《材料成形有限元法基础：单元模型构造－局部系法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料成形有限元法基础：单元模型构造－局部系法（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 单元模型构造 n常用单元模型构造局部坐标系法采用局部坐标系法求单元的形函数一般需要如下过程：1）在单元上假设一种局部坐标系，确定局部坐标系的度量，并在单元节点上标出局部坐标值；2）根据插值多项式选择条件假设形函数多项式；3）利用单元形函数的特性（正交性）求单元的形函数。 单元局部坐标系是一种与单元形状相关的无因次坐标，也叫自然坐标系。 单元模型构造 1）一维单元 长度坐标 如图所示为在一维单元上假设的一种自然坐标系。ox为一维整体坐标系，x1和x2是单元节点1和节点2在整体坐标系下的坐标值，l是单元长度。单元上任意一点P到1节点的距离是 l2，到2节点的距离是l1，假设单元的自然坐标为L1和
2、L2。 oxx1x21(1,0)2(0,1)xP(L1,L2)ll1l2 单元模型构造 定义一维单元的自然坐标L1和L2分别为 自然坐标L1和L2是用单元长度l、l1和l2定义的，因此它们也叫长度坐标。 单元模型构造 长度L1和L2不是相互独立的，它们存在如下关系 比较上式和L1、L2的表达式很容易发现，一维2节点线单元的形函数可以表示为 由于 单元模型构造 单元内任意一点P的坐标x可以用x1和x2表示为 结合上式和式或 可得自然坐标系与整体坐标系之间的变换关系 单元模型构造 一维二次单元 建立长度坐标系的目的是为了求一维高阶单元的形函数。下面利用长度求一维3节点单元的形函数。如图所示，一维3
3、节点单元，节点3位于1、2节点的中间，图中己经标出了每个节点的长度坐标。 ox12(0.5,0.5)3(1,0)(0,1) 单元模型构造 根据插值多项式与形函数之间的线性组合关系，一维3节点单元的形函数多项式可以假设为 根据Ni的正交性，N1在1节点处的值等于1，在2、3节点处的值等于0，即 单元模型构造 由这3个条件得到方程组 单元模型构造 于是可以得到形函数 N1同理可得 这样，就得到了一维3节点单元的形函数。计算过程表明，采用长度坐标系求2次单元形函数比整体坐标系法要简单得多，而且采用这种方法还可以求更高阶单元的形函数。 单元模型构造 由于长度坐标Li本身就含有常数项和一次项，因此式 完
4、全满足插值多项式选择条件要求。又由于长度坐标L1和L2不是相互独立的，形函数多项式的假设就会出现多种形式，只要它们满足插值多项式选择条件要求即可。例如 等形式都可以。实际计算过程中要考虑求解的繁易程度。 单元模型构造 一维三次单元 如图所示，一维4节点单元，各节点长度坐标如图所示。 一维4节点单元的形函数形式假设为 ox12(2/3,1/3)3(1,0)(0,1)4(1/3,2/3) 单元模型构造 根据形函数Ni的正交性，可分别求得单元的形函数 单元模型构造 正规自然坐标 实际上对于一维单元来说，求单元的形函数时，最常用的是采用正规自然坐标。正规自然坐标系是一种正规化的曲线坐标系，如图所示。坐
5、标系原点位于单元形心P点处，坐标轴r与单元重合并指向2节点，坐标系的度量假设为P点为0，2节点为1，1节点为-1。ox120P-11r 单元模型构造 一维2节点单元 根据插值多项式与形函数之间的线性组合，一维2节点单元的形函数多项式可以假设为 根据Ni的正交性，N1在1节点处的值等于1，在2节点处的值等于0，即 单元模型构造 结合上两式，可得代入到形函数的表达式，可得同理可得 单元模型构造 一维3节点单元 如图所示，一维3节点单元及其正规自然坐标系，上面已经标出了每个节点正规自然坐标值。 一维3节点单元的形函数Ni的形式假设为 ox1203-11r 单元模型构造 采用这种方法同样可求更高阶单元
6、的形函数。 根据Ni的正交性可求得单元的形函数分别为 单元模型构造 2）二维单元 面积坐标 如图所示，在二维三角形单元上采用单元面积建立了一种自然坐标系，也叫面积坐标系。oxy为二维整体坐标系，(xi, yi)为节点i的整体坐标系的坐标值，单元内任意一点P将三角形单元分为3部分，面积分别为A1、A2、A3，假设三角形单元的面积坐标分别为L1、L2和L3。 xyo123(x1,y1)(1,0,0)(x2,y2)(0,1,0)(x3,y3)(0,0,1)PA1A2A3(x,y)(L1,L2,L3) 单元模型构造 定义面积坐标L1、L2和L3分别为 式中，A为三角形单元面积。 面积坐标L1、L2和L
7、3之间不是相互独立的，它们存在如下关系 单元模型构造 面积坐标系与整体坐标系之间的转换关系为 或者 式 经过验证，面积坐标L1、L2和L3恰好是二维3节点三角形单元的形函数，即 单元模型构造 二维6节点三角形单元 采用整体坐标系方法很难求得二维6节点三角形单元的形函数。定义了面积坐标后，这个问题就变得很容易了。如图所示为二维6节点三角形单元，图中已经标出了每个节点的面积坐标。 xyo123(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(0.5,0,0.5) 65(0,0.5,0.5)4 (0.5,0.5,0) 单元模型构造 二维6节点三角形单元的形函数多项式可以假设为 根据Ni的正交性，N1在1节
8、点处的值等于1，在其他节点处的值等于0，即 单元模型构造 可求得二维6节点三角形单元的形函数分别为 单元模型构造 二维10节点三角形单元 如图所示为二维10节点三角形单元，图中已经标出了每个节点的面积坐标。 xyo12(1,0,0)(0,1,0)3 (0,0,1)(2/3,0,1/3) 96 (0,2/3,1/3)4 (2/3,1/3,0)5 (1/3,2/3,0)7 (0,1/3,2/3)(1/3,0,2/3) 8(1/3,1/3,1/3)10 单元模型构造 二维10节点单元的形函数多项式可以假设为 根据Ni的正交性，可求得二维10节点三角形单元的形函数为 单元模型构造 二维4节点四边形单元
9、面积坐标是针对三角形单元假设的，它不适合四边形单元。四边形单元一般采用正规自然坐标系，类似于一维单元的正规自然坐标系。如图所示，取任意四边形的对边中点连线，分别作为r轴和s轴，两轴的交点P作为坐标系的原点。坐标系度量定义为：原点P点的坐标是(0,0)，四边形两对对边分别取 和 ，这样就建立了四边形单元的一种正规自然坐标系。四边形的4个节点的自然坐标依次为 (1,1)、(-1,1)、(-1,-1)、(1,-1)。 oxy1 (1,1)2 (-1,1)3 (-1,-1)4 (1,-1)P (0,0)rs 单元模型构造 二维4节点四边形单元的形函数多项式假设为 根据Ni的正交性，可以求得4节点四边形
10、单元的形函数分别为 单元模型构造 二维8节点四边形单元 如图所示为二维8节点四边形单元，正规自然坐标系的建立与4节点单元类似。由于单元的四个边可以是曲线，所以正规自然坐标系是一个曲线坐标系。单元节点的自然坐标已经在图中标出。 oxy1 (1,1)2 (-1,1)3 (-1,-1)4 (1,-1)P (0,0)rs5 (0,1)6 (-1,0)7 (0,-1)8 (1,0)二维8节点四边形单元的形函数多项式假设为 根据Ni的正交性，可以求得8节点四边形单元的形函数分别为 单元模型构造 单元模型构造 二维12节点四边形单元 如图所示为二维12节点四边形单元，正规自然坐标系的建立与8节点单元相同。单
11、元节点的自然坐标已经在图中标出。 oxy1 (1,1)(-1,1) 23 (-1,-1)4 (1,-1)P (0,0)rs5 (1/3,1)8 (-1,-1/3)9 (-1/3,-1)(-1/3,1) 67 (-1,1/3)10 (1/3,-1)11 (1,-1/3)12 (1,1/3) 单元模型构造 二维12节点四边形单元的形函数多项式假设为 根据Ni的正交性，可以求得12节点四边形单元的形函数分别为 单元模型构造 3）三维单元 体积坐标 如图所示，三维四面体单元内任意一点P，则点243P围成的体积为V1，点134P围成的体积为V2，点142P围成的体积为V3，点123P围成的体积为V4。
12、1(x1,y1,z1)(1,0,0,0)2 (x2,y2,z2) (0,1,0,0)3 (x3,y3,z3) (0,0,1,0)4 (x4,y4,z4) (0,0,0,1)P (x,y,z) (L1,L2,L3,L4)oxyz 单元模型构造 定义单元的体积坐标L1、L2、L3和L4分别为 式中，V为四面体单元的体积。 体积坐标L1、L2、L3和L4之间不是相互独立的，它们存在如下关系 经过验证，体积坐标L1、L2、L3和L4恰好是三维4节点四面体单元的形函数，即 面积坐标系与整体坐标系之间的转换关系为 单元模型构造 或 单元模型构造 式中，ai、bi、ci、di (i=1, 2, 3, 4)按
13、下式计算。 单元模型构造 循环轮换脚标1、2、3、4，相应可以得到a2，b2 ， c2 ， d2 ， a3 ， b3 ， c3 ， d3 ， a4 ， b4 ， c4 ， d4 单元模型构造 三维10节点四面体单元 定义了体积坐标后，可以利用它求四面体高阶单元的形函数。如图所示为三维10节点四面体单元，图中标出了每个节点的体积坐标。 (1,0,0,0) 12 (0,1,0,0)3 (0,0,1,0)4 (0,0,0,1)oxyz(0.5,0.5,0,0) 56 (0,0.5,0.5,0)7 (0.5,0,0.5,0)(0.5,0,0,0.5) 89 (0,0.5,0,0.5)10 (0,0,0
14、.5,0.5)利用Ni的正交性，可以求得10节点四面体单元的形函数分别为 三维10节点四面体单元的形函数多项式假设为 单元模型构造 三维8节点六面体单元 求三维8节点六面体单元的形函数要采用正规自然坐标系。如图所示，每个面的对边中点连线得到6个交叉点，取相对面的交叉点连线分别作为r轴、s轴和t轴，三个轴的交叉点P作为坐标系的原点。坐标系度量定义为：原点P点的坐标是(0,0,0)，六面体的3个对面分别取 、 和 ，这样就建立了六面体单元的一种正规自然坐标系。图中已经标出每个节点的自然坐标值。 oxyz1 (1,1,1)2 (-1,1,1)(-1,-1,1) 3P(1,-1,1) 45 (1,1,
15、-1)6 (-1,1,-1)(-1,-1,-1) 78 (1,-1,-1)rst 单元模型构造 三维8节点六面体单元的形函数多项式假设为 根据Ni的正交性，可以求得8节点六面体单元的形函数分别为 三维20节点六面体单元 三维20节点六面体单元是一个二次实体单元，它的每个面可以是曲面，如图所示。正规自然坐标系的定义与8节点六面体单元类似，而这种单元的自然坐标系是一个3维曲线坐标系。 单元模型构造 oxyzrst1234567891011121314151617181920 单元模型构造 节点自然坐标依次为： 单元模型构造 三维20节点六面体单元的形函数多项式假设为 单元模型构造 根据Ni的正交性，可以求得20节点六面体单元的形函数分别为
