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1、会计学1多元函数微分多元函数微分(wi fn)法及其应用法及其应用21164第一页，共33页。引 言 上册中讨论(toln)的函数是一元函数问题.但在许多实际问题中往往涉及到多方面的因素(yn s)，反应在数学上就是多元函数以及(yj)多元函数的微分和积分问题. 多元函数微积分的基本概念、理论和方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又有很多本质上的不同. 学习时注意比较和区分.第1页/共32页第二页，共33页。为主，讨论(toln)多元函数的微分法及其应用.本章将在一元(y yun)微分学的基础上，以二元函数第2页/共32页第三页，共33页。一、准备(z
2、hnbi)知识二、多元函数(hnsh)的概念三、多元函数(hnsh)的极限四、多元函数的连续性第一节 多元函数的基本概念第3页/共32页第四页，共33页。1. 1. 1. 1. 平面平面平面平面(pngmin)(pngmin)(pngmin)(pngmin)点集点集点集点集 n n n n 维空间维空间维空间维空间二元有序数组（x,y）或点的全体(qunt)，即表示(biosh)坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作例 圆 内所有点的集合：一、准备知识定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间.第4页/共32页第五页，共33页。n 元有序数组n 维空间中的每一个(y )
3、元素称为(chn wi)该点的第k个的全体称为n维空间,记作即称为(chn wi)空间中的一个点, 坐标 .定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间.推广：第5页/共32页第六页，共33页。2. 邻域(ln y)在平面(pngmin)上,(圆邻域(ln y)在空间中,(球邻域)中点 的 邻域为第6页/共32页第七页，共33页。1.若不需要(xyo)强调邻域半径 ,也可写成2.点P0 的去心邻域(ln y)记为说明(shumng)：在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含.平面上的方邻域为。第7页/共32页第八页，共33页。3. 3. 3. 3. 区域区域区域区域(qy)(
4、qy)(qy)(qy)(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点(y din) P : 若存在(cnzi)点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = ,则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点；第8页/共32页第九页，共33页。 若对点P 的任一邻域(ln y) U(P) 既含E中的内点显然(xinrn), E的内点必属于E , E 的外点必不属于E , E 的边界点可能(knng)属于E, 也可能(knng)不属于E . 也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .第9页/共32页第十页，共33页。(2) (2) 聚点聚点聚点聚点若对任
5、意(rny)给定的 ,点P 的去心邻域(ln y)内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以(ky)属于E , 也可以(ky)不属于E (因为聚点可以为E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为E 的导集 .第10页/共32页第十一页，共33页。 若集D中任意两点都可用一完全属于(shy)D的折线D(3) (3) 开区域开区域开区域开区域(qy)(qy)及闭区及闭区及闭区及闭区域域域域(qy)(qy) 若点集E的点都是内点，则称E为开集； 若点集E E, 则称E为闭集； 开区域(qy)连同它的边界一起称为闭区域(qy).连通的开集称为开区域,简称区域; E的边界点的全体称为E的边界
6、, 记作E ;相连 ,则称D是连通的 ;第11页/共32页第十二页，共33页。例如例如例如例如(lr)(lr)(lr)(lr)，在，在，在，在平面上平面上平面上平面上开区域(qy)闭区域(qy)第12页/共32页第十三页，共33页。 整个(zhngg)平面是最大的开域 , 点集 也是最大的闭域；是开集，但非区域(qy) .o 对区域(qy)D , 若存在正数K , 使一切点PD则称D为有界域 ,否则称为无界域 .与某定点A 的距离 AP K ,第13页/共32页第十四页，共33页。二、多元函数二、多元函数二、多元函数二、多元函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)的概念的概念的概念
7、的概念 引例(yn l): 圆柱体的体积(tj) 定量理想气体的压强第14页/共32页第十五页，共33页。设非空点集设非空点集设非空点集设非空点集点集D 称为(chn wi)函数的定义域； 数集称为(chn wi)函数的值域 .特别(tbi)地，当n = 2时, 有二元函数当n = 3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数，记作定义点函数第15页/共32页第十六页，共33页。例如例如例如例如(lr), (lr), 二元二元二元二元函数函数函数函数定义域为圆域图形(txng)为中心在原点的上半球面.第16页/共32页第十七页，共33页。说明(shumng): 二元函数(hnsh) z = f
8、 (x, y), (x, y) D的图形(txng)一般为空间曲面 .三元函数 定义域为单位闭球图形为空间中的超曲面.第17页/共32页第十八页，共33页。三、多元函数三、多元函数三、多元函数三、多元函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)的极限的极限的极限的极限设n元函数(hnsh)则称A为函数(hnsh)P0 是D的聚点，若存在常数A ,对一切记作都有对任意正数，总存在正数 ,定义(也称为 n 重极限)第18页/共32页第十九页，共33页。当n =2时, 记二元函数的极限(jxin)可写作：(二重(r zhn)极限)第19页/共32页第二十页，共33页。例例例例1 1 1 1
9、设设设设求证(qizhng)：证:故总有要证 第20页/共32页第二十一页，共33页。 若当点以不同(b tn)方式趋于函数趋于不同值或有的极限不存在(cnzi)，则可以断一元函数：1.多元(du yun)函数极限因此，有判定多元函数极限不存在的方法：定函数极限不存在 .注：第21页/共32页第二十二页，共33页。解 设P(x , y)沿直线(zhxin) y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限(jxin).k 值不同(b tn)极限不同(b tn) !在 (0,0) 点极限不存在 .讨论函数例2则有第22页/共32页第二十三页，共33页。2. 2. 二重二重二重二
10、重(r zhn)(r zhn)极限极限极限极限不同(b tn). 例如(lr),显然与累次极限：但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .第23页/共32页第二十四页，共33页。四、四、四、四、 多元多元多元多元(du yun)(du yun)函数的连函数的连函数的连函数的连续性续性续性续性 定义(dngy) 设n元函数定义(dngy)在D上,如果函数在D上各点处都连续, 则称此函数如果存在否则称为不连续,此时称为间断点 .则称n元函数在D上连续.连续, 第24页/共32页第二十五页，共33页。例如例如例如例如(lr), (lr), 函函函函数数数数在点(0 , 0) 极限(jxin)不存
11、在, 又如, 函数(hnsh)上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.第25页/共32页第二十六页，共33页。例3 求函数的连续(linx)域.解只须求出该初等函数的定义(dngy)区域.第26页/共32页第二十七页，共33页。定理定理定理定理(dngl)(dngl)：若：若：若：若 f (P) f (P) 在有界闭域在有界闭域在有界闭域在有界闭域 D D上连续上连续上连续上连续, , 则则则则在D上可取得最大值M及最小值m ;对任意(rny) 有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下(rxi)性质:2.最值定理1.有界性定理3.介值定理第
12、27页/共32页第二十八页，共33页。二、多元函数(hnsh)极限的概念三、多元函数(hnsh)连续的概念有界闭区域(qy)上连续函数的性质（三个）（注意趋近方式的任意性）一、多元函数的概念小结二元函数图形一般为空间曲面.一切多元初等函数在定义区域内连续.第28页/共32页第二十九页，共33页。思考题第29页/共32页第三十页，共33页。思考题解答(jid)不能.例取但是 不存在.因为(yn wi)若取第30页/共32页第三十一页，共33页。 作业(zuy)p.11 习题(xt)8-11; 5.(1);(4);(5); 6.(4);(5); 7.(1); 8; 9第31页/共32页第三十二页，共33页。内容(nirng)总结会计学。分问题. 多元函数微积分的基本概念、理论和。法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又。有很多本质上的不同. 学习时注意比较和区分.。坐标平面上具有某种性质(xngzh)P的点的集合,称为。(1) 内点、外点、边界点。 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线。 若点集E的点都是内点，则称E为开集。 开区域连同它的边界一起称为闭区域.。连通的开集称为开区域,简称区域。则称D为有界域 ,否则称为无界域 .。9第三十三页，共33页。
