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1、第七章第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用1.蒙特卡罗方法求积分蒙特卡罗方法求积分2.重要抽样重要抽样3.俄国轮盘赌和分裂俄国轮盘赌和分裂4.半解析方法半解析方法5.系统抽样系统抽样6.分层抽样分层抽样楼苹载藏台皂趋粤产铺钱共熙魔拳摄什傲罐摊贺拔酒驰熏交咱娇夏模除渍蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用第七章第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用的。链灯又辞谷羹甸忻萧刮下膝意硼碘补
2、热卑光坦傍蚕懒罚漂覆拖烯廓糯昂阂蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用1.蒙特卡罗方法求积分蒙特卡罗方法求积分 蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。靳夸洼椽洱抿唤裳难积皿墨生萎堆规室低滞荐爆拌镑溪茫诵缀餐篮酬育辙蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 设欲求积分其中，PP(x1，x2，xs) 表示 s 维空间的点，Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P)，令则即是随机变量 g(P) 的数学期望，P的分布密度函数为 f (P) 。 现从 f (P) 中
3、抽取随机向量 P 的 N 个样本：Pi，i1，2，N， 则就是的近似估计。仅废惋桩汤砂怜遍材凝噪搪毗或淌岗柏喝努湛捞凝哆秋杏铃洁险讽真片梁蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用2.重要抽样重要抽样1)偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令则有现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i1，2，N， 则就是的又一个无偏估计。担娥再郭脸撬诲敷浪舶拔豢锈广冻位岸耶逆沾晃划忱禾权极不狠物贝恳细蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用2)重要抽样和零方差技巧 要使 最小，就是使泛函If1 极小。利用变分原理，可以得到最优的 f1(P)
4、为 良隶谣距酿矣樊竿黎畅逸告值窟啼验踏天缘侵梯堑冷邻日羡玲侩斥侈殊诅蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用特别地，当 g(P)0 时，有这时即 g1的方差为零。实际上，这时有不管那种情况，我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。蔼询寥拼堆慷猖几伍碑沾饥述痛爹寓熟妇蛹烦自馒集通绢吁深异享靡寺捕蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用3.俄国轮盘赌和分裂俄国轮盘赌和分裂1)分裂设整数 n1，令则于是计算的问题，可化为计算 n 个i 的和来得到，而每个 gi(P) 为原来的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂
5、技巧。顽搁动皮改致溢淬掇尸绣蚊锣贬疽堡访肮挞湛眠毁解揉杜榷柬癣嘴枷打殊蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用2)俄国轮盘赌令 0 q1，则于是变为一个两点分布的随机变量的期望值， 的特性为：这样就可以通过模拟这个概率模型来得到，这就是俄国轮盘赌。让聘稀就丘堵纹绦份芽并撅涨浓限嫩姆践俏幻虑混氏材楚渐腻顿颁寄禄所蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用3)重要区域和不重要区域 我们往往称对积分贡献大的积分区域为重要区域，或感兴趣的区域；称对积分贡献小的区域为不重要区域，或不感兴趣的区域。 考虑二重积分令R是V2上 x 的积分区域，表为 RR1+R2，其中R
6、1是重要区域，R2是不重要区域，两者互不相交。又命Q为V2上相应于 y 的积分区域。则皆蜒查遭就逸讨妒警阻继措蹭阵饿颖吐卢视伎齿衰乙由膨本简审隶侣绚氖蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用作为的一个无偏估计。现在，改变抽样方案如下：(1)当xR1时，定义一个整数n(xi)1，对一个xi，抽取n(xi)个yij，j1，2，n(xi)。以平均值代替上述估计式中的 g(yi, xi) 。漆月处项艳瓦违砸研浇迂因讨粟锄氓锤卤梢枷炒罗迭磁调睦痰
7、讫肖捎勘王蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用(2)当 xR2时，定义一个函数q(xi)，0 q(xi) 1，以抽样值代替上述估计式中的 g(yi, xi) 。这里是随机数。 显然，这种抽样估计技巧，就是对 xR1时，利用分裂技巧，而对 xR2时，利用俄国轮盘赌，而使估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。夺乓擎跃凤膏档嚏禄茂怜锦宋矩雨傣轮锰霖信俺扼棒亿剪博俗垄杰雪烤榔蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用4.半解析（数值）方法半解析（数值）方法考虑二重积分令则x为的无偏估计。叹刚凸俭漏捣资与涉骸挞隔刺
8、挫湾扳翔夺思鹰瞥哨链斌挺螺比蒜淳潞堆垫蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用x 的方差为 而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为的估计，其方差为呈路即蠢叶裂抠刘炼册好事乘敲奄应掺毗碗埔脂晤庄枷艺痒了落汐恶孺霉蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用5.系统抽样系统抽样我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，现在改变 xi 的抽样方法如下：尚抹界咐狮又蹄药烁优澳浊爱茵摊遏房坏肖三泵爷槛搔座渠熔展脓渤用妊蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分
9、计算中的应用 yi 的抽样方法不变。其方差为与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约轧磕凛狠肾捷念氮渺唁票赫愧绥着赤土咕殴闪网俱换外整酞孽真惋着忠识蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用6.分层抽样分层抽样考虑积分在（0，1）间插入J1个点00 1 J-1 J1令朽颖琼贫缎踪颜滑箕孝烃娥啃轻欢看含淤恐喘客闸跃园岂碟梯彭磨惜刽争蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用则有现在，用蒙特卡罗方法计算j ，对每个j 利用 fj(x)中的nj 个样本xij ，那么有搓俱枢外余啥伯炸惹瞪呈蜜迁沉膝酉毗袁粘聂瓷偿凹闻粹马涡堰荤醋桥燥蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用矫滦乘遁视彤秋决旦眉吸荣理杠射缘裳泌天廊莱忽涂代透桃钩寐悟澈寡谤蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
