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1、 高等数学（上）高等数学（上） 河海大学理学院河海大学理学院 高等数学（上）高等数学（上）第五章 定积分 高等数学（上）高等数学（上）一、问题的提出一、问题的提出1）曲边梯形的面积曲边梯形的面积xyoab第一节第一节 定积分的概念与存在条件定积分的概念与存在条件 高等数学（上）高等数学（上）在区间在区间 a ，b 中任意插入中任意插入个分点个分点: :把区间把区间 a ，b 分成分成 n 个小区间个小区间设设任取任取1)划分划分划分划分( (化整为零化整为零化整为零化整为零) )：2)2)不变代变：不变代变：不变代变：不变代变：不变的高代替变化的高，曲边梯形转化为矩形。不变的高代替变化的高，曲
2、边梯形转化为矩形。 高等数学（上）高等数学（上）则总曲边梯形的面积则总曲边梯形的面积令令所以所以3)3)求和求和(集零为整集零为整) ：4)4)取极限：取极限：取极限：取极限：精确化：精确化： 高等数学（上）高等数学（上）2）变速直线运动的路程变速直线运动的路程设变速直线运动速度设变速直线运动速度 ， , ,求求 . . 分析思想分析思想：把整段时间分割成若干小段，每：把整段时间分割成若干小段，每小段上看作匀速，求出各小段的路程再相加，小段上看作匀速，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程
3、的精确值. .其中其中1)划分：划分：划分：划分：2)2)不变代变：不变代变：不变代变：不变代变：3)3)求和：求和：4)4)取极限：取极限：取极限：取极限： 高等数学（上）高等数学（上）3）变力所作的功变力所作的功一个物体在变力一个物体在变力 F = F(x) 的作用下的作用下 , 从从 a 运动到运动到 b,力的方向与物体的运动方向一致力的方向与物体的运动方向一致 , 求变力所作的功求变力所作的功?其中其中4）非均匀分布的细棒的质量非均匀分布的细棒的质量设细棒上各点的线密度为设细棒上各点的线密度为=(x) , 求细棒的质量求细棒的质量.不变代变：常力代替变力。不变代变：常力代替变力。不变代
4、变：常力代替变力。不变代变：常力代替变力。不变代变：均匀代替非均匀。不变代变：均匀代替非均匀。不变代变：均匀代替非均匀。不变代变：均匀代替非均匀。 高等数学（上）高等数学（上）二、定积分定义二、定积分定义设设 在在 上有定义上有定义 在区间在区间 中任意插入中任意插入 n1 个分点个分点: :将将 分成分成 个小区间个小区间 第第个小区间的长度为个小区间的长度为 1)划分：划分：划分：划分： 高等数学（上）高等数学（上） 在每个区间在每个区间 内任取一点内任取一点 ，作乘积，作乘积3)3)求和求和：积分上限积分上限积分下限积分下限都存在，则称此极限为都存在，则称此极限为 在在取取上的上的定积分
5、定积分，记作，记作如果无论如果无论，怎样划分及点怎样划分及点 怎样选取，怎样选取，积分区间积分区间被积函数被积函数积分变量积分变量积分和积分和2)2)不变代变：不变代变：不变代变：不变代变：4)4)取极限：取极限：取极限：取极限： 高等数学（上）高等数学（上）由此可知由此可知 高等数学（上）高等数学（上）注注 (1) 定义中区间的划分与定义中区间的划分与 的选取是任意的的选取是任意的.(2) 定积分定积分 的值只与被积函数的值只与被积函数 f (x)、积分区间积分区间 a , b 有关有关 , 而与积分变量而与积分变量 x 无关，无关，即即x改为其它字母其积分值不变改为其它字母其积分值不变 .
6、 表示为：表示为： 高等数学（上）高等数学（上）三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义当当 时时曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的曲边梯形的面积的负值负值当当 时时如如 高等数学（上）高等数学（上）规定规定 在在 x 轴的上方面积为正轴的上方面积为正 , 下方为负下方为负 , 则则为介于为介于 a 与与b 之间曲边梯形之间曲边梯形如如面积的代数和面积的代数和 高等数学（上）高等数学（上）四、定积分存在的条件四、定积分存在的条件定理定理1 ( (可积的必要条件可积的必要条件) ) 函数函数 f 在在 a , b上可积的必要条件是上可积的必要条件是 f 在在 a , b 上有界上有界.
7、 .例如例如 0 , 1 上上不可积不可积.注注 定理定理1 的逆不成立的逆不成立 . 如如 Dirichlet函数函数 .定理定理2 若若 f C a , b , 则则 f 在在 a , b 上可积上可积 .( (证略证略证略证略) ) 高等数学（上）高等数学（上）定理定理4定理定理3例例1 设设 高等数学（上）高等数学（上）例例2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分 . .解解 由于由于 f (x) = x2 在在 0 , 1 上连续上连续 , 因此可积因此可积 . 所以取如下划分所以取如下划分: 高等数学（上）高等数学（上）则则因为因为 高等数学（上）高等数学（上）所以所以 ，故有故有所以所以 高等数学（上）高等数学（上）由上例得出由上例得出积分号积分号上限上限上限上限下限下限下限下限 高等数学（上）高等数学（上）例例3 将下列和式极限表示成定积分：将下列和式极限表示成定积分：(1)(2) 高等数学（上）高等数学（上）用和式极限表示定积分：用和式极限表示定积分：算算术术平平均均值值定义定义 设设 f C a ，b，称，称为为 f 在在 a ，b 上的上的平均值平均值 . 高等数学（上）高等数学（上）(3)自己做自己做:也可也可 高等数学（上）高等数学（上）证证利用对数的性质得利用对数的性质得 高等数学（上）高等数学（上）极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得
