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1、单辉祖工力单辉祖工力5 5空间力系空间力系1 1、回顾力在直角坐标轴上的投影、回顾力在直角坐标轴上的投影 X X = = F F sinsin coscosY Y = = F F sinsin sinsinZ Z = = F F coscos X X = = F F coscosY Y = = F F coscosZ Z = = F F coscosx xy yz zX XZ ZY YF FX XZ ZY YF Fx xy yz z图中力F F的大小为10kN，求的力 F F 在 x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m)Oxyz例 5-1i ij jk k解：
2、1、先求F F的三个方向余弦A(4,9,5)534F F F F F F2、求力的投影3、求力对轴的矩Oxyzi ij jk kA(4,9,5)534F F F FF F已算得：（求力对轴的矩也可以先将力 F 分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩）4、求力F F对O点的矩由 M MO (F F ) = M x i i + M y j j + M z k k 得：即手柄手柄 ABCE ABCE 在平面在平面 AxyAxy内，在内，在D D 处作用处作用一个力一个力F F，它垂直，它垂直y y轴，偏离铅垂线的角度为轴，偏离铅垂线的角度为，若，若CDCD = = a a，BCBCx x轴
3、，轴，CECE y y轴，轴，ABAB = = BCBC = = l l。求力求力F F对对x x、y y和和z z三轴的矩三轴的矩。例 5-2CDEAxzyF FB显然，显然， F Fx x = = F Fsinsin F Fz z = = F Fcoscos由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：C CD DE EA Ax xz zy yF F F FB B解法解法1 1将力将力F F沿坐标轴分解沿坐标轴分解为为F Fx x 和和F Fz z。F Fx xF Fz zM M x x ( ( F F ) = ) = M M x x ( ( F Fz z ) = -) = -F F z z ( (
4、AB+CDAB+CD) = - ) = - F F ( ( l l + + a a )cos)cosM M y y ( ( F F ) = ) = M M y y ( ( F Fz z ) = - ) = - F F z z ( (BCBC) = - ) = - Fl Fl coscosM M z z ( ( F F ) = ) = M M z z ( ( F Fx x) = -) = -F F x x ( (AB+CDAB+CD) = -) = -F F ( ( l l + + a a )sin )sinF Fx xF Fz zF Fx xF Fz z解法解法2 2直接套用力对轴直接套用力对
5、轴之矩的解析表达式：之矩的解析表达式：力在力在 x x、y y、z z轴轴的投影为的投影为X X = = F F sin sin Y Y = 0= 0Z Z = - = - F F cos cos C CD DE EA Ax xz zy yF F F FB BF Fx xF Fz zM M x x( ( F F )= )=yZyZzYzY =( =(l l + + a a)(- )(- F Fcoscos) - 0 =-) - 0 =-F F( ( l l + + a a )cos )cosM M y y ( ( F F ) = ) =zX zX xZ xZ = 0 - ( - = 0 - (
6、 -l l ) (- ) (- F Fcoscos) = - ) = - FlFlcoscosM M z z ( ( F F ) = ) = xYxYyXyX =0-( =0-(l l + + a a )( )(F Fsinsin)= -)= -F F( ( l l + + a a )sin )sin5 - 2 5 - 2 5 - 2 5 - 2 空间力系向一点简化空间力系向一点简化空间力系向一点简化空间力系向一点简化 力系的主矢力系的主矢力系的主矢力系的主矢 力系对简化中心主矩力系对简化中心主矩力系对简化中心主矩力系对简化中心主矩OF3 F1 F2 OF1 , M1F2 , M2F3 , M
7、3 OR , Mo O O : : 简化中心简化中心R R = = F F1 1 + + F F2 2 + + F F3 3; ; M M o o= = M M1 1 + + M M2 2 + + M M3 3 ; ; 结论 空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心线通过简化中心O O；这个力偶的矩矢等于该力系对简；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。化中心的主矩。 主矢与简化中心无关；主矩与简化中心的位置主矢与简化中心无关；主矩与简化中心的位置有
8、关。有关。空间力系的简化结果分析1 1、空间力系简化为一个合力偶、空间力系简化为一个合力偶 主矢R R = 0；主矩M MO 0 主矩与简化中心无关。2 2、空间力系简化为一个合力、空间力系简化为一个合力 主矢R R 0；主矩M MO = 0 合力的作用线通过简化中心。 主矢R R 0；主矩M MO 0 且 M MO R R 取 d= |Md= |MO O| / R| / ROOOR R R RM M M M M MO OOR R R Rd d dR R R RR”R”R R R R合力矩定理 R =Fi ，d= |M MO| / R力偶（R R，R R）的矩MO等于R R 对O点的矩，即 M
9、 MO = M MO(R R) ，而又有 M MO = M MO(F F)得关系式 M MO( R R ) = M MO(F F )即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。各分力对同一点的矩的矢量和。将上式向任意轴投影（如 z 轴）得： Mz ( R R ) = M z( F F )OOOR R R R , , ,M M M M M MO OOR R R R , , ,d d dR R R RR”R”R R R R3 3、空间力系简化为力螺旋的情形、空间力系简化为力螺旋的情形 主矢R R 0；主矩M MO 0且M MO R R
10、O OO OO OO OR RR R , ,R RR RM MOM MOM MOM MO右螺旋左螺旋 力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶作用面 力螺旋的力作用线称为力螺旋的中心轴 力螺旋由两个力学基本要素组成，不能进一步合成当主矩M MO与主矢R R即不平行也不正交时 M”O = MO sin；MO = MO cos M MO和R R组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为：OOOR R R RR R R RR R R RM M”OM MOM MOd dM MO4 4、空间力系简化为平衡的情形、空间力系简化为平衡的情形 主矢R R = 0；主矩M M O = 05 - 3 空
11、间任意力系的平衡方程 空间力系平衡的充分必要条件： 所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也为零。 除了上述的基本方程，还有所谓的 4 力矩、5力矩和 6 力矩式。由：得：几种特殊情形平衡规律几种特殊情形平衡规律汇交力系汇交力系有三个平衡方程：有三个平衡方程： X X = 0 = 0，Y Y= 0= 0，Z Z = 0 = 0平行力系（假定力的作用线平行平行力系（假定力的作用线平行 z z 轴）轴） X X00，Y Y0 0 ，M Mz z 0 0 平行力系有三个平衡方程：平行力系有三个平衡方程： Z Z = 0 = 0，M M x x =
12、 0 = 0 ，M M y y = 0= 0平面一般力系（假定力的作用面为平面一般力系（假定力的作用面为OxyOxy面）面） Z Z0 0 ，M Mx x 0 0 ，M My y 0 0 平面一般力系有三个平衡方程：平面一般力系有三个平衡方程： X X = 0 = 0，Y Y= 0= 0，M M z z = 0= 0例 5-3 均质长方形薄板重 W = 200N，用球形铰链A和蝶形铰链 B 固定在墙上，并用二力杆 EC 将板维持水平。求 EC 杆的拉力和铰链的反力。W WZ Z Z ZBBX X X XBBZ Z Z ZAAY Y Y YAAX X X XA AA AT T T T解：解：受力
13、分析如图CADBabyxzE3060Z Z Z ZAAY Y Y YAAX X X XA AA AZ Z Z ZAAY Y Y YAAX X X XA AA AZ Z Z ZBBX X X XBBT T T TZ Z Z ZBBX X X XBBT T T T X X = 0 = 0，X XA A + + X XB BT T cos30 sin30 = cos30 sin30 = 0 0 Y Y = 0 = 0，Y YA A T T cos30 cos30 = 0 cos30 cos30 = 0 Z Z = 0 = 0，Z ZA A + + Z ZB B W W + + T T sin30 =
14、 sin30 = 0 0W WZ ZB BX XB BZ ZA AY YA AX XA AT TC CA AD DB Ba ab by y y yx x x xz z z zE E30306060Z ZA AY YA AX XA AZ ZA AY YA AX XA AZ ZA AY YA AX XA AZ ZB BX XB BT TZ ZB BX XB BT TZ ZB BX XB BT TM Mz z ( ( F F ) = 0 ) = 0， X X B B a a = 0 = 0M M x x ( ( F F ) = 0 ) = 0，Z Z B B a a + +T T sin30 sin
15、30 a a W W a a / 2 = 0 / 2 = 0M M y y ( ( F F ) = 0 ) = 0，W W b / 2 b / 2 T T sin30 sin30 b b = 0 = 0 解之得：解之得：X XA A = 86.6N = 86.6N，Y YA A = 150N = 150N， Z ZA A = 100N= 100N X X B B = 0= 0， Z Z B B = 0 = 0 ， T T = 200N = 200NW W = 200N= 200N在图中，皮带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力 F = 2000N。 已知皮带轮的直径D = 400mm，
16、曲柄长R = 300mm，= 30 ，=60 。求皮带拉力和轴承反力。例 5-4200mm200mm200mmDRF FF F2 2F F1 1AB解: 选坐标轴如图 (= 30 ，=60 )X = 0，F1sin30 + F2sin60 + XA + XB = 0Y = 0，0 = 0Z = 0，ZA + ZB - F - F1cos30 - F2cos60 = 0z yxzxF FRDF F2F F1Z ZAX XAZ ZBX XBF F2F F1F FZ ZAX XAZ ZBX XBZ ZAX XAZ ZBX XBZ ZAX XAZ ZBX XB以整个轴为对象，受力分析如图200mm20
17、0mm200mmABM x ( F F ) = 0，400ZB - 200F + 200 F1cos30 + 200 F2cos60 = 0M y ( F F ) = 0，FR - (F2 - F1) D/2 = 0M z ( F F ) = 0，200F1 sin30 + 200F2 sin60 - 400XB = 0又有： F2 = 2F1 解得： F1 =3000N，F2 = 6000N， XA = -1004N，ZA = 9397N，XB = 3348N，ZB = -1700Nz yxzxF FRDF F2F F1Z ZAX XAZ ZBX XBF F2F F1F FZ ZAX XAZ
18、 ZBX XBZ ZAX XAZ ZBX XBZ ZAX XAZ ZBX XB200mm200mm200mmAB= 30 ，=60 水平均质板重P P，6根直杆用球铰将板和地面连接，结构如图。求由板重引起得各杆内力。例 5-5解： 给各杆编号假定各杆均受拉力S S1S S2S S3S S4S S5S S6S S1S S2S S3S S4S S5S S6S S1S S2S S3S S4S S5S S6S S1S S2S S3S S4S S5S S6MAB = 0MAE = 0S5 = 0MAC = 0S4 = 0MBF = 0S1 = 0MEG = 0S3 = 0MFG = 0 P PaBHbADCFGE结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！29
