小学数学知识点归纳汇总(共79页)

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1、小学数学总复习资料小学数学总复习资料常用的数量关系式常用的数量关系式1 1、每份数、每份数 份数总数份数总数总数总数 每份数份数每份数份数总数总数 份数每份数份数每份数2 2、1 1 倍数倍数 倍数几倍数倍数几倍数几倍数几倍数 1 1 倍数倍数倍数倍数几倍数几倍数 倍数倍数1 1 倍数倍数3 3、速度、速度 时间路程时间路程路程路程 速度时间速度时间路程路程 时间速度时间速度4 4、单价、单价 数量总价数量总价总价总价 单价数量单价数量总价总价 数量单价数量单价5 5、 工作效率工作效率 工作时间工作总量工作时间工作总量工作总量工作总量 工作效率工作时间工作效率工作时间作总量作总量 工作时间工

2、作效率工作时间工作效率6 6、加数加数和、加数加数和和一个加数另一个加数和一个加数另一个加数7 7、被减数减数差、被减数减数差被减数差减数被减数差减数差减数被减数差减数被减数8 8、因数、因数 因数积因数积积积 一个因数另一个因数一个因数另一个因数9 9、被除数、被除数 除数商除数商被除数被除数 商除数商除数商商 除数被除数除数被除数小学数学图形计算公式小学数学图形计算公式1 1、正方形、正方形 （C C：周长：周长S S：面积：面积a a：边长：边长 ）周长边长周长边长 4 4C=4aC=4a面积面积= =边长边长 边长边长S=aS=aa a2 2、正方体、正方体 （V:V:体积体积a:a:

3、棱长棱长 ）表面积表面积= =棱长棱长 棱长棱长 6 6S S 表表=a=aaa6 6体积体积= =棱长棱长 棱长棱长 棱长棱长V=aV=aaaa a3 3、长方形（、长方形（ C C：周长：周长S S：面积：面积a a：边长：边长 ）周长周长=(=(长长+ +宽宽)2 2C=2(a+b)C=2(a+b)面积面积= =长长 宽宽S=abS=ab4 4、长方体、长方体 （V:V:体积体积s: s:面积面积a:a:长长b:b: 宽宽h:h:高）高）(1)(1)表面积表面积( (长长 宽宽+ +长长 高高+ +宽宽 高高)2 2S=2(ab+ah+bh)S=2(ab+ah+bh)(2)(2)体积体积

4、= =长长 宽宽 高高V=abhV=abh5 5、三角形、三角形 （s s：面积：面积a a：底：底h h：高）：高）面积面积= =底底 高高 2 2s=ahs=ah2 2工工三角形高三角形高= =面积面积 22底底三角形底三角形底= =面积面积 22高高6 6、平行四边形、平行四边形 （s s：面积：面积a a：底：底h h：高）：高）面积面积= =底底 高高s=ahs=ah7 7、梯形、梯形 （s s：面积：面积a a：上底：上底b b：下底：下底h h：高）：高）8 8、圆形、圆形 （S S：面积：面积C C：周长：周长 d=d=直径直径r=r=半径）半径）(1)(1)周长周长= =直径

5、直径=2=2半径半径C=d=2rC=d=2r(2)(2)面积面积= =半径半径 半径半径9 9、圆柱体、圆柱体 （v:v:体积体积h:h:高高s s：底面积：底面积r: r:底面半径底面半径c: c:底面周长）底面周长）(1)(1)侧面积侧面积= =底面周长底面周长 高高=ch(2r=ch(2r 或或 d)d) (2) (2)表面积表面积= =侧面积侧面积+ +底面积底面积 2 2(3)(3)体积体积= =底面积底面积 高高（4 4）体积侧面积）体积侧面积 22半径半径1010、圆锥体、圆锥体 （v:v:体积体积h:h:高高s s：底面积：底面积r: r:底面半径）底面半径）体积体积= =底面

6、积底面积 高高 3 31111、总数、总数 总份数平均数总份数平均数1212、和差问题的公式、和差问题的公式( (和差和差)2 2大数大数( (和差和差)2 2小数小数1313、和倍问题、和倍问题和和 ( (倍数倍数1)1)小数小数小数小数 倍数大数倍数大数 ( (或者或者 和小数大数和小数大数) )1414、差倍问题、差倍问题差差 ( (倍数倍数1)1)小数小数小数小数 倍数大数倍数大数 ( (或或 小数差大数小数差大数) )1515、相遇问题、相遇问题相遇路程速度和相遇路程速度和 相遇时间相遇时间相遇时间相遇路程相遇时间相遇路程 速度和速度和速度和相遇路程速度和相遇路程 相遇时间相遇时间1

7、616、浓度问题、浓度问题溶质的重量溶剂的重量溶液的重量溶质的重量溶剂的重量溶液的重量溶质的重量溶质的重量 溶液的重量溶液的重量 100%100%浓度浓度溶液的重量溶液的重量 浓度溶质的重量浓度溶质的重量溶质的重量溶质的重量 浓度溶液的重量浓度溶液的重量1717、利润与折扣问题、利润与折扣问题利润售出价成本利润售出价成本利润率利润利润率利润 成本成本 100%100%( (售出价售出价 成本成本1)1)100%100%涨跌金额本金涨跌金额本金 涨跌百分比涨跌百分比利息本金利息本金 利率利率 时间时间税后利息本金税后利息本金 利率利率 时间时间 (1(120%)20%)常用单位换算常用单位换算长

8、度单位换算长度单位换算1 1 千米千米=1000=1000 米米 1 1 米米=10=10 分米分米1 1 分米分米=10=10 厘米厘米 1 1 米米=100=100 厘米厘米1 1 厘米厘米=10=10 毫米毫米面积单位换算面积单位换算1 1 平方千米平方千米=100=100 公顷公顷1 1 公顷公顷=10000=10000 平方米平方米1 1 平方米平方米=100=100 平方分米平方分米1 1 平方分米平方分米=100=100 平方厘米平方厘米1 1 平方厘米平方厘米=100=100 平方毫米平方毫米体体( (容容) )积单位换算积单位换算1 1 立方米立方米=1000=1000 立方

9、分米立方分米1 1 立方分米立方分米=1000=1000 立方厘米立方厘米1 1 立方分米立方分米=1=1 升升1 1 立方厘米立方厘米=1=1 毫升毫升1 1 立方米立方米=1000=1000 升升重量单位换算重量单位换算1 1 吨吨=1000=1000 千克千克1 1 千克千克=1000=1000 克克1 1 千克千克=1=1 公斤公斤人民币单位换算人民币单位换算1 1 元元=10=10 角角1 1 角角=10=10 分分1 1 元元=100=100 分分时间单位换算时间单位换算1 1 世纪世纪=100=100 年年1 1 年年=12=12 月月大月大月(31(31 天天) )有有:135

10、781012:135781012 月月小月小月(30(30 天天) )的的有有:46911:46911月月平年平年 2 2 月月 2828 天天, , 闰年闰年 2 2 月月 2929 天天平年全年平年全年 365365 天天, , 闰年全年闰年全年 366366 天天1 1 日日=24=24 小小时时1 1 时时=60=60 分分1 1 分分=60=60 秒秒1 1 时时=3600=3600 秒秒基本概念基本概念第一章第一章 数和数的运算数和数的运算一一概念概念（一）整数（一）整数1 1 整数的意义整数的意义自然数和自然数和 0 0 都是整数。都是整数。2 2 自然数自然数我们在数物体的时候

11、，用来表示物体个数的我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1 1，2 2，33叫做自然数。叫做自然数。一个物体也没有，用一个物体也没有，用 0 0 表示。表示。0 0 也是自然数。也是自然数。3 3 计数单位计数单位一（个）一（个） 、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是每相邻两个计数单位之间的进率都是 1010。这样的计数法叫做十进制计数法。这样的计数法叫做十进制计数法。4 4 数位数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数

12、位。5 5 数的整除数的整除整数整数 a a 除以整数除以整数 b(b 0b(b 0） ，除得的商是整数而没有余数，我们就说，除得的商是整数而没有余数，我们就说a a 能被能被 b b 整除，整除，或者说或者说 b b 能整除能整除 a a 。如果数如果数 a a 能被数能被数 b b（b b 0 0）整除，）整除，a a 就叫做就叫做 b b 的倍数，的倍数，b b 就叫做就叫做 a a 的约数（或的约数（或 a a的因数）的因数） 。倍数和约数是相互依存的。倍数和约数是相互依存的。因为因为 3535 能被能被 7 7 整除，所以整除，所以 3535 是是 7 7 的倍数，的倍数，7 7 是

13、是 3535 的约数。的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是 1 1，最大的，最大的 约数是它本身。例约数是它本身。例如：如：1010 的约数有的约数有 1 1、2 2、5 5、1010，其中最小的约数是，其中最小的约数是 1 1，最大的约数是，最大的约数是 1010。一个数的倍数的个数是无限的，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。其中最小的倍数是它本身。3 3 的倍数有：的倍数有：3 3、6 6、9 9、1212其中最小的倍数是其中最小的倍数是 3 3 ，没有最大的倍数。，没有最大的倍数。个位上是个位上是 0 0、2

14、2、4 4、6 6、8 8 的数，都能被的数，都能被 2 2 整除，例如：整除，例如：202202、480480、304304，都能被，都能被 2 2整除。整除。 。个位上是个位上是 0 0 或或 5 5 的数，都能被的数，都能被 5 5 整除，例如：整除，例如：5 5、3030、405405 都能被都能被 5 5 整除。整除。 。一个数的各位上的数的和能被一个数的各位上的数的和能被 3 3 整除，整除，这个数就能被这个数就能被 3 3 整除，整除，例如：例如：1212、108108、204204都能被都能被 3 3 整除。整除。一个数各位数上的和能被一个数各位数上的和能被 9 9 整除，这个

15、数就能被整除，这个数就能被 9 9 整除。整除。能被能被 3 3 整除的数不一定能被整除的数不一定能被 9 9 整除，但是能被整除，但是能被 9 9 整除的数一定能被整除的数一定能被 3 3 整除。整除。一个数的末两位数能被一个数的末两位数能被 4 4（或（或 2525）整除，这个数就能被）整除，这个数就能被 4 4（或（或 2525）整除。例如：）整除。例如：1616、404404、12561256 都能被都能被 4 4 整除，整除，5050、325325、500500、16751675 都能被都能被 2525 整除。整除。一个数的末三位数能被一个数的末三位数能被 8 8（或（或 12512

16、5）整除，这个数就能被）整除，这个数就能被8 8（或（或 125125）整除。例如：）整除。例如：11681168、46004600、50005000、1234412344 都能被都能被 8 8 整除，整除，11251125、1337513375、50005000 都能被都能被 125125 整除。整除。能被能被 2 2 整除的数叫做偶数。整除的数叫做偶数。不能被不能被 2 2 整除的数叫做奇数。整除的数叫做奇数。0 0 也是偶数。自然数按能否被也是偶数。自然数按能否被 2 2 整除的特征可分为奇数和偶数。整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有一个数，如果只有 1 1 和它本身两个约数，

17、这样的数叫做质数（或素数）和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数） ，100100 以内以内的质数有：的质数有：2 2、3 3、5 5、7 7、1111、1313、1717、1919、2323、2929、3131、3737、4141、4343、4747、5353、5959、6161、6767、7171、7373、7979、8383、8989、9797。一个数，如果除了一个数，如果除了 1 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4 4、6 6、8 8、9 9、1212 都是合数。都是合数。1 1 不是质数也不是合数，自然数除了不是质数也

18、不是合数，自然数除了 1 1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和 1 1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如叫做这个合数的质因数，例如 15=315=35 5，3 3 和和 5 5 叫做叫做 1515 的质因数。的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把例如把 2

19、828 分解质因数分解质因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如最大公约数，例如 1212 的约数有的约数有 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212；1818 的约数有的约数有 1 1、2 2、3 3、6 6、9 9、1818。其中，。其中，1 1、2 2、3 3、6 6 是是 1212 和和 1 81 8 的公约数，的公约数，6 6 是它们的最大公约数。是它们的最大公约数。公约数只有公约数只有 1 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：的两

20、个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1 1 和任何自然数互质。和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公约数只有两个合数的公约数只有 1 1 时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果两个

21、数是互质数，它们的最大公约数就是如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是 1 1。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如最小公倍数，如 2 2 的倍数有的倍数有 2 2、4 4、6 6 、8 8、1010、1212、1414、1616、18 18 3 3 的倍数有的倍数有 3 3、6 6、9 9、1212、1515、1818 其中其中 6 6、1212、1818是是 2 2、3 3 的公倍数，的公倍数，6 6是它们的最小公倍数。是它们的最小公倍数。 。如果较大数是较小数的倍数，那

22、么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。（二）小数（二）小数1 1 小数的意义小数的意义把整数把整数 1 1 平均分成平均分成 1010 份、份、100100 份、份、10001000 份份 得到的十分之几、百分之几、千得到的十分之几、百分之几、千分之几分之几 可以用小数表示。可以用小数表示。一位小数表

23、示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。做小数部分。在小数里，在小数里， 每相邻两个计数单位之间的进率都是每相邻两个计数单位之间的进率都是 1010。 小数部分的最高分数单位小数部分的最高分数单位“ “十十分之一分之一” ”和整数

24、部分的最低单位和整数部分的最低单位“ “一一” ”之间的进率也是之间的进率也是 1010。2 2 小数的分类小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.250.25 、 0.3680.368 都是纯小数。都是纯小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如：例如： 3.253.25 、 5.265.26 都是带小都是带小数。数。有限小数：有限小数： 小数部分的数位是有限的小数，小数部分的数位是有限的小数， 叫做有限小数。叫做有限小数。 例如：例如： 41.741.7 、 25.32

25、5.3 、0.230.23 都是有限小数。都是有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：例如： 4.334.33 3.1415926 3.1415926 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。叫做无限不循环小数。 例如：例如：循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。个数叫做循环小数

26、。 例如：例如： 3.555 0.0333 12.109109 3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分，一个循环小数的小数部分， 依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：例如： 3.99 3.99 的循环节是的循环节是“ 9 ”“ 9 ” ， 0.5454 0.5454 的循环节是的循环节是“ 54 ”“ 54 ” 。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：例如：3.111 0.5656 3.111 0.5656 混循环小

27、数：混循环小数： 循环节不是从小数部分第一位开始的，循环节不是从小数部分第一位开始的， 叫做混循环小数。叫做混循环小数。3.1222 3.1222 0.03333 0.03333 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有节只有 一个数字，就只在它一个数字，就只在它的上面点一个点。例如：的上面点一个点。例如： 3.777 3.777 简写作简写作0.5302302 0.5302302 简写作简写作。（三

28、）分数（三）分数1 1 分数的意义分数的意义把单位把单位“1”“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位 “1”“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位把单位“1”“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2 2 分数的分类分数的分类真分数

29、：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1 1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于等于 1 1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3 3 约分和通分约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。分子分母是互质数的分数，叫做最

30、简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（四）百分数（四）百分数1 1 表示一个数是另一个数的百分之几的数表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数叫做百分数, ,也叫做百分率也叫做百分率 或百分比。或百分比。百分数通常用百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。来表示。百分号是表示百分数的符号。二二方法方法（一）数的读法和写法（一）数的读法和写法1. 1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读

31、，再在后面加一个读法去读，再在后面加一个“ “亿亿” ”或或“ “万万” ”字。每一级末尾的字。每一级末尾的 0 0 都不读出来，其它数都不读出来，其它数位连续有几个位连续有几个 0 0 都只读一个零。都只读一个零。2. 2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写就在那个数位上写 0 0。3. 3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“ “点点” ”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数

32、字。小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。4. 4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5. 5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读分数的读法：读分数时，先读分母再读“ “分之分之” ”然后读分子，分子和分母按照整然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。数的读法来读。6. 6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数

33、的写法来写。7. 7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。整数的读法来读。8. 8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”“%”来表示。来表示。（二）数的改写（二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“ “万万” ”或或“ “亿亿” ”作单位的数。作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写

34、成近似数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。1. 1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。改写后的数是原数的准确数。 例如把例如把 12543000001254300000 改写成以万做改写成以万做单位的数是单位的数是 125430125430 万；改写成万；改写成 以亿做单位以亿做单位 的数的数 12.54312.543 亿。亿。2. 2. 近似数：近似数：根据实际需要，根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，我们

35、还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。用一个近似数来表示。 例如：例如： 13024900151302490015 省略亿后面的尾数是省略亿后面的尾数是 1313 亿。亿。3. 3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4 4 或者比或者比 4 4 小，就把尾数去掉；小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是如果尾数的最高位上的数是 5 5 或者比或者比 5 5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1 1。例如：省略例如：省略 345900345900 万后面的尾数约是

36、万后面的尾数约是 3535 万。省略万。省略 47250974204725097420 亿后面的尾数亿后面的尾数约是约是 4747 亿。亿。4. 4. 大小比较大小比较1. 1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。位上的数大那个数就大。2. 2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，比较小数的大小：先看它们的整数部分， ，整数部分大的

37、那个数就大；整数部，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大数大的那个数就大3. 3. 比较分数的大小比较分数的大小: :分母相同的分数，分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子大的分数比较大；分子相同的数，分子相同的数，分母分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。（三）数的互化（三）数的互化1. 1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在小数化成分数：

38、原来有几位小数，就在 1 1 的后面写几个零作分母，把原来的小的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。数去掉小数点作分子，能约分的要约分。2. 2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。不能化成有限小数的，一般保留三位小数。3. 3. 一个最简分数，如果分母中除了一个最简分数，如果分母中除了 2 2 和和 5 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有就能化成有限小数；

39、如果分母中含有 2 2 和和 5 5 以外的质因数，这个分数就不能化成以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。有限小数。4. 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。5. 5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。移动两位。6. 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数（除不尽时，通常保留三位小数) )，再，再把小数化成百分数

40、。把小数化成百分数。7. 7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。（四）数的整除（四）数的整除1. 1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2. 2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数所得的

41、商只有公约数 1 1 为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数的的最大公约数 。3. 3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。个积就是这几个数的最小公倍数。4. 4. 成为互质关系的两个数：成为互质关系的两个数： 1 1 和任何自然数互质和任何自然数互质

42、 ；相邻的两个自然数互质；相邻的两个自然数互质； 当当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有两个合数的公约数只有 1 1时，这两个合数互质。时，这两个合数互质。（五）（五） 约分和通分约分和通分约分的方法：用分子和分母的公约数（约分的方法：用分子和分母的公约数（1 1 除外）去除分子、分母；通常要除到得除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分

43、母的分数。个最小公倍数作分母的分数。三三性质和规律性质和规律（一）商不变的规律（一）商不变的规律商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。变。（二）小数的性质（二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1. 1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大小数点向右移动一位，原来的数就扩大 1010 倍；小数点向右移动两位，原来的倍；小数点

44、向右移动两位，原来的数就扩大数就扩大 100100 倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大 10001000 倍倍2. 2. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小小数点向左移动一位，原来的数就缩小 1010 倍；小数点向左移动两位，原来的倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小数就缩小 100100 倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小 10001000 倍倍3. 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0“0补足位。补足位。（四）分数的基本性质（四）分数的基本性质分数的基本性

45、质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外）分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外） ，分数，分数的大小不变。的大小不变。（五）分数与除法的关系（五）分数与除法的关系1. 1. 被除数被除数 除数除数= =被除数被除数/ /除数除数2. 2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。3. 3. 被除数被除数 相当于分子，除数相当于分母。相当于分子，除数相当于分母。四四运算的意义运算的意义（一）整数四则运算（一）整数四则运算1 1 整数加法：整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。把两个数合并成一个数的运算叫做加法

46、。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数加数+ +加数加数= =和和一个加数一个加数= =和另一个加数和另一个加数2 2 整数减法：整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。减数是总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。加

47、法和减法互为逆运算。3 3 整数乘法：整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，在乘法里，0 0 和任何数相乘都得和任何数相乘都得 0. 0.1 1 和任何数相乘都的任何数。和任何数相乘都的任何数。一个因数一个因数 一个因数一个因数 = =积积一个因数一个因数= =积积 另一个因数另一个因数4 4整数除法：整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。已知两个因数的积与其中一个因数，

48、求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，在除法里，已知的积叫做被除数，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。乘法和除法互为逆运算。在除法里，在除法里，0 0 不能做除数。因为不能做除数。因为 0 0 和任何数相乘都得和任何数相乘都得 0 0，所以任何一个数除以，所以任何一个数除以 0 0，均得不到一个确定的商。均得不到一个确定的商。被除数被除数 除数除数= =商商除数除数= =被除数被除数 商商被除数被除数= =商商 除数除数（二）小数四则运算（二）小数四则运算1. 1. 小数加法：小数加法：小数加法的意义与

49、整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。2. 2. 小数减法：小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算求另一个加数的运算. .3. 3. 小数乘法：小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、百分

50、之几、千分之几千分之几是多少。是多少。4. 4. 小数除法：小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，小数除法的意义与整数除法的意义相同， 就是已知两个因数的积与其中一个因数，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。求另一个因数的运算。5. 5. 乘方乘方: :求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 3 3 =32 3 =32（三）分数四则运算（三）分数四则运算1. 1. 分数加法：分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。是把两个数合并成一个数的运算。2. 2

51、. 分数减法：分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。求另一个加数的运算。3. 3. 分数乘法：分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。4. 4. 乘积是乘积是 1 1 的两个数叫做互为倒数。的两个数叫做互为倒数。5. 5. 分数除法：分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。分数除法的意义与整数除法的意义相同。 就是已知两个因数的积与其中一个因数，就是已知

52、两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。求另一个因数的运算。（四）运算定律（四）运算定律1. 1. 加法交换律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+aa+b=b+a 。2. 2. 加法结合律：加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)a+b)+c=a+(b+c) 。3. 3. 乘法交换律：乘法交换律：两个数相乘

53、，交换因数的位置它们的积不变，即两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 aab=bb=ba a。4. 4. 乘法结合律：乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即和第一个数相乘，它们的积不变，即(a(ab)b)c=ac=a(b(bc) c) 。5. 5. 乘法分配律：乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即即(a+b)(a+b)c=ac=

54、ac+bc+bc c 。6. 6. 减法的性质：减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)a-b-c=a-(b+c) 。（五）运算法则（五）运算法则1. 1. 整数加法计算法则：整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。2. 2. 整数减法计算法则：整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，相同数位对齐，从低位加起，

55、哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。和本位上的数合并在一起，再减。3. 3. 整数乘法计算法则：整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。4. 4. 整数除法计算法则：整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就

56、如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1 1，要补，要补“0”“0”占位。每次除得的余数要小于除数。占位。每次除得的余数要小于除数。5. 5. 小数乘法法则：小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”“0”补足。补足。6. 6. 除数是整数的小数除法计算法则：除数是整数的小数除法计算法

57、则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”“0”，再继续除。，再继续除。7. 7. 除数是小数的除法计算法则：除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补的补“0”“0”） ，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。8. 8. 同分母分数加减法计算方法同分母分

58、数加减法计算方法: :同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。9. 9. 异分母分数加减法计算方法异分母分数加减法计算方法: :先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。10.10. 带分数加减法的计算方法带分数加减法的计算方法: :整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。11.11. 分数乘法的计算法则分数乘法的计算法则: :分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分数乘整数，用分数的分子和整数

59、相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。12.12. 分数除法的计算法则分数除法的计算法则: :甲数除以乙数（甲数除以乙数（0 0 除外）除外） ，等于甲数乘乙数的倒数。，等于甲数乘乙数的倒数。（六）（六） 运算顺序运算顺序1. 1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。2. 2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。3. 3. 没有括号的混合运算没有括号的混合运算: :同级运算从左往右依次运算；两级运算

60、同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。先算乘、除法，后算加减法。4. 4. 有括号的混合运算有括号的混合运算: :先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。5. 5. 第一级运算：第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。加法和减法叫做第一级运算。6. 6. 第二级运算：第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。乘法和除法叫做第二级运算。五五应用应用（一）整数和小数的应用（一）整数和小数的应用1 1 简单应用题简单应用题（1 1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通简单应用题：只含有

61、一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。常叫做简单应用题。（2 2） 解题步骤：解题步骤：a a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。理解题意。b b 选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联

62、系四则运算的含义，分析数量关系，什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。C C 检验：检验： 就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。是否符合题意。如果发现错误，马上改正。2 2 复合应用题复合应用题（1 1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用

63、题。用题，通常叫做复合应用题。（2 2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。）含有三个已知条件的两步计算的应用题。求比两个数的和多（少）几个数的应用题。求比两个数的和多（少）几个数的应用题。比较两数差与倍数关系的应用题。比较两数差与倍数关系的应用题。（3 3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。）含有两个已知条件的两步计算的应用题。已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差） 。已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系） 。（4 4）解答连乘

64、连除应用题。）解答连乘连除应用题。（5 5）解答三步计算的应用题。）解答三步计算的应用题。（6 6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。知数中间含有小数。d d 答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。( 3 )( 3 ) 解答加法应用题：解答加法应用题：a a 求总数的应用题：已知甲数是多

65、少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。b b 求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。多少。(4 )(4 )解答减法应用题：解答减法应用题：a a 求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。-b-b 求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。少，或乙数比甲

66、数少多少。c c 求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少， ，乙数比甲数少多少，求乙数，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。是多少。(5 )(5 ) 解答乘法应用题：解答乘法应用题：a a 求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。b b 求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。求另一个数是多少。( 6)( 6) 解答除法应用题：解答除法应用题：a a 把一

67、个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。均分成几份的，求每一份是多少。b b 求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。成几份。C C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。较小数的几倍。d d 已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。已知一个数的几倍是多少，求

68、这个数的应用题。（7 7）常见的数量关系：）常见的数量关系：总价总价= = 单价单价 数量数量路程路程= = 速度速度 时间时间工作总量工作总量= =工作时间工作时间 工效工效总产量总产量= =单产量单产量 数量数量3 3 典型应用题典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。（1 1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。）平均数问题：平均数是等分除法的发展。解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。算术平均数：算术平均数：已知几个不相等的

69、同类量和与之相对应的份数，已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。求平均每份是多少。数量关系式：数量之和数量关系式：数量之和 数量的个数数量的个数= =算术平均数。算术平均数。加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。数量关系式数量关系式 （部分平均数（部分平均数 权数）的总和权数）的总和 （权数的和）（权数的和）= =加权平均数。加权平均数。差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均

70、数。准数与各数相差之和的平均数。数量关系式：数量关系式： （大数小数）（大数小数） 2=2=小数应得数小数应得数最大数与各数之差的和最大数与各数之差的和 总份数总份数= =最大数应给数最大数应给数最大数与个数之差的和最大数与个数之差的和 总份数总份数= =最小数应得数。最小数应得数。例：一辆汽车以每小时例：一辆汽车以每小时 100100 千米千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时的速度从甲地开往乙地，又以每小时 6060 千米千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为分析：求汽车

71、的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ “ 1 1 ” ”，则汽车行驶的总路程为，则汽车行驶的总路程为“ “ 2 2 ” ”，从甲地到乙地的速度为，从甲地到乙地的速度为 100100 ，所用的时间，所用的时间为为，汽车从乙地到甲地速度为，汽车从乙地到甲地速度为 6060 千米千米 ，所用的时间是所用的时间是，汽车共行的时间为，汽车共行的时间为+ += =, , 汽车的平均速度为汽车的平均速度为 2 2 =75=75 （千米）（千米）（2 2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改

72、变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。根据求根据求“ “单一量单一量” ”的步骤的多少，的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。两次归一问题。根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。反归一问题。一次归一问题，用一步运算就能求出一次归一问题，用一步运算就能求出“ “单一量单一量” ”的归一问题。又称的归一问题。又称“ “单归一。单归一。” ”两次归一问题，用两步运算就能求出两

73、次归一问题，用两步运算就能求出“ “单一量单一量” ”的归一问题。又称的归一问题。又称“ “双归一。双归一。” ”正归一问题：用等分除法求出正归一问题：用等分除法求出“ “单一量单一量” ”之后，再用乘法计算结果的归一问题。之后，再用乘法计算结果的归一问题。反归一问题：用等分除法求出反归一问题：用等分除法求出“ “单一量单一量” ”之后，再用除法计算结果的归一问题。之后，再用除法计算结果的归一问题。解题关键：解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量）（单一量） ，然后以然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。它为标准，根据题目的

74、要求算出结果。数量关系式：单一量数量关系式：单一量 份数份数= =总数量（正归一）总数量（正归一）总数量总数量 单一量单一量= =份数（反归一）份数（反归一）例例 一个织布工人，在七月份织布一个织布工人，在七月份织布 47744774 米米 ， 照这样计算，织布照这样计算，织布 69306930 米米 ，需，需要多少天？要多少天？分析：分析： 必须先求出平均每天织布多少米，必须先求出平均每天织布多少米， 就是单一量。就是单一量。693 0 693 0 （ 477 4 477 4 31 31 ）=45=45（天）（天）（3 3） 归总问题：归总问题： 是已知单位数量和计量单位数量的个数，是已知单

75、位数量和计量单位数量的个数， 以及不同的单位数量以及不同的单位数量 （或（或单位数量的个数）单位数量的个数） ，通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量） 。特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。律相反，和反比例算法彼此相通。数数量量关关系系式式：单单位位数数量量 单单位位个个数数 另另一一个个单单位位数数量量= = 另另一一个个单单位位数数量量单位数量单位数量 单位个数单位个数 另一个单位数量另一个单位数量= =

76、另一个单位数量。另一个单位数量。例例 修一条水渠，原计划每天修修一条水渠，原计划每天修 800800 米米 ， 6 6 天修完。实际天修完。实际 4 4 天修完，每天修了天修完，每天修了多少米？多少米？分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做题叫做“ “归总问题归总问题” ”。不同之处是。不同之处是“ “归一归一” ”先求出单一量，再求总量，归总问题是先先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。求出总量，再求单一量。 80 0 80 0 6 6 4=1200 4=1200

77、（米）（米）（4 4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。应用题叫做和差问题。解题关键：解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和）是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和） ，然后再然后再求另一个数。求另一个数。解题规律：解题规律： （和差）（和差） 2 =2 = 大数大数大数差大数差= =小数小数（和差）（和差） 2=2=小数小数和小数和小数= = 大数大数例例 某加工厂甲班和乙班共有工人某加工厂甲班和乙班共有工人 9494 人，人， 因工作需要

78、临时从乙班调因工作需要临时从乙班调 4646 人到甲班人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少工作，这时乙班比甲班人数少 1212 人，求原来甲班和乙班各有多少人？人，求原来甲班和乙班各有多少人？分析：分析： 从乙班调从乙班调 4646 人到甲班，人到甲班， 对于总数没有变化，对于总数没有变化， 现在把乙数转化成现在把乙数转化成 2 2 个乙班，个乙班，即即 9 49 4 1212 ，由此得到现在的乙班是（，由此得到现在的乙班是（ 9 49 4 1212 ） 2=41 2=41 （人）（人） ，乙班在调，乙班在调出出 4646 人之前应该为人之前应该为 41+46=8741+46=87 （人）（人）

79、 ，甲班为，甲班为 9 49 4 87=787=7 （人）（人）（5 5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。应用题，叫做和倍问题。解题关键：找准标准数（即解题关键：找准标准数（即 1 1 倍数）一般说来，题中说是倍数）一般说来，题中说是“ “谁谁” ”的几倍，把谁就确的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数

80、）的数量。能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。解题规律：和解题规律：和 倍数和倍数和= =标准数标准数标准数标准数 倍数倍数= =另一个数另一个数例例: :汽车运输场有大小货车汽车运输场有大小货车 115115 辆，大货车比小货车的辆，大货车比小货车的 5 5 倍多倍多 7 7 辆，运输场有辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？大货车和小汽车各有多少辆？分析：大货车比小货车的分析：大货车比小货车的 5 5 倍还多倍还多 7 7 辆，这辆，这 7 7 辆也在总数辆也在总数 115115 辆内，为了使辆内，为了使总数与（总数与（ 5+15+1 ）倍对应，总车辆数应（）

81、倍对应，总车辆数应（ 115-7115-7 ）辆）辆 。列式为（列式为（ 115-7115-7 ） （ 5+15+1 ） =18=18 （辆）（辆） ， 18 18 5+7=97 5+7=97 （辆）（辆）（6 6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。用题。解题规律：两个数的差解题规律：两个数的差 （倍数（倍数1 1 ）= = 标准数标准数标准数标准数 倍数倍数= =另一个数。另一个数。例例 甲乙两根绳子，甲绳长甲乙两根绳子，甲绳长 6363 米米 ，乙绳长，乙绳长 2929 米米 ，两根绳

82、剪去同样的长度，结，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳果甲所剩的长度是乙绳 长的长的 3 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少各减去多少米？米？分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 3 倍，倍，实比乙绳多实比乙绳多（ 3-13-1 ）倍，倍，以乙绳的长度为标准数。以乙绳的长度为标准数。列式列式（ 63-2963-29 ） （ 3-13-1 ） =17=17（米）（米） 乙绳剩下的长度，乙绳剩下的长度，17 17 3=51 3=51（米）米） 甲绳剩下的

83、长度，甲绳剩下的长度，29-17=1229-17=12（米）米） 剪去的长度。剪去的长度。（7 7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。解题关键及规律：解题关键及规律：同时同地相背而行：路程同时同地相背而行：路程= =速度和速度和 时间。时间。同

84、时相向而行：相遇时间同时相向而行：相遇时间= =速度和速度和 时间时间同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）同时同向而行（速度慢的在前，快的在后） ：追及时间：追及时间= =路程速度差。路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前） ：路程：路程= =速度差速度差 时间。时间。例例 甲在乙的后面甲在乙的后面 2828 千米千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行两人同时同向而行，甲每小时行 1616 千米千米 ，乙每小乙每小时行时行 9 9 千米千米 ，甲几小时追上乙？，甲几小时追上乙？分析：甲每小时比乙多行（分析：甲每小时比乙多行（ 16-916

85、-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-916-9 ）千米，这是速度差。千米，这是速度差。已知甲在乙的后面已知甲在乙的后面 2828 千米千米 （追击路程）（追击路程） ， 2828 千米千米 里包含着几个（里包含着几个（ 16-916-9 ）千）千米，也就是追击所需要的时间。列式米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 2 8 （ 16-916-9 ） =4=4 （小时）（小时）（8 8）流水问题：一般是研究船在流水问题：一般是研究船在“ “流水流水” ”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和

86、差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。不同作用。船速：船在静水中航行的速度。船速：船在静水中航行的速度。水速：水流动的速度。水速：水流动的速度。顺水速度：船顺流航行的速度。顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。顺速顺速= =船速水速船速水速逆速逆速= =船速水速船速水速解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。流水问题当作和差问题解答。 解

87、题时要以水流为线索。解题时要以水流为线索。解题规律：船行速度解题规律：船行速度= =（顺水速度（顺水速度+ + 逆流速度）逆流速度） 2 2流水速度流水速度= =（顺流速度逆流速度）（顺流速度逆流速度） 2 2路程路程= =顺流速度顺流速度 顺流航行所需时间顺流航行所需时间路程路程= =逆流速度逆流速度 逆流航行所需时间逆流航行所需时间例例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，一只轮船从甲地开往乙地顺水而行， 每小时行每小时行 2828 千米千米 ， 到乙地后，到乙地后， 又逆水又逆水 航航行，回到甲地。逆水比顺水多行行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 2 小时，已知水速每小时小时，已知水速每小时

88、4 4 千米。求甲乙两地千米。求甲乙两地相距多少千米？相距多少千米？分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。时间。 已知顺水速度和水流已知顺水速度和水流 速度，速度， 因此不难算出逆水的速度，因此不难算出逆水的速度， 但顺水所用的时间，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用只知道顺水比逆水少用 2 2 小时，小时，抓住这一点，抓住这一点，就可以就就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为能算出顺水从甲地到乙地的

89、所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为284 284 2=20 2=20 （千米）（千米） 2 0 2 0 2 =40 2 =40 （千米）（千米） 40 40 （ 4 4 2 2 ） =5=5 （小时）（小时） 28 28 5=140 5=140（千米）（千米） 。（9 9） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。知数的应用题，我们叫做还原问题。解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。解题规律：从最后结果解题规律：从最后

90、结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。写括号。例例 某小学三年级四个班共有学生某小学三年级四个班共有学生 168168 人，人， 如果四班调如果四班调 3 3 人到三班，人到三班， 三班调三班调 6 6 人人到二班，二班调到二班

91、，二班调 6 6 人到一班，一班调人到一班，一班调 2 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？班原有学生多少人？分析：当四个班人数相等时，应为分析：当四个班人数相等时，应为 168 168 4 4 ，以四班为例，它调给三班，以四班为例，它调给三班 3 3 人，又人，又从一班调入从一班调入 2 2 人，人，所以四班原有的人数减去所以四班原有的人数减去 3 3 再加上再加上 2 2 等于平均数。等于平均数。四班原有四班原有人数列式为人数列式为 168 168 4-2+3=43 4-2+3=43 （人）（人）一班原有人数列式为一班原有人数列式为 1

92、68 168 4-6+2=38 4-6+2=38（人）人） ； 二班原有人数列式为二班原有人数列式为 168 168 4-6+6=42 4-6+6=42（人）（人） 三班原有人数列式为三班原有人数列式为 168 168 4-3+6=45 4-3+6=45 （人）（人） 。（1010）植树问题：这类应用题是以）植树问题：这类应用题是以“ “植树植树” ”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线解题关键：解答植树问题首

93、先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。解题规律：沿线段植树解题规律：沿线段植树棵树棵树= =段数段数+1+1棵树棵树= =总路程总路程 株距株距+1+1株距株距= =总路程总路程 （棵树（棵树-1-1）总路程总路程= =株距株距 （棵树（棵树-1-1）沿周长植树沿周长植树棵树棵树= =总路程总路程 株距株距株距株距= =总路程总路程 棵树棵树总路程总路程= =株距株距 棵树棵树例例 沿公路一旁埋电线杆沿公路一旁埋电线杆 301301 根，根， 每相邻的两根的间距是每相邻的两根的间距是 5050

94、米米 。 后来全部改装，后来全部改装，只埋了只埋了 201201 根。求改装后每相邻两根的间距。根。求改装后每相邻两根的间距。分析：分析： 本题是沿线段埋电线杆，本题是沿线段埋电线杆， 要把电线杆的根数减掉一。要把电线杆的根数减掉一。 列式为列式为 50 50 （ 301-1301-1 ） （ 201-1201-1 ） =75=75 （米）（米）（1111 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分

95、配中，一次有余，一次不足（或两次都有余）次都有余） ，或两次都不足），或两次都不足） ，已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人，已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。数的问题，叫做盈亏问题。解题关键：解题关键： 盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额）（也称总差额） ，用前一个差去除后一个差，用前一个差去除后一个差，就就得到分配者的数，进而再求得物品数。得到分配者的数，进而再求得物品数。解题规律：总差额

96、解题规律：总差额 每人差额每人差额= =人数人数总差额的求法可以分为以下四种情况：总差额的求法可以分为以下四种情况：第一次多余，第二次不足，总差额第一次多余，第二次不足，总差额= =多余多余+ + 不足不足第一次正好，第二次多余或不足第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额，总差额= =多余或不足多余或不足第一次多余，第二次也多余，总差额第一次多余，第二次也多余，总差额= =大多余大多余- -小多余小多余第一次不足，第二次也不足，第一次不足，第二次也不足， 总差额总差额= = 大不足大不足- -小不足小不足例例 参加美术小组的同学，参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，每个人分的相同的

97、支数的色笔，如果小组如果小组 1010 人，则多人，则多2525 支，支，如果小组有如果小组有 1212 人，人，色笔多余色笔多余 5 5 支。支。求每人求每人 分得几支？共有多少支色铅分得几支？共有多少支色铅笔？笔？分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 1212 人，比人，比 1010 人多人多 2 2 人，而人，而色笔多出了（色笔多出了（ 25-525-5 ） =20=20 支支 ， 2 2 个人多出个人多出 2020 支，一个人分得支，一个人分得 1010 支。列式支。列式为（为（ 25-525-5 ） （ 12-1012-10 ） =

98、10=10 （支）（支） 10 10 12+5=125 12+5=125 （支）（支） 。（1212）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为为“ “年龄问题年龄问题” ”。解题关键：解题关键： 年龄问题与和差、年龄问题与和差、和倍、和倍、 差倍问题类似，差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，年岁不断增长， 但大小两个不同年龄的差是不会改变的，但大小两个不同年龄的差是不会改变的， 因此，因此， 年龄问题是一种年龄问题是一种“ “差差不变不变” ”的问题，解题时，

99、要善于利用差不变的特点。的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。例例 父亲父亲 4848 岁，儿子岁，儿子 2121 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 4 倍？倍？分析：父子的年龄差为分析：父子的年龄差为 48-21=2748-21=27 （岁）（岁） 。由于几年前父亲年龄是儿子的。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 4 倍，倍，可知父子年龄的倍数差是（可知父子年龄的倍数差是（ 4-14-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 4 倍。倍。列式为：列式为

100、： 2121（ 48-2148-21 ） （ 4-14-1 ） =12=12（年）（年）（1313）鸡兔问题：已知）鸡兔问题：已知“ “鸡兔鸡兔” ”的总头数和总腿数。求的总头数和总腿数。求“ “鸡鸡” ”和和“ “兔兔” ”各多少只的一类各多少只的一类应用题。通常称为应用题。通常称为“ “鸡兔问题鸡兔问题” ”又称鸡兔同笼问题又称鸡兔同笼问题解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是 “ “鸡鸡” ”或全或全是是“ “兔兔” ”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种

101、的头数。解题规律：解题规律： （总腿数鸡腿数（总腿数鸡腿数 总头数）总头数） 一只鸡兔腿数的差一只鸡兔腿数的差= =兔子只数兔子只数兔子只数兔子只数= =（总腿数（总腿数-2-2总头数）总头数） 2 2如果假设全是兔子，可以有下面的式子：如果假设全是兔子，可以有下面的式子：鸡的只数鸡的只数= =（44总头数总头数- -总腿数）总腿数） 2 2兔的头数兔的头数= =总头数总头数- -鸡的只数鸡的只数例例 鸡兔同笼共鸡兔同笼共 5050 个头，个头， 170170 条腿。问鸡兔各有多少只？条腿。问鸡兔各有多少只？兔子只数兔子只数 （ 170-2 170-2 50 50 ） 2 =35 2 =35

102、（只）（只）鸡的只数鸡的只数 50-35=1550-35=15 （只）（只）- -（二）分数和百分数的应用（二）分数和百分数的应用1 1分数加减法应用题：分数加减法应用题：分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。2 2 分数乘法应用题：分数乘法应用题：是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。特征：已知单位特征：已知单位“1”“1”的量和分率，求与分率所对应的

103、实际数量。的量和分率，求与分率所对应的实际数量。解题关键：准确判断单位解题关键：准确判断单位“1”“1”的量。的量。找准要求问题所对应的分率，找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数然后根据一个数乘分数的意义正确列式。乘分数的意义正确列式。3 3 分数除法应用题：分数除法应用题：求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。特征：已知一个数和另一个数，特征：已知一个数和另一个数， 求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“ “一一个数个数” ”是比较量，是比较量，“ “另一个数另一个数” ”是标准量。

104、是标准量。求分率或百分率，求分率或百分率，也就是求他们的倍数关也就是求他们的倍数关系。系。解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了 “ “单位一单位一” ”，谁，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。和单位一的量作比较，谁就作被除数。甲是乙的几分之几（百分之几）甲是乙的几分之几（百分之几）: :甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）甲比乙多（或少）几分之几（百分之几） ：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）分之

105、几） 。关系式（甲数减乙数）。关系式（甲数减乙数）/ /乙数或（甲数减乙数）乙数或（甲数减乙数）/ /甲数甲数 。已知一个数的几分之几（或百分之几已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,) ,求这个数。求这个数。特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”“1”的量。的量。解题关键：准确判断单位解题关键：准确判断单位“1”“1”的量把单位的量把单位“1”“1”的量看成的量看成 x x 根据分数乘法的意义列方根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分

106、率相对应的已知实际数量。数量。4 4出勤率出勤率发芽率发芽率= =发芽种子数发芽种子数/ /试验种子数试验种子数 100%100%小麦的出粉率小麦的出粉率= = 面粉的重量面粉的重量/ /小麦的重量小麦的重量 100%100%产品的合格率产品的合格率= =合格的产品数合格的产品数/ /产品总数产品总数 100%100%职工的出勤率职工的出勤率= =实际出勤人数实际出勤人数/ /应出勤人数应出勤人数 100%100%5 5工程问题：工程问题：是分数应用题的特例，是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、它是探讨工作总量、工作效率和工

107、作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。解题关键：把工作总量看作单位解题关键：把工作总量看作单位“1”“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。目的具体情况，灵活运用公式。数量关系式：数量关系式：工作总量工作总量= =工作效率工作效率 工作时间工作时间工作效率工作效率= =工作总量工作总量 工作时间工作时间工作时间工作时间= =工作总量工作总量 工作效率工作效率工作总量工作总量 工作效率和工作效率和= =合作时间合作时间6 6纳税纳税纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，

108、按照一定的比率把集体或个人收入的纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫应纳税款。缴纳的税款叫应纳税款。应纳税额与各种收入的应纳税额与各种收入的（销售额、（销售额、 营业额、营业额、 应纳税所得额应纳税所得额 ） 的比率叫做税率。的比率叫做税率。* * 利息利息存入银行的钱叫做本金。存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利率。利息与本金的比值叫做利率。利息利息= =本金本金 利率利率 时间时间- -第二章第二章 度量衡度量衡一一 长度长度( (一一) )

109、 什么是长度什么是长度长度是一维空间的度量。长度是一维空间的度量。( (二二) ) 长度常用单位长度常用单位* * 公里公里(km) *(km) * 米米(m) *(m) * 分米分米(dm) *(dm) * 厘米厘米(cm) *(cm) * 毫米毫米(mm) *(mm) * 微米微米(um)(um)( (三三) ) 单位之间的换算单位之间的换算* 1* 1 毫米毫米 10001000 微米微米* 1* 1 厘米厘米 1010 毫米毫米* 1* 1 分米分米 1010 厘米厘米* 1* 1 米米 10001000毫米毫米* 1* 1 千米千米 10001000 米米二二 面积面积（一）什么是面

110、积（一）什么是面积面积，面积，就是物体所占平面的大小。就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。（二）常用的面积单位（二）常用的面积单位* * 平方毫米平方毫米* * 平方厘米平方厘米* * 平方分米平方分米* * 平方米平方米* * 平方千米平方千米（三）面积单位的换算（三）面积单位的换算* * 1 1 平方厘米平方厘米 100100 平方毫米平方毫米* * 1 1 平方分米平方分米=100=100 平方厘米平方厘米* * 1 1 平方米平方米 100100平方分米平方分米* 1* 1 公倾公倾 1000010000 平方米平

111、方米* 1* 1 平方公里平方公里 100100 公顷公顷三三 体积和容积体积和容积（一）什么是体积、容积（一）什么是体积、容积体积，就是物体所占空间的大小。体积，就是物体所占空间的大小。容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。（二）常用单位（二）常用单位1 1 体积单位体积单位* * 立方米立方米* * 立方分米立方分米* * 立方厘米立方厘米2 2 容积单位容积单位* * 升升* * 毫升毫升（三）单位换算（三）单位换算1 1 体积单位体积单位* 1* 1 立方米立方米=1000=1000 立方分米立方

112、分米* 1* 1 立方分米立方分米=1000=1000 立方厘米立方厘米2 2 容积单位容积单位* 1* 1 升升=1000=1000 毫升毫升* 1* 1 升升=1=1 立方米立方米* 1* 1 毫升毫升=1=1 立方厘米立方厘米四四 质量质量（一）什么是质量（一）什么是质量质量，就是表示表示物体有多重。质量，就是表示表示物体有多重。（二）常用单位（二）常用单位* * 吨吨t *t * 千克千克 kg *kg * 克克 g g（三）常用换算（三）常用换算* * 一吨一吨=1000=1000 千克千克* 1* 1 千克千克=1000=1000 克克五五 时间时间（一）什么是时间（一）什么是时间

113、是指有起点和终点的一段时间是指有起点和终点的一段时间（二）常用单位（二）常用单位世纪、世纪、 年年 、 月月 、 日日 、 时时 、 分、分、 秒秒（三）单位换算（三）单位换算* 1* 1 世纪世纪=100=100 年年* 1* 1 年年=365=365 天天平年平年* * 一年一年=366=366 天天闰年闰年* * 一、三、五、七、八、十、十二是大月一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有大月有 3131 天天* * 四、六、九、十一是小月小月四、六、九、十一是小月小月小月有小月有 3030 天天* * 平年平年 2 2 月有月有 2828 天天闰年闰年 2 2 月有月有 2929 天天*

114、 1* 1 天天= 24= 24 小时小时* 1* 1 小时小时=60=60 分分* * 一分一分=60=60 秒秒六六 货币货币（一）什么是货币（一）什么是货币货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。何别的商品。（二）常用单位（二）常用单位* * 元元* * 角角* * 分分（三）单位换算（三）单位换算* 1* 1 元元=10=10 角角* 1* 1 角角=10=10 分分- -第三章第三章 代数初步知识代数初步知识一、用字母表示数一、用字母表示数1 1用字母表示数的意义和作用用字

115、母表示数的意义和作用* * 用字母表示数，用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。同时也可以表示运算的结果。2 2 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式（1 1）常见的数量关系）常见的数量关系路程用路程用 s s 表示，速度表示，速度 v v 用表示，时间用用表示，时间用 t t 表示，三者之间的关系：表示，三者之间的关系：s=vts=vtv=s/tv=s/tt=s/vt=s/v总价用总价用 a a 表示，单价用表示，单价用 b b 表示，数量用表示，

116、数量用 c c 表示，三者之间的关系表示，三者之间的关系: :a=bca=bcb=a/cb=a/cc=a/bc=a/b（2 2）运算定律和性质）运算定律和性质加法交换律：加法交换律：a+b=b+aa+b=b+a加法结合律：加法结合律： （a+b)+c=a+(b+c)a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：乘法交换律：ab=baab=ba乘法结合律：乘法结合律： （ab)c=a(bc)ab)c=a(bc)乘法分配律：乘法分配律： （a+b)c=ac+bca+b)c=ac+bc减法的性质：减法的性质：a-(b+c) =a-b-ca-(b+c) =a-b-c（3 3）用字母表示几何形体的公式）用字母

117、表示几何形体的公式长方形的长用长方形的长用 a a 表示，宽用表示，宽用 b b 表示，周长用表示，周长用 c c 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。c=2(a+b)c=2(a+b)s=abs=ab正方形的边长正方形的边长 a a 用表示，周长用用表示，周长用 c c 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。c=4ac=4as=as=a平行四边形的底平行四边形的底 a a 用表示，高用用表示，高用 h h 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。s=ahs=ah三角形的底用三角形的底用 a a 表示，高用表示，高用 h h 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。

118、s=ah/2s=ah/2梯形的上底用梯形的上底用 a a 表示，下底表示，下底 b b 用表示，高用用表示，高用 h h 表示，中位线用表示，中位线用 mm 表示，面积用表示，面积用 s s表示。表示。s=(a+b)h/2s=(a+b)h/2s=mhs=mh圆的半径用圆的半径用 r r 表示，直径用表示，直径用 d d 表示，周长用表示，周长用 c c 表示，面积用表示，面积用 s s 表示。表示。c=d=2rc=d=2rs= rs= r扇形的半径用扇形的半径用 r r 表示，表示，n n 表示圆心角的度数，面积用表示圆心角的度数，面积用 s s 表示。表示。s= nr/360s= nr/36

119、0长方体的长用长方体的长用 a a 表示，宽用表示，宽用 b b 表示，高用表示，高用 h h 表示，表面积用表示，表面积用 s s 表示，体积用表示，体积用 v v 表表示。示。v=shv=shs=2(ab+ah+bh)s=2(ab+ah+bh)v=abhv=abh正方体的棱长用正方体的棱长用 a a 表示，底面周长表示，底面周长 c c 用表示，底面积用用表示，底面积用 s s 表示，表示， 体积用体积用 v v 表示表示. .s=6as=6av=av=a圆柱的高用圆柱的高用 h h 表示，底面周长用表示，底面周长用 c c 表示，底面积用表示，底面积用 s s 表示，表示， 体积用体积用

120、 v v 表示表示. .s s 侧侧=ch=chs s 表表=s=s 侧侧+2s+2s 底底v=shv=sh圆锥的高用圆锥的高用 h h 表示，底面积用表示，底面积用 s s 表示，表示， 体积用体积用 v v 表示表示. .v=sh/3v=sh/33 3 用字母表示数的写法用字母表示数的写法数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”“.”，或者省略不写，数字要写在，或者省略不写，数字要写在字母的前面。字母的前面。当当“1”“1”与任何字母相乘时，与任何字母相乘时，“1”“1”省略不写。省略不写。在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不

121、同的字母表示。在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。4 4 将数值代入式子求值将数值代入式子求值* * 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称

122、。原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。* * 同一个式子，同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。那么所求出的式子的值也不相同。二、简易方程二、简易方程（一）方程和方程的解（一）方程和方程的解1 1 方程：含有未知数的等式叫做方程。方程：含有未知数的等式叫做方程。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方

123、程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时特定的数值时 ，方程才成立，方程才成立 。2 2 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。三、解方程三、解方程解方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程，求方程的解的过程叫做解方程。四、列方程解应用题四、列方程解应用题1 1 列方程解应用题的意义列方程解应用题的意义* * 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。2 2 列方程解答应用题的步骤列方程

124、解答应用题的步骤* * 弄清题意，确定未知数并用弄清题意，确定未知数并用 x x 表示；表示；* * 找出题中的数量之间的相等关系；找出题中的数量之间的相等关系；* * 列方程，解方程；列方程，解方程；* * 检查或验算，写出答案。检查或验算，写出答案。3 3 列方程解应用题的方法列方程解应用题的方法* * 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，再找出它们之间的等量关系， 进而列出方程。进而列出方程。 这是从部分到整体的一种这是从部分到整体的一种 思维过程，思维过程，其思

125、考方向是从已知到未知。其思考方向是从已知到未知。* * 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。4 4 列方程解应用题的范围列方程解应用题的范围小学范围内常用方程解的应用题：小学范围内常用方程解的应用题：a a 一般应用题；一般应用题；b b 和倍、差倍问题；和倍、差倍问

126、题；c c 几何形体的周长、面积、体积计算；几何形体的周长、面积、体积计算；d d 分数、百分数应用题；分数、百分数应用题；e e 比和比例应用题。比和比例应用题。五五比和比例比和比例1 1 比的意义和性质比的意义和性质（1 1） 比的意义比的意义两个数相除又叫做两个数的比。两个数相除又叫做两个数的比。“ “：” ”是比号，读作是比号，读作“ “比比” ”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商

127、。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不能是零。比的后项不能是零。根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。于分数值。（2 2）比的性质）比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 0 除外）除外） ，比值不变，这叫做比的基，比值不变，这叫做比的基本性质。本性质。（3 3）求比值和化简比求比值和

128、化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。即前、后项是互质的数。（4 4）比例尺）比例尺图上距离：实际距离图上距离：实际距离= =比例尺比例尺要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。图上距离。线段

129、比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。距离。（5 5）按比例分配）按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。2 2 比例的意义和性质比例的意义和性质（1 1） 比例的意义比例的意义表示两个比相

130、等的式子叫做比例。表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。（2 2）比例的性质）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3 3）解比例）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。另外一个未知项。求比例中的未知项，

131、叫做解比例。3 3 正比例和反比例正比例和反比例（1 1） 成正比例的量成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。做正比例关系。用字母表示用字母表示 y/x=k(y/x=k(一定）一定）（2 2）成反比例的量）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变

132、化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示用字母表示 xxy=k(y=k(一定一定) )第四章第四章 几何的初步知识几何的初步知识一一 线和角线和角（1 1）线）线* * 直线直线直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。* *射线射线射线只有一个端点；长度无限。射线只有一个端点；长度无限。* * 线段线段线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短

133、。线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。* * 平行线平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。两条平行线之间的垂线长度都相等。* * 垂线垂线两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线线的垂线, ,相交的点叫做垂足。相交的点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。（2 2）角）角（1 1）从一

134、点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。射线叫做角的边。（2 2）角的分类）角的分类锐角：小于锐角：小于 9090的角叫做锐角。的角叫做锐角。直角：等于直角：等于 9090的角叫做直角。的角叫做直角。钝角：大于钝角：大于 9090而小于而小于 180180的角叫做钝角。的角叫做钝角。平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角 180180。周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角

135、是 360360。二二 平面图形平面图形1 1 长方形长方形（1 1）特征）特征对边相等，对边相等，4 4 个角都是直角的四边形。有两条对称轴。个角都是直角的四边形。有两条对称轴。（2 2）计算公式）计算公式c=2(a+b)c=2(a+b)s=abs=ab2 2 正方形正方形（1 1）特征：）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有 4 4 条对称轴。条对称轴。（2 2）计算公式）计算公式c=4ac=4as=as=a3 3 三角形三角形（1 1）特征）特征由三条线段围成的图形。由三条线段围成的图形。内角和是内角和是 180180 度。度。三角形具有

136、稳定性。三角形有三条高。三角形具有稳定性。三角形有三条高。（2 2）计算公式）计算公式s=ah/2s=ah/2（3 3） 分类分类按角分按角分锐角三角形锐角三角形 ：三个角都是锐角。：三个角都是锐角。直角三角形直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为 4545 度，它有一条对度，它有一条对称轴。称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。钝角三角形：有一个角是钝角。按边分按边分不等边三角形：三条边长度不相等。不等边三角形：三条边长度不相等。等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对

137、称轴。等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是 6060 度；有三条对称轴。度；有三条对称轴。4 4 平行四边形平行四边形（1 1）特征特征两组对边分别平行的四边形。两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为 180180 度。平行四边度。平行四边形容易变形。形容易变形。（2 2） 计算公式计算公式s=ahs=ah5 5 梯形梯形（1 1）特征）特征只有一组对边平行的四边形。只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形

138、有一条对称轴。等腰梯形有一条对称轴。（2 2） 公式公式s=(a+b)h/2=mhs=(a+b)h/2=mh6 6 圆圆（1 1） 圆的认识圆的认识平面上的一种曲线图形。平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母圆中心的一点叫做圆心。一般用字母 o o 表示。表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用 r r 表示。表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用 d d

139、 表示。表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即 d=2rd=2r。圆的大小由半径决定。圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。圆有无数条对称轴。（2 2）圆的画法）圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径） ；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。（3 3） 圆的周长圆的周长围成圆的曲线

140、的长叫做圆的周长。围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母表示。表示。（4 4） 圆的面积圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。圆所占平面的大小叫做圆的面积。（5 5）计算公式）计算公式d=2rd=2rr=d/2r=d/2c=dc=dc=2rc=2rs=rs=r7 7 扇形扇形（1 1）扇形的认识扇形的认识一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆上圆上 ABAB 两点之间的部分叫做弧，读作两点之间的部分叫做弧，读作“ “弧弧 AB”AB”。顶点在圆心的角叫

141、做圆心角。顶点在圆心的角叫做圆心角。在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。扇形有一条对称轴。扇形有一条对称轴。(2)(2)计算公式计算公式s=nr/360s=nr/3608 8 环形环形(1)(1) 特征特征由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。(2)(2)计算公式计算公式s=(Rs=(R-r-r）9 9 轴对称图形轴对称图形(1)(1)特征特征如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重

142、合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。正方形有正方形有 4 4 条对称轴，条对称轴， 长方形有长方形有 2 2 条对称轴。条对称轴。等腰三角形有等腰三角形有 2 2 条对称轴，等边三角形有条对称轴，等边三角形有 3 3 条对称轴。条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。菱形有菱形有 4 4 条对称轴，扇形有一条对称轴。条对称轴，扇形有一条对称轴。三三 立体图形立体图形（一）长方体（一）长方体1 1 特征特征六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）六个面都是长方形（有时有两个相对的面

143、是正方形） 。相对的面面积相等，相对的面面积相等，1212 条棱相对的条棱相对的 4 4 条棱长度相等。条棱长度相等。有有 8 8 个顶点。个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。两个面相交的边叫做棱。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。三条棱相交的点叫做顶点。把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。长方体或者正方体长方体或者正方体 6 6 个面的总面积，叫做它的表面积。个面的总面积，叫做它的表面积。2 2 计算公式计算公式s=2(ab+ah+bh)s=2(ab+ah+bh)V=s

144、hV=shV=abhV=abh（二）正方体（二）正方体1 1 特征特征六个面都是正方形六个面都是正方形六个面的面积相等六个面的面积相等1212 条棱，棱长都相等条棱，棱长都相等有有 8 8 个顶点个顶点正方体可以看作特殊的长方体正方体可以看作特殊的长方体2 2 计算公式计算公式S S 表表=6a=6av=av=a（三）圆柱（三）圆柱1 1 圆柱的认识圆柱的认识圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高圆柱两个底面之间的距离叫做高 。进一法：进一法： 实际中，实际中， 使用的材料都要比计算的结果多一些使用的材料

145、都要比计算的结果多一些 ， 因此，因此， 要保留数的时候，要保留数的时候，省略的位上的是省略的位上的是 4 4 或者比或者比 4 4 小，都要向前一位进小，都要向前一位进 1 1。这种取近似值的方法叫做进。这种取近似值的方法叫做进一法。一法。2 2 计算公式计算公式s s 侧侧=ch=chs s 表表=s=s 侧侧+s+s 底底 2 2v=sh/3v=sh/3（四）圆锥（四）圆锥1 1 圆锥的认识圆锥的认识圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，

146、用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。竖直地量出平板和底面之间的距离。把圆锥的侧面展开得到一个扇形。把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2 2 计算公式计算公式v= sh/3v= sh/3（五）球（五）球1 1 认识认识球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。球和圆类似，也有一个球心，用球和圆类似，也有一个球心，用 O O 表示。表示。从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用 r r 表示，每条半径都相等。表示，每条

147、半径都相等。通过球心并且两端都在球面上的线段，通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，叫做球的直径，用用 d d 表示表示, ,每条直径都相等每条直径都相等, ,直径的长度等于半径的直径的长度等于半径的 2 2 倍，即倍，即 d=2rd=2r。2 2 计算公式计算公式-d=2rd=2r- -第五章第五章 简单的统计简单的统计一一统计表统计表（一）意义（一）意义* * 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。格就叫做统计表。（二）组成部分（二）组成部分* * 一般分为表格外和表格内

148、两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。（三）种类（三）种类* * 单式统计表：只含有一个项目的统计表。单式统计表：只含有一个项目的统计表。* * 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。* * 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。量的百分比

149、的统计表。（四）制作步骤（四）制作步骤1 1 搜集数据搜集数据2 2 整理数据：整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。3 3 设计草表：设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。格，每格长度。4 4 正式制表：正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。名称和制表日期。二二统计图统计图（一）

150、意义（一）意义* * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。（二）分类（二）分类1 1 条形统计图条形统计图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。这些直线按照一定的顺序排列起来。优点：很容易看出各种数量的多少。优点：很容易看出各种数量的多少。注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；取一个单位长

151、度表示数量的多少要根据具体情况而确定；复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。图日期下面注明图例。制作条形统计图的一般步骤制作条形统计图的一般步骤: :（1 1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。（2 2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。（3 3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单

152、位长度表示多确定单位长度表示多少。少。（4 4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。2 2 折线统计图折线统计图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。顺次连接起来。优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，

153、不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。要根据年份或月份的间隔来确定。制作折线统计图的一般步骤制作折线统计图的一般步骤: :（1 1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。（2 2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。（3 3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多确定单位长度表示多少。少。（4 4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。）按照数据的大小描出各点，再用线段

154、顺次连接起来，并注明数量。3 3 扇形统计图扇形统计图用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。制扇形统计图的一般步骤：制扇形统计图的一般步骤：（1 1）先算出各部分数量占总量的百分之几。）先算出各部分数量占总量的百分之几。（2 2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。（3 3）取适当的半径画一个圆，取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个在圆里画出各个扇形。扇形。（4 4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。或条纹把各个扇形区别开。