分布函数随机变量分布函数随机变量作变换作变换t =-，dt = -d得得24连续型随机变量的概率密度函数说明说明 (2) 对
14、于任何实数对于任何实数x，有，有当当0x4 时，从附表直接只查时，从附表直接只查( (x).).连续型随机变量连续型随机变量当当x4 时，时，( (x)=1;)=1;当当-4x时，时，( (x)=0.)=0.当当-4x0 时，时，( (x)=1-)=1-(-(-x).).25连续型随机变量的概率密度函数(3) 标准正态分布与正态分布的关系标准正态分布与正态分布的关系 连续型随机变量连续型随机变量26连续型随机变量的概率密度函数该公式给出了一般正态分该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法布分布函数值的求法连续型随机变量连续型随机变量27连续型随机变量的概率密度函数该公式给出了一般正态该公式给出
15、了一般正态分布概率函数值的求法分布概率函数值的求法连续型随机变量连续型随机变量28连续型随机变量的概率密度函数例例8 设随机变量设随机变量 XN(0,1) , ,试求试求: (: (1) P1X2;连续型随机变量连续型随机变量29连续型随机变量的概率密度函数例例9 设随机变量设随机变量XN(2,9) 试求试求: :( (1) P1X5;连续型随机变量连续型随机变量30连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量连续型随机变量XN(2,9)31连续型随机变量的概率密度函数0连续型随机变量连续型随机变量32连续型随机变量的概率密度函数 规则（规则（3 3 标准差规则）标准差规则）连续型随机变量连续型
16、随机变量33连续型随机变量的概率密度函数4*. 4*. - -分布分布. .连续型随机变量连续型随机变量34连续型随机变量的概率密度函数- - 函函 数数连续型随机变量连续型随机变量35连续型随机变量的概率密度函数说明：说明：我们称此分布为排队论中的我们称此分布为排队论中的n n阶阶Erlang (Erlang (爱尔朗）分布，爱尔朗）分布，连续型随机变量连续型随机变量36连续型随机变量的概率密度函数我们称此分布为自由度为我们称此分布为自由度为n的的 -分布，分布， 它它为数理统计中常见的统计量之一，为数理统计中常见的统计量之一，连续型随机变量连续型随机变量37连续型随机变量的概率密度函数4
17、正态分布的密度函数及几何性质。正态分布的密度函数及几何性质。5 一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系。一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系。6 会利用正态分布密度函数的性质求积分。会利用正态分布密度函数的性质求积分。小结：小结：1连续型随机变量的密度函数的连续型随机变量的密度函数的定义和性质定义和性质。2 特别是特别是2 均匀分布的定义及性质。均匀分布的定义及性质。3 指数分布的定义。指数分布的定义。连续型随机变量连续型随机变量38连续型随机变量的概率密度函数作业：作业：P57,20,16,21(12),23,25,26,2P57,20,16,21(12),23,25,26,29 9连续型随机变量连续型随机变量39连续型随机变量的概率密度函数
