中考数学必背知识点(完整版)

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1、中考数学总复习资料中考数学总复习资料代数部分代数部分第一章：实数第一章：实数基础知识点：基础知识点：一、实数的，分类：一、实数的，分类：正整数整数 零有理数负整数数有限小数或无限循环小实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数1、有理数：任何一个有理数总可以写成理数的，重要特征。2、无理数：初中遇到的，无理数有三种：开不尽的，方根，如2、34；特定结构的，不限环无限小数，如 1.101001000100001；特定意义的，数，如、sin45等。3、判断一个实数的，数性不能仅凭表面上的，感觉，往往要经过整理化简后才下结论。二、实数中的，几个概念二、实数中的，几个概念1、相反数：只有

2、符号不同的，两个数叫做互为相反数。（1）实数 a 的，相反数是 -a； （2）a 和 b 互为相反数a+b=02、倒数：（1）实数a（a0）的，倒数是p的，形式，其中 p、q 是互质的，整数，这是有q1； （2）a 和 b 互为倒数ab 1； （3）注意0 没有倒数a3、绝对值：（1）一个数 a 的，绝对值有以下三种情况：a,a 0, a,a 0a 0a 0（2）实数的，绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的，绝对值，就是数轴上表示这个数的，点到原点的，距离。（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的，实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。4、n 次方根（1）平方根，算术

3、平方根：设a0，称a叫 a 的，平方根，a叫 a 的，算术平方根。（2）正数的，平方根有两个，它们互为相反数；0 的，平方根是 0；负数没有平方根。（3）立方根：3 a叫实数 a 的，立方根。（4）一个正数有一个正的，立方根；0 的，立方根是 0；一个负数有一个负的，立方根。三、实数与数轴三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的，直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的，三要素。2、数轴上的，点和实数的，对应关系：数轴上的，每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的，唯一的，点来表示。实数和数轴上的，点是一一对应的，关系。四、实数大小的，比较四、实数大小的，比较1、

4、在数轴上表示两个数，右边的，数总比左边的，数大。2、正数大于 0；负数小于 0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的，反而小。五、实数的，运算五、实数的，运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的，符号，并把它们的，绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的，加数的，符号，并用较大的，绝对值减去较小的，绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法：减去一个数等于加上这个数的，相反数。3、乘法：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n 个实数相乘，有一个因数为0，积就为 0；若 n 个非 0 的，实数相乘，积的，符号由负因数的，个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为

5、奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。4、除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的，倒数。（3）0 除以任何数都等于0，0 不能做被除数。5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。6、实数的，运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的，运算，先算高级的，运算再算低级的，运算，有括号的，先算括号里的，运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。六、有效数字和科学记数法六、有效数字和科学记数法1、科学记数法：设 N0，则 N= a10（其中

6、 1a10，n 为整数） 。2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0 的，数，到精确到的，数位为止，所有的，数字，叫做这个数的，有效数字。精确度的，形式有两种：（1）精确到那一位； （2）保留几个有效数字。例题：例题：例 1、已知实数 a、b 在数轴上的，对应点的，位置如图所示，且a b。化简：a a b ba分析：从数轴上 a、b 两点的，位置可以看到：a0，b0 且a bn所以可得：解：原式 a a b b a a例 2、若a (),3433b ( )3,433c ( )3，比较 a、b、c 的，大小。4433分析：a ( ) 1；b 1且b 0；c0；所以容易得出：34abc。解：略

7、例 3、若a 2与b 2互为相反数，求 a+b 的，值分析： 由绝对值非负特性， 可知a 2 0,又由题意可知：a 2 b2 0b 2 0，所以只能是：a2=0，b+2=0，即 a=2，b= 2 ，所以 a+b=0解：略例 4、已知a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，m 的，绝对值是1，求值。解：原式=011 0a bcd m2的，m1 1 e e 19941994ee0.125（2）例 5、计算： （1）822解： （1）原式=(80.125)19942211994111 11 e eeeeeee=e11（2）原式=2 22e2 代数部分代数部分第二章：代数式第二章：代数式基础知识

8、点：基础知识点：一、代数式一、代数式1、代数式：用运算符号把数或表示数的，字母连结而成的，式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。2、代数式的，值：用数值代替代数里的，字母，计算后得到的，结果叫做代数式的，值。3、代数式的，分类：单项式整式有理式多项式代数式分式无理式二、整式的，有关概念及运算二、整式的，有关概念及运算1、概念（1）单项式：像 x、7、2x y，这种数与字母的，积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的，次数：一个单项式中，所有字母的，指数叫做这个单项式的，次数。单项式的，系数：单项式中的，数字因数叫单项式的，系数。（2）多项式：几个单项式的，和叫做多项式。多

9、项式的，项：多项式中每一个单项式都叫多项式的，项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式的，次数：多项式里，次数最高的，项的，次数，就是这个多项式的，次数。不含字母的，项叫常数项。升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的，指数从小（大）到大（小）的，顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的，指数也分别相同的，项叫做同类项。2、运算（1）整式的，加减：合并同类项：把同类项的，系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的，指数不变。去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的， “+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“”号，把括号和它前面

10、的， “”号去掉，括号里的，各项都变号。添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的，各项都不变；括号前面是“”号，括到括号里的，各项都变号。整式的，加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。（2）整式的，乘除：幂的，运算法则：其中m、n 都是正整数同底数幂相乘：aa amnmn2；同底数幂相除：aa amnmn；幂的，乘方：(am)n amn积的，乘方：(ab)n anbn。单项式乘以单项式： 用它们系数的，积作为积的，系数，对于相同的，字母，用它们的，指数的，和作为这个字母的，指数；对于只在一个单项式里含有的，字母，则连同它的，指数作为积的，一个因式。单项式

11、乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的，每一项，再把所得的，积相加。多项式乘以多项式：先用一个多项式的，每一项乘以另一个多项式的，每一项，再把所得的，积相加。单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的，因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的，指数作为商的，一个因式。多项式除以单项式：把这个多项式的，每一项除以这个单项，再把所得的，商相加。乘法公式：平方差公式：(a b)(a b) a b；完全平方公式：(a b) a 2ab b，(a b) a 2ab b三、因式分解三、因式分解1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的，积的，形式，叫因式分解。2、常用的，因式分解方法：（1）提取公

12、因式法：ma mb mc m(a b c)（2）运用公式法：平方差公式：a b (a b)(a b)；完全平方公式：a 2ab b (a b)（3）十字相乘法：x (a b)x ab (x a)(x b)（4）分组分解法：将多项式的，项适当分组后能提公因式或运用公式分解。（5）运用求根公式法：若ax bx c 0(a 0)的，两个根是x1、x2，则有：222222222222222ax2bx c a(x x1)(x x2)3、因式分解的，一般步骤：（1）如果多项式的，各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字

13、相乘法分解，不行的，再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法。四、分式四、分式1、分式定义：形如A的，式子叫分式，其中A、B 是整式，且 B 中含有字母。B（1）分式无意义：B=0 时，分式无意义； B0 时，分式有意义。（2）分式的，值为 0：A=0，B0 时，分式的，值等于 0。（3）分式的，约分：把一个分式的，分子与分母的，公因式约去叫做分式的，约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。（4）最简分式：一个分式的，分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的，最终结果若是分式，一定要化为最简分式。（5）通分：把几个异分母的，分式分别化成与原来分式相等的，同分母分式的，过程，叫

14、做分式的，通分。（6）最简公分母：各分式的，分母所有因式的，最高次幂的，积。（7）有理式：整式和分式统称有理式。2、分式的，基本性质：（1）AAMAA M(M是 0的整式)；(M是 0的整式)（2）BBMBB M（3）分式的，变号法则：分式的，分子，分母与分式本身的，符号，改变其中任何两个，分式的，值不变。3、分式的，运算：（1）加、减：同分母的，分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的，分式相加减，先把它们通分成同分母的，分式再相加减。（2）乘：先对各分式的，分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。（3）除：除以一个分式等于乘上它的，倒数式。（4）乘方：分式的，乘方就是把分

15、子、分母分别乘方。五、二次根式五、二次根式1、二次根式的，概念：式子a(a 0)叫做二次根式。（1）最简二次根式：被开方数的，因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的，因式的，二次根式叫最简二次根式。（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的，二次根式，叫做同类二次根式。（3）分母有理化：把分母中的，根号化去叫做分母有理化。（4）有理化因式：把两个含有二次根式的，代数式相乘，如果它们的，积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的，有理化因式有：a与a；a b c d与a b c d）2、二次根式的，性质：2（1）( a) a(a 0)； （2）a2 a

16、 aa(a 0)(a 0)； （3）ab a b（a0，b0） ； （4）aa(a 0,b 0)bb3、运算：（1）二次根式的，加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。（2）二次根式的，乘法：a b ab（a0，b0） 。（3）二次根式的，除法：aba(a 0,b 0)b二次根式运算的，最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。例题：例题：一、因式分解：1、提公因式法：例 1、24a (x y) 6b (y x)分析：先提公因式，后用平方差公式解：略规律总结因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为22止，往往需要对分解后的，每一个因式进行最后的，审查，如

17、果还能分解，应继续分解。2、十字相乘法：42例 2、 （1）x 5x 36； （2）(x y) 4(x y) 122分析：可看成是x和(x+y)的，二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略规律总结应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的，一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。3、分组分解法：例 3、x 2x x 2分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略规律总结对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的，目的，是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。4、求根公式法：例 4、x 5x 5解：略二、式的，运算巧用公式例 5、计算：(1

18、23221212) (1)a ba b分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略规律总结抓住三个乘法公式的，特征，灵活运用，特别要掌握公式的，几种变形，公式的，逆用，掌握运用公式的，技巧，使运算简便准确。2、化简求值：例 6、先化简，再求值：5x (3x 5x ) (4y 7xy)，其中 x= 1 y =12解：略规律总结一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的，法则。3、分式的，计算：例 7、化简2222a 516( a 3)2a 6a 3a29分析：a 3可看成a 3解：略规律总结分式计算过程中： （1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母； （2）注意负号4、根式计算例 8、已

19、知最简二次根式2b 1和7 b是同类二次根式，求 b 的，值。分析：根据同类二次根式定义可得：2b+1=7 b。解：略规律总结二次根式的，性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的，化简、求值及性质的，运用是中考的，主要考查内容。代数部分代数部分第三章：方程和方程组第三章：方程和方程组基础知识点：基础知识点：一、方程有关概念一、方程有关概念1、方程：含有未知数的，等式叫做方程。2、方程的，解：使方程左右两边的，值相等的，未知数的，值叫方程的，解，含有一个未知数的，方程的，解也叫做方程的，根。3、解方程：求方程的，解或方判断方程无解的，过程叫做解方程。4、方程的，增根：在方程变形时，产生的，不适

20、合原方程的，根叫做原方程的，增根。二、一元方程二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的，标准形式：ax+b=0（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a0）（2）一玩一次方程的，最简形式：ax=b（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a0）（3）解一元一次方程的，一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。（4）一元一次方程有唯一的，一个解。2、一元二次方程（1）一元二次方程的，一般形式：ax bx c 0（其中 x 是未知数，a、b、c 是已知数，a0）（2）一元二次方程的，解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的，选择顺序是：先特殊后一

21、般，如果没有要求，一般不用配方法。（4）一元二次方程的，根的，判别式： b 4ac当0 时方程有两个不相等的，实数根；当=0 时方程有两个相等的，实数根；当0，即原不等式的，解集为x 10 a10 a， 3解此方程求出 a 的，值。a 2a 2解：略规律总结此题先解字母不等式，后着眼已知的，解集，探求成立的，条件，此种类型题都采用逆向思考法来解。代数部分代数部分第六章：函数及其图像第六章：函数及其图像知识点：知识点：一、平面直角坐标系1、平面内有公共原点且互相垂直的，两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的，点和有序实数对之间建立了一对应的，关系。2、不同位置点的，坐标的，特征：（1

22、）各象限内点的，坐标有如下特征：点 P（x, y）在第一象限x 0，y0；点 P（x, y）在第二象限x0，y0；点 P（x, y）在第三象限x0，y0；点 P（x, y）在第四象限x0，y0。（2）坐标轴上的，点有如下特征：点 P（x, y）在 x 轴上y 为 0，x 为任意实数。点 P（x，y）在 y 轴上x 为 0，y 为任意实数。3点 P（x, y）坐标的，几何意义：（1）点 P（x, y）到 x 轴的，距离是| y |；（2）点 P（x, y）到 y 袖的，距离是| x |；（3）点 P（x, y）到原点的，距离是x2 y24关于坐标轴、原点对称的，点的，坐标的，特征：（1）点 P（

23、a, b）关于 x 轴的，对称点是P1(a,b)；（2）点 P（a, b）关于 x 轴的，对称点是P2(a,b)；（3）点 P（a, b）关于原点的，对称点是P3(a,b)；二、函数的，概念1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的，量叫做变量；保持数值不变的，量叫做常量。2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和 y，如果对于 x 的，每一个值，y 都有唯一的，值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是 x 的，函数。（1）自变量取值范围的，确是：解析式是只含有一个自变量的，整式的，函数，自变量取值范围是全体实数。解析式是只含有一个自变量的，分式的，函数，自变量取值范围是使分母

24、不为0 的，实数。解析式是只含有一个自变量的， 偶次根式的，函数，自变量取值范围是使被开方数非负的，实数。注意：在确定函数中自变量的，取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。（2）函数值：给自变量在取值范围内的，一个值所求得的，函数的，对应值。（3）函数的，表示方法：解析法；列表法；图像法（4）由函数的，解析式作函数的，图像，一般步骤是：列表；描点；连线三、几种特殊的，函数1、一次函数直线位置与 k，b 的，关系：（1）k0 直线向上的，方向与 x 轴的，正方向所形成的，夹角为锐角；（2）k0 直线向上的，方向与 x 轴的，正方向所形成的，夹角为钝角；（3）b0 直线与 y 轴交

25、点在 x 轴的，上方；（4）b0 直线过原点；（5）b0 直线与 y 轴交点在 x 轴的，下方；2、二次函数抛物线位置与 a，b，c 的，关系：（1）a 决定抛物线的，开口方向a 0 开口向上a 0 开口向下（2）c 决定抛物线与 y 轴交点的，位置：c0图像与 y 轴交点在 x 轴上方；c=0图像过原点；c0图像与 y 轴交点在 x轴下方；（3）a，b 决定抛物线对称轴的，位置：a，b 同号，对称轴在 y 轴左侧；b0，对称轴是 y 轴； a，b 异号。对称轴在 y 轴右侧；3、反比例函数：4、正比例函数与反比例函数的，对照表：例题：例题：例1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，

26、4） ，已知点P到x轴的，距离是到y轴的，距离2倍.求点P的，坐标.；求正比例函数、反比例函数的，解析式。分析：由点P 到 x 轴的，距离是到y 轴的，距离2 倍可知：2|m|=4，易求出点P 的，坐标，再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的，解析式。解：略例 2、已知 a，b 是常数，且 y+b 与 x+a 成正比例.求证：y 是 x 的，一次函数.分析：应写出 y+b 与 x+a 成正比例的，表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.证明：由已知，有 y+b=k(x+a)，其中 k0.整理，得 y=kx+(kab).因为 k0 且 kab 是常数，故 y=kx+(kab)是 x 的，

27、一次函数式.例 3、 填空： 如果直线方程 ax+by+c=0 中， a0， b0 且 bc0， 则此直线经过第_象限.分析：先把ax+by+c=0 化为abx cb.因为 a0，b0，所以aab0,b0，又 bc0，即cb0，故cb0.相当于在一次函数 y=kx+l 中，k=acb0，l=b0，此直线与 y轴的，交点(0，cb)在 x 轴上方.且此直线的，向上方向与x 轴正方向所成角是钝角，所以此直线过第一、二、四象限.例 4、把反比例函数 y=kx与二次函数 y=kx2(k0)画在同一个坐标系里，正确的，是( ).答：选(D).这两个函数式中的，k 的，正、负号应相同(图 13110).例

28、 5、画出二次函数 y=x2-6x+7 的，图象，根据图象回答下列问题：（1）当 x=-1，1，3 时 y 的，值是多少？（2）当 y=2 时，对应的，x 值是多少？（3）当 x3 时，随 x 值的，增大 y 的，值怎样变化？（4）当 x 的，值由 3 增加 1 时，对应的，y 值增加多少？22分析： 要画出这个二次函数的， 图象， 首先用配方法把 y=x -6x+7 变形为 y=（x-3）-2，确定抛物线的，开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图解：图象略例 6、拖拉机开始工作时，油箱有油45 升，如果每小时耗油6 升（1）求油箱中的，余油量Q（升）与工作时间 t（时）之间的，函数

29、关系式；（2）画出函数的，图象答：（1）Q=45-6t（2）图象略注意：这是实际问题，图象只能由自变量t 的，取值范围0t7.5 决定是一条线段，而不是直线代数部分代数部分第七章：统计初步第七章：统计初步知识点：知识点：一、总体和样本：在统计时，我们把所要考察的，对象的，全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取的，一部分个体叫做总体的，一个样本，样本中个体的，数目叫做样本容量。二、反映数据集中趋势的，特征数1、平均数（1）x1,x2,x3,xn的，平均数，x 1(x1 x2 xn)n（2）加权平均数：如果n 个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次（这里f1 f2

30、fk n） ，则x （3）平均数的，简化计算：当一组数据x1,x2,x3,xn中各数据的，数值较大，并且都与常数a 接近时，设1(x1f1 x2f2 xkfk)nx1 a,x2 a,x3 a,xn a的，平均数为x则：x x a。2、中位数：将一组数据接从小到大的，顺序排列，处在最中间位置上的，数据叫做这组数据的，中位数，如果数据的，个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的，平均数。3、众数：在一组数据中，出现次数最多的，数据叫做这组数据的，众数。一组数据的，众数可能不止一个。三、反映数据波动大小的，特征数：1、方差：(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2（l）x1,x2,x3,x

31、n的，方差，Sn22x x2 xn2 x（x1,x2,x3,xn为较小的，整数（2）简化计算公式：S1n222时用这个公式要比较方便）2（3）记x1,x2,x3,xn的，方差为S，设 a 为常数，x1 a,x2 a,x3 a,xn a222的，方差为S，则S=S。注：当x1,x2,x3,xn各数据较大而常数 a 较接近时，用该法计算方差较简便。2、标准差：方差（S）的，算术平方根叫做标准差（S） 。注：通常由方差求标准差。四、频率分布1、有关概念（1）分组：将一组数据按照统一的，标准分成若干组称为分组，当数据在100 个以内时，通常分成 512 组。（2）频数：每个小组内的，数据的，个数叫做该

32、组的，频数。各个小组的，频数之和等于数据总数 n。（3）频率：每个小组的，频数与数据总数n 的，比值叫做这一小组的，频率，各小组频率之和为 l。（4）频率分布表：将一组数据的，分组及各组相应的，频数、频率所列成的，表格叫做频率分布表。（5）频率分布直方图：将频率分布表中的，结果，绘制成的，以数据的，各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的，直方图，叫做频率分布直方图。图中每个小长方形的，高等于该组的，频率除以组距。每个小长方形的，面积等于该组的，频率。所有小长方形的，面积之和等于各组频率之和等于1。样本的，频率分布反映样本中各数据的，个数分别占样本容量n 的，比例的，大小，总体分布反映总体中各

33、组数据的，个数分别在总体中所占比例的，大小，一般是用样本的，频率分布去估计总体的，频率分布。2、研究频率分布的，方法；得到一数据的，频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是：（1）计算最大值与最小值的，差； （2）决定组距与组数； （3）决定分点； （4）列领率分布表； （5）绘频率分布直方图。例题：例题：例 1、某养鱼户搞池塘养鱼，放养鳝鱼苗20000 尾，其成活率为 70，随意捞出 10 尾鱼，称得每尾的，重量如下（单位：千克）08、09、12、13、08、1l、10、12、08、09根据样本平均数估计这塘鱼的，总产量是多少千克？分析：先算出样本的，平均数，以样本平

34、均数乘以20000，再乘以 70%。2解：略规律总结求平均数有三种方法，即当所给数据比较分散时，一般用平均数的，概念来求；著所给数据较大且都在某一数a 上下波动时，通常采用简化公式；若所给教据重复出现时，通常采用加权平均数公式来计算。例 2、一次科技知识竞赛，两次学生成绩统计如下已经算得两个组的，人均分都是 80 分，请根据你所学过的，统计知识进一步判断这两个组成绩谁优谁次，并说明理由解： （l）甲组成绩的，众数90 分，乙组成绩的，众数为70 分，从众数比较看，甲组成绩好些。（2）算得S甲=172，S乙256所以甲组成绩较乙组波动要小。（3）甲、乙两组成绩的，中位数都是80 分，甲组成绩在中

35、位数以上的，有33 人，乙组成绩在中位数以上的，有26 人，从这一角度看甲组的，成绩总体要好。（4）从成绩统计表看，甲组成绩高于80 分的，人数为 20 人，乙组成绩高于 80 分的，人数为 24 人，所以，乙组成绩集中在高分段的，人数多，同时，乙组得满分的，人数比甲组得满分的，人数多 6 人，从这一角度看，乙组的，成绩较好。规律总结 明确方差或标准差是衡量一组数据的， 波动的， 大小的， ，恰当选用方差的，三个计算公式，应抓住三个公式的，特征，根据题中数据的，特点选用计算公式。例 3、到从某学校 3600 人中抽出 50 名男生，取得他们的，身高（单位 cm） ，数据如下：181 18117

36、9177177177176175175175175174 174 174 174 173 173 173173172172172172172171171171170170169l69 168 167167167166l66l66166166165165165163163162161160 1581571、计算频率，并画出频率分布直方图2、上指出身高在哪一组内的，男学生人数所占的，比最大3请估计这些初三男学生身高在1665cm 以下的，约有多少人？22解：1、各组频率依次是：0.08，0.22，0.22，0.36，0.122、从频率分布表（或图）中，可见身高在171.5176.5 组内男学生人数

37、所占的，比最大。3、这个地方男学生身高166.5 侧以下的，约为3000(0.08 0.22) 900（人）规律总结要掌握获得一组数据的，频率分布的，五大步骤，掌握整理数据的，步骤和方法。会对数据进行合理的，分组。几何部分几何部分第一章：线段、角、相交线、平行线第一章：线段、角、相交线、平行线知识点：知识点：一、直线：直线是几何中不加定义的，基本概念，直线的，两大特征是“直”和“向两方无限延伸” 。二、直线的，性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的，这条性质是以公理的，形式给出的， ，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。三、射线：1、射线的，定义：直线上一点

38、和它们的，一旁的，部分叫做射线。2射线的，特征： “向一方无限延伸，它有一个端点。 ”四、线段：1、线段的，定义：直线上两点和它之间的，部分叫做线段，这两点叫做线段的，端点。2、线段的，性质（公理） ：所有连接两点的，线中，线段最短。五、线段的，中点：1、定义如图 1 一 1 中，点 B 把线段 AC 分成两条相等的，线段，点B 叫做线段图 11AC 的，中点。2、表示法：ABBC点 B 为 AC 的，中点或 AB1MAC2点 B 为 AC 的，中点，或AC2AB，点 B 为 AC 的，中点反之也成立点 B 为 AC 的，中点，ABBC或点 B 为 AC 的，中点， AB=1AC2或点 B 为

39、 AC 的，中点， AC=2BC六、角1、角的，两种定义：一种是有公共端点的，两条射线所组成的，图形叫做角。要弄清定义中的，两个重点角是由两条射线组成的，图形；这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的， 图形。 可以看出在起始位置的，射线与终止位置的，射线就形成了一个角。2角的，平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的，角，这条射线叫做这个角的，平分线。表示法有三种：如图12（1）AOCBOC（2）AOB2AOC 2COB（3）AOCCOB=1AOB2七、角的，度量：度量角的，大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一

40、度的，角。1 度=60 分；1 分=60 秒。八、角的，分类：（1）锐角：小于直角的，角叫做锐角（2）直角：平角的，一半叫做直角（3）钝角：大于直角而小于平角的，角（4）平角：把一条射线，绕着它的，端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的，角叫做平角。（5）周角：把一条射线，绕着它的，端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的，角叫做周角。（6）周角、平角、直角的，关系是： l 周角=2 平角=4 直角=360九、相关的，角：1、对顶角：一个角的，两边分别是另一个角的，两边的，反向延长线，这两个角叫做对顶角。2、互为补角：如果两个角的，和是一个平角，这两个角做互为补角

41、。3、互为余角：如果两个角的，和是一个直角，这两个角叫做互为余角。4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的，两个角做互为邻补角。注意：互余、互补是指两个角的，数量关系，与两个角的，位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的，位置关系。十、角的，性质1、对顶角相等。2、同角或等角的，余角相等。3、同角或等角的，补角相等。十一、相交线1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的，斜线。它们的，交点叫做斜足。2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的，四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的，一条直线叫做另一条直

42、线的，垂线，它们的，交点叫做垂足。4、垂线的，性质（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连结的，所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。十二、距离1、两点的，距离：连结两点的，线段的，长度叫做两点的，距离。2、从直线外一点到这条直线的，垂线段的，长度叫做点到直线的，距离。3、两条平行线的，距离：两条直线平行，从一条直线上的，任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的，长度，叫做两条平行线的，距离。说明：点到直线的，距离和平行线的，距离实际上是两个特殊点之间的，距离，它们与点到直线的，垂线段是分不开的， 。十三、平行线1、定义：在同一平面内，不相交的，两条直线叫做

43、平行线。2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3、平行公理的，推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的，直线平行。4、平行线的，判定：（1）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。5、平行线的，性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。6、如果一个角的，两边分别平行于另一个角的，两边，那么这两个角相

44、等或互补。注意：当角的，两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的，两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。例题：例题：方法 1：利用特殊“点”和线段的，长例 1、已知：如图 13，C 是线段 AB 的，中点，D 是线段 CB的，中点，BD1.2cm。求：AD 的，长。思路分析由 D 是 CB 中点，DB 已知可求出 CB，再由 C 点是 AB 中点可求出 AB 长，用 AB 减减去 DB 可求 AD。解：略规律总结利用线段的，特殊点如“中点” “比例点”求线段的，长的，方法是较为简便的，解法。方法 2：如何辨别角的，个数与线段条数。例 2、 如图 14 在线段 AE 上

45、共有 5 个点 A、 B、 C、 D、E 怎样才数出所有线段，思路分析本问题如不认真审题会误以为有4 点恰有 4 个空就是 4 条线段即 AB、BC、CD、 ED；而如果从一个端点出发、再找出另一个端点确定线段，就会发现有10 条线段：即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE 共 10 条。规律总结此类型题如果做到不重不漏，最好方法是先从一个端点出发，再找出另一个端点确定线段。例 3、如图 1 一 5 指出图形中直线 AB 上方角的，个数（不含平角）思路分析此题有些同学不认真分析误认为就4 个角，其实共有 9 个角。即：AOC、AOD、AOE、COD、COE、COB、DO

46、E、DOB、EOB 共 9 个角。规律总结从一个顶点引出多条射线时为了确定角的，个数，一般按边顺序分类统计，避免既不重复又不遗漏。方法 3：用代数法求角度例 4、已知一个锐角的，余角，是这个锐角的，补角的，1，求这个角。6思路分析本题涉及到的，角是锐角同它的，余角及补角。根据互为余角，互为补角的，概念，考虑它们在数量上有什么关系？设锐角为x，则它的，余角为 90 x 。 ，它的，补角为 180 x，这就可以列方程了。解：略规律总结有关余角、补角的，问题，一般都用代数方法先设未知数，再依题意列出方程，求出结果。方法 4：添加辅助线平移角例 5、已知：如图 l6，ABED求证：BBCDD360思路

47、分析我们知道只有周角是等于360， 而图中又出现了与BCD 相关的，以 C 为顶点的，周角，若能把B、D 移到与BCD 相邻且以 C 为顶点的，位置，即可把B、BCD和D 三个角组成一分周角，则可推出结论。证时：略规律总结此题虽是三种证法但思想是一样的， ，都是通过加辅助线，平移角达到目的， ，这种处理方法在几何中常常用到。几何部分几何部分第二章：三角形第二章：三角形知识点：知识点：一、关于三角形的，一些概念由不在同一条直线上的，三条线段首尾顺次相接所组成的，图形叫做三角形。组成三角形的，线段叫三角形的，边；相邻两边的，公共端点叫三角形的，顶点；相邻两边所组成的，角叫三角形的，内角，简称三角形

48、的，角。1、三角形的，角平分线。三角形的，角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的，距离）2、三角形的，中线三角形的，中线也是一条线段（顶点到对边中点间的，距离）3三角形的，高三角形的，高线也是一条线段（顶点到对边的，距离）注意：三角形的，中线和角平分线都在三角形内。如图 2l， AD、 BE、 CF 都是么 ABC 的，角平分线，它们都在ABC 内如图 22，AD、BE、CF 都是ABC 的，中线，它们都在ABC 内而图 23，说明高线不一定在 ABC 内，图 23（1）图 23（2）图 23 一（3）图 23（1） ，中三条高线都在 ABC 内，图 23（2） ，中高线 CD 在

49、ABC 内，而高线 AC 与 BC 是三角形的，边；图 23 一（3） ，中高线 BE 在ABC 内，而高线 AD、CF 在ABC 外。三、三角形三条边的，关系三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的，叫等腰三角形；三边都相等的，则叫等边三角形。等腰三角形中，相等的，两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的，夹角叫底角，两腰的，夹角叫项角。三角形接边相等关系来分类：不等边三角形三角形三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形等边三角形用集合表示，见图 24推论三角形两边的，差小于第三边。不符合定理的，三条线段，不能组成三角形的，三边。例如三条线段长分别为 5，6，1 人因为 5612，所

50、以这三条线段，不能作为三角形的，三边。三、三角形的，内角和定理三角形三个内角的，和等于180由定理可知，三角形的，二个角已知，那么第三角可以由定理求得。如已知ABC 的，两个角为A90，B40，则C180904050由定理可以知道，三角形的，三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。推论 1：直角三角形的，两个锐角互余。三角形按角分类：直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形用集合表示，见图三角形一边与另一边的，延长线组成的，角，叫三角形的，外角。推论 2：三角形的，一个外角等于和它不相邻的，两个内角的，和。推论 3：三角形的，一个外角大于任何一个和它不相邻的，内角。例如图 26 中1 3

51、； 1=34； 538； 5378；28；278；49；4910 等等。四、全等三角形能够完全重合的，两个图形叫全等形。两个全等三角形重合时，互相重合的，顶点叫对应顶点，互相重合的，边叫对应边，互相重合的，角叫对应角。全等用符号“”表示ABCA BC表示 A 和 A，B 和 B，C 和 C是对应点。全等三角形的，对应边相等；全等三角形的，对应角相等。如图27，ABCA BC，则有A、B、C的，对应点A、B、C；AB、BC、CA的，对应边是AB、BC、CA。A，B，C的，对应角是A、B、C。ABAB，BCBC，CACA；AA， BB，CC五、全等三角形的，判定 1、边角边公理：有两边和它们的，夹

52、角对应相等的，两个三角形全等（可以简写成 “边角边”或“SAS”）注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。 2、角边角公理：有两角和它们的，夹边对应相等的，两个三角形全等（可以简写成 “角边角“或“ASA”） 3、推论有两角和其中一角的， 对边对应相等的， 两个三角形全等 （可以简写成“角角边域“AAS”） 4、边边边公理有三边对应相等的，两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）由边边边公理可知，三角形的，重要性质：三角形的，稳定性。除了上面的，判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。 5、直角三角形全等的，判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的，两个

53、直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）六、角的，平分线定理1、在角的，平分线上的，点到这个角的，两边的，距离相等。定理2、一个角的，两边的，距离相等的，点，在这个角的，平分线上。由定理1、2可知：角的，平分线是到角的，两边距离相等的，所有点的，集合。可以证明三角形内存在一个点， 它到三角形的， 三边的， 距离相等这个点就是三角形的，三条角平分线的，交点（交于一点）在两个命题中，如果第一个命题的，题设是第二个命题的，结论，而第一个命题的，结论又是第二个命题的，题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的，一个做原命题，那么另一个叫它的，逆命题。如果一个定理的，逆命题经过证明是

54、真命题， 那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的，逆定理。例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等 ”就没逆定理，因为“相等的，角是对顶角”这是一个假命颗。七、基本作图限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网最基本、最常用的，尺规作图通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）从而得到对应角相等。3、经过一点作已知直线的， 垂线： （1）若点在已知直线上， 可看作是平分已知角平角

55、；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的，方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的，长为半径分别作弧交于 D点，连结CD即为所求垂线。4、作线段的，垂直平分线：线段的，垂直平分线也叫中垂线。做法的，实质仍是全等三角形（SSS）。也可以用这个方法作线段的，中点。八、作图题举例重要解决求作三角形的，问题 1、已知两边一夹角，求作三角形 2、已知底边上的，高，求作等腰三角形九、等腰三角形的，性质定理等腰三角形的，性质定理：等腰三角形的，两个底角相等（简写成“等边对等角”）推论1：等腰三角形顶角的，平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三

56、角形的，顶角的，平分线、底边上的，中线、底边上的，高互相重合。推论2：等边三角形的，各角都相等，并且每一个角都等于60例如：等腰三角形底边中线上的，任一点到两腰的，距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的，角平分线、而角平分线上的，点到角的，两边距离相等n十、等腰三角形的，判定定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的，两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。推论1：三个角都相等的，三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60的，等腰三角形是等边三角形推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 3O，那么它所对的，直角边等于斜边的，一半。十一、线段的，垂直平分线定理：线段垂直平分线上的，点

57、和这条线段两个端点的，距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的，点，在这条线段的，垂直平分线上。就是说： 线段的， 垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的， 所有点的， 集合。十二、轴对称和轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线轴对称， 两个图形中的， 对应点叫关于这条直线的， 对称点， 这条直线叫对称轴。两个图形关于直线对称也叫轴对称。定理1：关于某条直线对称的，两个图形是全等形。定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的，垂直平分线。定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的，对应线段或延长相交。那

58、么交点在对称轴上。逆定理：如果两个图形的，对应点连线被一条直线垂直平分， 那么这两个图形关于这条直线对称。如果一个图形沿着一条直线折叠， 直线两旁的，部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。例如：等腰三角形顶角的，分角线就具有上面所述的，特点，所以等腰三角形顶角的，分角线是等腰三角形的，一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。十三、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边a、b的，平方和等于斜边c的，平方：a b c勾股定理的，逆定理：如果三角形的，三边长a、b、c有下面关系：a b c那么这个三角形是直角三角形例题：例题：例1、已知：AB、CD相交于点O，ACDB，OC=

59、OD,E、F为AB上两点，且AE=BF.求证：CE=DF分析：要证CE=DF，可证ACEBDF，但由已知条件直接证不出全等，这时由已知条件可先证出AOCBOD，得出AC=BD，从而证出ACEBDF.证明：略例2、 已知： 如图， AB=CD， BC=DA， E、 F是AC上两点， 且AE=CF。求证：BF=DE分析：观察图形， BF和DE分别在CFB和AED（或ABF和CDE）中，由已知条件不能直接证明这两个三角形全等。 这时可由已知条件先证明ABCCDA,由此得1=2， 从而证出CFBAED。证明：略例3、已知：CAE是三角形ABC的，外角, 1=2， ADBC 。求证：AB=AC证明：略例

60、 4、 已知： 如图 3 89， OE 平分 AOB， EC OA 于 C， ED OB于 D求证：（1）OCOD；（2）OE 垂直平分 CD22222分析：证明第（1）题时，利用“等角的，余角相等”可得到OECOED，再利用角平分线的，性质定理得到 OCOD这样处理，可避免证明两个三角形全等证明：略几何部分几何部分第三章：四边形第三章：四边形知识点：知识点：一、多边形1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的，图形，叫做多边形。2、多边形的，边：组成多边形的，各条线段叫做多边形的，边。3、多边形的，顶点：多边形每相邻两边的，公共端点叫做多边形的，顶点。4、多边形的，对角线：连结多边形不相邻的，

61、两个顶点的，线段叫做多边形的，对角线。5、多边形的，周长：多边形各边的，长度和叫做多边形的，周长。6、凸多边形：把多边形的，任何一条边向两方延长，如果多边形的，其他各边都在延长线所得直线的，问旁，这样的，多边形叫凸多边形。说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的，叫做三角形；有四条边的，叫做四边形；有几条边的，叫做几边形。今后所说的，多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。7、多边形的，角：多边形相邻两边所组成的，角叫做多边形的，内角，简称多边形的，角。8、多边形的，外角：多边形的，角的，一边与另一边的，反向延长线所组成的，角叫做多边形的，外角。注意：多边形的，外角也就是与它有公共顶点的，内

62、角的，邻补角。9、n 边形的，对角线共有1n(n3)条。2说明：利用上述公式，可以由一个多边形的，边数计算出它的，对角线的，条数，也可以由一个多边形的，对角线的，条数求出它的，边数。10、多边形内角和定理：n 边形内角和等于（n2）180。11、多边形内角和定理的，推论：n 边形的，外角和等于 360。说明：多边形的，外角和是一个常数（与边数无关） ，利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。 无论用哪个公式解决有关计算， 都要与解方程联系起来，掌握计算方法。二、平行四边形1、平行四边形：两组对边分别平行的，四边形叫做平行四边形。2、平行四边形性质定理1：平行四边形的，对

63、角相等。3、平行四边形性质定理2：平行四边形的，对边相等。4、平行四边形性质定理2 推论：夹在平行线间的，平行线段相等。5、平行四边形性质定理3：平行四边形的，对角线互相平分。6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的，四边形是平行四边形。7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的，四边形是平行四边形。8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的，四边形是平行四边形。9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的，四边形是平行四边形。说明： （1）平行四边形的，定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的，基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的，重要方法。（2）平行四边形的，定义即

64、是平行四边形的，一个性质，又是平行四边形的，一个判定方法。三、矩形矩形是特殊的，平行四边形，从运动变化的，观点来看，当平行四边形的，一个内角变为 90时，其它的，边、角位置也都随之变化。因此矩形的，性质是在平行四边形的，基础上扩充的， 。1、矩形：有一个角是直角的，平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）2、矩形性质定理 1：矩形的，四个角都是直角。3矩形性质定理 2：矩形的，对角线相等。4、矩形判定定理 1：有三个角是直角的，四边形是矩形。说明：因为四边形的，内角和等于360 度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。5、矩形判定定理 2：对角线相等的，平行四边形是矩形。说明：要判定四

65、边形是矩形的，方法是：法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）法三：只需证出三个角都是直角。 （这是判定定理 2）四、菱形菱形也是特殊的，平行四边形，当平行四边形的，两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。1、菱形：有一组邻边相等的，平行四边形叫做菱形。2、菱形的，性质 1：菱形的，四条边相等。3、菱形的，性质 2：菱形的，对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。4、菱形判定定理 1：四边都相等的，四边形是菱形。5、菱形判定定理 2：对角线互相垂直的，平行四边形是菱形。说明：要判定四

66、边形是菱形的，方法是：法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。 （这就是定义证明） 。法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。 （这是判定定理 2）法三：只需证出四边都相等。 （这是判定定理 1）（五）正方形正方形是特殊的，平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的，一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的，平行四边形叫做正方形。2、正方形性质定理 1：正方形的，四个角都是直角，四条边都相等。3、正方形性质定理 2：正方形的，两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。4、正方形判定定理互

67、：两条对角线互相垂直的，矩形是正方形。5、正方形判定定理 2：两条对角线相等的，菱形是正方形。注意：要判定四边形是正方形的，方法有方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。 （这是用定义证明）方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。 （这是判定定理 1）方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。 （这是判定定理 2）六、梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的，四边形叫做梯形。2、梯形的，底：梯形中平行的，两边叫做梯形的，底（通常把较短的，底叫做上底，较长的，边叫做下底）3、梯形的，腰：梯形中不平行的，两边叫做梯形的，腰。4、

68、梯形的，高：梯形有两底的，距离叫做梯形的，高。5、直角梯形：一腰垂直于底的，梯形叫做直角梯形。6、等腰梯形：两腰相等的，梯形叫做等腰梯形。7、等腰梯形性质定理 1：等腰梯形在同一底上的，两个角相等。8、等腰梯形性质定理 2：等腰梯形的，两条对角线相等。9、等腰梯形的，判定定理l。 ：在同一个底上钩两个角相等的，梯形是等腰梯形。10、等腰梯形的，判定定理2：对角线相等的，梯形是等腰梯形。研究等腰梯形常用的， 方法有： 化为一个等腰三角形和一个平行四边形； 或两个全等的，直角三角形和一矩形；或作对角线的，平行线交下底的，延长线于一点；或延长两腰交于一点。七、中位线1、三角形的，中位线连结三角形两边

69、中点的，线段叫做三角形的，中位线。说明：三角形的，中位线与三角形的，中线不同。2、梯形的，中位线：连结梯形两腰中点的，线段叫做梯形中位线。3、三角形中位线定理：三角形的，中位线平行于第三边，并且等于第三边的，一半。4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的，一半。八、多边形的，面积说明：多边形的，面积常用的，求法有：（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的，面积的，和，求出原来图形的，面积这种方法叫做分割法。如图 3l，作六边形的，最长的，一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的，面积再相加。（2）将一个平面图

70、形的，某一部分割下来移放在另一个适当的，位置上，从而改变原来图形的，形状。利用计算变形后的，图形的，面积来求原图形的，面积的，这种方法。叫做割补法。（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的，图形减去所补充图形的，面积，来求出原来图形面积的，这种方法叫做拼凑法。注意：两个图形全等，它们的，面积相等。等底等高的，三角面积相等。一个图形的，面积等于它的，各部分面积的，和。例题：例题：例 1、如图 41-2，求B+C+D 的，度数和。例2、一个多边形的，每一个外角都等于45，那么这个多边形的，内角和是多少度。分析：用多边形外角和公式就可以求解。例 3、已知：如图 43-1，在

71、ABCD 中，AEBC 于 E，AFDC 于 F，EAF=60，BE=2cm，DF=3cm。求ABCD 内角的，度数与边长。例 4、如图 45-4，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，EF 过 O 分别交 BC、AD 于点E、F，且 AEBC，求证：四边形AECF 是矩形。例 5、 如图 48-3， 已知在梯形 ABCD 中， ABCD， M、 N 分别为 CD、 AB 的， 中点， 且 MNAB。求证：梯形 ABCD 是等腰梯形。图 48-3例 6、已知：如图 49-2，梯形 ABCD 中，ABBC，DE=EC。求证：AE=EB。几何部分几何部分第四章：相似形第四章：相似形知识

72、点：知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的，长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的，比是 a：bm：n（或am）bn2、比的，前项，比的，后项：两条线段的，比a：b 中。a 叫做比的，前项，b 叫做比的，后项。说明：求两条线段的，比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的，式子叫做比例，如4、比例外项：在比例acbdac（或 a：bc：d）中 a、d 叫做比例外项。bdac5、比例内项：在比例（或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例内项。bdac6、第四比例项：在比例（或 a：bc：d）中，d 叫 a、b、c 的，第四比例项。bdab7、比例中项

73、：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或 a:b=b:c 时，我们ba把 b 叫做 a 和 d 的，比例中项。8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的，比等于另外两条线段的，比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。9、比例的，基本性质：如果 a：bc：d 那么 adbc 逆命题也成立，即如果 adbc，那么 a：bc：d10、比例的，基本性质推论：如果a：b=b：d 那么 b2=ad，逆定理是如果b2=ad 那么 a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的，式子叫做等积式。比例的，基本性质及推例式与等积式互化的，理论依据。aca bc d，那么bdbdacma c ma12 等

74、比性质： 如果，（b d m 0） ， 那么bdnb d nb11、合比性质：如果说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为 k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的，线段是原线段与较小的，线段的，比例中项，叫做把这条线段黄金分割。说明：把一条线段黄金分割的，点，叫做这条线段的，黄金分割点，在线段 AB 上截取这条线段的，5 1倍得到点 C，则点 C 就是 AB 的，黄金分割点。2二、平行线分线段成比例1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的，线段相等，那么在其它直线上截得的，线段也相等。格式：如果直线 L1L2L3， AB BC

75、，那么：A1B1B1C1，如图 4l说明：由此定理可知推论1 和推论 2推论 1：经过梯形一腰的，中点与底平行的，直线必平分另一腰。格式：如果梯形 ABCD，ADBC，AEEB，EFAD，那么 DF=FC推论 2：经过三角形一边的，中点与另一边平行的，直线必平分第三边。格式，如果ABC 中，D 是 AB 的，中点，DEBC，那么 AEEC，如图 432、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的，对应线段成比例。说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的，特殊情况。3平行线分线段成比例定理的，推论：平行于三角形一边的，直线截其它两边，所得的，对应线段成比例。说明 1：平行线分

76、线段成比例定理可用形象的，语言来表达。如图44说明 2：图 44 的，三种图形中这些成比例线段的，位置关系依然存在。4、三角形一边的，平行线的，判定定理。如果一条直线截三角形的，两边（或两边的，延长线）所得的，对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的，第三边。5、三角形一边的，平行线的，判定定理：平行于三角形的，一边，并且和其它两边相交的，直线，所截得的，三角形的，三边与原三角形三边对应成比例。6、线段的，内分点：在一条线段上的，一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的，内分点。7、线段的，外分点：在一条线段的，延长线上的，点，有时也叫做这条线段的，外分点。说明： 外分点分线段所得的

77、， 两条线段， 也就是这个点分别和线段的， 两个端点确定的，线段。三、相似三角形1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的，三角形叫做相似三角形。说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样， 通常把表示对应顶点的， 字母写在对应的，位置上，这样便于找出相似三角形的，对应角和对应边。2、相似比：相似三角形对应边的，比k，叫做相似比（或叫做相似系数） 。3、相似三角形的，基本定理：平分于三角形一边的，直线和其它两边（或两边的，延长线）相交，所构成的，三角形与原三角形相似。说明：这个定理反映了相似三角形的，存在性，所以有的，书把它叫做相似三角形的，存在定理，它是证明三角形相似的，判定定理的，

78、理论基础。4、三角形相似的，判定定理：（1）判定定理 1：如果一个三角形的，两个角与另一个三角形的，两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。（2）判定定理2：如果一个三角形的，两条边和另一个三角形的，两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（3）判定定理3：如果一个三角形的，三条边与另一个三角形的，三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。（4）直角三角形相似的，判定定理如果一个直角三角形的，斜边和一条直角边与另一个直角三角形的，斜边和一条直角边对应成

79、比例，那么这两个直角三角形相似。说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的，命题是正确的， ，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的，相似。第一：顶角（或底角）相等的，两个等腰三角形相似。第二：腰和底对应成比例的，两个等腰三角形相似。第三：有一个锐角相等的，两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上的，高分成的，两个直角三角形和原三角形相似。第五：如果一个三角形的，两边和其中一边上的，中线与另一个三角形的，两边和其中一边上的，中线对应成比例，那么这两个三角形相似。5、相似三角形的，性质：（1）相似三角形性质 1：相似三角形对应高的，比、对应中线的，比、对应角平分线的，比都等于相似

80、比。（2）相似三角形性质 2：相似三角形周长的，比等于相似比。说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的，比等于相似比。（3）相似三角形面积的，比等于相似比的，平方。说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。6、介绍有特点的，两个三角形（1）共边三角形指有一条公共边的，两个三角形叫做共边三角形。（2）共角三角形有一个角相等或互补的，两个三角形叫做共角三角形，如图46（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的，两个三角形叫做公边共角三角形。说明：具有公边共角的，两个三角形相似，则公边的，平方等于叠在一条直线上的，两边的，乘积：如图 47 若ACDAB

81、C，则 AC2ADAB例题：例题：ab bca b,.求:b c的，值.例 1、已知：23 54分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：(1)设比值为 k;(2)比例的，基本性质；(3)方程的，思想，用其中一个字母表示其他字母.abbc及54，得 a:b=2:3,b:c=5:4,即 a:b:c=10:15:12.设解：由23a=10k,b=15k,c=12k, 则(a+b):(bc)=25:3.例 2已知：如图5126(a)，在梯形ABCD 中，ADBC，对角线交于O 点，过O 作 EFBC，112EF;(3)若 MN 为梯形中位线，分别交 AB，DC 于 E，F.求证：(1)OE=OF;(

82、2)ADBC求证 AFMC.分析：(1)利用比例证明两线段相等的，方法.acdd,a=c(或 b=d 或 a=b)，则 b=d(或 a=c 或 c=d)；若abda,则 a=b(只适用于线段，对实数不成立)；若acacd,a=a,b=b,c=c,则 d=d.d,d若d(2)利用平行线证明比例式及换中间比的，方法.112111ADBCEFabc”类型后：(3)证明时，可将其转化为“cc1ab化为直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的，和为 1；直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.延长 BA，CD 交于 S

83、，AFMC AFMC 成立.(5)用运动的，观点将问题进行推广.若直线 EF 平行移动后不过点 O， 分别交 AB， BD， AC， CD 于 E， O1， O2， F， 如图 5126(b),O1F与 O2F 是否相等?为什么?(6)其它常用的，推广问题的，方法有：类比、从特殊到一般等例 3已知：如图 5127，在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，DEAC 于 E，F 为 DE 中点，BE 交 AD 于 N，AF 交 BE 于 M.求证：AFBE.分析：(1)分解基本图形探求解题思路.(2)总结利用相似三角形的，性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)ADDEDC

84、CF的，方法，利用ADEDCE 得到ADDFCE,结合3=C,得到BEC结合中点定义得到BCAFD，因此1=2.进一步可得到 AFBE.(3)总结证明四条线段成比例的，常用方法：比例的，定义；平行线分线段成比例定理；三角形相似的，预备定理；直接利用相似三角形的，性质；利用中间比等量代换；利用面积关系.例 4已知：如图 5128，RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，DEAC 于 E，DFBC于 F.求证：(1)CD3=AAEBFAB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：掌握基本图形“RtABC，C=90，CDAB 于 D”中的，常用结论.勾股定理

85、：AC2+BC2=AB2.面积公式：ACBC=ABCD.三个比例中项：AC2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.AC2AD2BDBC证明：第(1)题： CD2=ADBD, CD4=AD2BD2=(AEAC)(BFBC)=(AEBF)(ACBC) =(AEBF)(ABCD).第(2)题：BC2BD BABDBDDFCE2AD ABADACADEAAE,命题得证.,利用BDFDAE， 证得第(3)题：BC2BD ABBD2AD ABAD,ACBC4BD2BF BCBC3BF423AE ACAEACADAC,第五章：解直角三角形第五章：解直角三角形知识点：知识点：一、锐角三角函数：在直角

86、三角形ABC 中，C 是直角，如图 51acb2、余弦：把锐角 A 的，邻边与斜边的，比叫做A 的，余弦，记作cos A ca3、正切：把锐角 A 的，对边与邻边的，比叫做A 的，正切，记作tan A bb4、余切：把锐角 A 的，邻边与对边的，比叫做A 的，余切，记作cot A a1说明：由定义可以看出tanAcotAl（或写成tan A ）cot A1、正弦：把锐角 A 的，对边与斜边的，比叫做A 的，正弦，记作sin A 5、锐角三角函数：锐角A 的，正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的，锐角三角函数说明：锐角三角函数都不能取负值。0 sinA l； 0cosA；l6、锐角的，正弦和余弦之

87、间的，关系任意锐角的，正弦值等于它的，余角的，余弦值，任意锐角的，余弦值等于它的，余角的，正弦值。即 sinAcos（90一 A）cosB；cosAsin（90一 A）sinB7、锐角的，正切和余切之间的，关系任意锐角的，正切值等于它的，余角的，余切值，任意锐角的，余切值等于它的，余角的，正切值。即 tanAcot（90一 A）cotB；cotAtan（90A） tanB说明：式中的，90一 A = B 。8、三角函数值的，变化规律（1）当角度在 0 90间变化时，正弦值（正切值随着角度的，增大（或减小）而增大（或减小）（2）当角度在 090间变化时，余弦值（余切值）随着角度的，增大（或减小）

88、而减小（或增大） 。9、同角三角函数关系公式（1）sin A cos B 1； （2）tan A 10一些特殊角的，三角函数值221sin A； （3） tanAcot Acos A二、解直角三角形由直角三角形中，除直角外的，已知元素，求出所有未知元素的，过程，叫做解直角三角形。若直角三角形 ABC 中，C90，那么A、B、C，a，b，c 中除C90外，其余5 个元素之间有关系：（l）a b c； （2）A 十B90；（3）sin A 222abab；cosA ；tan A ；cot A ccba所以，只要知道其中的， 2 个元素（至少有一个是边） ，就可以求出其余 3 个未知数。例如 RtA

89、BC 中，C90，且A30，a5，则由：a1 sin A sin30 c 10c2b3 sin B sin60 b 5 3c2A B 90 B 60b 5 3,c 10,B 60三、应用举例是实际问题中的，解直角三角形，或者说用解直角三角形的，方法解决实际问题。例如一杆 AB 直立地面，从D 点看杆顶 A，仰角为60，从C 点看杆顶 A，仰角为30（如图 52）若 CD 长为 10 米，求杆 AB 的，高。解：设 ABx即tan60 xx，tan30 ，BD10 BDx 3BD即3 10 BD3x 10 13x，2x 10 3，x 5 3即杆高约 866 米，应用题中要注意：（1）仰角，俯角见

90、图 53（2）跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，见图 54（3）深度、燕尾角如燕尾槽的，深度，见图55（4）坡度、坡角见图 5 一 6 坡度 i7 坡度的，垂直高度h 水平宽度l，i 例题：例题：h tana(a叫坡角）l例 1、根据下列条件，解直角三角形例 2、在平地上一点 C，测得山顶 A 的，仰角为 30，向山沿直线前进 20 米到 D 处，再测得山顶 A 的，仰角为 45，求山高 AB分析：此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的，概念，同时，可引导学生加以分析：如图 6-39， 根据题意可得 ABBC， 得ABC=90， ABD 和ABC 都是直角三角形，且 C、D、B 在同一直线上

91、，由ADB=45，AB=BD，CD=20 米，可得 BC=20+AB，在RtABC 中，C=30，可得 AB 与 BC 之间的，关系，因此山高 AB 可求学生在分析此题时遇到的， 困难是： 在 RtABC 中和 RtABD 中， 都找不出一条已知边， 而题目中的，已知条件 CD=20 米又不会用解：略例题 3 如图 6-40，水库的，横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡 AB坝底宽 AD(精确到 0.1m)分析：坡度问题是解直角三角形的，一个重要应用，学生在解坡度问题时常遇到以下问题：1对坡度概念不理解导致不会运用题目中的，坡度条件；2坡度问题计算量较大，学生易出错；3常需添加辅助线将

92、图形分割成直角三角形和矩形解：略几何部分几何部分第六章：圆第六章：圆知识点：知识点：一、圆1、圆的，有关性质在一个平面内，线段 OA 绕它固定的，一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的，图形叫圆，固定的，端点O 叫圆心，线段 OA 叫半径。由圆的，意义可知：圆上各点到定点（圆心O）的，距离等于定长的，点都在圆上。就是说：圆是到定点的，距离等于定长的，点的，集合，圆的，内部可以看作是到圆。心的，距离小于半径的，点的，集合。圆的， 外部可以看作是到圆心的， 距离大于半径的， 点的，集合。 连结圆上任意两点的，线段叫做弦，经过圆心的，弦叫直径。圆上任意两点间的，部分叫圆弧，简称弧。

93、圆的，任意一条直径的，两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的，弧叫优弧；小于半圆的，弧叫劣弧。由弦及其所对的，弧组成的，圆形叫弓形。圆心相同，半径不相等的，两个圆叫同心圆。能够重合的，两个圆叫等圆。同圆或等圆的，半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的，弧叫等弧。二、过三点的，圆l、过三点的，圆过三点的，圆的，作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的，三个点确定一个圆。经过三角形各顶点的，圆叫三角形的，外接圆，外接圆的，圆心叫外心，这个三角形叫圆的，内接三角形。2、反证法反证法的，三个步骤：假设命题的，结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾得出假设不正确，从而

94、肯定命题的，结论正确。例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和180与三角形内角和等于 180矛盾。不可能有二个以上是钝角。即最多只能有一个是钝角。三、垂直于弦的，直径圆是轴对称图形，经过圆心的，每一条直线都是它的，对称轴。垂径定理：垂直于弦的，直径平分这条弦，并且平分弦所对的，两条弧。推理 1：平分弦（不是直径）的，直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的，垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的，两条弧。平分弦所对的，一条弧的，直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的，另一个条弧。推理 2：圆两条平行弦所夹的，弧相等。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的，关系圆是以

95、圆心为对称中心的，中心对称图形。实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的，图形重合。顶点是圆心的，角叫圆心角，从圆心到弦的，距离叫弦心距。定理：在同圆或等圆中，相等的，圆心角所对的，弧相等，所对的，弦相等，所对的，弦心距相等。推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的，弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的，其余各组量都分别相等。五、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的，角叫圆周角。推理 1：同弧或等弧所对的，圆周角相等；同圆或等圆中，相等的，圆周角所对的，弧也相等。推理 2：半圆（或直径）所对的，圆周角是直角；90的，圆周角所对的，弦是直径。推理 3：如果三角

96、形一边上的， 中线等于这边的， 一半，那么这个三角形是直角三角形。由于以上的，定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的，圆周角的，辅助线。六、圆的，内接四边形多边形的，所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫圆内接多边形， 这个圆叫这个多边形的，外接圆定理：圆的，内接四边形的，对角互补，并且任何一个外角都等于它的，内对角。例如图 61，连 EF 后，可得：DEFBDEFA180AB18ryBCDA七、直线和圆的，位置关系1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的，割线直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的，切线，唯一的，公共点叫切点。直线和圆没有公共点

97、时，叫直线和圆相离。2、若圆的，半径为 r，圆心到直线的，距离为d，则：直线和圆相交dr；直线和圆相切dr；直线和圆相离dr；直线和圆相交dr例如：图 62 中，直线与圆 O 相割，有：rd图 63 中，直线与圆 O 相切，rd图 64 中，直线与圆 O 相离，rd八、切线的，判定和性质切线的，判定：经过半径的，外端并且垂直于这条半径的，直线是圆的，切线。切线的，性质：圆的，切线垂直于经过切点的，半径推理 1：经过圆心且垂直干切线的，直线必经过切点。推理 2：经过切点且垂直于切线的， 直线必经过圆心。例如图 65 中，O 为圆心，AC 是切线，D为切点。B90则有 BC 是切线OD 是半径OD

98、AC九、三角形的，内切圆要求会作图，使它和己知三角形的，各边都相切分角线上的，点到角的，两边距离相等。两条分角线的，交点就是圆心。这样作出的，圆是三角形的，内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的，外切三角形。和多边形各边都相切的，圆叫多边形的，内切圆，多边形叫圆的，外切多边形。十、切线长定理经过圆外一点可作圆的，两条切线。在经过圆外一点的，圆的，切线上，这点和切点之间的，线段的，长，叫这点到圆的，切线长。切线长定理从圆外一点引圆的，两条切线，它们的，切线长相等。圆心和这一点的，连线平分两条切线的，夹角，如图66B、C 为切点，O 为圆心。ABAC，12十一、弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和

99、圆相切的，角叫弦切角。弦切角定理弦切角等于它所央的，弧对的，圆周角。推理如果两个弦切角所央的，弧相等，那么这两个弦切角也相等。例如图 67，AB 为切线，则有：CBAE，BAEDCD十二、和圆有关的，比例线段相交弦定理：圆内的，两条相交弦，被交点分成的，两条线段长的，积相等。推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的，一半是它分直径所成的，两条线段的，比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的，切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的，两条线段长的，比例中项。推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的，交点的，两条线段长的，积相等，如图 68，若 F 为切点则有：AF2=AHAC，AGABAF2

100、EMMD=BMMGCNNH=DNNE十三、圆和圆的，位置关系如图 69若连心线长为 d，两圆的，半径分别为 R，r，则：1、两圆外离d Rr；2、两圆外切d = Rr；3、 两圆相交RrdRr （Rr）4、两圆内切d = Rr； （Rr）5、两圆内含dRr。 （Rr）定理相交两圆的，连心线垂直平分丙两圆的，公共弦。如图 610，O1，O2为圆心，则有： ABO1O2， 且 AB 被 O1O2平分十四、两圆的，公切线和两个圆都相切的，直线叫两圆的，公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的，距离叫公切线的，长。如图 611，若 A、B、C、D 为切点，

101、则 AB 为内公切线长，CD 为外公切线长内外公切线中的，重要直角三角形，如图612，OO1A 为直角三角形。d2=（Rr）2e2为外公切线长，又如图 613， OO1C 为直角三角形。d2（R 十 r）2 e2为内公切线长。十五、相切在作图中的，应用生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6 14十六、正多边形和圆各边相等，各角也相等的，多边形叫正多边形。定理：把圆分成 n（n3）等分：（l）依次连结各分点所得的，多边形是这个圆的，内按正多边形；（2）经过各分点作圆的，切线，以相邻切线的，交点

102、为顶点的，多边形是这个圆的，外切正 n 边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的，外接（或内切）圆的，圆心叫正多边形的，中心。外接圆的，半径叫正多边形的，半径，内切圆的，半径叫正多边形的，边心距。正多边形各边所对的，外接圆的，圆心角都相等，叫正多边形的，中心角。360正 n 边形的，每个中心角等于n正多边形都是轴对称图形， 一个正 n 边形共有 n 条对称轴， 每条对称轴都通过正n 边形的，中心。若 n 为偶数，则正 n 边形又是中心对称图形，它的，中心就是对称中心。边数相同的，正多边形相似，所以周长的，比等于边长的，比，面积的，比等于边长平方的，比。十

103、七、正多边形的，有关计算(n2)180正 n 边形的，每个内角都等于n定理：正 n 边形的，半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的，直角三角形。正多边形的，有关计算都归结为解直角三角形的，计算。十八、画正多边形1、用量角器等分圆2、用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形） 。正五边形的，近似作法；二十、圆周长、弧长1、圆周长 C2R；2、弧长L 二十一、圆扇形，弓形的，面积l、圆面积：S R；2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的，端点的，两条半径所组成的，图形叫做扇形。在半径为 R 的，圆中，圆心角为 n的，扇形面积 S扇形扇形的，计算公式为：S扇形注意：因为扇形的，弧长L

104、2nR180nR2360nR1。所以扇形的，面积公式又可写为S扇形LR1802（3）弓形的，面积由弦及其所对的，弧组成的，圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的，基础上求得。如果弓形的，弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的，弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。二十二、圆柱和圆锥的，侧面展开图1、圆柱的，侧面展开图圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的， ，如把矩形 ABCD 绕边AB 旋转一周得到的，图形是一个圆柱。 （图 6 一 16）AB 叫圆柱的，轴，圆柱侧面上平行轴的，线段 CD， CD，都叫圆柱的，母线。圆柱的，母线长都相等，等于圆柱的，高

105、。圆柱的，两个底面是平行的， 。圆柱的，侧面展开图是一个长方形，如图617，其中 AB=高，AC=底面圆周长。S侧面侧面=2Rh圆柱的，轴截面是长方形一边长为h，一边长为 2RR 是圆柱底半径，h 是圆柱的，高。见图 68（2）圆锥的，侧面展开图圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。如图 619，把 RtOAS 绕直线 SO 旋转一周得到的，图形就是圆锥。旋转轴 SO 叫圆锥的， 轴，连通过底面圆的， 圆心，且垂直底面。连结圆锥顶点和底面圆的，任意一点的，SA、SA 、都叫圆锥的，母线，母线长都相等。圆锥的，侧面展开图如图 6 一 19 是一个扇形SAB半径是母线长，AB 是 2R。 （底面的

106、，周长） ，所以圆锥侧面积为 S侧面侧面=RL例题：例题：例 1、如图 7.2-1，AB 是O 的，直径，ADCD,BCCD,且 AD+BC=AB，1、求证：O 与 CD 相切；2、若 CD=3，求 ADBC.特色本题来源于教材，主要考查切线的，判定方法及相似三角形的，知识.解答(1)过 O 点作 OECD 于 E. ADCD， BCCD， ADOEBC，又AO=BO，DE=CE， OE=1(AD+BC).而 AB=AD+BC，2 OE=OA，而 OECD，O 与 CD 相切.(2)连结 AE、BE，O 与 CD 相切， OECD ， BAE=BEC.而 BAE= OEA， OEA+ DEA=

107、90， DEA+BEC=90.又ADCD， DEA+ DAE=90， DAE=BEC， AEDEBC，ADEC=DEBC，即 ADBC=DEEC=19CD2=.24例 2、如图 7.1-2.已知，AB 为O 的，直径，D 为弦 AC 的，中点，BC=6cm,则 OD= .特色 以上几道中考题均为直接运用圆的，有关性质解题.解答由三角形的，中位线定理知OD=1BC2例 3、如图 7.3-1O 为ABC 的，内切圆，C=90,AO 的，延长线交BC 于点 D,AC=4,CD=1,则O 的，半径等于（）. A 、4535 B、 C、 D、5446特色本题考查内心的，性质.解答 过点 O 半径 OE,

108、则 OECD,AEAC=OECD,设半径为 R,则（4-R）4=R1,解之得 R=4,选 A.5例 4、圆内接四边形 ABCD，A、B、C 的，度数的，比是 123，则这个四边形的，最大角是 .特色运用圆内接四边形的，性质进行简单计算.解答设 A=x，则B=2x,C=3x . A+C=180，x+3x=180，x=45.A=45， B=90，C=135， D=90. 最大角为 135.例 5、如图 7.5-1，O1和 O2外切于点 C，直线 AB 分别外切O1于 A，O2于 B，O2的，半径为 1，AB=22，则O1的，半径是 .特色以上各题都是圆与圆的，位置关系中常见的，基本题型，着眼于考查

109、学生对两圆的，位置关系的，理解及运用.解答 （1） 选 B， 利用两圆相交， 连心线垂直平分公共弦，再根据勾股定理可求得.例 6、将两边长分别为4cm 和 6cm 的，矩形以其一边所在的，直线为轴旋转一周，所得圆柱的，表面积为 cm2.特色考查圆柱的，表面积的，计算，着眼于考查学生思维的，全面性.解答以边长为 4cm 作母线所得到的，圆柱的， 表面积为 80cm；以边长为6cm 作母线所得到的，圆柱的，表面积为120cm.例 7、如图 7.6-2，正六边形内接于半径为1 的，圆，其中阴影分的，面积是 .特色考查学生对基本概念的，理解以及基本运算能力.解答 答案：积.部2263.作半径，用扇形的，面积减去三角形的，4面