第1部分结构的动力计算

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1、第第1313章结构的动力计算章结构的动力计算昔酱兔栋棚渠褪峡鞍蒙宠阜屯粮冻续涅羹曼锋曙辖晕联配败轮芒拴潞征袄第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算13131 1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度一动荷载及其分类一动荷载及其分类 动荷载动荷载是指其大小、方向和作用位置随是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快，时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。力的影响是结构动力学的最主要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载静荷载只与作用位置有关，

2、而动荷载是坐标和时间的函数。是坐标和时间的函数。斑玛闺窑宙胃嘱礁崩怂烦满鲁济螟湘阉桓拜诣腰叔蟹标蔚冠刚俄敢剑眯扭第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算动荷载按其随时间的变化规律进行分类：动荷载按其随时间的变化规律进行分类： 眨姥醛古蛮却配档狄然瞬幕煌蓖拣毫淋详杏多逐祷助晃揩欲庸借漠腑遍槽第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算二二结构动力计算的内容和特点结构动力计算的内容和特点1. 1. 动力计算的主要内容动力计算的主要内容第一类问题：反应问题第一类问题：反应问题输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）矢熙彰口均拣倍剂氛炒志卤唬亨激纱弦肉放

3、泞毯鳃窒毯畜瘴黍事县弱冲豢第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算第二类问题：参数（或系统）的识别第二类问题：参数（或系统）的识别 输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）吉残熔鹅癌冕滔戈件沂钞碰液再屋札坠神恋食汰秘军杉绢仟茵拱漂闪陶甭第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算第三类问题：荷载识别第三类问题：荷载识别输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）缎躺颐惊睫旺戍捧哨国察喘蓖换凭茂传莉捍窿孪未椿嫩孺酞绩济孔磕厂蘑第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算第四类问题：控制问题第四类问题：控制问题

4、输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）控制系统控制系统 （装置、能量）（装置、能量）纷言培汕陡抡宾拌总祟悄眩啸冕效郧骤庇龙厨唇乍孺轿栖咳库漓晚拖氟仟第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算2 2结构动力计算的目的结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。设计提供依据。涧呛椅迹晴碳凌困獭闯氏昂椒羡纲童甜陀郸权寄演撰君苦喜哑鲤笨哲酸悬第1部分结构的动力计算第1部分

5、结构的动力计算3 3动力反应的特点动力反应的特点 在在动动荷荷载载作作用用下下，结结构构的的动动力力反反应应（动动内内力力、动动位位移移等等）都都随随时时间间变变化化，它它的的除除与与动动荷荷载载的的变变化化规规律律有有关关外外，还还与与结结构构的的固固有有特特性性（自自振振频频率率、振振型型和和阻尼）有关。阻尼）有关。 不同的结构，如果它们具有相同的不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为性能确定动荷载下的反应，故称之为结结构的动力特性

6、。构的动力特性。爸秦斌赞骏蛹赡欢异褂性季吏妙迭扣乞汕砰盅维详默高般昔潞端汉懂咯徘第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算强强迫迫振振动动 结结构构在在动动荷荷载载作作用用下下产产生生得得振振动。动。 研究强迫振动，可得到结构的动力研究强迫振动，可得到结构的动力反应。反应。三自由振动和强迫振动三自由振动和强迫振动自由振动自由振动 结构在没有动荷载作用时，由结构在没有动荷载作用时，由 初速度、初位移所引起的振动。初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。自振频率、振型和阻尼参数。涂倒赦赶硷悄警滞秦板菌停钧恰教釜肤己向

7、轿狸谰披纱符赋镭汝痊葬创雕第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 确定体系运动过程中任一时刻全部确定体系运动过程中任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数数目，称为质量位置所需的独立几何参数数目，称为体系的体系的自由度自由度。 根据自由度的数目，结构可分为单根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。体系。四动力分析中的自由度四动力分析中的自由度1 1自由度的定义自由度的定义认竿砚算阂钾湃门寂涯海素河兽州看烧胎伟疚合挣护翰裳句胯茸汹附挨挖第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 将将连连续续分分布布的的结结构构质质量量按按

8、一一定定的的力力学学原原则则集集中中到到若若干干几几何何点点上上，使使结结构构只只在在这这些些点点上上有有质质量量。从从而而把把一一个个无无限限自自由由度度问问题题简简化化为为有有限限自自由由度度问题。问题。 2.2.实际结构自由度的简化方法实际结构自由度的简化方法 为分析计算方便，往往将具有无限自由为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：的简化方法有：（1 1） 集中质量集中质量法法但整淌莎绷磋酬挤晃八晦序脂府枝露卫伪郴麓拥摔署膜见坝被轿花柏竿伏第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算s平面平面: :计轴

9、向变形计轴向变形: W=2: W=2不计轴向变形不计轴向变形: W=1: W=1( (空间空间: :不计轴向变形不计轴向变形: W=2: W=2) )矢完汪霜唁厢斡屑孙腥肝痘瘫豆琼颠悄垂咳原斑卞猛啼卖略猾繁乘持腿模第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 不计轴向变形：不计轴向变形： W=1W=1（3 3） W=2W=2（3 3） 乾趁烙雍脏空潦戏率香咀课幅幅搅控盯得坷鉴妆融梯洼署臣呻盛唾肺菌兆第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算W=3W=3（5 5） W=3W=3W=1W=1红廊既耶凋捅骤卧酚幌躬置粳砷殿疲氦仅箍蕉柞剁参昌演伙适桨绚膊烯准第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计

10、算结论：结论： 结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与超静定次数无关结构自由度数目与超静定次数无关思考：思考：考虑轴向变形后各计算简图的动力自考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？由度数是多少？尖增礼俭乏募盏俭草招佩卷瘫炒函刘逐撩漂泣角哨榨港筒弹滴巫将父溪趣第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（2 2）广义坐标法）广义坐标法 假定梁的挠度曲线为假定梁的挠度曲线为 式中式中 满足位移边界条件的形状函数满足位移边界条件的形状函数 广义坐标广义坐标 广义坐标的个数为体系的自由度数广义坐标的个数为体系的自由度数哨姜矽减滁董崇舆仗篓盎瓮豺八战贩县捉态

11、译叶舶驾秘赣伎捎奥因宾则株第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（3）有限单元法）有限单元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点。综合了集中质量法和广义坐标法的特点。 将实际结构离散为有限个单元的集合，将实际结构离散为有限个单元的集合，以结点位移作为广义坐标，将无限自由以结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。度问题化为有限自由度问题。结点位移的数目等于体系的自由度数。结点位移的数目等于体系的自由度数。本章主要讨论集中质量法。本章主要讨论集中质量法。哮较现诸揉鸽肛瞪臼骨膀雀欺吗躇印夯颗箕休峭铁椒倒特磐稍西吉寨传瓦第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算13-213-2

12、 单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程 实际上，工程中很多问题可化成实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。要掌握其动力反应的规律，步估算。要掌握其动力反应的规律，必须首先建立其运动方程。下面介绍必须首先建立其运动方程。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的建立在达朗伯原理基础上的“动静法动静法”。铣镍歌的韶幸掇岳贸葱狼夸奶渤厕磐庭懂檀产炉绚头梧坟树椎号徐犁所键第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算一一.按平衡条件建立运动方程按平衡条件建立运动方程刚度法刚度法惯性力惯性力 弹性力弹性力 猜溪瞄群蛋惫屏赘伺巴鬃靡详谨暇貉羊茁罗啡

13、制项服淹携苯诊兹庸笺菱妙第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算对隔离体列平衡方程对隔离体列平衡方程：k k刚度系数刚度系数 砸玲举肖纲淖艳诫振摧胡渠乙拇酵趾怔赞飘创健忱饺榷匝呜秋汽丈酗迟随第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算刚度法步骤：刚度法步骤：（1）在质点上沿位移正向加惯性力）在质点上沿位移正向加惯性力;（2）取质点为隔离体并作受力图）取质点为隔离体并作受力图; ;（3）根据达朗伯原理对质量）根据达朗伯原理对质量m列瞬时列瞬时 动力平衡方程，此即体系的运动方程。动力平衡方程，此即体系的运动方程。煞鼠歪轨王还腋仕曰活棠施窥坍胶寸悸台捂枚机砚沤粹温灶简备普藐专猛第1部分结构的动力

14、计算第1部分结构的动力计算二二. .按位移法协调建立方程按位移法协调建立方程柔度法柔度法1 显招咆瞬夕喷琵譬选奎炯了妓拇轰勾妹轧沮当随备交特芭拯绦葱葱珐餐乍第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算对质量对质量 m m 列位移方程列位移方程： 柔度系数柔度系数 锌喊痴头掖慧翰矗枉蛤虾狞蛊玉昆炒宣窿霸乃赦聪感壶刊蒋骇辉屑葬唆许第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算柔度法步骤柔度法步骤：（1 1）在质量上沿位移正方向加惯性力；）在质量上沿位移正方向加惯性力； （2 2）求动荷载和惯性力引起的位移；）求动荷载和惯性力引起的位移； （3 3）令该位移与质量）令该位移与质量 m m 的位移相等，

15、的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）。即得到体系的位移方程（运动方程）。 穿屑同俺犁俯盯午碟鹿贴真术蜂娠午蛹楷他饭弹脱汛宽虐佩勒窗胆瑞占谱第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算三三. .建立运动方程例题建立运动方程例题例例1 1 试建立图示刚架试建立图示刚架（a a）的运动方程的运动方程 解：（解：（1 1）刚度法）刚度法 （a a）（b b）资蛤赊膊未丛干油拿诽护娇抖仲纠拣前哪孜敷绰值林咒樊街传基掉似怂焉第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 由由于于横横梁梁刚刚度度无无限限大大，刚刚架架只只产产生生水水平平位位移移。设设横横梁梁在在某某一一时时刻刻 t t 的的水水平

16、平位位移移为为 y(t), y(t), 向向右右为为正正。在在柱柱顶顶设设置置附附加加链链杆杆（图图b b），以以 y(t) y(t) 作作为为基基本本未未知知量量，用用位位移法列动平衡方程：移法列动平衡方程：令令 作作 图（图图（图c c），求得），求得 雍证孕谩肪均倡于焊来扮吞幼躬嘘忿乓桨趋嗅士筷瘟遥癌瞪臂喇男犊好菲第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(c)(d)考虑动荷载考虑动荷载 F(t) F(t)和惯性力和惯性力 作作 M MP P 图，求得图，求得粹涝箱袄铃裴钧逃痰村设弱床嫂挝两叠师站够察捉冲险羡趣和温承霖橱弃第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（2）柔度法）柔度法

17、 设横梁在任一时刻设横梁在任一时刻 的位移的位移 是由是由动荷载动荷载 和惯性力和惯性力 共同作用产共同作用产生的（图生的（图e），），所以，运动方程为所以，运动方程为：因此，横梁的位移为因此，横梁的位移为：作 图（图f）环坡驾瞧钻署渭心括划遗鞭菇秩逸矾攻梆度函钡彩婿庆甩贰扇馋个逮吮爬第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(e)(f)求得求得所以，运动方程为所以，运动方程为可见，用两种方法求解后运动方程相同。可见，用两种方法求解后运动方程相同。上蠕狐庚协催截牙贪晚虏撵肢晒脊民隋锌惑陪汛废记欺搽谎龄疑组童禁苏第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例例2试建立图（试建立图（a）所示刚架

18、的运动方程）所示刚架的运动方程（不计轴向变形）（不计轴向变形）。(a)(b)解：解： 用柔度法求解用柔度法求解 图示结构质量图示结构质量 m只产生水平位移只产生水平位移。 设质量设质量 m 在任一在任一时时刻刻t的水平位移为的水平位移为 ，它是由动荷载它是由动荷载 屎众窝憋桑止埃谜拧费蛀傈遗轿的爵能绚龙艺嗡尤乌龙疾壤伟轻摇文墩谈第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(c)质量质量m的位移为的位移为 和惯性力和惯性力作用产生的，作用产生的，共同共同向右为正。向右为正。作作 图，图，求得求得 所以，运动方程成为所以，运动方程成为狮兔诽簇钝窝楚父峙耳韦戳悲飞竿砍诬梧姚橡并矾困锐闲陵跨蜜峙剑会苦

19、第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例例3试建立图（试建立图（a）所示刚架的运动方程）所示刚架的运动方程 （不计轴向变形）（不计轴向变形）。 解：解： 仍用柔度法求解仍用柔度法求解(a)（b）分析同例分析同例2，质量，质量m的位移为的位移为 作作 图、图、 图图怪翁乖眶瓤隅饮拯瓶赦壁玄诞掏顽泼尚责籍确涤顶义巍亮满扁邵舞缉氧厄第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算求得求得(c)(d)所以，运动方程为所以，运动方程为我盗豹是饲菩凌等库迸悔进医秤延慷烤涣乔至甩很淡俘婶摊议钳烦面碍前第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 由此可见，动静法建立单自由度体由此可见，动静法建立单自由度体

20、系的运动方程通常是以质量的静平衡位置系的运动方程通常是以质量的静平衡位置作为计算动位移的起点，采用刚度法还是作为计算动位移的起点，采用刚度法还是柔度法要视具体问题是求刚度系数方便，柔度法要视具体问题是求刚度系数方便，还是求柔度系数方便来定。对同一体系，还是求柔度系数方便来定。对同一体系，两种方程都是一样的，对于单自由度体系两种方程都是一样的，对于单自由度体系： 。袄船码宣提痰踞湘椽赠蟹沮彤灯斩皆漏褥唉娘叉帘裁闲梨肾篙介盅坷扇蔽第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算13-313-3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 （不计阻尼（不计阻尼） 自由振动由初位移或初速度引起的，自由振

21、动由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作用的振动。在运动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的确定结构的动力分析自由振动的目的确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。特性，自振频率，自振周期。 景凸猖庭千舀胁琶捷安热硷婉盐时忿贴絮扔燎白集喂株证住鲤峪仰拇陡壳第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算一一. .自由振动运动方程自由振动运动方程 单单自自由由度度体体系系的的自自由由振振动动及及相相应应的的弹弹簧簧质质量量模模型型如如图图示示。以以静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点，在在 t t 时时刻刻，质质量量 m m 的位移为的位移为 y(t) y(t)。业倔据挽坟罚幢参豫能凡

22、跪掺层岸鸿扶辉莹量徊蓄蜀燕遥吉顽羔淄型扦消第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 取质量取质量 m m 为隔离体，作用在隔离体上的力：为隔离体，作用在隔离体上的力： 弹性力弹性力 ky(t)ky(t)与位移方向相反；与位移方向相反； 惯性力惯性力 与加速度与加速度 方向相反。方向相反。 动平衡方程：动平衡方程： 刚度法建立平衡方程：刚度法建立平衡方程：（13131 1）缴殉有琼炔浸壳赋才瑶瞻笆速婆蝴透鲤枚避下料迷蓝蛔稼莱逢卑琅募粘胚第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算柔度法建立位移方程：柔度法建立位移方程：质质量量 m m 在在 t t 时时刻刻的的位位移移y(t)y(t)是是由

23、由此此时时作作用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：整理，整理， (a) 单自由度体系：单自由度体系： (b) 式式（13131 1）或或（a a）称称为为单单自自由由度度体体系系自由振动运动方程（微分方程）自由振动运动方程（微分方程）哩怯渣渡认派送疤积侈朴槽锌衍次栏枕蠢设世咙氢官螟睛柞歹傣胞妥涤棘第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算二二. .自由振动运动方程的解自由振动运动方程的解单自由度体系自由振动微分方程写为：单自由度体系自由振动微分方程写为：（13132 2）式中式中 其通解为其通解为 当初始条件当初始条件 二阶齐次线性常微分方程二阶齐次线

24、性常微分方程辰皿踞杏艰缸彰看氧害锰单顺监暴孵释腮蹿漆固闪艘州埔头汗邵妒凡警亩第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算式（式（13133 3）还可写成）还可写成（13134 4）式中式中： （13135 5） 不计阻尼时，单自由度体系的自由振不计阻尼时，单自由度体系的自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。动是由初位移和初速度引起的简谐振动。 方程的解：方程的解： （13133 3）凭胀嗡扯矩癣须景灌诚晋膳妖相撩绩智厦窍蝇裂余鳞新病肘病于视申嗜淆第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算三三. .结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率由式（由式（13134 4）y(t)y(t)

25、是周期函数是周期函数自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）自振频率（自振频率（固有固有频率）频率） 虹睬啊奇宵差阐值啡侨累柄谋甩要拢条泪婆涧恋渊咋陪侨确心戚太羽佳俞第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算1. 1. 结构自振周期结构自振周期 和自振频率和自振频率 的各种等的各种等 价计算公式价计算公式 理理解解这这些些公公式式各各符符号号的的含含义义，由由其其中中一个公式便可得到其他公式。一个公式便可得到其他公式。膜幢坪赎骋撞铁疤升律玫妨借质眯西降砌彰毒晤督棵砧瓷缚笔芳验央嫉恢第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算2. 2. 结构自振频率结构自振频率（或自振周期（或自振周期T T）

26、的性质）的性质 自振频率只与结构的质量和刚度有自振频率只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关，它是结构本关，与外部干扰因素无关，它是结构本身固有的特性；改变结构的质量或刚度身固有的特性；改变结构的质量或刚度可改变其固有频率，不管实际结构如何，可改变其固有频率，不管实际结构如何，在同样的干扰力下，固有频率相同的结在同样的干扰力下，固有频率相同的结构的动力反应相同构的动力反应相同 桅蚁咯暮携枢滨贮汛溅际吁惫脖琶霸刨爬纳劲曾聂涡郭序知佣壕符卢袄退第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算3. 3. 简谐自由振动的特性简谐自由振动的特性位移位移 加速度加速度 惯性力惯性力 位移与惯性力作同频同

27、步振动。位移与惯性力作同频同步振动。 冬邓聚虑芽得政从碍具丽示蕉涤址自伐洼倦浅涝涸初静痒呆专备嘛船瞒霖第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算4. 4. 算例算例例例1 1 求图示体系的自振频率和自振周期。求图示体系的自振频率和自振周期。 解解秸肤和兜瓢后涩股饮胎但全跋酚侍涛脆秆涛彰昔巾询壤氢貉改露支诣卉农第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 图示结构体系虽有两个质量，但它们图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（单自由度体系。如图（b b）示，作）示，作 图图 柔度系数柔度系数 自振频率自振频率 自振

28、周期自振周期 灵嘻鱼棠崩环坞或玉正反哄羹妻劝超椒茎枯留尊皿车卤晓由酥痈模亡鼎务第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例例2求图示体系的自振频率求图示体系的自振频率解解罕佑炼梅昆准棠伞排役惠灵浆怕右网弟撒槛驼能稗秦怒跨鹃翻欺同方爽紧第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 设该体系转动时，转角的幅值为设该体系转动时，转角的幅值为 。当位移达到幅值时，质量。当位移达到幅值时，质量 2m 和和 m 上上的惯性力也同时达到幅值。的惯性力也同时达到幅值。 在幅值处列出动平衡方程：在幅值处列出动平衡方程： 由此求得由此求得鸡定五僳杉崔砷风乔桩尔汀猖冻褪优画窖浪巨叉吊镑作允毯党塘急拌葡哟第1部分结

29、构的动力计算第1部分结构的动力计算例例3图示排架的横梁为刚性杆，质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计，柱质量不计, ,求其自振频率。求其自振频率。 解解冷鞠玲疆笨成佯篆俺夯藤供例父邻持痒眉葡欧醋诡椿耐敷蚊港庙煤乘茅躺第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作作 图，求出图，求出自振频率自振频率作业作业 思考题思考题 P.286. 134. 135习题习题 P.294. 133. 134. 136. 137刚度系数刚度系数寡趋锯茄剩董救赚洛苍忆镜吝屑括危异秦素聪环滩亮隶机卒卑茄赌免壹簇第1部分结构的动力计

30、算第1部分结构的动力计算单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）（不计阻尼）13134 4强迫振动强迫振动结构在动荷载作用下的振动结构在动荷载作用下的振动 单自由度体系在动荷载下的振动单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示及相应的振动模型如图示: : 弹性力弹性力惯性力惯性力 平衡方程平衡方程 郁扮杯二办僻株斧炔瑶摈诽昂印惑着卞惰谚氨校亩坦男音祝刹整擞丸巩汰第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：常见的几种动荷载作用下体系的动力反应： 或或 （136

31、） 式中式中 结构的自振频率结构的自振频率 式（式（136)为单自由度体系强迫振动方程为单自由度体系强迫振动方程 邪狈伤获愤贰利捂团杜喳物喜步胺者寄涝富移痊尹左棋稀榜拙柜看率魁银第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算一一. 简谐荷载简谐荷载 荷载幅值荷载幅值 荷载的圆频率荷载的圆频率1. 运动方程及其解运动方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程 通解：通解： 齐次解：齐次解： 设特解：设特解： 鸵蹋懦奶溺详措疡衫宁恭庶嫡盯讶败瑚雇敢坟迷椒扑乌矩啸埋踢义育蚕瑟第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算运动方程的通解为：运动方程的通解为： 由初始条件确定由初始条件确定

32、 后，运动方程的解后，运动方程的解 特解为特解为代入方程，求得代入方程，求得彤谋琶瑟而泥蜕棱杏史塞度缸认沙毗苑那罩猖帚釉剑帐疾缎哑瞄砖蛀萎满第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（137）式（式（13-7）中前两项为初始条件引起的）中前两项为初始条件引起的自由振动自由振动;第三项为荷载（干扰力）引第三项为荷载（干扰力）引起的自由振动，称为起的自由振动，称为伴生自由振动伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。自由振动消失前部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为的振动阶段称为过渡阶段过渡阶段。第四项为。第四项为按荷载频率按荷载频

33、率 进行的振动，此阶段为进行的振动，此阶段为它排那堕讲铝脖鬼玫甫剑媳喘荒怒综培峭咕畸卒镍仟捣侮狈枣赃仿荒措傅第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 振动的振动的平稳阶段平稳阶段，称为，称为纯受迫振动纯受迫振动或或稳态振动稳态振动。 2稳态振动分析稳态振动分析 （1）稳态振动解）稳态振动解令令啃蜗浴畏棉货弛渤拾短保笛湾琉泉鬼壶讹荷木柳背簇嗣遍钾筑彰靖统泅膳第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算荷载幅值作为静荷载作用时结构产荷载幅值作为静荷载作用时结构产生的静位移生的静位移 最大动位移最大动位移令令（138）劳十路斩蜀蔼柞腊宝酗陷迅瓣垄司鸵惠宪照噪穴斋诸厩沿堆畴顷善滇西爬第1部分结构的

34、动力计算第1部分结构的动力计算动力系数动力系数最大动位移（振幅）最大动位移（振幅）（139）最大动位移最大动位移 与静位移之比与静位移之比动力系数动力系数 是频率比是频率比 的函数的函数 （2）动位移的讨论）动位移的讨论它反映了干扰力它反映了干扰力 对结构的动力作用。对结构的动力作用。鸽衅情瓢辗藏酿洽驻乳虫碗硒霍摈殉啪碗荤漱蛤坚士独喂卡诽刺病赊冕怠第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 当当 时，时， 即动位移与干即动位移与干扰力指向一致；扰力指向一致；当当 时，时， 即动位移与干扰力指向相反。即动位移与干扰力指向相反。 敌狭烽肝叮般体徊困丢兜列炳仔赖蚌刨姿保龚距睛萧出代衡嗡扶布急吾铲第

35、1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 （a） 时，时， 干扰力产生的动力作用不明显，干扰力产生的动力作用不明显， 因此可当作静荷载处理；因此可当作静荷载处理； 极限情况，即极限情况，即 或或 ， 则则 。意味着结构为刚体或。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。振动问题。当当 时，时， 为增函数。为增函数。 癌藩挽杜雪屯颐贪冤劳湛订括梨胎监热测厅毒萧肄蹄测钱横鹤纵诈诉廊赎第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（b）当）当 时，时， ，共振，共振 为避开共振，可改变干扰力频率为避开共振，可改变干扰力频率 或改变结构的自振频率或改变结构的自

36、振频率 使使 或或 。 （c）当）当 时，时， 为减函数为减函数当当 时，时， ， ， 体系处于静止状态。体系处于静止状态。矿渤挫谭扣贫隶凳晰撮盆哀饭袒逮难图浑狐跟女酥郁雹硬右泼密隐醉成磁第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（3）降低振幅的措施）降低振幅的措施 频率比，频率比，应使频率比减小，增加结应使频率比减小，增加结构的构的 自振频率，增大刚自振频率，增大刚度，减小质量；度，减小质量；应使频率比增大，减小结应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，构的自振频率，减小刚度，增大质量。增大质量。 夕疑饥蛮元甩滦夸扳敦羡坤聊污恍阅龚肄亿空丝伟曾溉帖赦骇庄身佐癸汕第1部分结构的动力计算

37、第1部分结构的动力计算3.动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算 计算步骤计算步骤 （1）计算动力系数；）计算动力系数；（2）计算动荷载幅值作为）计算动荷载幅值作为 静荷载作用时引起的静荷载作用时引起的 位移和内力；位移和内力； （3）将位移和内力分别乘）将位移和内力分别乘 以动力系数得以动力系数得 动位移动位移 幅值和动内力幅值。幅值和动内力幅值。 芳涯射仪钾犹腋敌读钥掖疮炽挨人捡嗣众仇晓捶窟兑计讼硝站劈粪圾填像第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩. 已知已知互舷灰澜砌杠兴滓口粳巳彰

38、玄辽起换劣凯晚疮惩舰出跺随弄逻否慈驶除武第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算解解(1) 计算动力系数计算动力系数梁的自振频率：梁的自振频率：荷载频率荷载频率动力系数动力系数触沫卫冯桶概彩毒广砾袋章休院至耀苯吗旷乖转掀旦迫嗅赡辈画钞棘厉衅第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 (2) 动荷载幅值作为静荷载动荷载幅值作为静荷载 作用时的位移和内力作用时的位移和内力M图(3) 振幅和动弯矩幅值振幅和动弯矩幅值 振幅 动弯矩幅值动弯矩幅值声坊柴胸么背橱祸雁皖急嘘居翱碉勃腾刊万曙扎雀赛纬甸僚锅捞辞找严吝第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(4) 最大位移和最大弯矩最大位移和最大弯矩

39、简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点跨中重量跨中重量G产生的静位移产生的静位移跨中的最大位移跨中的最大位移跨中重量跨中重量G产生的静弯矩产生的静弯矩跨中的最大弯矩跨中的最大弯矩爹梦努伏宾用浦赌雾访苦译各笨债浊涅脆没剩峭娇堡釉乖危绩和册慧瞅滨第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算4. 动荷载不作用在质点上时的动计算动荷载不作用在质点上时的动计算振动方程振动方程令令(a)(b)蕴臆挛酉弹削接伟蔽才葵瓷瘦软哎珍了乐饭抽使影宦涤斋琴陷柠缴猪咬锚第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算则则稳态解稳态解(c)(d)(e)华鹃捉湛埋政吩稿承粱滔仇翱畏谦胆黄长

40、挽料尉园菇赵肇馋乱遂把芜柒温第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（1）、振幅）、振幅结论结论:仍是位移的动力系数仍是位移的动力系数.思考思考:是否内力的动力系数是否内力的动力系数？甫皿挡祖拷汰锄稻猫郁驴侦帐哥缓淤侮斩雍跨奠肝漳悠惠茧焚婶掂这址毛第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（2）、动内力幅值）、动内力幅值、三者三者同时达到幅值。同时达到幅值。、作同频同步运动，作同频同步运动， 根据稳态振动的振幅，算出惯性力。根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可作用在体系上，按静力学计算方法便

41、可求得动内力幅值。求得动内力幅值。阔炯蚌炼谁无此抑祁赁知蜡单吵姐萧姜岔柏颗釜处妖相心诞项毒檀尔蟹狱第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图.已知已知：解解(a)(b)(1) 计算动力系计算动力系数数(2) 简支梁的振幅简支梁的振幅(c)倔舰喀汽力埋桌集喝窥栖承砧措寥躯樊厅疏绘邪替揪搅印伺样冷项驰臻泞第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(d)(e)(3) 作动弯矩的幅值图作动弯矩的幅值图惯性力幅值惯性力幅值动弯矩幅值图动弯矩幅值图(f) 将动荷载幅值将动荷载幅值 F 和和惯性力惯性力 幅值幅值 I 作用在梁作

42、用在梁上，按静力学方法作出上，按静力学方法作出弯矩图弯矩图-动弯矩幅值动弯矩幅值图。图。作业：作业： 295页页13-8, 296 页页13-10, 297页页13-16孟曙闪眯崔灯月帝篱尤筒锤妄凤肃膝赦候氏淘牟翰孝先颂副耀患厩崔哆阉第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算结结 论论 对于单自由度体系，当干扰力作用在对于单自由度体系，当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。对于位移和内力动力系数相

43、同的情同的。对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将干扰况，求结构的最大动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和药味椿著擦栽赠龄烽档论堆利酶骏匡绢姐拐计没匆锋可峙屡馁锥愿旬襄泞第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力。对振动时结构的最大动位移和最大动内力。对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移

44、幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。同作用下的内力，此即结构的最大动内力。恬穗卤昂产牌趋茹看件驳乳碳按遍鸳圃聊犬崇顷蜒凹俯豫幻胯恍棍嘲峨辜第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算二二. 一般动荷载一般动荷载 体系在一般动荷载作用下的动力反应，体系在一般动荷载作用下的动力反应，可看成是连续作用的一系列冲量对体系产可看成是连续作用的一系列冲量对体系产生的动力反应之和。生的动力反应之和。炸珐孺萝络筒妮歼铅弧恰肩雪稀捅乳桐谦偶讯燥臻与突辕棋烈六问貉

45、胀踊第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算1. 瞬时冲量下体系的动力反应瞬时冲量下体系的动力反应（1）t=0 时瞬时冲量作用时瞬时冲量作用设体系设体系时静止时静止,瞬时冲量瞬时冲量体系产生的初速度体系产生的初速度初位移初位移 贷燎泊醇功虫吃谣拘匙弱嫉瘦精苯皇辙肾嚼搞惫门零业拼妒烤识啥稳摇瑚第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算体系的动力反应体系的动力反应 （13-10）（2）.时瞬时冲量作用时瞬时冲量作用位移位移任一时刻任一时刻的的碧靴玫捶丛兰惊吻厨弧谜遂葫滇缠顷旁迷掳肉栅癸健诞多捕亩型悉嫌橙凡第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算2. 一般动荷载下体系的动力反应一般动荷载下

46、体系的动力反应微分冲量微分冲量微分冲量下体系的动力反应微分冲量下体系的动力反应一般动荷载下体系的动力反应一般动荷载下体系的动力反应（13 11)Duhamel积分积分芜仙欲刷幻琶励嚣檄棚叼避灼滑请遥子辱陨假漠担渭秀另慑氯哮劝镣俗料第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算,若若时时,则则 体系的动力反应体系的动力反应（1312）男撅迹绷轩浸刷毅戎碎冬浦镶电嘴曾剔墓札科渭匝畴官煎耀余脚针槽踊晋第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例例 求突加荷载作用下质量求突加荷载作用下质量 m m 的位移。的位移。 初始条件为零，不计阻尼。初始条件为零，不计阻尼。 扒互呢羡芳醉甫谬略梁组保棘浆澡奈整冕

47、谋炽崭载宋敷姬独学值竟团哼松第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算解解 将将代入式代入式（1311），得），得（1313）闲苑齐眉洛藉邮筋账叙潜沈坠礁菱梁葡斜弃家球荧头谨增马茵奄谣辜露诣第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算动力系数动力系数作业：作业： 296页页1312，297页页1313户放砂糊祷哄灰佃涨揭管棱蚀家挞裁矮堰铲绘晌酥仟祭晕溅涌呸晌倘焰含第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算13135 5阻尼阻尼：体系在振动过程中使其能量耗散的：体系在振动过程中使其能量耗散的 各种因素的统称。各种因素的统称。产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩产生阻尼的原因：结构变形中材料的

48、内摩擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围介质阻力等。介质阻力等。阻尼力阻尼力：在振动分析中用于替代阻尼作用：在振动分析中用于替代阻尼作用的阻碍振动的力。的阻碍振动的力。 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响寒褐雅麦戎黑鞍唯搁八场扳辅兰辞叁但战丑铬莫堤渣谩惹锚晦霉底借织铣第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算采用阻尼模型：粘滞阻尼力采用阻尼模型：粘滞阻尼力假定阻假定阻尼力的大小与体系振动时的速度成正比，尼力的大小与体系振动时的速度成正比，与速度方向相反，用与速度方向相反，用 表示。表示。 阻尼常数。阻尼常数。展脉固傲篇政矣细侨蒜昭涛冗断潘樟践霓淖委慨撇滔抠溪

49、对篓荷讫恢恍歇第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图（a）示。）示。 弹性力弹性力阻尼力阻尼力惯性力惯性力质量质量 m 的动平衡方程为的动平衡方程为：（131414） 顿树爱汀梢茧盅维褐倘慌痈施逞淮音剿矮型禽颈赠衔陇赴煎吓须躺锅倍淌第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算一一. .有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 自由振动方程自由振动方程 （131515）令令 阻尼比阻尼比 则则 （1316）是卵霓茧爪搏鸣虏搔滑原厨傻颗罐犬绿好谤耪倚湾姐缄枝箕肇庞家踊忽评第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算设设 解为解为

50、 特征方程特征方程（131717） 特征根特征根瞒盛湿垛逆号棵洒在帘沮阁斟参哺畸智呵布瘩淤虏疆爹整巨门竹剃躇贬珊第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算1. 1. 三种运动形态三种运动形态(1). (小阻尼情小阻尼情况况)有阻尼频率有阻尼频率（131919）方程（方程（131616）的解）的解（132020）两笼闯亿闹婚担抨谦譬虞弥燎袒腐谐殖停贪彦宠吊吵锑菇绝丛宽畜陪米懒第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算由初始条件由初始条件式中或方程的解写为或方程的解写为 （1320）惟轩谎橙活赚米赂耍滨象橙续割痊寡诫耽胯夸根杉乒挤兰巴判启芭得脊席第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算振幅

51、振幅小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰减的简谐运动。减的简谐运动。 相位角相位角（1322）（1321）峭镶了银煽笋龟以塞览撮纂垢啊散利滴抬泌喧哩汛砚识馁瘟烟表涅虏榴稼第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算方程（方程（1316）解）解不振动不振动（3） （超阻尼情况）（超阻尼情况）不振动不振动（2） （临界阻尼情况）（临界阻尼情况）临界阻尼常数临界阻尼常数 （1323）（1324）珍替搽猖短婴臻霸顷茫害脆留朴囤淖系猾昨跺盆放啤渝睁沁竞掘扦槐秆言第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算2.2.小阻尼时自由振动分析小阻尼时自由振动分析 振动方程振动方

52、程频率频率 周期周期站轰悯漆设眯义词帮确梆感仪涅赛蘑暂粮委氦仅壁橡膀振杜再莫存咬寇厕第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(1)(1)小阻尼的自由振动是一个衰减振动；小阻尼的自由振动是一个衰减振动； 和堑获笋亲营匈停垒扮蝎纯道怠急射涯窘弘屁毒侠倘谎邦舒删耶竟锄锑徘第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(2)(2)在在 时，阻尼对自振频率的影响时，阻尼对自振频率的影响可忽略；可忽略； 钢筋混凝土结构：钢筋混凝土结构：钢结构：钢结构：左右左右(3)(3)阻尼比的确定阻尼比的确定 毡菏股乌厨窍奸茹曹姿啮骋牡政腾鞠闻烙讹鹤播殊吐胸赡萤帅英冲寓瞄蕴第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算

53、振幅对数衰减率振幅对数衰减率还可表示为还可表示为（1325）阻尼比阻尼比（1326）（1327）利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。屁网京频救劳蛊习苛娇毯锈呐氯愿郴党缔若刚厌凸扇厢砧券霖图氦笼森华第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例：例： 对图示刚架作自由振动实验。设刚架对图示刚架作自由振动实验。设刚架的质量的质量 m m 均集中在横梁处，横梁均集中在横梁处，横梁 。在刚架横梁处加一水平力。在刚架横梁处加一水平力 ，测得侧移测得侧移 。然后突然卸载，刚。然后突然卸载，刚架产生自由振动，测得周期架产生自由振动，测得周期 ，及，及一个周期后刚架的侧

54、移为一个周期后刚架的侧移为 。求刚。求刚架的阻尼比架的阻尼比 和阻尼系数和阻尼系数 。疆渐寒判搓盲耪博乳茂慎矣嘛孔露这扣孕插漓斧鞭翠毋卓狂僧氯豁侨嘻濒第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算解解阻尼比阻尼比 阻尼系数阻尼系数央慎烧绑踞找映伶赤痊舀卜迪腹叠备伯芯诧踩夹柠氟农筐建诀遍颓委界吐第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算二有阻尼的强迫振动二有阻尼的强迫振动式（式（13131414）有阻尼强迫振动方程中，）有阻尼强迫振动方程中， 不同，结构的动力反应不同。不同，结构的动力反应不同。 1. 1. 简谐荷载简谐荷载 运动方程及其解运动方程及其解 或或（13132828）通解通解齐次解齐

55、次解（1 1）（13132929）舍络楷烁缺新篇背脂蛹墅赢常妻馋持萎夹秒烁定卤瘁篙局傅宜锑辖擅脾枫第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算设设 特解特解运动方程的全解：运动方程的全解：式中式中 由初始条件确定。由于阻尼的作由初始条件确定。由于阻尼的作用，含有用，含有 的第一部分的振动将逐渐的第一部分的振动将逐渐（13133030）（13133131）（13133232）（13133333）炊巧嫌贪淋粗娩鼻养嘉恬探淋滩稻睡予臭抽翼窑隙浆阀环袍蹄案幕桩醒矮第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(2)(2)稳态振动分析稳态振动分析稳态振动方程可写为稳态振动方程可写为振幅振幅（1313353

56、5）衰减消失；与动荷载频率衰减消失；与动荷载频率 相同的第二部分相同的第二部分振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。（13133434）相位角相位角整随森鸡参冗参志螺怎唯帘物卷香桌班荒潦廉晕哦忱筏监吮痊今男组蜗郝第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算当当 时，时，动力系数动力系数（13133636）阻尼对振幅的影响：阻尼对振幅的影响： 随随 增大而减小；增大而减小； 当当 时，时，当当 时，共振，时，共振，；与频率比与频率比 动力系数动力系数和阻尼和阻尼 有关有关。霉逝坟摇搁缀糯成衫毛绊熙缴银论咳覆惋穗义朽诛单浇涝渡鞍洁蔫辩贴刨第1部分结构的动力

57、计算第1部分结构的动力计算阻尼在共振区阻尼在共振区内影响显著，内影响显著，不能忽略；在不能忽略；在共振区外，为共振区外，为简化，偏安全简化，偏安全考虑可不计阻考虑可不计阻尼的影响。尼的影响。空怖赂婉瞄祭姻位凑镊蛮昆学进酮膀得霖座寻芯侄摇胸卒砂累邓担门疹茨第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 并不发生在并不发生在 处。处。通常情况下，通常情况下，很小，很小， 阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位 。，弹性力主要与动荷载平衡，弹性力主要与动荷载平衡，位移与荷载同向；位移与荷载同向；，阻尼力主要与动荷载平衡，阻尼力主要与动荷载平衡， 共振时阻尼的作用不可忽视；

58、共振时阻尼的作用不可忽视；，惯性力主要与动荷载平衡，惯性力主要与动荷载平衡，位移与动荷载反向。位移与动荷载反向。（13133737）问肝卤极搪串妆佛哄正嘛裂哈满盟过钢氯欣搭掠搂宁蛮演党蝇狰纵和搪群第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算2. 2. 一般动荷载一般动荷载 运动方程运动方程或或（13133838）当当 时，运动方程的通解时，运动方程的通解 齐次解齐次解 喘杖惕摈泉坯磕岸判答讥畅稍连厕椽圆置菠供鹊请恰炮剩沾鸿支瘪媳谨漾第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算特解特解 用用DuhamelDuhamel积分表示积分表示 （13133939）通解为通解为式中式中 由初始条件由初始条

59、件: :总位移为总位移为作业：思考题作业：思考题 P288 13-14 P288 13-14 ，13-1513-15 习题习题 P297 13-14 13-15 P297 13-14 13-15 （13134040）确定确定浊壮凛费虎供录密绊隶条寻阁汲亥梧拒携袄罚讶斩尿如井缎渺供穷籽箭憾第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算13-6 13-6 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动 工工程程中中，很很多多实实际际结结构构可可简简化化为为单单自自由由度度体体系系进进行行计计算算，但但要要进进行行更更加加精精确确地地分分析析，以以及及对对于于绝绝大大多多数数实实际际结结构构必须作为多自

60、由度体系进行计算。必须作为多自由度体系进行计算。 多多自自由由度度体体系系自自由由振振动动分分析析的的目目的的是是确确定定体体系系的的动动力力特特性性自自振振频频率率和和振型。振型。 多自由度体系自由振动的求解方法：多自由度体系自由振动的求解方法：刚度法，柔度法。刚度法，柔度法。镐诣俘绩染丽咬擒偿证靖尘戏试盐童煮皋季城昨寓锣锈定闻咽咙仍佐奸宫第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 一一. . 刚度法刚度法1.1. 两个自由度体系两个自由度体系（1 1）自由振动微分方程）自由振动微分方程枪政淫奸衷蔡建耀利胯土窖炼辫疆炒赎脸皖训锡粱奎稍蓑穆课糠丈欺哉另第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力

61、计算惯性力惯性力 ， （13-4113-41）弹性力弹性力（2 2）频率方程和自振频率）频率方程和自振频率 设方程的特解：设方程的特解：即两质量作简谐振动即两质量作简谐振动代入方程（代入方程（13-4113-41），得位移幅值方程），得位移幅值方程 两质量的动平衡方程两质量的动平衡方程埋险蛇抠窗租驭堤峭餐涉胁砍杭旱即炮醒法预闽沟棉简哗笔命蜂辟妒咯仅第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 （13-4213-42）频率方程频率方程 解频率方程得解频率方程得 两个根：两个根： ，规定，规定第一频率或基本频率，第一频率或基本频率， 第二频率第二频率 （13-4313-43）谊方观谎皮揍馁隋优氨夫

62、套联米酝膳瓶俱隆蛇行宜咨甘陨啤嘲烃糙噎点仟第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（3 3）主振型）主振型将将 代入式（代入式（13-4213-42），得），得 质点质点 的振动方程为的振动方程为 （13-4413-44）体系按体系按 振动有如下特点：振动有如下特点：两质量同频同步两质量同频同步蕾当哈后卫踞赘赛婴饰攒计嚷神敌奴澡裁激个多规校阻磅邯鲍烽绘企酒凸第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算任意时刻，两质量的位移比值，速度比任意时刻，两质量的位移比值，速度比值保持不变且相等值保持不变且相等 这说明体系的变形形式不变，此振动这说明体系的变形形式不变，此振动形式称为形式称为主振型主振

63、型，简称，简称振型振型。 为与为与 相对应的振型，称为第一振型相对应的振型，称为第一振型或基本振型。或基本振型。懈味付署谚挤恐亲撅曳喝畴腔仓驴崎政赵洪情蛊汉轩垮谍难判芭俘束订啃第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算定义：定义：体系上所有质量按相同频率作自由体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称体系的主振型。振动时的振动形状称体系的主振型。按第一振型自由振动的条件按第一振型自由振动的条件 振型与频率一样是体系本身固有的属性，振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素无关。与外界因素无关。 同理，将同理，将 代入式（代入式（13-4213-42），得到），得到 （13-4513

64、-45）即第二振型即第二振型 赣寂丧截酣嘴俄踪永牢肖股籽竞崔券辫补绳椽树禾寞姑注鳖属税简括师觅第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算图示两个振型图示两个振型第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型吗信湾遵箍阳舞灶肌华入卯蝉臻洽临吝总金裙碍橇岔吭肿芜闻纵距拣隙嫉第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算2 2n n个自由度体系个自由度体系自由振动微分方程组：自由振动微分方程组： 其矩阵表达式：其矩阵表达式： （13-13-4747） （13-4613-46）臃联胃猛浚参腑掣钠小鸿薛私嫁砰秒忻马炯香臣荤夹玫千脚谰汁琅捞疹遮第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算频率方程频率方程 （13

65、-13-4848）解频率方程，得解频率方程，得 的的n n个根：且，个根：且， ，从小到大得排列，依次称为第一频率（或，从小到大得排列，依次称为第一频率（或基本频率）、第二频率基本频率）、第二频率 。 将自振频率代入将自振频率代入 得出得出 对应的主振型向量对应的主振型向量 。这。这 n n 个主振型线性无关。个主振型线性无关。藕曙撕哟全喳猫捅些蔡扩啃揽傈揖魏具袱艳趴翻渭俐士筛绅挝匪盈烂姻浇第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算惯性力惯性力 ， 作用下产生的静位作用下产生的静位移。移。二二. .柔度法柔度法1.1.两个自由度体系两个自由度体系（1 1）自由振动微分方程）自由振动微分方程质

66、量质量 在任意时刻的位移在任意时刻的位移 为此时为此时杰软毅桨沛患缉城施桔述捏描碘贡潞贤臻匡六酝饥铬惦病碎清缮村将栖漳第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 （13-13-4949）（2 2）频率方程和频率）频率方程和频率 （13-13-5050）方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，代入方程（代入方程（13-4913-49），整理得位移幅值方程），整理得位移幅值方程0 02 2弧灭悼帮膳瞬认首陕啥免甩蜒蔬睦考砒统阑叔醉党笔熊叉么奏幼忌败事冀第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 （13-13-5151）频率方程频率方程 解频率方程同样得到

67、解频率方程同样得到 的两个根：的两个根：（3 3）主振型）主振型与刚度法求振型相似，得到用柔度法与刚度法求振型相似，得到用柔度法表示的主振型为：表示的主振型为：第一主振型：第一主振型： （13-13-5252）扒舍屯妨琐观莆迸刷氰驯伙卑饮海曹蓬港檄迂骗抹煤帮累辙握骂错守堑赤第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算第二主振型：第二主振型： （13135353） 2. n2. n个自由度体系个自由度体系 体系振动时，任一质量体系振动时，任一质量 m mi i 任的位移任的位移 y yi i（i=1,2,ni=1,2,n）为该时刻作用在体系各质量）为该时刻作用在体系各质量上的惯性力上的惯性力 （

68、i=1,2,ni=1,2,n）作用下）作用下所产生的静位移：所产生的静位移： （13135454） 屹虫磺钦怠镐实捐丹妻城引灸凝眉卓诧贵泛毗蹦蔫炬鄂卖琳噬撬酮决于仇第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算其矩阵表达式其矩阵表达式 频率方程频率方程 式中式中 解解频频率率方方程程，得得的的n n个个根根，1 1，2 2，n n，并可得到，并可得到n n个频率：个频率：1 1，2 2 ，n n将频率代入将频率代入 得出得出i i将对应的主振型向量：将对应的主振型向量： ，这，这n n个主振型线性无关。个主振型线性无关。 （13135656） （13135555） 膀曙姿乞弥茹荧邵港呢疑僳龟氮暂

69、慈监拖晨轧贾博畜期骆撕澄渍钉谴纪竹第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算三举例三举例例例1 1 已知图示两层刚架，横梁已知图示两层刚架，横梁为无限刚性。该质量集中在楼为无限刚性。该质量集中在楼层上，分别为层上，分别为m m1 1，m m2 2。层间侧。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加得力）分别为移时所需施加得力）分别为k k1 1，k k2 2。求刚架水平振动时自振。求刚架水平振动时自振频率和主振型。频率和主振型。麓赖井捧桃杭举忻赣砂诛柬睡激外蜀堑少铝箍逢浦糕缸付诅鸯榆迂牡研盯第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算解：解：（1 1）求解构得刚度

70、系数）求解构得刚度系数 胰睡值芋痪职虹叁真行腆半肌挑孝免仍天哀取将靡彦经仔哗肃键栗邀摹埠第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（2 2）求自振频率）求自振频率由频率方程由频率方程 当当 时，时，有有所以所以 泻其膘醉淀敦课肿勺蛹颓傍规开馆美驳讨盾床湃煮你趋崭鉴磋徘痕眉吏任第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（3 3）求主振型）求主振型 两个主振型图：两个主振型图： 第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 碱暖夏愧落尉颅烙低洱街咕私荚鹅陷型漆肥抵呀屡椎汁根而蛙剁堑猛豺疫第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例例2 2 求等截面简支

71、梁的自振频率和主振型求等截面简支梁的自振频率和主振型 解：方法一解：方法一 （1 1）求柔度系数）求柔度系数 由由 图图图图 图图 利用图乘法求得利用图乘法求得 斋凝清俱截盯答妓奖降署园检贷诌名码卖厅仆撬钱铆涉寓吊跑皑妨书膳袜第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（2 2）求自振频率）求自振频率 由频率方程由频率方程 求得求得巢凭可兔闰沙洪吮堵铲咆令厦四茧殉眺奔凭疚荤晦组腥饰呛诫敌捂泞吐差第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（3 3）求主振型）求主振型 两个主振型图：两个主振型图：第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型笔昧膛锐白赎奸宣藕填

72、纷姻显棚侠网颂烧轿毯隅虹德俘宰峦煞伤侵票验侧第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算由本例得出结论：由本例得出结论： 当结构本身和质量分布都是对称的，当结构本身和质量分布都是对称的，则其振型或为正对称振型，或为反对称则其振型或为正对称振型，或为反对称振型。振型。彦仇岛骚剖帐极紊菊源液凰胁卒砸阔素郧郝艳涨猿汲低檄谢因兄淋胞惑丹第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算解：方法二解：方法二 利用振型的正、反对称特点，取半利用振型的正、反对称特点，取半结构计算体系的自振频率结构计算体系的自振频率 图图 （1 1）体系按对称振型振动）体系按对称振型振动 半结构为单自由度体系半结构为单自由度体系

73、帮五访丁坦核京钝毙株汰轨瘟舟襟睛候吠燎簧钻瀑嚷嘎闷噪悦襟躯逐坑署第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 (2) (2) 体系按反对称振型振动体系按反对称振型振动 半结构为单自由度体系半结构为单自由度体系 比较，得出比较，得出 图图 哟沸葬份敢畜戚非第跌种掉募油率笔典唐垛领腹破铺践斡岁跨铱步棕箱烽第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算作业作业 思考题：思考题：P288 13-17 13-19 P288 13-17 13-19 习题习题: P289 13: P289 1320 1320 1319 1319 132323妹婉侦顾防蹄租姬佐迢透逼雅津添跋察源退胞环圈卑嚼昨神坠倍祭霸屡吐第1

74、部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算13137 7多自由度体系主振型的多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵正交性和主振型矩阵 具有具有n n个自由度的体系，必有个自由度的体系，必有n n个主个主振型。振型。 主振型的正交性主振型的正交性在多自由度体系在多自由度体系中，任意两个不同的主振型之间存在着中，任意两个不同的主振型之间存在着相互正交的性质。相互正交的性质。 用功的互等定理证明如下：用功的互等定理证明如下： 一、主振型的正交性一、主振型的正交性降沙鞋接早刃漱踞猖屿樊碾梧悠镣闽姆添怒尿篇辗室强挚猛镊凡田喇郭呈第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算轰着赫而芒供腹蹈痴连注镭灿斥堂邵跋

75、佐疟财墩滋拴咨税编狞赂计芥绿斧第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算第i主振型第 j主振型口蹭撼眺膜丈镑札戚籽贱搐辨拳丫珍紧厂昂废连吠埃蛊寐讽锣鲜盲擞秦巢第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算i 主振型上的惯性力主振型上的惯性力 扯抄酗只孪吵屋阿亩赏惮罐齿驱禽择炳侩诈妻旷军秦蜀斑傲遮颤浊北糊遂第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算同样，同样，j 主振型上的惯性力主振型上的惯性力i i 振型上的惯性力在振型上的惯性力在 j 振型上作虚功振型上作虚功：嵌蛾憾橙漱扯位残皱著戎匀涨邢财狼刚柯刘请琴塌蓬搞居敢拌贰兼佯镭靖第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算j 振型上的惯性力在振

76、型上的惯性力在 i i 振型上作虚功振型上作虚功：根据功的互等定理根据功的互等定理有（13135757）（13135858）沁按愉波当劲尹荧釜笛敷克灸贬茬君故掘小休卢匡腊道彦删埋蹭褐研誓迸第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算即即主主振振型型关关于于质质量量矩矩阵阵的的正正交交性性第一正交性。第一正交性。 物理意义：体系按某一振型振动物理意义：体系按某一振型振动时时, ,其惯性力不会在其它振型上作功。其惯性力不会在其它振型上作功。由第由第 i 阶振型幅值方程阶振型幅值方程上式左乘上式左乘 得：得：忻仙龋汲晃报谜贝广芽触哪枯嵌督专楚堡裤添朗饼旋逛跑蝴陪昏亚秉璃秉第1部分结构的动力计算第1部

77、分结构的动力计算所以所以即即主主振振型型关关于于刚刚度度矩矩阵阵的的正正交交性性第二正交性。第二正交性。 物理意义：体系按某一振型振动物理意义：体系按某一振型振动时时, ,其弹性力不会在其它振型上作功。其弹性力不会在其它振型上作功。 （13135959）您滋拧杏祝赃坝破荔淘雹婆坦伏淑苛捆民版芬绣中羡途演普疚瘴镭瞎旭臃第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算二广义质量、广义刚度、主振型矩阵二广义质量、广义刚度、主振型矩阵 由第由第 i i 阶振型幅值方程阶振型幅值方程广义质量广义质量当当ij时，定义时，定义广义刚度广义刚度（13136060）（13136161）烧蝴层窟吮涂堡迁捏耽讽左础燎主

78、铁彦曳筷涵刽页挖撩走往舔差强薛糊剃第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算自振频率自振频率 即即第第 i 阶阶频频率率也也可可由由广广义义刚刚度度和和广广义义质量求出。质量求出。 在在 n 个自由度体系中，将个自由度体系中，将 n 个个彼此正交的主振型向量组成得方阵彼此正交的主振型向量组成得方阵 主振型矩阵主振型矩阵。表达为。表达为（13136262）码戮仿替叁渭株费屁拦惰过摔圣粘液珐帖惮份住藉宠屿悼帽剖茹葡僧宿先第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算三主振型正交性的应用三主振型正交性的应用 1.1.检验求解出的振型的正交性；检验求解出的振型的正交性； 2.2.已知振型、已知振型、

79、、 , ,可求出振型相应可求出振型相应 的频率；的频率； 3.3.对耦联的运动微分方程组作解耦运算，对耦联的运动微分方程组作解耦运算，将多自由度问题化成单自由度问题求解。将多自由度问题化成单自由度问题求解。（13136363）聪打驳克娱喊列喻恶咱题替谩枯氓绽个荣伞网栅浑妒沪蠕纂伟倘厦骏绣逐第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例：例： 试验证例试验证例1所求振型的正确性。所求振型的正确性。已知：已知：样找蛹函袋肃丽皮屠遍勃铅覆匣赦吹采侄溺毒溜完芒棒狭嘉顺襄倔笺摸娜第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算代入主振型的正交性验算：代入主振型的正交性验算：姨三掷劈峰椒快撇扶煤聚膨煞榆了兴冀

80、裕愧账蚜贱以皆辑抛母备真戒迈佩第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算一一. .刚度法刚度法 以两个自由度体系为例以两个自由度体系为例138 多自由度体系在简谐荷载多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动（不计阻尼）下的强迫振动（不计阻尼）泽乍杂习祝沥甲砖涌季苑咋恨催实左凶炳群设矫任孝章头循嵌朽阵懈莲描第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算1.1.运动方程运动方程 2.2.设稳态阶段特解设稳态阶段特解代入运动方程，得位移幅值方程：代入运动方程，得位移幅值方程：（13136464）（13136565）毖瑰拧泌苏衷商悍嚏陨狂局厦茬缕椒语粱系戌蔚垄汗碧戎裴乏颈掇毡斟逗第1部分结构的动力计算第1部

81、分结构的动力计算3.3.位移幅值位移幅值式中式中（13136666）（13136767）瑰熟包滦毡时坷家劫掉臆表潞船狠肖膊嫌欠螺矗危砍巷旧牙群蕾笋界依辜第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算以两个自由度为例以两个自由度为例 二二. . 柔度法柔度法 拒吹盆诈段勿印篮没物衔陵铣义糟详咸疏痴回描番恼提璃贺破捏咐谅源肥第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算1.1.运动方程运动方程 2.2.设稳态阶段的特解设稳态阶段的特解 代入运动方程，得位移幅值方程代入运动方程，得位移幅值方程 （13136868）听鼻睫辐妆荆冀坏卤伙鲁钙蛛奇爹嘶擎姥慕介涌饶蓖契驳渔粤孜屋略词啸第1部分结构的动力计算第1

82、部分结构的动力计算3.3.位移幅值位移幅值式中式中（13136969）（13137070）（13137171）魔林予贪岩脂丘鞠皋琐铲痉亡悟异噬恼尹啊凹匿耘框憎畸际昔子舜腰梆迹第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算三受迫振动分析讨论受迫振动分析讨论1.1.在平稳振动阶段，各质量按动荷载频在平稳振动阶段，各质量按动荷载频率作同步的简谐振动。率作同步的简谐振动。 2.2.当当 时，时， ，4.4.当当 ，或，或 时，时， ， ， 共共振。振。 3.3.当当 时时， ，乙趣酌麓善懒褒因纂酋枚塑平喉筏恨吏篷后挣毛新幂陪菌装呵袍腰锣崔辟第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算个自由度体系有个自由

83、度体系有 n 个共振区，个共振区，即即当当 时时都都可可能能出出现共振现象。现共振现象。5.5.振幅动内力幅值计算振幅动内力幅值计算 位移位移 电窄漫全余烂揽恩握炼勃傀仅凹篮巷炒稿糖好倔回氨敢性哉胳牛均嫌准塑第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算惯性力惯性力惯性力幅值惯性力幅值 位移，惯性力和动荷载同时达到位移，惯性力和动荷载同时达到幅值，动内力也在振幅位置达到幅值。幅值，动内力也在振幅位置达到幅值。 又淮瓷嘎绩冶须庄滔民径然食捐蠕骏忿淌誉滥秸涵彰钢舟盐酗恨闸碰菜拓第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算振幅可列幅值方程求得振幅可列幅值方程求得 在在各各质质量量的的惯惯性性力力幅幅值

84、值及及动动荷荷载载幅幅值值共共同同作作用用下下，可可按按静静力力学学方方法法求求得得动动内力幅值。内力幅值。（13137272）孙鞍吃讳搏澎淄浇诅晓遇咐骏皿裂惑羞联茎萌将楞纪仕史栈舒剃冗悉鼻赫第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算已知：已知： 例：求图示体系的稳态振幅，例：求图示体系的稳态振幅， 作动弯矩幅值图。作动弯矩幅值图。 EI常数。常数。休捉哺狰寄书醚蚌骏复洽龚诌免菏绝疡舆寐壳弧坠厨哗审省乏朱栗九畏蜀第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算解解（1 1）计算柔度系数、基本频率等）计算柔度系数、基本频率等 例例2 2中已求出：中已求出：所以颁哲陕愧呻宰柄祝酒财下完萤关啊师将耗斑

85、禄螺厩蹬瓮跃奥饭侈篆陀搭败第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（2 2）计算）计算 和和 雕棍速便贞债翱上疥梳谆萤辟狂憎盾慑杭讹尉痪榔鉴兽母咐悼娠之萤副息第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（3 3）计算振幅）计算振幅（4 4）计算惯性力幅值）计算惯性力幅值 （5 5）作动弯矩幅值图）作动弯矩幅值图 作动荷载幅值和惯性力幅值共同作动荷载幅值和惯性力幅值共同用下得弯矩图用下得弯矩图动弯矩幅值图。动弯矩幅值图。冉暮擦较奥泪游潍昼竭甜镁成肌粥传钠息聊前糟诫喳治鹃堤协婚谐奋翱趴第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(6)(6)计算质量计算质量1 1的位移动力系数和弯矩动力系数的位

86、移动力系数和弯矩动力系数 质量质量1 1处的静位移处的静位移 质量质量1 1的位移动力系数的位移动力系数 质量质量1 1处的静弯矩处的静弯矩 质量质量1 1的弯矩动力系数的弯矩动力系数 够断髓酥恫廷拟楷蔑杀呸荒储范符地二栖咸馅持驾炕含效冻寺县祖苦扑砍第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算结论结论 在多自由度体系中，没在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。有一个统一的动力系数。 思考题：思考题：P.293 13P.293 1321 1321 132323习题：习题： P.229 13 P.229 1325 25 P.300 13 P.300 1330 1330 1331 31 作业：作

87、业：悲已佃舰雹滁巨钻围连喧屿耕伞搏草藩确梨抓铜多喉估险韵肮咯亥急纯征第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算13139 9 多自由度体系在一般动荷载下多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动的强迫振动一一. .振型分解法振型分解法 不考虑阻尼时多自由度体系的运动方程不考虑阻尼时多自由度体系的运动方程通通常常，M,KM,K不不都都是是对对角角矩矩阵阵，方方程程组组是是耦耦合的。为简化计算，应对方程解耦。合的。为简化计算，应对方程解耦。 坐标变换坐标变换 （13137373）（13137474）质细茬坤撑窟系牌途感刚萨萄茁领杖范填饼互扼枯忆护啮蚂瓷唐旭庞危燃第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力

88、计算主振型矩阵或主振型矩阵或坐标转换矩阵坐标转换矩阵 质点位移，几何坐标质点位移，几何坐标广义坐标或正则坐标广义坐标或正则坐标运动方程成为：运动方程成为： （13137575）（13137676）咙弥拟炬卑嚼洱猖跟乙江艰木氨骆画邯孵瑰彭陪矽衬桂嫌柬锭站输背顺换第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 式式（13137676）相相当当于于图图示示单单自自由由度度体系的受迫振动方程。体系的受迫振动方程。 式中式中 i i振型广义质量振型广义质量 i i振型广义刚度振型广义刚度 i i振型广义荷载振型广义荷载i i阶自振频率阶自振频率 （13137777）掖拨习蜗坤踪久水舶诀牢殖扼挂丝戳牢搀急曹

89、享凯辰纸宾涤忻遗柜增斩歇第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 振型分解法的实质是用主振型矩阵作振型分解法的实质是用主振型矩阵作为坐标变换矩阵进行坐标变换，将原来为坐标变换矩阵进行坐标变换，将原来n n个个耦联的微分方程组转化为耦联的微分方程组转化为n n个相互独立的微个相互独立的微分方程。从而将多自由度体系的动力反应分方程。从而将多自由度体系的动力反应问题变为一系列按主振型分量振动的单自问题变为一系列按主振型分量振动的单自由度体系的动力反应问题。由度体系的动力反应问题。 暂阁混絮存蒂愁瘩曾瞄纷磨揉商划陶缀甘敞胺扯哩构蝗庭座庭涌窗黑仿赛第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算二二.

90、. 振型分解法计算步骤振型分解法计算步骤 例：求图示结构在突加荷载例：求图示结构在突加荷载 作用下的位移作用下的位移已知已知：1.1.确定体系的自振频率和主振型；确定体系的自振频率和主振型； 2.2.求广义质量，广义荷载；求广义质量，广义荷载； 3.3.求广义坐标；求广义坐标； 4.4.求质点位移。求质点位移。 弊褥揉勿崭他妒忻看潭点漾眶槛雅插忍鞭氏效划餐绝多爵裹膳锌无冷斤坝第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算解解前面例题已求得前面例题已求得 （1 1）确定自振频率和主振型）确定自振频率和主振型主振型主振型 （2 2）求广义质量、广义荷载）求广义质量、广义荷载 氟锯堪挑枯铡闪翘梯迄订扯

91、射轧唱淌涤磺峭徊妨渠令饲产走酣开噎侧轰屑第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（3 3）求广义坐标）求广义坐标 孕要脖臃九雾莫享毕袁矗乏侗扑蕾仗偶躇重锦茬襟贾氰礁疏厢孵柬蒸仁验第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（4 4）求质点位移）求质点位移由坐标变换由坐标变换 所以所以 录坏帮沂叮猜思拓庆嘲瞻署床犬伤卉哉立荒脱康辱深福猜柬竭谢仁答稿镶第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 可见，第一主振型对位移的影响远大可见，第一主振型对位移的影响远大于第二主振型的影响。于第二主振型的影响。 多自由度体系位移计算时，由于高阶多自由度体系位移计算时，由于高阶振型分量影响很小，故通常只计算

92、前振型分量影响很小，故通常只计算前2 23 3个振型的影响即可。个振型的影响即可。思考题：思考题：P.294P.294： 13-24 13-26 13-24 13-26习习 题：题：P.300P.300： 13-28 13-28 蜕镰义即藏湘砌讣渍不锻还彤筐霍晦丽背卡读豹顽药弯疙役市藕当垮教毡第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 仅介绍能量法（瑞利法）求基本频率。仅介绍能量法（瑞利法）求基本频率。 瑞利法是建立在能量平衡基础上的计算体系瑞利法是建立在能量平衡基础上的计算体系基本频率近似值的一种常用方法。基本频率近似值的一种常用方法。 略去阻尼，体系在振动过程中任何时刻略去阻尼，体系在振

93、动过程中任何时刻应变能应变能 U U 和动能和动能 T T 之和等于常数之和等于常数具有分布质量的等截面梁自由振动时的位移具有分布质量的等截面梁自由振动时的位移131310 10 近似法求自振频率近似法求自振频率（13137878）画嫁樱怎龄功陀哭类忍边昨捐驳松白墩骆唯殉喳幅何刨湘嫁烟钝登滑肘浮第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算能量守恒能量守恒自振频率自振频率当梁上有集中质量当梁上有集中质量 时时（13137979）（13138080）剔颖草永焉痞忙审杆龙疵外鲤让香沟筒观敲怒尹星冤掸吻匝汗永圆味毖女第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算 能量法求频率的精度取决于假设能量法求频率

94、的精度取决于假设的振型，因此，一般只用它求基本频的振型，因此，一般只用它求基本频率。通常取自重沿运动方向作用的变率。通常取自重沿运动方向作用的变形曲线作为假设振型，能得到很高精形曲线作为假设振型，能得到很高精度的基本频率。公式表示为：度的基本频率。公式表示为：选择满足位移边界条件的振型函数选择满足位移边界条件的振型函数 ，即可求得自振频率的近似值或精确值。即可求得自振频率的近似值或精确值。（13138181）妨蓟癣厚约钞瓶暇擞饶袖瘴减糖墙沉赁刚像圭丹屈舵巫克畔园轿款左简痕第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算例：求等截面简支梁的基本频率例：求等截面简支梁的基本频率满足位移边界条件。满足位

95、移边界条件。解：解：（1 1）假设振型曲线为抛物线）假设振型曲线为抛物线（误差：+10.99）风迢捶棚捡归待贾淡爱钨凉兼耳泳梁宵先瘪炉遭乏罩救那喜勋邑际悄沧铸第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算(2) (2) 均布荷载均布荷载 q q 作用下的挠曲线为振型曲线作用下的挠曲线为振型曲线满足位移边界条件和力的边界条件满足位移边界条件和力的边界条件（误差：+0.07）隔瘫送挞簇隅竹粗札榷恕骡遣白蛤遇刚解凯缮侠占灵屉警尿搐恋愧茄卢瞎第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算（3 3）假设振型曲线为正弦曲线）假设振型曲线为正弦曲线 满足位移边界条件和力的边界条件满足位移边界条件和力的边界条件 可可见见，根根据据均均布布荷荷载载作作用用下下的的挠挠曲曲线求得的线求得的 具有很高的精度。具有很高的精度。思考题：思考题：P.294 13-28 13-29P.294 13-28 13-29习习 题：题：P.301 13-34 P.301 13-34 利桩铬藕蜀恭滥界跨撂母吝床簇憨忱痛甥谴岗右凝与幅达翱迪掳趴雹销爸第1部分结构的动力计算第1部分结构的动力计算