《高等数学课件：7-3三重积分的概念及计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：7-3三重积分的概念及计算（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上有定义将任意分割成n个互不重叠的小区域在 上任取一点 作积分和其中表示小区域 的体积若对区域的任意一种分割法以及中间点的任意取法，积分和的极限总存在，则称此极限为在区域上的三重积分，记作或7-3 三重积分三重积分当极限当极限 存在时存在时,称称 在区域在区域 上可积上可积. 三重积分三重积分 中的各部分的名称中的各部分的名称 积分号积分号 积分区域积分区域 f(x y z)被积函数被积函数 f(x y z)dv被积表达式被积表达式 dv 体积元素体积元素 x y z积分变量积分变量 1 在直角坐标下的计算在直角坐标下的计算 （）积分区域是一个拄面，而其
2、底与顶可以是（）积分区域是一个拄面，而其底与顶可以是 曲面曲面及在上连续及在上连续其中在上连续在上连续 则则先二重积分后定积分的方法先二重积分后定积分的方法 一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分一个定积分 设积分区域为设积分区域为(x y z)|(x y) Dz a z b 其中其中Dz是竖坐标为是竖坐标为z的平面截空间闭区域的平面截空间闭区域 所得到的一个平面所得到的一个平面闭区域闭区域 则则 空间点的柱面坐标空间点的柱面坐标 2 在柱坐标下的计算公式在柱坐标下的计算公式 设设M(x y z)为为空空间间内内一一点点 并并
3、设设点点M在在xOy面面上上的的投投影影P 的的极极坐坐标标为为P(r ) 则则这这样样的的三三个个数数r、 、z就就叫叫做做点点M的柱面坐标的柱面坐标 这里规定这里规定 、 、z的变化范围为的变化范围为 0r 02 z 直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系 xrcos yrsin zz 柱面坐标系中的体积元素柱面坐标系中的体积元素 dVrdrddz 提示 简单来说 dxdy dV=dxdydz rdrddz rdrd 3 在球坐标下的计算公式在球坐标下的计算公式球坐标系中的三重积分球坐标系中的三重积分 空间点的球坐标空间点的球坐标 直角坐标与球坐标的关系直角坐标与球坐标的关系 球坐标系中的体积元素球坐标系中的体积元素 这样的三个数 、 叫做点M的球面坐标 这里 、 的变化范围为 0 0 02 设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数、 来确定 如图 x sincos y sinsin z cos dV 2sindrdd 4. 在一般变量变换下的计算公式在一般变量变换下的计算公式定理定理3 设函数设函数 在有界闭区域在有界闭区域 上连续上连续,又设变换又设变换在在 上连续上连续,有连续的偏导数有连续的偏导数,将将 一一对应地变到一一对应地变到 ,且变换的雅可比行列式且变换的雅可比行列式则则广义球坐标变换广义球坐标变换
