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1、第五章第五章 留数及其应用留数及其应用本章主要内容：本章主要内容：1、孤立奇点及其分类、孤立奇点及其分类2、留数概念及其计算、留数概念及其计算3、留数在计算定积分中的应用、留数在计算定积分中的应用11 1 孤立奇点孤立奇点1 1、孤立奇点的分类孤立奇点的分类定义定义1 1.)(,0,)(0000的孤立奇点的孤立奇点为为则称则称内解析内解析的某个去心邻域的某个去心邻域但在但在处不解析处不解析在在若若zfzzzzzzfd d - - 例如例如2xyo这这说明奇点未说明奇点未必是孤立的必是孤立的.3 注注: : 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点是孤立奇点
2、. .2 2、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类42.1 可去奇点：可去奇点：展式中不含展式中不含z-zz-z0 0 负幂项负幂项，即，即特点特点?“可去可去”一词的一词的解释解释?52.2 极点：极点：展式中仅含有有限多个展式中仅含有有限多个z-zz-z0 0 负幂项负幂项，即，即特点特点?62.3 本性奇点：本性奇点：展式中含有无穷多个展式中含有无穷多个z-zz-z0 0 负幂项负幂项, ,特点特点?73 3、 函数在孤立奇点的性质函数在孤立奇点的性质3.1z0为为 f (z) 的可去奇点的可去奇点性质性质1若若z0为为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：的孤立奇点，则下列条件等价：83
3、.2若若z0为为f (z)的的m (m 1) 级极点，则级极点，则性质性质2若若z0为为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价的孤立奇点，则下列条件等价 （都是都是m级极点的特征级极点的特征）：）：9例如：例如：z=1为为f (z)的的一个一个4级极点，级极点， z= i为为f (z)的简单极的简单极点点. 注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论的表面形式就急于作出结论. 例如例如 利用洛朗展式容易知道，利用洛朗展式容易知道，z=0z=0分别是它们的简单分别是它们的简单极点，可去奇点，二级极点极点，可去奇点，二级极点. .10
4、性质性质3若若z0为为f (z)的孤立奇点，则的孤立奇点，则z0为为f (z)的极点的充要条件的极点的充要条件是是 在判断函数的极点时，请比较性质在判断函数的极点时，请比较性质2和性质和性质3.4 4、 零点与极点的关系零点与极点的关系11证明证明: :先证明必要性先证明必要性. . 性质性质4 412例如：例如：必要性证毕必要性证毕.充分性请自己完成充分性请自己完成.结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.13性质性质5证明：证明：由于由于z0为为f (z)的的m 级零点，所以级零点，所以14 在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非在判断函数的
5、极点级数时，下列结论有时是非常有用的常有用的.例如，例如，15性质性质6z0为为 f (z) 的本性奇点的本性奇点注注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似的的罗必塔法则罗必塔法则.由性质由性质1 1和性质和性质3 3，得，得1617本讲小结：本讲小结：181 1、 留数的定义留数的定义2 2 留留 数数1.1 1.1 引入引入19201.2 1.2 定义定义1 121注：注：222 2、 留数定理留数定理定理定理1证明证明23Dcznz1z3z2由由复合闭路定理得：复合闭路定理得：于是，得于是，得留数定理非常重要，也为求积分提供了新方法！留数定理非常
6、重要，也为求积分提供了新方法！24 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分，归之为求在的积分，归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数奇点的留数. 理论上讲，只要知道将理论上讲，只要知道将 f (z) 在在 z0 邻域内的洛朗邻域内的洛朗级数，也就求出了级数，也就求出了f (z) 在该点处的留数在该点处的留数, , 实际上，实际上，展开式有时候并不是很好求的展开式有时候并不是很好求的. .以下就三类孤立奇点进行讨论：以下就三类孤立奇点进行讨论：3 3、 留数的计算留数的计算25定理定理226证明证明: 由条件由条件,得得27注注:定理定理3证明证明:28证毕证毕. .29例例1解解:30例例2解解:31例
7、例3解解:32例例4解解:33例例5解解:另解另解:34另解另解: 由定理由定理2 的推导过程知，在使用时，可将的推导过程知，在使用时，可将 m 取得比实际级数高，有时可使计算更简单取得比实际级数高，有时可使计算更简单.例如取例如取 m=6,351 1、 留数的定义留数的定义2 2、 留数定理留数定理3 3、 留数的计算规则留数的计算规则本讲小结363 3 留数在计算定积分中的应用留数在计算定积分中的应用本节主要内容：本节主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算考察三种类型的实函数的定积分的计算.37这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分. .38在高
8、等数学中此积分一般是采用万能代换求解在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.下面用复变函数的方法求解该题下面用复变函数的方法求解该题. .解：解：例例1 139于是于是40因此因此41不失一般性，设不失一般性，设42根据留数定理，得到根据留数定理，得到xyO-RR.43再由（再由（1 1），得），得44解：解：因为被积函数是偶函数因为被积函数是偶函数,其位于上其位于上半平面半平面的奇点是的奇点是: :（均为单极点）均为单极点）45于是于是46于是于是解：解：其位于上其位于上半平面半平面的奇点是的奇点是: :（均为单极点）均为单极点）47 问题的处理方法：同第二种类型一样，通过引进辅问题的处理
9、方法：同第二种类型一样，通过引进辅助半圆周，得到一个闭合路径（半圆周加实轴）上的复助半圆周，得到一个闭合路径（半圆周加实轴）上的复变函数的积分，然后取极限（令半径趋于无穷），并且变函数的积分，然后取极限（令半径趋于无穷），并且可证明：可证明：48事实上事实上49于是于是50即：即：例计算例计算解：相当于：解：相当于：51思考：思考：例计算例计算52例计算例计算解：先考察积分解：先考察积分在所示闭合路径上应用留数定理，得在所示闭合路径上应用留数定理，得xy-rrcr-hhch（因闭合路径内被积函数无奇点因闭合路径内被积函数无奇点）53取极限，令：取极限，令：则则下面考察最后一项：下面考察最后一项：xy-rrcr-hhch54由于由于再注意到再注意到g(z)在原点临近有界，所以在原点临近有界，所以55至此，我们得到至此，我们得到56本本讲讲主要内容：主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算考察三种类型的实函数的定积分的计算.57
