高考数学一轮复习 阶段总结热考题型强化课（六）课件(理).ppt

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1、阶段总结热考题型强化课(六)算法、统计与概率【网【网络构建】构建】【核心要素】【核心要素】1.1.程序框程序框图、算法的三种、算法的三种逻辑结构、算法构、算法语句句2.2.简单随机抽随机抽样、系、系统抽抽样、分、分层抽抽样3.3.样本的本的频率分布表、率分布表、频率分布直方率分布直方图、茎叶、茎叶图4.4.样本数据的众数、中位数、平均数、方差与本数据的众数、中位数、平均数、方差与标准差准差5.5.回回归直直线方程、独立性方程、独立性检验的步的步骤与与计算公式算公式6.6.事件的分事件的分类、互斥、互斥、对立、独立关系及事件立、独立关系及事件间的交、的交、并运算的概率并运算的概率计算公式算公式7

2、.7.随机事件的概率、古典概型、几何概型、条件概率随机事件的概率、古典概型、几何概型、条件概率的特征与的特征与计算公式算公式8.8.分分类加法与分步乘法加法与分步乘法计数原理、排列、数原理、排列、组合的定合的定义、排列数、排列数、组合数合数计算公式与算公式与应用用9.9.二二项式定理、通式定理、通项公式及二公式及二项式系数的性式系数的性质10.10.离散型随机离散型随机变量的分布列及其性量的分布列及其性质11.11.两点分布、超几何分布、两点分布、超几何分布、n n次独立重复次独立重复试验与二与二项分布、正分布、正态分布分布12.12.离散型随机离散型随机变量的均量的均值与方差与方差 热考考题

3、型一型一算法算法【考情分析】【考情分析】难度难度: :基础题基础题题型题型: :以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主考查方式考查方式: :以程序框图的读与补为主要考查对象以程序框图的读与补为主要考查对象, ,常与函常与函数、不等式、数列、样本数据的数字特征等知识交汇命数、不等式、数列、样本数据的数字特征等知识交汇命题题【考【考题集集训】1.(20141.(2014天津高考天津高考) )阅读如如图所示的程序框所示的程序框图, ,运行相运行相应的程序的程序, ,输出出S S的的值为( () )A.15 B.105 C.245 D.945A.15 B.105 C.245 D.945【解析】【解析

4、】选选B.i=1B.i=1时时,T=3,S=3;i=2,T=3,S=3;i=2时时,T=5,S=15;,T=5,S=15;i=3i=3时时,T=7,S=105,i=4,T=7,S=105,i=4输出输出S=105.S=105.2.(20142.(2014四川高考四川高考) )执行如行如图的程序框的程序框图, ,如果如果输入的入的x,yR,x,yR,那么那么输出的出的S S的最大的最大值为( () )A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3【解析】【解析】选选C.C.方法一方法一: :程序框图的实质是若程序框图的实质是若x0,y0,x0,y0,x+y1,x+y1,则则S=2x

5、+y;S=2x+y;否则否则,S=1.,S=1.当当x0,y0,x+y1x0,y0,x+y1时时,0y1-x,0y1-x,得得0x1,0x1,从而从而02x+y2,02x+y2,即当即当x=1,y=0x=1,y=0时时,S,Smaxmax=21+0=2.=21+0=2.方法二方法二: :程序框图的实质是若程序框图的实质是若x0,y0,x+y1,x0,y0,x+y1,则则S=2x+y;S=2x+y;否则否则,S=1.,S=1.当当 时时, ,如图如图, ,由线性规划可知由线性规划可知, ,当当x=1,y=0x=1,y=0时时,S,Smaxmax=21+0=2.=21+0=2.3.(20133.(

6、2013重重庆高考高考) )执行如行如图所示的程序框所示的程序框图, ,如果如果输出出s=3,s=3,那么判断框内那么判断框内应填入的条件是填入的条件是( () )A. k6 B.k7 C.k8 D.k9A. k6 B.k7 C.k8 D.k9【解析】【解析】选选B.B.第一次执行循环体后第一次执行循环体后,s=log,s=log2 23,k=3,3,k=3,第二第二次执行循环体后次执行循环体后,s=log,s=log2 24,k=4,4,k=4,第三次执行循环体后第三次执行循环体后,s=log,s=log2 25,k=5,5,k=5,第四次执行循环体后第四次执行循环体后,s=log,s=lo

7、g2 26,k=6,6,k=6,第五第五次执行循环体后次执行循环体后,s=log,s=log2 27,k=7,7,k=7,第六次执行循环体后第六次执行循环体后,s=log,s=log2 28=3,k=8,8=3,k=8,结束循环结束循环. .故选故选B.B.4.(20144.(2014山山东高考高考) )执行下面的程序框行下面的程序框图, ,若若输入的入的x x的的值为1,1,则输出的出的n n的的值为_._.【解析】【解析】根据判断条件根据判断条件x x2 2-4x+30,-4x+30,得得1x3,1x3,输入输入x=1,x=1,第一次判断后循环第一次判断后循环,x=x+1=2,n=n+1=

8、1,x=x+1=2,n=n+1=1,第二次判断后循环第二次判断后循环,x=x+1=3,n=n+1=2,x=x+1=3,n=n+1=2,第三次判断后循环第三次判断后循环,x=x+1=4,n=n+1=3,x=x+1=4,n=n+1=3,第四次判断不满足条件第四次判断不满足条件, ,退出循环退出循环, ,输出输出n=3.n=3.答案答案: :3 35.(20145.(2014湖北高考湖北高考) )设a a是一个各位数字都不是是一个各位数字都不是0 0且没且没有重复数字的三位数有重复数字的三位数. .将将组成成a a的的3 3个数字按从小到大排个数字按从小到大排成的三位数成的三位数记为I(a),I(a

9、),按从大到小排成的三位数按从大到小排成的三位数记为D(a)(D(a)(例如例如a=815,a=815,则I(a)=158,D(a)=851).I(a)=158,D(a)=851).阅读如如图所所示的程序框示的程序框图, ,运行相运行相应的程序的程序, ,任意任意输入一个入一个a,a,输出出的的结果果b=_.b=_.【解析】【解析】当当a=123a=123时时,b=321-123=198123;,b=321-123=198123;当当a=198a=198时时,b=981-189=792198;,b=981-189=792198;当当a=792a=792时时,b=972-279=693792;,

10、b=972-279=693792;当当a=693a=693时时,b=963-369=594693;,b=963-369=594693;当当a=594a=594时时,b=954-459=495594;,b=954-459=495594;当当a=495a=495时时,b=954-459=495=a,b=954-459=495=a,终止循环终止循环, ,故输出故输出b=495.b=495.答案答案: :495495热考考题型二型二统计与与统计案例案例【考情分析】【考情分析】难度难度: :低中档低中档题型题型: :以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主, ,解答题解答题为辅为辅考查方式考查方式: :

11、以随机抽样、样本的频率分布表、频率分以随机抽样、样本的频率分布表、频率分布直方图、茎叶图及平均数、方差、标准差、线性回布直方图、茎叶图及平均数、方差、标准差、线性回归方程、独立性检验为主要考查对象归方程、独立性检验为主要考查对象, ,常以统计图表常以统计图表为载体为载体, ,综合考查以上知识点综合考查以上知识点【考【考题集集训】1.(20141.(2014广广东高考高考) )已知某地区中小学生人数和近已知某地区中小学生人数和近视情况分情况分别如如图1 1和和图2 2所示所示, ,为了解了解该地区中小学生的近地区中小学生的近视形成原因形成原因, ,用分用分层抽抽样的方法抽取的方法抽取2%2%的学

12、生的学生进行行调查, ,则样本容量和抽取的高中生近本容量和抽取的高中生近视人数分人数分别是是( () )A.200,20 B.100,20A.200,20 B.100,20C.200,10 D.100,10C.200,10 D.100,10【解析】【解析】选选A.A.样本容量为样本容量为10000100002%=200,2%=200,抽取的高中抽取的高中生近视人数为生近视人数为200020002%2%50%=20.50%=20.2.(20132.(2013重重庆高考高考) )如如图茎叶茎叶图记录了甲、乙两了甲、乙两组各各5 5名学生在一次英名学生在一次英语听力听力测试中的成中的成绩( (单位位

13、: :分分).).已知甲已知甲组数据的中位数数据的中位数为15,15,乙乙组数据的平均数数据的平均数为16.8,16.8,则x,yx,y的的值分分别为( () )A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8【解析】【解析】选选C.C.因为甲组数据的中位数为因为甲组数据的中位数为15,15,所以易知所以易知x=5,x=5,又乙组数据的平均数为又乙组数据的平均数为16.8,16.8,所以所以=16.8,=16.8,解得解得y=8.y=8.故选故选C.C.3.(20133.(2013江江苏高考高考) )抽抽样统计甲、乙两位射甲、乙两位射击运运动员的的5

14、 5次次训练成成绩( (单位位: :环),),结果如下果如下: :则成成绩较为稳定定( (方差方差较小小) )的那位运的那位运动员成成绩的方差的方差为_._.运动员运动员 第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第五次第五次甲甲87879191909089899393乙乙89899090919188889292【解析】【解析】故故答案：答案：2 24.(20144.(2014新新课标全国卷全国卷)某地区某地区20072007年至年至20132013年年农村居民家庭村居民家庭纯收入收入y(y(单位位: :千元千元) )的数据如下表的数据如下表: :(1)(1)求求y y关于关于t

15、 t的的线性回性回归方程方程. .年份年份20072007 20082008 20092009 20102010 20112011 20122012 20132013年份代号年份代号t t1 12 23 34 45 56 67 7人均纯收入人均纯收入y y2.92.93.33.33.63.64.44.44.84.85.25.25.95.9(2)(2)利用利用(1)(1)中的回中的回归方程方程, ,分析分析20072007年至年至20132013年年该地区地区农村居民家庭人均村居民家庭人均纯收入的收入的变化情况化情况, ,并并预测该地区地区20152015年年农村居民家庭人均村居民家庭人均纯收入

16、收入. .附附: :回回归直直线的斜率和截距的最小二乘法估的斜率和截距的最小二乘法估计公式分公式分别为: :【解析】【解析】(1)(1)因为因为设回归方程为设回归方程为 代入公式，经计算得代入公式，经计算得所以所以y y关于关于t t的回归方程为的回归方程为y= t+2.3.y= t+2.3.(2)(2)因为因为 0, 0,所以所以20072007年至年至20132013年该地区人均纯收年该地区人均纯收入稳步增长，预计到入稳步增长，预计到20152015年，该地区人均纯收入年，该地区人均纯收入y=y= 9+2.3=6.8( 9+2.3=6.8(千元千元) )，所以预计到所以预计到2015201

17、5年，该地区人均纯收入约年，该地区人均纯收入约6 8006 800元元. .5.(20145.(2014安徽高考安徽高考) )某高校共有学生某高校共有学生1500015000人人, ,其中男其中男生生1050010500人人, ,女生女生45004500人人, ,为调查该校学生每周平均体育校学生每周平均体育运运动时间的情况的情况, ,采用分采用分层抽抽样的方法的方法, ,收集收集300300位学生位学生每周平均体育运每周平均体育运动时间的的样本数据本数据( (单位位: :小小时).).(1)(1)应收集多少位女生的收集多少位女生的样本数据本数据? ?(2)(2)根据根据这300300个个样本数

18、据本数据, ,得到学生每周平均体育运得到学生每周平均体育运动时间的的频率分布直方率分布直方图( (如如图所示所示),),其中其中样本数据的分本数据的分组区区间为:0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12.:0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12.估估计该校学生每周平均体育运校学生每周平均体育运动时间超超过4 4小小时的概率的概率. .(3)(3)在在样本数据中本数据中, ,有有6060位女生的每周平均体育运位女生的每周平均体育运动时间超超过4 4小小时. .请完成每周平均体育运完成每周平均体育运动时间与性与性别的的列列联表表, ,并判断是否有并判断

19、是否有95%95%的把握的把握( (在犯在犯错误的概率不超的概率不超过0.050.05的前提下的前提下) )认为“该校学生的每周平均体育运校学生的每周平均体育运动时间与性与性别有关有关”.”.【解析】【解析】(1)300 =90,(1)300 =90,所以应收集所以应收集9090位女生的样本数据位女生的样本数据. .(2)(2)由频率分布直方图得由频率分布直方图得2(0.150+0.125+0.075+ 2(0.150+0.125+0.075+ 0.025)=0.75,0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过所以该校学生每周平均体育运动时间超过4 4小时的概率小时的概率的估

20、计值为的估计值为0.75.0.75.(3)(3)由由(2)(2)知知,300,300位学生中有位学生中有3000.75=2253000.75=225人的每周平人的每周平均体育运动时间超过均体育运动时间超过4 4个小时个小时.75.75人的每周平均体育运人的每周平均体育运动时间不超过动时间不超过4 4个小时个小时. .又因为样本数据中有又因为样本数据中有210210份是关份是关于男生的于男生的,90,90份是关于女生的份是关于女生的, ,所以每周平均体育运动所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下时间与性别的列联表如下: :平均体育运动时间与性别列联表平均体育运动时间与性别列联表男生男生女生女

21、生总计总计每周平均体育运动时间每周平均体育运动时间不超过不超过4 4个小时个小时454530307575每周平均体育运动时间每周平均体育运动时间超过超过4 4个小时个小时1651656060225225总计总计2102109090300300结合列联表可算得结合列联表可算得K K2 2的观测值的观测值k= 4.7623.841.k= 4.7623.841.有有95%95%的把握的把握( (在犯错误的概率不超过在犯错误的概率不超过0.050.05的前提下的前提下) )认认为为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.”.热考考题型三型三概率的概率的计算

22、算【考情分析】【考情分析】难度难度: :基础题基础题题型题型: :以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主考查方式考查方式: :以古典概型、几何概型、条件概率、互斥事以古典概型、几何概型、条件概率、互斥事件的和事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件件的和事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的积事件的概率、二项分布等为主要考查对象的积事件的概率、二项分布等为主要考查对象, ,常与排常与排列、组合、函数、方程、不等式、数列、解析几何、列、组合、函数、方程、不等式、数列、解析几何、线性规划、定积分等知识综合命题线性规划、定积分等知识综合命题【考【考题集集训】1.(20141.(2014陕西高考

23、西高考) )从正方形四个从正方形四个顶点及其中心点及其中心这5 5个个点中点中, ,任取任取2 2个点个点, ,则这2 2个点的距离不小于个点的距离不小于该正方形正方形边长的概率的概率为( () )【解析】【解析】选选C.C.从边长为从边长为1 1的正方形的中心和的正方形的中心和顶点这五点中顶点这五点中, ,随机随机( (等可能等可能) )取两点取两点, ,共有共有 =10 =10条线段条线段, ,满足该两点间的距离不小于满足该两点间的距离不小于1 1的有的有AB,BC,CD,DA,AC,BDAB,BC,CD,DA,AC,BD共共6 6条线段条线段, ,则根据古典概型的则根据古典概型的概率公式

24、可知随机概率公式可知随机( (等可能等可能) )取两点取两点, ,则该两点间的距离则该两点间的距离不小于不小于1 1的概率的概率P=P=2.(20142.(2014湖北高考湖北高考) )由不等式由不等式组 确定的平确定的平面区域面区域记为1 1, ,不等式不等式组 确定的平面区域确定的平面区域记为2 2, ,在在1 1中随机取一点中随机取一点, ,则该点恰好在点恰好在2 2内的概率内的概率为( () )【解析】【解析】选选D.D.依题意依题意, ,不等式组表示的平面区域如图不等式组表示的平面区域如图, ,由几何概型概率公式知由几何概型概率公式知, ,该点落在该点落在2 2内的概率为内的概率为3

25、.(20143.(2014全国卷全国卷)某地区空气某地区空气质量量监测资料表明料表明, ,一一天的空气天的空气质量量为优良的概率是良的概率是0.75,0.75,连续两天两天为优良的良的概率是概率是0.6,0.6,已知某天的空气已知某天的空气质量量为优良良, ,则随后一天的随后一天的空气空气质量量为优良的概率是良的概率是( () )A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【解析】【解析】选选A.A.设某天空气质量优良设某天空气质量优良, ,则随后一天空气质则随后一天空气质量也优良的概率为量也优良的概率为p,p,则据题有则据题有0.6=0

26、.750.6=0.75p,p,解得解得p=0.8,p=0.8,故选故选A.A.4.(20134.(2013山山东高考高考) )甲、乙两支排球甲、乙两支排球队进行比行比赛, ,约定定先先胜3 3局者局者获得比得比赛的的胜利利, ,比比赛随即随即结束束. .除第五局甲除第五局甲队获胜的概率是的概率是 外外, ,其余每局比其余每局比赛甲甲队获胜的概率是的概率是 . .假假设每局比每局比赛结果互相独立果互相独立. .(1)(1)分分别求甲求甲队以以30,31,3230,31,32胜利的概率利的概率. .(2)(2)若比若比赛结果果为3030或或31,31,则胜利方得利方得3 3分分, ,对方得方得0

27、0分分; ;若比若比赛结果果为32,32,则胜利方得利方得2 2分、分、对方得方得1 1分分, ,求求乙乙队得分得分X X的分布列及数学期望的分布列及数学期望. .【解析】【解析】(1)(1)记记“甲队以甲队以3030胜利胜利”为事件为事件A A1 1,“,“甲队甲队以以3131胜利胜利”为事件为事件A A2 2,“,“甲队以甲队以3232胜利胜利”为事件为事件A A3 3, ,由题意由题意, ,各局比赛结果相互独立各局比赛结果相互独立, ,故故P(AP(A1 1)= ,P(A)= ,P(A2 2)=)=P(AP(A3 3)=)=所以甲队以所以甲队以3030胜利、以胜利、以3131胜利的概率都

28、为胜利的概率都为 , ,甲甲队以队以3232胜利的概率为胜利的概率为 . .(2)(2)设设“乙队以乙队以3232胜利胜利”为事件为事件A A4 4, ,由题意由题意, ,各局比赛结果相互独立各局比赛结果相互独立, ,所以所以P(AP(A4 4)=)=由题意由题意, ,随机变量随机变量的所有可能的取值为的所有可能的取值为0,1,2,3,0,1,2,3,根据事件的互斥性得根据事件的互斥性得P(=0)=P(AP(=0)=P(A1 1+A+A2 2)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)=)=又又P(=1)=P(AP(=1)=P(A3 3)=)=P(=2)=P(AP(=2)=P(A4

29、4)=)=P(=3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)=P(=3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)=故故的分布列为的分布列为X X0 01 12 23 3P P所以所以E()=E()=5.(20145.(2014安徽高考安徽高考) )甲、乙两人甲、乙两人进行行围棋比棋比赛，约定定先先连胜两局者直接两局者直接赢得比得比赛，若，若赛完完5 5局仍未出局仍未出现连胜，则判定判定获胜局数多者局数多者赢得比得比赛，假，假设每局甲每局甲获胜的概率的概率为 ，乙，乙获胜的概率的概率为 ，各局比，各局比赛结果相互果相互独立独立. .(1)(1)求甲在求甲在4 4局以内局以内( (含含4 4局局)

30、 )赢得比得比赛的概率的概率. .(2)(2)记X X为比比赛决出决出胜负时的的总局数，求局数，求X X的分布列和均的分布列和均值( (数学期望数学期望).).【解析】【解析】A Ai i表示表示“第第i i局甲获胜局甲获胜”,B”,Bi i表示表示“第第i i局乙获局乙获胜胜”,”,则则P(AP(Ai i)= ,P(B)= ,P(Bi i)= ,i=1,2,3,4,5.)= ,i=1,2,3,4,5.(1)(1)用用A A表示表示“甲在甲在4 4局以内局以内( (含含4 4局局) )赢得比赛赢得比赛”,”,P(A)=P(AP(A)=P(A1 1A A2 2)+P(B)+P(B1 1A A2

31、2A A3 3)+P(A)+P(A1 1B B2 2A A3 3A A4 4) )=P(A=P(A1 1)P(A)P(A2 2)+P(B)+P(B1 1)P(A)P(A2 2)P(A)P(A3 3)+P(A)+P(A1 1)P(B)P(B2 2)P(A)P(A3 3)P(A)P(A4 4) )(2)X(2)X的可能取值为的可能取值为2,3,4,5.2,3,4,5.P(X=2)=P(AP(X=2)=P(A1 1A A2 2)+P(B)+P(B1 1B B2 2) )=P(A=P(A1 1)P(A)P(A2 2)+P(B)+P(B1 1)P(B)P(B2 2)=)=P(X=3)=P(BP(X=3)

32、=P(B1 1A A2 2A A3 3)+P(A)+P(A1 1B B2 2B B3 3)=)=P(X=4)=P(AP(X=4)=P(A1 1B B2 2A A3 3A A4 4)+P(B)+P(B1 1A A2 2B B3 3B B4 4)=)=P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=故故X X的分布列为：的分布列为：E(X)=E(X)=X X2 23 34 45 5P P热考考题型四型四概率与概率与统计、统计案例的案例的综合合【考情分析】【考情分析】难度难度: :低中档低中档题型题型: :以解答题为主以解答题为

33、主考查方式考查方式: :常以统计图表为载体常以统计图表为载体, ,考查随机抽样、用样考查随机抽样、用样本频率分布估计总体、样本的数字特征、回归分析、本频率分布估计总体、样本的数字特征、回归分析、独立性检验及概率的计算问题独立性检验及概率的计算问题【考【考题集集训】1.(20141.(2014全国卷全国卷)某市某市为了考核甲、乙两部了考核甲、乙两部门的工的工作情况作情况, ,随机随机访问了了5050位市民位市民. .根据根据这5050位市民位市民对这两两部部门的的评分分( (评分越高表示市民的分越高表示市民的评价越高价越高),),绘制茎叶制茎叶图如下如下: :(1)(1)分分别估估计该市的市民市

34、的市民对甲、乙部甲、乙部门评分的中位数分的中位数. .(2)(2)分分别估估计该市的市民市的市民对甲、乙部甲、乙部门的的评分小于分小于9090的的概率概率. .(3)(3)根据茎叶根据茎叶图分析分析该市的市民市的市民对甲、乙两部甲、乙两部门的的评价价. .【解析】【解析】(1)(1)两组数字是有序排列的两组数字是有序排列的,50,50个数的中位数个数的中位数为第为第25,2625,26两个数的平均数两个数的平均数. .由给出的数据可知道由给出的数据可知道, ,市民市民对甲部门评分的中位数为对甲部门评分的中位数为 =75, =75,对乙部门评分的对乙部门评分的中位数为中位数为 =67, =67,

35、所以市民对甲、乙两部门评分的所以市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为中位数分别为75,67. 75,67. (2)(2)甲部门评分数大于等于甲部门评分数大于等于9090的共有的共有6 6个、乙部门评分个、乙部门评分数大于等于数大于等于9090的共有的共有9 9个个. .因此因此, ,估计市民对甲、乙部门估计市民对甲、乙部门的评分大于等于的评分大于等于9090的概率分别为的概率分别为P P甲甲= =0.12,P= =0.12,P乙乙= =0.18.=0.18.所以市民对甲、乙部门的评分小于所以市民对甲、乙部门的评分小于9090的概率分别为的概率分别为0.88,0.82.0.88,0.82.(3)

36、(3)由所给茎叶图知由所给茎叶图知, ,市民对甲部门的评分的中位数高市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数于对乙部门的评分的中位数, ,而且由茎叶图可以大致看而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差标准差, ,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致一致, ,对乙部门的评价较低、评价差异较大对乙部门的评价较低、评价差异较大. .2.(20142.(2014辽宁高考宁高考) )某大学餐某大学餐饮中心中心为了解新生的了解新生的饮食食习惯, ,在全校一年在全校一年

37、级学生中学生中进行了抽行了抽样调查, ,调查结果如下表所示果如下表所示: :喜欢甜品喜欢甜品不喜欢甜品不喜欢甜品合计合计南方学生南方学生606020208080北方学生北方学生101010102020合计合计70703030100100(1)(1)根据表中数据根据表中数据, ,问是否有是否有95%95%的把握的把握( (在犯在犯错误的概的概率不超率不超过0.050.05的前提下的前提下) )认为“南方学生和北方学生在南方学生和北方学生在选用甜品的用甜品的饮食食习惯方面有差异方面有差异”.”.(2)(2)已知在被已知在被调查的北方学生中有的北方学生中有5 5名数学系的学生名数学系的学生, ,其其

38、中中2 2名喜名喜欢甜品甜品, ,现在从在从这5 5名学生中随机抽取名学生中随机抽取3 3人人, ,求至求至多有多有1 1人喜人喜欢甜品的概率甜品的概率. .【解析】【解析】(1)(1)由由2222列联表中的数据列联表中的数据, ,得得K K2 2= 4.762,= 4.762,由于由于4.7623.841,4.7623.841,所以有所以有95%95%的把握的把握( (在犯错误的概率在犯错误的概率不超过不超过0.050.05的前提下的前提下) )认为认为“南方学生和北方学生在选南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异用甜品的饮食习惯方面有差异”.”.(2)(2)从从5 5名数学系学生

39、中抽取名数学系学生中抽取3 3人的一切可能结果所组成人的一切可能结果所组成的基本事件为下列的基本事件为下列1010个个: :(a(a1 1,a,a2 2,b,b1 1),(a),(a1 1,a,a2 2,b,b2 2),(a),(a1 1,a,a2 2,b,b3 3),(a),(a1 1,b,b1 1,b,b2 2),(a),(a1 1,b,b1 1, ,b b3 3),(a),(a1 1,b,b2 2,b,b3 3),(a),(a2 2,b,b1 1,b,b2 2),(a),(a2 2,b,b1 1,b,b3 3),(a),(a2 2,b,b2 2,b,b3 3),),(b(b1 1,b,b

40、2 2,b,b3 3),),其中其中a ai i(i=1,2)(i=1,2)表示喜欢甜品的学生表示喜欢甜品的学生,b,bj j(j=1,2,3)(j=1,2,3)表示表示不喜欢甜品的学生不喜欢甜品的学生, ,这这1010个基本事件的出现是等可能的个基本事件的出现是等可能的. .抽取抽取3 3人人, ,至多有至多有1 1人喜欢甜品的事件为以下人喜欢甜品的事件为以下7 7个个: :(a(a1 1,b,b1 1,b,b2 2),(a),(a1 1,b,b1 1,b,b3 3),(a),(a1 1,b,b2 2,b,b3 3),(a),(a2 2,b,b1 1,b,b2 2),(a),(a2 2,b,

41、b1 1, ,b b3 3),(a),(a2 2,b,b2 2,b,b3 3),(b),(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),从这从这5 5名学生中随机抽取名学生中随机抽取3 3人人, ,至多有至多有1 1人喜欢甜品的概人喜欢甜品的概率为率为 . .3.(20143.(2014全国卷全国卷)从某企从某企业生生产的某种的某种产品中抽取品中抽取500500件件, ,测量量这些些产品的一品的一项质量指量指标值, ,由由测量量结果得果得如下如下频率分布直方率分布直方图: :(1)(1)求求这500500件件产品品质量指量指标值的的样本平均数和本平均数和样本方本方差差s s2 2( (同一同一组

42、中的数据用中的数据用该组区区间的中点的中点值作代表作代表).).(2)(2)由直方由直方图可以可以认为, ,这种种产品的品的质量指量指标值Z Z服从正服从正态分布分布N(,N(,2 2),),其中其中近似近似为样本平均数本平均数 , ,2 2近近似似为样本方差本方差s s2 2. .利用利用该正正态分布分布, ,求求P(187.8Z212.2).P(187.8Z212.2).某用某用户从从该企企业购买了了100100件件这种种产品品, ,记X X表示表示这100100件件产品中品中质量指量指标值位于区位于区间(187.8,212.2)(187.8,212.2)的的产品件数品件数, ,利用利用的

43、的结果果, ,求求E(X).E(X).【解析】【解析】(1)(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数抽取产品的质量指标值的样本平均数 和和样本方差样本方差s s2 2分别为分别为 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+210 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,0.24+2200.08+2300.02=200,s s2 2=(-30)=(-30)2 20.02+(-20)0.02+(-20)2 20.09+(-10)0.09+(-10)2 20.22+00.22+00.33+100.

44、33+102 20.24+200.24+202 20.08+300.08+302 20.02=150.0.02=150.(2)(2)由由(1)(1)知知,Z,ZN(200,150),N(200,150),从而从而P(187.8Z212.2) P(187.8Z212.2) =P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826.=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826.由由知知, ,一件产品质量指标值位于区间一件产品质量指标值位于区间(187.8,212.2)(187.8,212.2)的概率为的概率为0.6826.0.6826.依题意知依题意知X XB(100,0.6826),

45、B(100,0.6826),所以所以E(X)=1000.6826=68.26.E(X)=1000.6826=68.26.热考考题型五型五排列、排列、组合与二合与二项式定理式定理【考情分析】【考情分析】难度难度: :中档题中档题题型题型: :以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主考查方式考查方式: :考查两个计数原理、排列、组合、二项式定考查两个计数原理、排列、组合、二项式定理、通项公式及二项式系数的性质理、通项公式及二项式系数的性质, ,排列、组合常与古排列、组合常与古典概型综合典概型综合, ,二项式定理常与函数、方程、定积分等知二项式定理常与函数、方程、定积分等知识综合识综合【考【考题集集

46、训】1.(20141.(2014重重庆高考高考) )某次某次联欢会要安排会要安排3 3个歌舞个歌舞类节目、目、2 2个小品个小品类节目和目和1 1个相声个相声类节目的演出目的演出顺序序, ,则同同类节目不相目不相邻的排法种数是的排法种数是( () )A.72 B.120 C.144 D.168A.72 B.120 C.144 D.168【解析】【解析】选选B.B.第一类第一类, ,当当2 2个小品类节目在个小品类节目在1 1个相声类节个相声类节目同侧时有目同侧时有 =72 =72种排法种排法, ,第二类第二类, ,当当2 2个小品类节目在个小品类节目在1 1个相声类节目两侧时有个相声类节目两侧

47、时有 =48 =48种排法种排法, ,共有共有72+48=12072+48=120种排法种排法, ,故选故选B.B.2.(20132.(2013全国卷全国卷)已知已知(1+ax)(1+x)(1+ax)(1+x)5 5的展开式中的展开式中x x2 2的的系数系数为5,5,则=( () )A.-4A.-4B.-3B.-3C.-2C.-2D.-1D.-1【解析】【解析】选选D.(1+x)D.(1+x)5 5中含有中含有x x与与x x2 2的项为的项为T T2 2= x=5x,= x=5x,T T3 3= x= x2 2=10x=10x2 2, ,所以所以x x2 2的系数为的系数为10+5a=5,

48、10+5a=5,解得解得a=-1.a=-1.3.(20143.(2014浙江高考浙江高考) )在在(1+x)(1+x)6 6(1+y)(1+y)4 4的展开式中的展开式中, ,记x xm my yn n项的系数的系数为f(m,n),f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=+f(0,3)=( () )A.45 B.60 C.120 D.210A.45 B.60 C.120 D.210【解析】【解析】选选C.C.由二项展开式的通项性质可知由二项展开式的通项性质可知x xm my yn n项的系项的系数为数为f(m,n)=f

49、(m,n)=所以所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.=120.4.(20144.(2014山山东高考高考) )若若 的展开式中的展开式中x x3 3项的系的系数数为20,20,则a a2 2+b+b2 2的最小的最小值为_._.【解析】【解析】将将 展开，得到展开，得到令令12-3r=312-3r=3，得，得r=3.r=3.由由 =20, =20,得得ab=1,ab=1,所以所以a a2 2+b+b2 22ab=2.2ab=2.答案：答案：2 2热考考题型六型六离散型随机离散型随机变量的分布列、均量的分布列

50、、均值与方差与方差【考情分析】【考情分析】难度难度: :中档题中档题题型题型: :以解答题为主以解答题为主考查方式考查方式: :以考查离散型随机变量的分布列、均值与方以考查离散型随机变量的分布列、均值与方差为主要对象差为主要对象, ,常与古典概型、互斥事件的概率、相互常与古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、二项分布等知识综合命题独立事件同时发生的概率、二项分布等知识综合命题, ,考查学生运用数学知识解决实际问题的能力考查学生运用数学知识解决实际问题的能力【考【考题集集训】1.(20141.(2014天津高考天津高考) )某大学志愿者某大学志愿者协会有会有6 6名男同学名男同学

51、,4,4名女同学名女同学. .在在这1010名同学中名同学中,3,3名同学来自数学学院名同学来自数学学院, ,其其余余7 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. .现从从这1010名同学中随机名同学中随机选取取3 3名同学名同学, ,到希望小学到希望小学进行行支教活支教活动( (每位同学被每位同学被选到的可能性相同到的可能性相同).).(1)(1)求求选出的出的3 3名同学是来自互不相同学院的概率名同学是来自互不相同学院的概率. .(2)(2)设X X为选出的出的3 3名同学中女同学的人数名同学中女同学的人数, ,求随机求随机变量量X X的

52、分布列和数学期望的分布列和数学期望. .【解析】【解析】(1)(1)设设“选出的选出的3 3名同学来自互不相同的学院名同学来自互不相同的学院”为事件为事件A,A,则则所以所以, ,选出的选出的3 3名同学来自互不相同学院的概率为名同学来自互不相同学院的概率为(2)(2)随机变量随机变量X X的所有可能值为的所有可能值为0,1,2,3.0,1,2,3.所以所以, ,随机变量随机变量X X的分布列是的分布列是随机变量随机变量X X的数学期望的数学期望X X0 01 12 23 3P P2.(20142.(2014湖北高考湖北高考) )计划在某水划在某水库建一座至多安装建一座至多安装3 3台台发电机

53、的水机的水电站站, ,过去去5050年的水文年的水文资料料显示示, ,水水库年入年入流量流量X(X(年入流量年入流量: :一年内上游来水与一年内上游来水与库区降水之和区降水之和. .单位位: :亿立方米立方米) )都在都在4040以上以上. .其中其中, ,不足不足8080的年份有的年份有1010年年, ,不低于不低于8080且不超且不超过120120的年份有的年份有3535年年, ,超超过120120的年份有的年份有5 5年年. .将年入流量在以上三段的将年入流量在以上三段的频率作率作为相相应段的概率段的概率, ,并假并假设各年的年入流量相互独立各年的年入流量相互独立. .(1)(1)求未来

54、求未来4 4年中年中, ,至多至多1 1年的年入流量超年的年入流量超过120120的概率的概率. .(2)(2)水水电站希望安装的站希望安装的发电机尽可能运行机尽可能运行, ,但每年但每年发电机最多可运行台数受年入流量机最多可运行台数受年入流量X X限制限制, ,并有如下关系并有如下关系: :年入流量年入流量X X40x8040x120x120发电机最多发电机最多可运行台数可运行台数1 12 23 3若某台若某台发电机运行机运行, ,则该台年利台年利润为50005000万元万元; ;若某台若某台发电机未运行机未运行, ,则该台年台年亏亏损800800万元万元, ,欲使水欲使水电站年利站年利润的

55、均的均值达到最大达到最大, ,应安装安装发电机多少台机多少台? ?【解析】【解析】(1)(1)依题意依题意,p,p1 1=P(40X80)= =0.2,=P(40X120)= =0.1.=P(X120)= =0.1.根据二项分布根据二项分布, ,在未来在未来4 4年中至多有年中至多有1 1年的年入流量超过年的年入流量超过120120的概率为的概率为(2)(2)记水电站年总利润为记水电站年总利润为Y,Y,安装安装1 1台发电机的情形台发电机的情形: :由于水库年入流量总大于由于水库年入流量总大于40,40,故一台发电机运行的概率故一台发电机运行的概率为为1,1,对应的年利润对应的年利润Y=500

56、0,E(Y)=15000=5000.Y=5000,E(Y)=15000=5000.安装安装2 2台发电机的情形台发电机的情形: :依题意依题意, ,当当40x8040x80时时, ,一台发电机运行一台发电机运行, ,此时此时Y=5000-800=4200,Y=5000-800=4200,因此因此P(Y=4200)=P(40x80)=pP(Y=4200)=P(40x80)=p1 1=0.2;=0.2;当当X80X80时时, ,两台发电机运行两台发电机运行, ,此时此时Y=50002=10000,Y=50002=10000,因此因此P(Y=10000)=P(X80)=pP(Y=10000)=P(X

57、80)=p2 2+p+p3 3=0.8;=0.8;由此得分布列如下由此得分布列如下所以所以,E(Y)=42000.2+100000.8=8840.,E(Y)=42000.2+100000.8=8840.Y Y4 2004 20010 00010 000P P0.20.20.80.8安装安装3 3台发电机的情形台发电机的情形: :依题意依题意, ,当当40x8040x80时时, ,一台发电机运行一台发电机运行, ,此时此时Y=5000-1600=3400,Y=5000-1600=3400,因此因此P(Y=3400)=P(40x80)=pP(Y=3400)=P(40x120X120时时, ,三台发

58、电机运行三台发电机运行, ,此时此时Y=50003=15000,Y=50003=15000,因此因此P(Y=15000)=P(X120)=pP(Y=15000)=P(X120)=p3 3=0.1.=0.1.由此得分布列如下由此得分布列如下所以所以,E(Y)=34000.2+92000.7+150000.1=8620.,E(Y)=34000.2+92000.7+150000.1=8620.综上综上, ,欲使水电站年总利润的均值达到最大欲使水电站年总利润的均值达到最大, ,应安装发应安装发电机电机2 2台台. .Y Y3 4003 4009 2009 20015 00015 000P P0.20.

59、20.70.70.10.13.(20133.(2013安徽高考安徽高考) )某高校数学系某高校数学系计划在周六和周日划在周六和周日各各举行一次主行一次主题不同的心理不同的心理测试活活动, ,分分别由李老由李老师和和张老老师负责, ,已知已知该系共有系共有n n位学生位学生, ,每次活每次活动均需均需该系系k k位学生参加位学生参加(n(n和和k k都是固定的正整数都是固定的正整数).).假假设李老李老师和和张老老师分分别将各自活将各自活动通知的信息独立、随机地通知的信息独立、随机地发给该系系k k位学生位学生, ,且所且所发信息都能收到信息都能收到. .记该系收到李老系收到李老师或或张老老师所

60、所发活活动通知信息的学生人数通知信息的学生人数为X.X.(1)(1)求求该系学生甲收到李老系学生甲收到李老师或或张老老师所所发活活动通知信通知信息的概率息的概率. .(2)(2)求使求使P(X=m)P(X=m)取得最大取得最大值的整数的整数m.m.【解析】【解析】(1)(1)因为事件因为事件A:“A:“学生甲收到李老师所发学生甲收到李老师所发信息信息”与事件与事件B:“B:“学生甲收到张老师所发信息学生甲收到张老师所发信息”是是相互独立的事件相互独立的事件, ,所以所以 与与 相互独立相互独立, ,由于由于P(A)=P(B)= ,P(A)=P(B)= ,故故P( )=P( )=1- ,P( )

61、=P( )=1- ,因此因此P=1-P=1-(2)(2)当当k=nk=n时时,m,m只能取只能取n,n,有有P(X=m)=P(X=n)=1,P(X=m)=P(X=n)=1,当当knkn时时, ,整数整数m m满足满足kmt,kmt,其中其中t t是是2k2k和和n n中的较小者中的较小者, ,由于由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给给k k位同学位同学”所包含的基本事件总数为所包含的基本事件总数为( )( )2 2, ,当当X=mX=m时时, ,同时收到李老师和张老师所发信息的学生人数恰为同时收到李老师和张老师所发信息的学生人数恰为2

62、k-2k-m,m,仅收到李老师或仅收到张老师所发信息的学生人数仅收到李老师或仅收到张老师所发信息的学生人数均为均为m-k,m-k,由乘法计数原理知由乘法计数原理知: :事件事件X=mX=m所包含基本事所包含基本事件数为件数为 , ,此时此时P(X=m)=P(X=m)=当当kmtkmt时时,P(X=m)P(X=m+1),P(X=m)P(X=m+1)(m-k+1)(m-k+1)2 2(n-m)(2k-m)(n-m)(2k-m)m2k- ,m2k- ,假如假如k2k- tk2k- t成立成立, ,则当则当(k+1)(k+1)2 2能被能被n+2n+2整除整除时时,k2k- 2k+1- t,k2k- 2k+1- t,故故P(X=m)P(X=m)在在m=2k-m=2k- 和和m=2k+1- m=2k+1- 处取得最大值处取得最大值; ;当当(k+1)(k+1)2 2不能不能被被n+2n+2整除时整除时,P(X=m),P(X=m)在在m=2k- m=2k- 处达最大值处达最大值. .( (注注:x:x表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数) )下面证明下面证明k2k- t.k2k- t.因为因为1kn,1kn,所以所以而而2k- -n= 0,2k- -n= 0,故故2k- n,2k- n,显然显然2k- 2k,2k- 2k,因此因此k2k- t.k2k- t.