材料力学：弯曲习题课

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1、弯曲内力弯曲内力、弯曲应力弯曲应力、弯曲变形弯曲变形1.作剪力图弯矩图的两种方法作剪力图弯矩图的两种方法要求：根据外力画内力图要求：根据外力画内力图平面平面 刚架内力图刚架内力图3.弯曲变形计算弯曲变形计算 习题课习题课 要求要求: : 熟练叠加法熟练叠加法求位移求位移求位移求位移 ， 掌握简单静不定梁解法掌握简单静不定梁解法2.弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件一、内力分析的重要性一、内力分析的重要性 1. 强度计算的基础强度计算的基础 判断危险截面；判断危险截面； 计算各点应力。计算各点应力。 2. 变形计算的基础变形计算的基础 微段变形计算；微段变形计算； 构件变形及位移计算。构件变形

2、及位移计算。 3. 其他力学问题计算的基础其他力学问题计算的基础 如稳定、能量方法、动荷等如稳定、能量方法、动荷等 可以说可以说-不会内力分析，不会内力分析，就不能进行力学就不能进行力学计算计算。二、内力分析的基本方法二、内力分析的基本方法 1. 截面法截面法 计算某截面的内力；计算某截面的内力； 求内力方程。求内力方程。 2. 描述方法描述方法 代数方程；代数方程； 内力图内力图-会画，会画， 会看，会校核。会看，会校核。 可以说可以说-能否熟练绘制和能否熟练绘制和利用内力图，是利用内力图，是是否掌握内力分是否掌握内力分析的标志析的标志三、作剪力图弯矩图的方法三、作剪力图弯矩图的方法 方法方

3、法1 根据根据FS,M 方程作图方程作图 选坐标系选坐标系列方程列方程作作FS , M图图 优点：逻辑关系清晰优点：逻辑关系清晰 缺点：方程表达不唯一，费时繁琐缺点：方程表达不唯一，费时繁琐 方法方法2 根据根据FS , M 和和 q 的微分关系作图的微分关系作图 优点：可根据外力直接画内力，优点：可根据外力直接画内力， 便于作图，也便于校对便于作图，也便于校对FS , M 与与 q 的微分关系的微分关系 剪力方程的一阶导数等于外分布载荷剪力方程的一阶导数等于外分布载荷集度函数；集度函数； 剪力图某点的斜率等于该点分布载荷剪力图某点的斜率等于该点分布载荷集度值。集度值。 弯矩方程的一阶导数等于

4、剪力方程；弯矩方程的一阶导数等于剪力方程； 弯矩图某点斜率等于该点剪力值。弯矩图某点斜率等于该点剪力值。四、指定截面内力的计算方法四、指定截面内力的计算方法 1. 截面法截面法 2. 直接法直接法 3. 微分关系法微分关系法由由可得可得 dM = FS dx积分积分MB MA = AS A，B 间间FS 图面积图面积 MMB B = = MMA A A AS S B截面的弯矩截面的弯矩，等于等于A截面的弯矩加上截面的弯矩加上A,B两截面之间剪力图面积（代数量两截面之间剪力图面积（代数量）。）。FSABxdxAaaaaa2qaq0.5 qa2. 5 qaqaEDCB五、铰接梁的内力图五、铰接梁的

5、内力图qa/23qa/2qaqaFSqa2/2qa2/2qa2MMqDCBAaaaqaqqaFSqaqa六、校核六、校核FA=qaFB=2qa七、平面刚架的内力图七、平面刚架的内力图F2F1横梁横梁刚结点刚结点立柱立柱 平面刚架内力图的画法平面刚架内力图的画法(1) (1) 无需建立坐标系；无需建立坐标系；(2) (2) 控制截面、微分关系；控制截面、微分关系；(3) (3) 弯矩图及数值标在受压侧，不写正负号；弯矩图及数值标在受压侧，不写正负号； 轴力、剪力图画在里侧和外侧均可，需标出轴力、剪力图画在里侧和外侧均可，需标出 正负号；正负号；(4) (4) 注意节点处的平衡关系。注意节点处的平

6、衡关系。 习题习题5-13(c)作图示刚架的内力图作图示刚架的内力图2.5FN(kN)17.5ACB20kN1.5m1.5m3mD2.5kN15kN5kN/m17.5kN例例 题题FS(kN)152.517.5ACB20kN1.5m1.5m3mD2.5kN15kN5kN/m17.5kN例例 题题26.2522.5M(kN.m)ACB20kN1.5m1.5m3mD2.5kN15kN5kN/m17.5kNACB20kN1.5m1.5m3mD2.5kN15kN5kN/m17.5kN26.2522.5M(kN.m)FS (kN)152.517.52.5FN(kN)17.5CBAx0lFMF x0M x

7、0 0/ /l 的合理值的合理值八、移动载荷问题八、移动载荷问题BAlMMC危险截面的位置危险截面的位置移动载荷问题（习题移动载荷问题（习题5-11）CF2F1aDxMDFAFBMMCMDMMmaxmax截面的位置截面的位置截面的位置截面的位置: : C C 或或或或 D DMMmaxmax截面的位置截面的位置截面的位置截面的位置: : F F1 1 , , F F2 2中大的力作用点所在的截面中大的力作用点所在的截面中大的力作用点所在的截面中大的力作用点所在的截面1.弯曲正应力弯曲正应力（纯弯曲，横力弯曲）（纯弯曲，横力弯曲）（纯弯曲，横力弯曲）（纯弯曲，横力弯曲） 弯曲正应力沿截面高度线性

8、分布：弯曲正应力沿截面高度线性分布：中性轴上为零，距中性轴越远，数值越大。中性轴上为零，距中性轴越远，数值越大。 中性轴中性轴九九. .梁的应力梁的应力2. 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件ybhF FS S矩形截面切应力的分布矩形截面切应力的分布 沿截面高度按抛物线规律分布沿截面高度按抛物线规律分布沿截面高度按抛物线规律分布沿截面高度按抛物线规律分布（上、下边缘上、下边缘上、下边缘上、下边缘） = 0y = y = 0 0（中性轴）中性轴）中性轴）中性轴）zyA*3.弯曲切应力公式弯曲切应力公式图中力图中力F是否使梁产生平面弯曲？是否使梁产生平面弯曲？yzFyzFyzFyz非对称截面梁平

9、面弯曲的条件：非对称截面梁平面弯曲的条件：1.外力平行于形心主惯性平面外力平行于形心主惯性平面 保证保证 Iyz=0（推导弯曲正应力时要求满足（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）2.外力作用线通过弯曲中心外力作用线通过弯曲中心 保证保证 不扭转不扭转图中力图中力F使梁产生平面弯曲，使梁产生平面弯曲，同时还产生扭转。同时还产生扭转。弯曲中心的意义弯曲中心的意义AC CFM4. 4. 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 以弯曲正应力为主。以弯曲正应力为主。以弯曲正应力为主。以弯曲正应力为主。 (1) (1) 选用合理的截面形状（增大选用合理的截面形状（增大选用合理的截面形状（增大选用合理的截面

10、形状（增大I Iz z , , WWz z）；）；）；）； (2) (2) 采用变截面梁；采用变截面梁；采用变截面梁；采用变截面梁； (3) (3) 合理安排梁的受力（减小合理安排梁的受力（减小合理安排梁的受力（减小合理安排梁的受力（减小MMmaxmax）；）；）；）； (4) (4) 采用复合材料。采用复合材料。采用复合材料。采用复合材料。依据依据依据依据(1) 选择合理的截面形状选择合理的截面形状 由由由由 MMmaxmax WWz z , , W/AW/A越大越合理越大越合理越大越合理越大越合理hbzhdh0.167h0.125d(0.270.31)h 中性轴附近截面的应力很小，材料未充

11、分发挥作用，中性轴附近截面的应力很小，材料未充分发挥作用，中性轴附近截面的应力很小，材料未充分发挥作用，中性轴附近截面的应力很小，材料未充分发挥作用，应该少用材料；应该少用材料；应该少用材料；应该少用材料； 合理截面形状：尽量使材料远离中性轴。合理截面形状：尽量使材料远离中性轴。合理截面形状：尽量使材料远离中性轴。合理截面形状：尽量使材料远离中性轴。 选择合理的截面形状选择合理的截面形状 习题习题习题习题6-5 6-5 dbhWWz z越大越合理越大越合理越大越合理越大越合理 对于对于t c 的材料，应使的材料，应使 tmax= t , cmax= c , 如铸铁如铸铁 选择合理的截面形状选择

12、合理的截面形状(2) 采用变截面梁采用变截面梁 不同截面的弯矩是不同的，可使梁的不同截面的弯矩是不同的，可使梁的不同截面的弯矩是不同的，可使梁的不同截面的弯矩是不同的，可使梁的截面按照弯矩的变化规律变化，弯矩大的截面按照弯矩的变化规律变化，弯矩大的截面按照弯矩的变化规律变化，弯矩大的截面按照弯矩的变化规律变化，弯矩大的截面，横截面积也大些。截面，横截面积也大些。截面，横截面积也大些。截面，横截面积也大些。q0.6 l0.2 l0.2 l(3) 合理安排梁的受力合理安排梁的受力 合理安排支座减小最大弯矩合理安排支座减小最大弯矩qlMM合理加载合理加载 合理安排梁的受力合理安排梁的受力FFFFlM

13、 避免集中力作用在简支梁避免集中力作用在简支梁避免集中力作用在简支梁避免集中力作用在简支梁的跨中。的跨中。的跨中。的跨中。(4)(4)采用复合材料采用复合材料 夹层梁夹层梁zy木木钢钢钢钢 思考思考 木板、竹筒为什么会因弯曲而劈裂？木板、竹筒为什么会因弯曲而劈裂？ 最大弯曲切应力是否一定位于中性轴上？最大弯曲切应力是否一定位于中性轴上？ 构件内一点无论受力如何，同时满足条件构件内一点无论受力如何，同时满足条件 max , max , 是否一定满足强度要求？是否一定满足强度要求？ 用钢绳起吊长为用钢绳起吊长为l 的钢筋混凝土梁的钢筋混凝土梁,为使梁在自重为使梁在自重作用下不产生正弯矩作用下不产生

14、正弯矩,则布置起吊点时则布置起吊点时,应使应使a的最小的最小值为值为 。laa选项选项A BCDl/5;l/6;l/3;l/4; 正确答案：正确答案： DABC1. 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程十十. . 弯曲变形弯曲变形2.画挠曲线大致形状画挠曲线大致形状 依据依据依据依据 1. 1. 约束条件；约束条件；约束条件；约束条件； 2. 2.载荷情况；载荷情况；载荷情况；载荷情况； 3. 3. 凹凸情况凹凸情况凹凸情况凹凸情况由由由由ww即即即即MM的正负号决定；的正负号决定；的正负号决定；的正负号决定； 4. 4. 光滑连续特性。光滑连续特性。光滑连续特性。光滑连续特性。 已知梁的弯矩

15、图如图所示，关于梁变形的下列结已知梁的弯矩图如图所示，关于梁变形的下列结论中不一定正确的是论中不一定正确的是_。正确答案：正确答案：C选项选项A A B BC CD D梁上载荷为集中力梁上载荷为集中力 AC段下凸，段下凸，CB段上凸段上凸 A,B截面的挠度等于零截面的挠度等于零 C截面的曲率等于零截面的曲率等于零 +ABCaalxABCDq画挠曲线大致形状画挠曲线大致形状MaABCq画挠曲线大致形状画挠曲线大致形状拐点拐点aM画挠曲线大致形状画挠曲线大致形状aABCq拐点拐点aMaalxABCDqM怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定 C 和和 wB ? 3.3.叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位

16、移aABCqa 自己练习自己练习qaABCaaABCaaABCqawBqwBM怎样用怎样用怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定叠加法确定叠加法确定 w wB B ? ? w wB B = = w wBqBq+ + w wBMBM w wB B = = w wBqBq+ + w wBMBM 自己练习自己练习qaABCawBq怎样用怎样用怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定叠加法确定叠加法确定 w wBqBq ? ?q/2aABCaaABCaq/2q/2 图示二梁图示二梁EI、l 均相等，但载荷不同。根据叠加均相等，但载荷不同。根据叠加法可以断定二梁跨中挠度的关系是法可以断定二梁跨中挠度的关系是_。正确答

17、案：正确答案：C选项选项A A B BC CD Dwc1 1 wc c2 2；wc1 wc2；wc1c1= =wc2c2；不能确定。不能确定。aqABCaaqABCawC1wC2 自己练习自己练习qaACBawC怎样用怎样用怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定叠加法确定叠加法确定 w wC C ? ?q/2aACBaaACBaq/2q/2 自己练习自己练习qaACBawC怎样用怎样用怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定叠加法确定叠加法确定 w wC C ? ?q/2aACBaaACBaq/2q/2图示梁弯曲时图示梁弯曲时, ,靠近固定端的一段与大半径的刚性圆靠近固定端的一段与大半径的刚性圆柱面贴合柱面

18、贴合, ,随着随着F 力增大力增大, ,梁内的最大弯矩梁内的最大弯矩 。 正确答案：正确答案： A选项选项A A B BC CD D保持不变保持不变;线性减小线性减小;非线性减小非线性减小;逐渐增大。逐渐增大。FR 如图所示二等直梁截面和材料相同，在自由端如图所示二等直梁截面和材料相同，在自由端受力后弯曲成同心弧，则二梁所受力为受力后弯曲成同心弧，则二梁所受力为_。正确答案：正确答案：C选项选项A A B BC CD D大小相同的顺时针力偶大小相同的顺时针力偶 大小相同的向下集中力大小相同的向下集中力 大小不同的顺时针力偶大小不同的顺时针力偶 大小不同的向下集中力大小不同的向下集中力 AD二梁

19、的弯曲正应力哪个大二梁的弯曲正应力哪个大 正确答案：正确答案：C 一等直钢梁放在刚性地面上，在梁端一等直钢梁放在刚性地面上，在梁端处以集中力处以集中力F将梁将梁的一部分提起，其余部分的一部分提起，其余部分CB仍与刚性平面贴和则仍与刚性平面贴和则C截面的截面的内力有以下几种可能内力有以下几种可能（）（）剪力等于零剪力等于零（）剪力不等于零剪力不等于零（）（）弯矩等于零弯矩等于零（）（）弯矩不等于零弯矩不等于零其中正确的答案是其中正确的答案是_。BFAC选项选项A A B BC CD D（1），（），（3） （1），（），（4） （2），（），（3） （2），（），（4） 十一简单静不定梁十一简单

20、静不定梁BACAFB例题例题解：解：解：解：1. 1. 判断判断判断判断 一次一次一次一次超静超静定定定定 2. 2. 建立相当系统建立相当系统建立相当系统建立相当系统 3. 3. 几何方程几何方程几何方程几何方程 w wB B = = w wBqBq+ +w wBFBF = = l l 4. 4. 物理方程物理方程物理方程物理方程已知：已知：已知：已知：EI ,EAEI ,EA , , I I= =Al Al 2 2/ /3 3 求：杆的轴力求：杆的轴力求：杆的轴力求：杆的轴力, ,作梁的作梁的作梁的作梁的M M 图图图图llABCqBClqABEIEAFNFN例题例题w wB B = =

21、w wBqBq+ +w wBFBF = = l l M 5. 5. 补充方程并求解补充方程并求解补充方程并求解补充方程并求解6. 6.作作作作M M 图图图图llABCqBClqABEIEAFNFN讨论讨论简化计算的一些方法简化计算的一些方法 1. 小变形概念的运用；小变形概念的运用； 2. 对称性的利用；对称性的利用； 3. 相当系统的选择。相当系统的选择。 1.应用应用小变形概念小变形概念可以推知某些未知量：可以推知某些未知量：FxAFxB= 0AlqBFyAFxAMAFyBFxB 2.应用应用对称性对称性分析可以推知某些未知量：分析可以推知某些未知量：FxA= FxB= 0 ,FyA=

22、FyB= q l / 2 ,MA=MBAlqBFyAFxAMAFyBFxBMB例题例题AlqBAlqB3.相当系统的选取与变形协调条件的建立相当系统的选取与变形协调条件的建立(1)FyBFxBMB相当系统的选取与变形协调条件的建立相当系统的选取与变形协调条件的建立(2)AlqBBACqlMAMBAlqBBACqlMAMBFAFBFS M 求：作梁的求：作梁的求：作梁的求：作梁的F FS , S , M M 图图图图; ; w wC CAlqBFyBFxBMB内约束概念内约束概念 利用对称性利用对称性利用对称性利用对称性 再利用对称性再利用对称性再利用对称性再利用对称性FS =0=0 C = 0

23、横截面横截面横截面横截面C C 处两侧梁的相互约束称为内约束处两侧梁的相互约束称为内约束处两侧梁的相互约束称为内约束处两侧梁的相互约束称为内约束AlqBAqCFSMCCBqFSMC力的条件力的条件力的条件力的条件约束条件约束条件约束条件约束条件位移条件位移条件位移条件位移条件( ( ( (力的条件力的条件力的条件力的条件) ) ) )（位移条件）（位移条件）（位移条件）（位移条件）利用对称性建立相当系统利用对称性建立相当系统(3)对称结构，对称载荷对称结构，对称载荷对称结构，对称载荷对称结构，对称载荷 对称问题对称问题对称问题对称问题对称面上的内力和变形应满足的条件：对称面上的内力和变形应满足

24、的条件：对称面上的内力和变形应满足的条件：对称面上的内力和变形应满足的条件： 对称性要求；对称性要求；对称性要求；对称性要求； 作用力与反作用力要求。作用力与反作用力要求。作用力与反作用力要求。作用力与反作用力要求。 F FS S = 0 ; = 0 ; = 0= 0 ( (反对称量为零）反对称量为零）反对称量为零）反对称量为零） 对称面上部分内力可知对称面上部分内力可知对称面上部分内力可知对称面上部分内力可知AlqBAqCMCCBqMC思考思考反对称问题：反对称问题： 结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。 如何建立相当系统？如何建立相当系统？ABMe思考思考反对称问题：反对称问题： 结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。结构对称，载荷反对称。 如何建立相当系统？如何建立相当系统？如何建立相当系统？如何建立相当系统？AMe/2对称面上对称量为零对称面上对称量为零对称面上对称量为零对称面上对称量为零MC = 0wC = 0FS作业作业5-6 (b)6-11 7-11(b)