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1、第四章第四章 恒定磁场恒定磁场4.1 磁力和磁感应强度磁力和磁感应强度1、磁现象的电本质、磁现象的电本质现象：磁铁、磁性、南极、北极本质：分子电流假说分子电流假说 任何物质的分子都存在着圆形电流，称为分子电流分子电流。每个分子电流都相当于一个基本磁元体。基本磁元体。 各基本磁元体的磁效应相叠加 永磁体基本磁元体受磁场力作用而转向 磁化2、磁场、磁场运动的电荷在其周围空间激励出了磁场磁场这种特殊的物质。 磁作用力都是通过磁场来传递的。 3、磁单极子、磁单极子理论上预言存在，但是没有在实验中发现即使存在也是极少的，不会影响现有的一般工程应用。图45 亥姆霍兹线圈4、磁感应强度、磁感应强度模值：表示
2、某点上的磁场强弱方向：该点的磁场方向用运动电荷在磁场中受力来定义。亥姆霍兹线圈实验的结论：综合上述三点，运动电荷在磁场中所受的磁力表示为 将 定义为磁感应强度 ，则或讨论：讨论： 的模值与方向模值：单位运动电荷在该点所受到的最大磁力方向： 、 和 是相互垂直的 洛仑兹力 洛仑兹力对电荷的运动不做功，它只改变电荷的运动方向，而不改变其运动速度的大小。 洛仑兹力方程 N S I I (a) (b) (c) 的单位：在SI单位制中，为特斯拉（T） 1 特斯拉 1 (牛顿秒)/(库仑米)高斯单位制中，为高斯（Gs ) 1 T104 Gs 5、磁感应线、磁感应线 磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强
3、度 的方向；通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数正比于该点 值的大小。4.2 带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动一一. . 垂直磁场的圆周运动垂直磁场的圆周运动 mFvvRoq,mBv洛仑兹力 若 则利用牛顿第二定律和匀速圆周运动的加速度公式，有所以，回转半径回转周期称为荷质比二二. . 沿磁场方向的螺旋运动沿磁场方向的螺旋运动 当带电粒子进入均匀磁场的初速度与磁场不垂直时，粒子沿螺线运动。螺旋线的半径 螺旋线的螺距 应用应用三三. . 回旋加速器回旋加速器 图414 回旋加速器回旋加速器的优点在于以不很高的振荡电压对粒子不断加速而使其获极高的动能。 设D形盒的半径为R0，则离子所
4、能达到的最大速率和动能是 若换成一次加速形式的直线加速器来实现同样的动能，则 一千八百万伏 四四. . 霍耳效应霍耳效应 若载流子是正电荷，则当电场力和洛仑兹力达到平衡时若载流子是负电荷，则 将一块导电材料板放在垂直于它的磁场中，当板内有电流 I 通过时，在导电板的两个侧面A、C 间会产生一个电位差UAC，这种现象称为霍耳效应霍耳效应 。应用：确定半导体载流子形式； 磁场测量（高斯计）电荷有规则的宏观运动电流磁场不随时间变化恒定电流恒定磁场静磁场4.3 安培磁力定律和毕奥安培磁力定律和毕奥-沙伐定律沙伐定律 一、安培磁力定律一、安培磁力定律 1、表达式、表达式表示 l1 l2上的电流元表示 到
5、 的相对位置矢量是表征真空磁性质的常数，称为真空磁导率真空磁导率 2、安培磁力定律符合牛顿第三定律、安培磁力定律符合牛顿第三定律 只与回路 l1 有关二、毕奥二、毕奥-沙伐定律沙伐定律 将安培磁力定律改写为写成微分形式而电流回路所受磁力可以归结为回路中运动电荷受力的结果 与运动电荷的洛仑兹力公式相比，可将dl2处的磁感应强度记作1、电流回路的、电流回路的2、电流元的、电流元的 回路 的表达式中的被积函数应为电流元 在场点处产生的磁感应强度矢量元3、分布电流的、分布电流的电流体分布电流面分布三、电流回路在磁场中受力三、电流回路在磁场中受力1、回路受力、回路受力2、回路上电流元受力、回路上电流元受
6、力四、真空中的磁场强度四、真空中的磁场强度定义：单位：安培/米（A / m） 可以定义为磁场中一点上单位电流元所受到的最大磁力。 例4.2 求通过电流 I 的一段直导线在空间任意点产生的磁感应强度 解：建立坐标系以导线为 z 轴，导线中点为原点。由对称性知，场值与 无关，可 在 的平面内求解。求电流元表达式所以求被积函数中的矢量项所以 应用毕奥沙伐定律对于无限长的直线电流情况 其中时所以可见，直线电流段产生的磁场与电流成右手螺旋关系。 例4.3 一圆形载流回路的半径为a，电流强度为I，求回路轴线上的磁感应强度。 解：建立坐标系。令回路轴线与z轴重合，取圆心为坐标系原点。 对于z轴上的任意场点，
7、 与 相互垂直 由毕奥沙伐定律求解 故将dB沿z 轴分解，可得分析对称性可知整个电流回路的磁场只有平行方向分量，即 五、电流回路在磁场中受到的转矩五、电流回路在磁场中受到的转矩q 0Bv xB zB Fv x y z Fv n 例4.4 分析半径为 的圆形细导线载流回路在均匀外磁场 中所受的磁场力。 以回路中心为坐标系原点，回路法线方向与 z 轴正方向一致，建立直角坐标系。由安培磁力定律，可得 这表明均匀磁场中的闭合电流回路所受的总磁力为零。但此力为零只说明回路不受使其产生位移的力，由于回路各部分所受磁力的方向不同，它将受到转矩作用而发生旋转。 解：（1）求总磁场力Fdv Fdv 0r a a
8、 0r I 外磁场中电流回路的转矩 x l dvxB y ld asin0r v（2）求磁场力的转矩考虑磁感应强度的两个分量使回路受到向圆环外的张力 使回路绕y轴作反时针旋转 求Bx的转矩电流元 和 共同产生的转矩为 回路所受的总转矩为用磁矩表示转矩定义电流回路的磁矩磁矩 ，则4.4 恒定磁场的基本定律恒定磁场的基本定律 一、安培回路定律一、安培回路定律1、积分形式、积分形式（1）磁场强度 的闭合围线积分（单个回路） 假定空间磁场由电流回路产生根据毕奥沙伐定律，得任取一个闭合回路，则 在此回路上的积分为 立体角的增量 l l dv (a) (b) l P P Rv W WWd+ l dvl d
9、vl dv l sdv W WWd+ 所包围的面积对P点构成一个立体角 回路不动，P 移动P不动， 回路移动环带对P所张立体角环带上对P的立体角用d表示 的闭合围线积分 表示P点沿 l 运动一周所引起的立体角的总改变量。 讨论a. 积分回路与电流回路相交链 W l (a) I A P l B M n 积分回路选择AB，对应曲面两侧按右手关系选择回路所围曲面的法向A与法线同侧 A= - 2B与法线异侧 B= 2所以 当回路的积分方向与穿过其截面的电流I 符合右手定则时，取正值；反之，取负值。 P56,例2.4l (b) W I l P b. 积分回路与电流回路不交链此时P点沿l位移则立体角一直连
10、续改变，当P点位移一周回到原来位置时，立体角也回复到原值，所以 应当明确，所谓电流 I 与回路 l 交链，是指该电流必须穿过以 l 为边界的任意曲面。 ( a) 不交链 (b) 一次交链 (c) 多次交链 I I I l l l （2）多个电流回路存在时， 的围线积分（3）电流体分布时， 的围线积分 对于一个电流N 次与 l 交链的情况 安培回路定律的积分形式 2、微分形式、微分形式利用斯托克斯定理得安培回路定律的微分形式 物理意义：物理意义：反映了磁场空间一点上的磁场强度矢量与该点电流密度的关系，表明了电流是磁场的“漩涡源”。磁场是一个有旋场和非保守场。 恒定磁场第一定律恒定磁场第一定律例4
11、.5 半径为 a 的无限长导体圆柱上流有恒定电流I ，求空间任意点的磁场强度。 解：建立坐标系 令圆柱体的轴线与圆柱坐标系z轴重合，建立圆柱坐标系。 求出电流分布利用安培环路定律求解或 a r x y o Hv 或长圆柱导线电流的磁场 H r a o 从结果可以看出，在 r a 的位置感受到的磁场强度与所有的电流集中在轴线上的无限长线电流所产生的磁场强度是相同的。例4.6 如图的环状螺线管叫做螺绕环。设环管的轴线半径为R，环上均匀密绕N匝线圈，线圈内通有恒定电流I。求：螺绕环内外的磁场。 解：建立圆柱坐标系求解利用安培环路定律求在环管内： ，所以 在环管外： 与积分回路交链的总电流为零，所以
12、当环管截面半径远小于环半径 R 时，可近似取 r = R，此时其中 为螺绕环单位长度的线圈匝数。 lv R Hv P o r 长直螺线管可以看成是 的螺绕环 例4.7 计算面密度为 JS 的无限大均匀电流平面的磁场。 a bc d l Bd v Bdv Bdv x y P o l d l d Jv 解： 建立坐标系 无限大平面电流可看成由无限多根平行排列的长直线电流组成。 利用安培环路定律求分析对称性可知磁场的特点：a. 磁场平行于电流面；b. 磁场大小与场点与水平位置无关；c. 平面两侧的磁场方向相反取安培回路 abcd，则有 因此 二、磁场二、磁场“高斯定律高斯定律”（磁通连续方程）（磁通
13、连续方程）1、微分形式、微分形式电流元 的磁感应强度上式两边对场点P的坐标求散度 利用恒等式 ，得电流密度与场点无关梯度的旋度等于0区域内所有电流的磁场感应强度两边取散度，得即表明恒定磁场是一个无散场。 2、积分形式、积分形式应用散度定理得 恒定磁场第二定律恒定磁场第二定律3、磁通量、磁通量单位：韦伯（Wb） 也称为磁通密度单位：韦伯/米2（Wb/m2）定义：磁感应强度 在某曲面 上的面积分 4.5 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位一一. . 矢量磁位矢量磁位 1、引入、引入磁场的高斯定律 表明磁场是无散源场，可引入矢量位 。定义式：称为矢量磁位矢量磁位或磁矢位磁矢位，单位：韦伯/米2、库
14、仑规范、库仑规范只根据 定义式，无法确定证明：如果 是满足定义式的一个解，则令 于是而故所以对一个给定 的将有无穷多个 与之对应 为了避免 的这种随意性，必须再对其附加另外的限制，这个限制就是给定 的散度。 对恒定磁场，选择 称为库仑规范3、矢量磁位、矢量磁位 的微分方程的微分方程利用矢量恒等式 和库仑规范矢量泊松方程 得对 的区域有 矢量拉普拉斯方程 利用矢量磁位的定义式和安培环路定理，得矢量的拉普拉斯运算由 确定 三个分量分别满足标量泊松方程 在直角坐标系中， 具有如下形式 对无界空间情况，且场源电流分布在有限区域内，方程的解为 将以上三式矢量相加，就得到矢量泊松方程在无界空间内的解 电流
15、元 所产生的磁矢位为电流面分布 电流线分布 利用磁矢位解决磁场问题，一般是求出分布电流所产生的 ，然后再通过 计算出对应的 。 这些表达式只适用于电流分布在有限区域的情况。例4.8 计算无限长直线电流产生的磁矢量位 和磁通量密度 。 解： 首先计算一段长度 l 为的直线电流段产生的磁矢位 利用线电流分布时， 解的表达式得 当 时可见，由上式得到无限长直线电流产生的 趋于无穷大 错误原因：错误原因：零参考点选择在非无限远的某点上。解决办法：解决办法： 对于源电流分布于无限区域的情况，如果再以无限远为磁矢位参考点，就会导致场点 值的发散。选取 为参考点，并构造一个新的磁矢位 令 和 是按照电流分布
16、在有限区域时的计算公式得到的磁矢位作代换 ，则磁通量密度可以求得：这与安培回路定律或毕奥沙伐定律所求出的结果完全相同 。例4.9 双导线传输线可以视为通过反方向电流的无限长平行直线电流，设线间距离为2a，如图所示。求它所产生 的和 。 解：利用例4.8的结果可得二二. . 标量磁位标量磁位 1、引入、引入对于 的区域，即无电流的区域，可以引入标量位称为标量磁位标量磁位或磁标位磁标位，单位是安培（A） 对上式取散度，并由磁场高斯定律可得到 这表明磁标位满足拉普拉斯方程 ，比求解矢量磁位的矢量微分方程要容易。2、 的微分方程的微分方程定义式：根据 的定义式，得3、求解标量磁位、求解标量磁位求解微分
17、方程利用等效磁荷的位叠加原理（ 4.7）利用磁场强度求解P0 是磁标位的参考点 场源电流分布在有限区域内时， 常将P0选在无穷远处，此时根据 的定义式必须注意：必须注意： 只能用在无电流的区域内，并且 的积分路径一般也不与电流回路交链，否则会出现多值性。 可得4、闭合回路的、闭合回路的其中的是点 P 对回路 所张的立体角利用安培回路定律的推导过程 可得所以如图，求回路 在P 处的一般解远区解 当 P 点与回路的距离比回路 的尺寸大得多时，可以看作是远区场的情况，此时立体角可以近似写成 利用一般解的表达式可得例4.10 一半径为 a 的圆形细导线回路上流有恒定电流I，求回路中心上方任意点P处的
18、和 。 解：以场点 为球心，R为半径做一球面，则圆形回路在球面上截出的球冠面积为 S 对P 点所张的立体角为 所以轴线上磁标位为由对称关系可以看出在轴线上磁通量密度只与 z 有关，所以 4.6 磁偶极子磁偶极子 1、定义、定义 若一个平面电流回路的尺寸远远小于场点到该回路的距离，此电流回路可以视为一个矢量点源，称为磁偶极子。 2、磁偶极子的、磁偶极子的计算式磁偶极子 的磁矩则整理得由定义3、磁偶极子产生的磁矢位、磁偶极子产生的磁矢位 根据定义式和磁偶极子的 表达式可以凑出磁矢位表达式只是源点坐标的函数，故 ，因此有 利用矢量恒等式 考察所以对远区场有 ，因此 只是源点坐标的函数 ，所以由此得到
19、对比 ，得到磁偶极的矢量磁位 只是源点坐标的函数 ，所以由矢量恒等式 知 同时满足库仑规范4、位于原点的磁偶极子、位于原点的磁偶极子对位于坐标原点的磁矩 ，远场区场位表达式为对比电偶极的远区场位表达式可见，两者是非常相似的。4.7 磁介质的磁化磁介质的磁化1. 外磁场使电子的公转状态发生改变外磁场使电子的公转状态发生改变 一、磁化的分类一、磁化的分类电子作轨道圆周运动时，具有角动量 电子作绕核的圆周运动。形成磁矩 与电流成右手关系，而 与电子运动成右手关系所以 与 反向平行当 处于 中时，受到转矩 ，所以在 作用下， 将绕着 做逆时针运动。这种运动相当于电子产生的电流环，其作用是减弱外磁场，称
20、为抗磁效应抗磁效应。 来源量级存在范围抗磁效应存在于所有介质之中 如果某种磁介质只存在抗磁效应，而没有其它磁化效应，则称其为抗磁性磁介质抗磁性磁介质。如金、银、铜、石墨、氧化铝等2. 磁场使分子固有磁矩转向磁场使分子固有磁矩转向 来源分子的固有磁矩 量级要强于它的抗磁效应 施加外磁场后，大量分子磁矩的规则转向使介质内的磁场增强。称为顺磁效应顺磁效应。 存在范围分子的固有磁矩不为零的介质 具有顺磁效应的物质称为顺磁性磁介质顺磁性磁介质。如氧、氮、铝、等 3. 外磁场使磁畴发生变化外磁场使磁畴发生变化 来源量级存在范围介质内部存在磁畴，自发磁化 外磁场较弱时，磁矩方向与外磁场相同或相近的磁畴会将其
21、磁畴壁向外推移，扩大自己的体积；外磁场达到一定强度后，每个磁畴的磁矩方向都要不同程度地向外磁场方向转向。 超过外加磁场几个数量级 铁磁性磁介质 这时介质表现出非常强的顺磁效应。此时的顺磁效应称为铁磁效应铁磁效应，这类物质称为铁磁性磁介质铁磁性磁介质。 磁化的最终结果都是在磁介质空间产生了大量的分子磁矩平均值不再为零的小磁偶极子。 二、磁化强度矢量二、磁化强度矢量1、定义式、定义式物理意义： 磁化磁介质某点上单位体积内分子磁矩矢量和。单位： 安培/米（A / m） 2、用、用 表示磁介质的表示磁介质的则整个磁介质区域产生的磁矢位 微元 产生的磁矢位利用矢量恒等式得再利用矢量公式得磁化电流磁化电流
22、体磁化电流密度 面磁化电流密度 引入则2、用、用 表示磁介质的表示磁介质的微元 产生的磁标位则整个磁介质区域产生的磁标位 等效磁荷等效磁荷等效磁荷体密度 等效磁荷面密度 引入则4.8 磁介质中恒定磁场的基本定律磁介质中恒定磁场的基本定律1、安培回路定律、安培回路定律微分形式真空中讨论介质中问题时，还应包括磁化电流的作用，所以假定电流都是体分布，则应用斯托克斯定理，得 上式对任意S都成立，必有则得到磁介质中的安培回路定律的微分形式 定义 为磁介质中的磁场强度磁场强度 将磁化电流密度公式 带入，得积分形式对微分形式两边同时积分得应用斯托克斯公式，得安培回路定律的积分形式2、磁导率、磁导率对一般抗磁
23、性介质和顺磁性介质， 与 成正比关系 是一个无量纲的数，称为磁化率磁化率 磁化率磁导率称为磁介质的磁导率磁介质的磁导率，单位是亨利/米（H / m）。称为相对磁导率相对磁导率，是无量纲数。本构方程3、磁场高斯定律、磁场高斯定律 磁介质中的实际磁场可以分解成自由电流真空场和磁化电流真空场两部分，因为真空磁场必为无散源场，故它们的叠加也一定是无散源场。 所以4、位函数、位函数定义式微分方程在均匀磁介质中 在无限均匀磁介质中，方程的解为例4.11 磁导率为 的铁质无限长圆管中通过均匀恒定电流I，管的内外半径分别为a 和b，截面如图所示。求空间任意点的 和磁化电流。解：（1）求以圆管截面的圆心为原点，
24、电流方向为建立圆柱坐标系求电流分布利用安培环路定律求（2）求根据可得（3）求管壁内的磁化电流体密度和总磁化电流为 管壁内侧面上的磁化电流面密度和总磁化面电流为管壁外侧面上的磁化电流面密度和总磁化面电流为4.9 铁磁介质铁磁介质 铁磁介质铁磁介质BH 关系测量实验关系测量实验 激励线圈感应线圈初始条件：铁磁介质环从未加过磁场或经过“去磁”处理。 关于铁磁介质的几个概念：关于铁磁介质的几个概念： 磁饱和状态 磁滞效应 剩磁 矫顽力 （饱和）磁滞回线 软（硬）磁材料 居里温度4.10 磁介质分界面上的边界条件磁介质分界面上的边界条件规定界面的法线单位矢量是由2区指向1 区由磁场高斯定律得当 时，侧面
25、通量标量形式1、磁感应强度的边界条件、磁感应强度的边界条件所以得 的边界条件表明：磁通量密度的法向分量在分界面上是连续的。 2、磁场强度的边界条件、磁场强度的边界条件规定界面的法线单位矢量是由2区指向1 区 当 时，回路的面积趋于零，穿过此面积的体电流为零，回路仅包围界面上的面电流 利用安培回路定律，得由矢量混合积恒等式，得 表明：当分界面上有表面自由电流时，磁场强度切向分量 在界面上是不连续的。 上式对任意的 都成立，必定有在实际问题中，一般都有 此时，边界条件为或3、 的方向与的方向与的关系（折射关系）的关系（折射关系） 当分界面上无自由电流时，边界条件可以表示为以上两式相除，并考虑到可得
26、 如果1 区为空气或一般抗磁、顺磁性磁介质，2 区是高的铁磁物质，由于r1 r2 ，此时只要1 区的磁场矢量不与界面垂直（即10），则铁磁介质中的磁场矢量就几乎与分界面相平行。 4、标量磁位、标量磁位Um的边界条件的边界条件有限值磁场相邻点磁标位差趋于零，所以 5、矢量磁位、矢量磁位 的边界条件的边界条件利用 ，可得令回路 l 窄边趋于零，则m随回路所围的面积趋于零而为零即由 可以得到 因此得到第一个边界条件第二个边界条件其中 表示 的切向矢量 在实际问题中，一般都有 此时，边界条件为即例4.12 真空中一通有恒定电流 I 的无限长直导线，导线半径为 a ，磁导率为。试求导线内外的磁矢位和磁通
27、量密度。 解：以导线截面圆心为原点，电流方向为 ，建立圆柱坐标系根据对称性，各种电流产生的 的叠加只有 分量，即 由对称性可知， 与坐标 和 z 无关，所以 两次积分，可得 在 的区域内 ，有列出微分方程，求通解当 时， 为有限值，所以 在 的导线外区域， ，因此有 两次积分，得应用边界条件求解待定系数 在r = a 的边界上有两式联立解得所以，导线内外矢量磁位分别是求磁感应强度利用矢量磁位的定义式可以求得导线内外的例4.13 如图所示，一个有气隙环形铁芯，环的半径为r0，铁芯的半径为a，气隙的宽度为d，其中a r0 ， d 0 。铁芯上绕N 匝线圈，线圈内通过直流I。求：铁芯内和气隙内的磁场强度。 解：根据边界条件可知，在缝隙处 连续，而 不连续。令H和H0各代表铁芯内和气隙内的磁场强度，则有所以解得又根据安培回路定律磁路磁路根据前面的结论，可得环形铁芯及气隙构成了一个是磁通量的通路，称为磁路磁路 磁路方程磁路方程 磁阻磁阻 记磁路方程可记为NI 相当于电路中的电动势，称为磁动势磁动势 ，记作 ，则磁路的欧姆定律磁路的欧姆定律 必须明确：磁路的概念是建立在忽略漏磁的基础上的，只有当磁路介质的磁导率足够高时，才可获得较高的近似精度。
