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1、第二节直线与圆的位置关系【知识梳理】【知识梳理】1.1.圆周角、圆心角、弦切角定理圆周角、圆心角、弦切角定理相关定理相关定理圆周角圆周角圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的角的_圆心角圆心角定理定理: :圆心角的度数等于它所对圆心角的度数等于它所对_._.推论推论: :同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角_;_;同圆或等圆中同圆或等圆中, ,相等的圆周角所对的弧相等的圆周角所对的弧_弦切角弦切角弦切角等于它所夹的弧所对的弦切角等于它所夹的弧所对的_一半一半弧的度数弧的度数相等相等相等相等圆周角圆周角2.(1)2.(1)性质性质: :定理定理1
2、:1:圆的内接四边形的对角圆的内接四边形的对角_._.定理定理2:2:圆内接四边形的外角等于它的圆内接四边形的外角等于它的_._.(2)(2)判定判定: :定理定理: :如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补, ,那么这个四边形的四个顶点那么这个四边形的四个顶点_._.推论推论: :如果四边形的一个外角等于它的内角的对角如果四边形的一个外角等于它的内角的对角, ,那么这个四边形的那么这个四边形的四个顶点共圆四个顶点共圆. .互补互补内角的对角内角的对角共圆共圆3.3.圆的切线的性质与判定定理圆的切线的性质与判定定理(1)(1)性质定理性质定理: :圆的切线垂直于经过切点的圆的切线垂直
3、于经过切点的_._.推论推论1:1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过经过圆心且垂直于切线的直线必经过_._.推论推论2:2:经过切点且垂直于切线的直线必经过经过切点且垂直于切线的直线必经过_._.(2)(2)判定定理判定定理: :经过半径的外端并且经过半径的外端并且_于这条半径的直线是圆的切于这条半径的直线是圆的切线线. .半径半径切点切点圆心圆心垂直垂直4.4.与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段定理定理内容内容相交弦定理相交弦定理圆内的两条相交弦圆内的两条相交弦, ,被交点分成的两条线段长的被交点分成的两条线段长的积积_割线定理割线定理从圆外一点引圆的两条割线从圆外一点引圆的两条割线, ,
4、这一点到每条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积与圆的交点的两条线段长的积_切割线定理切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线从圆外一点引圆的切线和割线,_,_是这点到是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项割线与圆交点的两条线段长的比例中项切线长定理切线长定理从圆外一点引圆的两条切线从圆外一点引圆的两条切线, ,它们的它们的_相等相等, ,圆心和这一点的连线平分圆心和这一点的连线平分_的夹角的夹角相等相等相等相等切线长切线长切线长切线长两条切线两条切线【小题快练】【小题快练】1.(20141.(2014天津高考天津高考) )如图如图,ABC,ABC是圆的内接三角形是圆的内接三角形,B
5、AC,BAC的平分线交的平分线交圆于点圆于点D,D,交交BCBC于点于点E,E,过点过点B B的圆的切线与的圆的切线与ADAD的延长线交于点的延长线交于点F.F.在上述在上述条件下条件下, ,给出下列四个结论给出下列四个结论:BD:BD平分平分CBF;FBCBF;FB2 2=FDFA;=FDFA;AECE=BEDE;AFBD=ABBF.AECE=BEDE;AFBD=ABBF.则所有正确结论的序号是则所有正确结论的序号是( () )A. B. C. D.A. B. C. D.【解析】【解析】选选D.D.由弦切角定理得由弦切角定理得FBD=EAC=BAE,FBD=EAC=BAE,又又BFD=AFB
6、,BFD=AFB,所以所以BFDAFB,BFDAFB,所以所以 即即AFBD=ABBF,AFBD=ABBF,排除排除A,C.A,C.又又FBD=EAC=DBC,FBD=EAC=DBC,排除排除B.B.2.(20142.(2014湖北高考湖北高考) )如图如图,P,P为为OO外一点外一点, ,过过P P作作OO的两条切线的两条切线, ,切点切点分别为分别为A,B,A,B,过过PAPA的中点的中点Q Q作割线交作割线交OO于于C,DC,D两点两点, ,若若QC=1,CD=3,QC=1,CD=3,则则PB=PB=. .【解析】【解析】由切割线定理得由切割线定理得QAQA2 2=QCQD=1(1+3)
7、=4,=QCQD=1(1+3)=4,所以所以QA=2,PB=PA=4.QA=2,PB=PA=4.答案答案: :4 43.(20143.(2014湖南高考湖南高考) )如图如图, ,已知已知AB,BCAB,BC是是OO的两条弦的两条弦,AOBC,AB= ,AOBC,AB= ,BC=2 ,BC=2 ,则则OO的半径等于的半径等于. .【解析】【解析】延长延长AO,AO,作出直径作出直径AD,AD,连接连接BD,BD,则则ABAB垂直于垂直于BD,BD,设设BC,ADBC,AD交于交于E,E,因为因为AOBC,AB= ,BC=2 ,AOBC,AB= ,BC=2 ,所以所以AE=1,AE=1,由射影定
8、理得由射影定理得ABAB2 2=AEAD,=AEAD,3=2r,r= .3=2r,r= .答案答案: :4.(20144.(2014陕西高考陕西高考) )如图如图,ABC,ABC中中,BC=6,BC=6,以以BCBC为直径的半圆分别交为直径的半圆分别交AB,ACAB,AC于点于点E,F,E,F,若若AC=2AE,AC=2AE,则则EF=EF= . .【解析】【解析】由已知利用割线定理得由已知利用割线定理得:AEAB=AFAC,:AEAB=AFAC,又又AC=2AE,AC=2AE,得得AB=2AF,AB=2AF,所以所以 且且A=AA=A得得AEFACBAEFACB且相似比为且相似比为12,12
9、,又又BC=6,BC=6,所以所以EF=3.EF=3.答案答案: :3 3考点考点1 1 圆周角定理及圆内接四边形圆周角定理及圆内接四边形【典例【典例1 1】(2015(2015南阳模拟南阳模拟) )已知已知: :直线直线ABAB过圆心过圆心O,O,交交OO于于A,B,A,B,直线直线AFAF交交OO于于F(F(不与不与B B重合重合),),直线直线l与与OO相切于相切于C,C,交交ABAB于于E,E,且与且与AFAF垂直垂直, ,垂足为垂足为G,G,连接连接AC,AC,求证求证: :(1)BAC=CAG.(1)BAC=CAG.(2)AC(2)AC2 2=AEAF.=AEAF.【解题提示】【解
10、题提示】(1)(1)连接连接BC,BC,根据根据ABAB为为OO的直径得到的直径得到ECBECB与与ACGACG互余互余, ,根据弦切角得到根据弦切角得到ECB=BAC,ECB=BAC,得到得到BACBAC与与ACGACG互余互余, ,再根据再根据CAGCAG与与ACGACG互余互余, ,得到得到BAC=CAG.BAC=CAG.(2)(2)连接连接CF,CF,利用弦切角结合利用弦切角结合(1)(1)的结论的结论, ,可得可得GCF=ECB,GCF=ECB,再用外角进再用外角进行等量代换行等量代换, ,得到得到AFC=ACE,AFC=ACE,结合结合FAC=CAEFAC=CAE得到得到FACCA
11、E,FACCAE,从而得到从而得到ACAC是是AE,AFAE,AF的比例中项的比例中项, ,从而得到从而得到ACAC2 2=AEAF.=AEAF.【规范解答】【规范解答】(1)(1)连接连接BC,BC,因为因为ABAB为为OO的直径的直径, ,所以所以ACB=90ACB=90ECB+ACG=90.ECB+ACG=90.因为因为GCGC与与OO相切于相切于C,C,所以所以ECB=BAC,ECB=BAC,所以所以BAC+ACG=90.BAC+ACG=90.又因为又因为AGCGAGCGCAG+ACG=90,CAG+ACG=90,所以所以BAC=CAG.BAC=CAG.(2)(2)连接连接CF.CF.
12、由由(1)(1)可知可知EAC=CAF,EAC=CAF,因为因为GEGE与与OO相切于相切于C,C,所以所以GCF=CAF=BAC=ECB.GCF=CAF=BAC=ECB.因为因为AFC=GCF+90,ACE=ECB+90,AFC=GCF+90,ACE=ECB+90,所以所以AFC=ACE.AFC=ACE.因为因为FAC=CAE,FAC=CAE,所以所以FACCAE,FACCAE,所以所以所以所以ACAC2 2=AEAF.=AEAF.【规律方法】【规律方法】圆周角定理常用的转化圆周角定理常用的转化(1)(1)圆周角与圆周角之间的转化圆周角与圆周角之间的转化. .(2)(2)圆周角与圆心角之间的
13、转化圆周角与圆心角之间的转化. .(3)(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化. .(4)(4)圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015抚顺模拟抚顺模拟) )如图如图,PA,PB,PA,PB是圆是圆O O的两条切线的两条切线,A,B,A,B是是切点切点,C,C是劣弧是劣弧AB(AB(不包括端点不包括端点) )上一点上一点, ,直线直线PCPC交圆交圆O O于另一点于另一点D,QD,Q在弦在弦CDCD上上, ,且且DAQ=PBC,DAQ=PBC,求证求证: :(1)(1)(2
14、)ADQDBQ.(2)ADQDBQ.【证明】【证明】(1)(1)因为因为PBCPDB,PBCPDB,所以所以 同理同理 又因又因为为PA=PB,PA=PB,所以所以 即即(2)(2)连接连接AB,AB,因为因为BAC=BDQ=PBC=DAQ,ABC=ADQ,BAC=BDQ=PBC=DAQ,ABC=ADQ,所以所以ABCABCADQ,ADQ,所以所以 故故 又因为又因为DAQ=PBC=BDQ,DAQ=PBC=BDQ,所以所以ADQDBQ.ADQDBQ.【加固训练】【加固训练】如图如图, ,圆圆O O的两弦的两弦ABAB和和CDCD交于点交于点E,EFCB,EFE,EFCB,EF交交ADAD的延长
15、的延长线于点线于点F.F.求证求证:DEFEAF.:DEFEAF.【证明】【证明】因为因为EFCB,EFCB,所以所以BCD=FED,BCD=FED,又又BADBAD与与BCDBCD是是 所对应的圆周角所对应的圆周角, ,所以所以BAD=BCD,BAD=BCD,所以所以BAD=FED,BAD=FED,又又EFD=EFD,EFD=EFD,所以所以DEFEAF.DEFEAF.考点考点2 2 圆的切线性质与判定定理、弦切角定理圆的切线性质与判定定理、弦切角定理【典例【典例2 2】(2014(2014辽宁高考辽宁高考) )如图如图,EP,EP交圆于交圆于E,CE,C两点两点,PD,PD切圆于切圆于D,
16、GD,G为为CECE上一点且上一点且PG=PD,PG=PD,连接连接DGDG并延长交圆于点并延长交圆于点A,A,作弦作弦ABAB垂直垂直EP,EP,垂足为垂足为F.F.(1)(1)求证求证:AB:AB为圆的直径为圆的直径. .(2)(2)若若AC=BD,AC=BD,求证求证:AB=ED.:AB=ED.【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用已知条件证明利用已知条件证明ADB=90,ADB=90,从而证明从而证明ABAB为圆的直为圆的直径径. .(2)(2)设法证明设法证明EDED也是直径也是直径, ,即可证明即可证明AB=ED.AB=ED.【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为PG=PD
17、,PG=PD,所以所以PDG=PGD.PDG=PGD.由于由于PDPD为切线为切线, ,所以所以PDA=DBA,PDA=DBA,又由于又由于EGA=PGD,EGA=PGD,所以所以EGA=DBA.EGA=DBA.所以所以DBA+BAD=EGA+BAD,DBA+BAD=EGA+BAD,从而从而BDA=PFA,BDA=PFA,由于由于AFEP,AFEP,所以所以PFA=90,PFA=90,所以所以BDA=90,BDA=90,故故ABAB为圆的直径为圆的直径. .(2)(2)连接连接BC,DC.BC,DC.由于由于ABAB为圆的直径为圆的直径, ,所以所以BDA=ACB=90.BDA=ACB=90.
18、在在RtBDA,RtACBRtBDA,RtACB中中,AB=BA,BD=AC,AB=BA,BD=AC,从而从而RtBDARtACB.RtBDARtACB.所以所以DAB=CBA.DAB=CBA.又因为又因为DCB=DAB,DCB=DAB,所以所以DCB=CBA,DCB=CBA,故故DCAB.DCAB.由于由于ABEP,ABEP,所以所以DCEP,DCEP,所以所以DCE=90,DCE=90,所以所以EDED为直径为直径, ,所以所以AB=ED.AB=ED.【规律方法】【规律方法】与圆的切线有关的问题及处理方法与圆的切线有关的问题及处理方法(1)(1)证明直线是圆的切线的常用方法证明直线是圆的切
19、线的常用方法: :若已知直线与圆有公共点若已知直线与圆有公共点, ,则需证明圆心与公共点的连线垂直于已则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可知直线即可. .若已知直线与圆没有明确的公共点若已知直线与圆没有明确的公共点, ,则需证明圆心到直线的距离等则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径于圆的半径. .(2)(2)求弦切角的问题往往转化为求同弧上的圆周角求弦切角的问题往往转化为求同弧上的圆周角. .(3)(3)求切线长问题往往利用切线长定理和切割线定理求切线长问题往往利用切线长定理和切割线定理. .提醒提醒: :利用弦切角定理时利用弦切角定理时, ,一定要注意是弦切角与同弧上的圆周角相等一定
20、要注意是弦切角与同弧上的圆周角相等. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015张掖模拟张掖模拟) )如图如图,C,C点在圆点在圆O O直径直径BEBE的延长线上的延长线上,CA,CA切圆切圆O O于于A A点点,ACB,ACB平分线平分线CDCD交交AEAE于点于点F,F,交交ABAB于于D D点点. .(1)(1)求求ADFADF的度数的度数. .(2)(2)若若AB=AC,AB=AC,求求ACBC.ACBC.【解析】【解析】(1)(1)因为因为ACAC为圆为圆O O的切线的切线, ,所以所以B=EAC,B=EAC,又知又知CDCD是是ACBACB的平分线的平分线, ,所以所以ACD=
21、DCB,ACD=DCB,所以所以B+DCB=EAC+ACD,B+DCB=EAC+ACD,即即ADF=AFD,ADF=AFD,又因为又因为BEBE为圆为圆O O的直径的直径, ,所以所以DAE=90,DAE=90,所以所以ADF= (180-DAE)=45.ADF= (180-DAE)=45.(2)(2)因为因为B=EAC,ACB=ACB,B=EAC,ACB=ACB,所以所以ACEBCA,ACEBCA,所以所以又因为又因为AB=AC,AB=AC,所以所以B=ACB=30,B=ACB=30,所以在所以在RtABERtABE中中, =tanB=tan30= ., =tanB=tan30= .考点考点
22、3 3 与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段【典例【典例3 3】(2015(2015濮阳模拟濮阳模拟) )如图如图,O,O的直径的直径ABAB的延长线与弦的延长线与弦CDCD的延的延长线相交于点长线相交于点P,EP,E为为OO上一点上一点, DE, DE交交ABAB于点于点F.F.(1)(1)证明证明:DFEF=OFFP.:DFEF=OFFP.(2)(2)当当AB=2BPAB=2BP时时, ,证明证明:OF=BF.:OF=BF.【解题提示】【解题提示】(1)(1)证明证明OFEDFPOFEDFP后利用对应边成比例求解后利用对应边成比例求解. .(2)(2)利用相交弦定理化简证明利用相交弦定理化
23、简证明. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)连接连接OE.OE.因为因为所以所以AOE=CDE,AOE=CDE,所以所以EOF=PDF,EOF=PDF,又又EFO=PFD,EFO=PFD,所以所以OFEDFP,OFEDFP,所以所以所以所以DFEF=OFFP.DFEF=OFFP.(2)(2)设设BP=a,BP=a,由由AB=2BP,AB=2BP,得得AO=BO=BP=a,AO=BO=BP=a,由相交弦定理得由相交弦定理得:DFEF=AFBF,:DFEF=AFBF,所以所以AFBF=OFFP,AFBF=OFFP,所以所以OF(a+BF)=(a+OF)BF,OF(a+BF)=(a+OF)BF,
24、所以所以OF=BF.OF=BF.【规律方法】【规律方法】与圆有关的比例线段解题思路与圆有关的比例线段解题思路(1)(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理. .(2)(2)见到圆的两条割线就要想到割线定理见到圆的两条割线就要想到割线定理. .(3)(3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理见到圆的切线和割线就要想到切割线定理. .【变式训练】【变式训练】(2014(2014新课标全国卷新课标全国卷)如图如图,P,P是是OO外一点外一点,PA,PA是切线是切线,A,A为切点为切点, ,割线割线PBCPBC与与OO相交于点相交于点B,C,PC=2PA,DB,C
25、,PC=2PA,D为为PCPC的中点的中点,AD,AD的延长的延长线交线交OO于点于点E.E.证明证明: :(1)BE=EC.(1)BE=EC.(2)ADDE=2PB(2)ADDE=2PB2 2. .【证明】【证明】(1)(1)因为因为PC=2PA,PD=DC,PC=2PA,PD=DC,所以所以PA=PD,PADPA=PD,PAD为等腰三角形为等腰三角形. .连接连接AB,AB,则则PAB=DEB=,BCE=BAE=.PAB=DEB=,BCE=BAE=.因为因为PAB+BCE=PAB+BAD=PAD=PDA=DEB+DBE,PAB+BCE=PAB+BAD=PAD=PDA=DEB+DBE,所以所
26、以+=+DBE,+=+DBE,所以所以=DBE,=DBE,即即BCE=DBE,BCE=DBE,所以所以BE=EC.BE=EC.(2)(2)因为因为ADDE=BDDC,ADDE=BDDC,PAPA2 2=PBPC,PD=DC=PA,=PBPC,PD=DC=PA,所以所以PAPA2 2=PBPC=PB2PA,=PBPC=PB2PA,即即PA=2PB,PA=2PB,所以所以BDDC=(PA-PB)PA=PABDDC=(PA-PB)PA=PA2 2-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA)-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA)=PBPA=PB2PB=2PB=PBPA=PB2PB=2
27、PB2 2. .即即ADDE=2PBADDE=2PB2 2. .【加固训练】【加固训练】如图如图,AB,CD,AB,CD是圆的两条平行弦是圆的两条平行弦,BEAC,BE,BEAC,BE交交CDCD于于E,E,交圆交圆于于F,F,过过A A点的切线交点的切线交DCDC的延长线于的延长线于P,PC=ED=1,PA=2.P,PC=ED=1,PA=2.(1)(1)求求ACAC的长的长. .(2)(2)试比较试比较BEBE与与EFEF的长度关系的长度关系. .【解析】【解析】(1)(1)连接连接BC.BC.因为过因为过A A点的切线交点的切线交DCDC的延长线于的延长线于P,P,所以所以PAPA2 2=PCPD,=PCPD,因为因为PC=1,PA=2,PC=1,PA=2,所以所以PD=4.PD=4.又又PC=ED=1,PC=ED=1,所以所以CE=2,CE=2,因为因为PAC=CBA,PCA=CAB,PAC=CBA,PCA=CAB,所以所以PACCBA,PACCBA,所以所以所以所以ACAC2 2=PCAB=2,=PCAB=2,所以所以AC= .AC= .(2)BE=AC= ,(2)BE=AC= ,由相交弦定理可得由相交弦定理可得CEED=BEEF.CEED=BEEF.因为因为CE=2,ED=1,CE=2,ED=1,所以所以EF= ,EF= ,所以所以EF=BE.EF=BE.
