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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项) .若数列及常数 a 有下列关系 :当 n N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .或则称该数列的极限为 a ,一、数列极限的定义一、数列极限的定义 目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n
2、N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设取则当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,虽有界但不收敛 .有数列（判断题）目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若且有证证: 对 a 0 , 取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)则则目录 上页 下页 返回 结束 *4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛
3、数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列是数列的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *目录 上页 下页 返回 结束 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 . 设函数大于某一正数时有定义, 若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线 .A 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极
4、限目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明证证:取因此注注:就有故欲使只要目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度 , 要求确定直接观测值精度 :目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数在点的某去心邻域内
5、有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作极限存在函数局部有界(P32定理2) 这表明: 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明证证:欲使取则当时, 必有因此只要目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明证证:故取当时, 必有因此目录 上页 下页 返回 结束 3. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :当时, 有右极限 :当时, 有定理定理 3 .( P39 题*11 )目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 给定函数讨论 时的极限是否存在 . 解解:因为显然所以不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 函数极限的性质2. 函数极限的局部保号性（函数极限的局
6、部保号性（P37定理定理3）1. 函数极限的局部有界性（函数极限的局部有界性（P36定理定理2）3. 函数极限的唯一性函数极限的唯一性 （P36定理定理1）4. 函数极限与数列极限的关系（函数极限与数列极限的关系（P37定理定理4）目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则例3 作业作业 P33 1 ; *5(2) ; *6(2) ; * 7; *9Th1Th3Th2是否一定有第四节 ？目录 上页 下页 返回 结束 2. 保号性定理保号性定理定理定理1
7、 . 若且 A 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A 0 时, 取正数则在对应的邻域上( 0)则存在( A 0 )(P37定理3)目录 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有推论推论:(P37定理3)分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在的某去心邻域内, 且 则证证: 用反证法.则由定理 1,的某去心邻域 , 使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为是否必有不能不能! 存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明: 当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有
