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1、关于矩阵行等价的一些思考关于矩阵行等价的一些思考杨忠鹏杨忠鹏1 陈梅香陈梅香1 晏瑜敏晏瑜敏1 陈智雄陈智雄1 林志兴林志兴1 林丽生林丽生1，21.莆田学院数学系莆田学院数学系2008年年10月月11日日2.辽宁工业大学辽宁工业大学机械工程及其自动化学院机械工程及其自动化学院Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.目录目录引引引引 言言言言1广泛的应用广泛的应用广泛的应用广泛的应用3理论研究理论研究理论研究
2、理论研究4参参参参 考考考考 文文文文 献献献献现现现现 状状状状2Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.一、一、引言引言 矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法，矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET
3、 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.性质性质2 矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性。矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性。 性质性质3(见见3,定理定理) 对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的列向量的线性关系。列向量的线性关系。 性质性质1 （见（见1,定
4、理定理3）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.二二 、现状现状 利用初等行变化，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和利用初等行变化，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛，行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛，如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，解如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，
5、解线性方程组等，日显其重要性。随着技术的发展，其计线性方程组等，日显其重要性。随着技术的发展，其计算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器，算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器， Matlab(Octave), Mathematica,Maple等，这些工具都可等，这些工具都可以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置、以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置、简化行阶梯形、行列式、简化行阶梯形、行列式、LU分解、分解、QR分解，其中最重分解，其中最重要的是简化行阶梯形要的是简化行阶梯形 。但相比之下，其理论部分相。但相比之下，其理论部分相Evaluation only.
6、Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.二二 、现状现状 对滞后。在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没有对滞后。在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没有像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视这种像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视这种等价关系国外的一些教材（如等价关系国外的一些教材（如3-5）都有给出行简化梯形）都有给出行简化梯形矩阵的定义及其应用矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的并指出它是唯一的,
7、 但对但对“矩阵的行标矩阵的行标准形是唯一的准形是唯一的”这一结论的证明或略去，或在后面用更多更深这一结论的证明或略去，或在后面用更多更深刻的知识作为附录给出证明的过程现在使用这些知识的教材刻的知识作为附录给出证明的过程现在使用这些知识的教材越来越多（如越来越多（如69 等），但很少将等），但很少将“矩阵行最简形是唯一矩阵行最简形是唯一的的” 的证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在于的证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在于“矩矩阵的行标准形是唯一的阵的行标准形是唯一的”这个结论的证明是复杂的这个结论的证明是复杂的Evaluation only.Created with Aspose.S
8、lides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.三、三、广泛的应用广泛的应用 1、教学中的基本要求、教学中的基本要求2、课后讨论、研究、课后讨论、研究3、能力提升（毕业论文选题）、能力提升（毕业论文选题）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.1、教学中的基本要求、教学中的基本要求（1）求行列式）求行列式
9、（2）求矩阵或向量组的秩）求矩阵或向量组的秩（3）判定向量组的线性相关性）判定向量组的线性相关性Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（4）求其极大无关组，并表示其他向量）求其极大无关组，并表示其他向量（5）求矩阵的逆）求矩阵的逆（6）求解线性方程组）求解线性方程组 的矩阵形式为：的矩阵形式为： 求解过程：求解过程： Evaluation only.Created with Aspose.Slides fo
10、r .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.应用行化简算法解线性方程组步骤：应用行化简算法解线性方程组步骤：1、写出方程组的增广矩阵、写出方程组的增广矩阵.2、应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形、应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形. 确定方程组是否有解，如确定方程组是否有解，如果没有解则停止；否则进行下一步果没有解则停止；否则进行下一步.3、继续行化简算法得到它的简化阶梯形、继续行化简算法得到它的简化阶梯形.4、写出由第、写出由第3步所得矩阵所对应的方程组步所得矩阵所对应的方程组.5、把第、把第4步所
11、得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式. 计算技术日益成熟：计算技术日益成熟： 计算器、计算器、Matlab、Octave、Sage、Maple、Mathematica等等 Matlab中中 “rref ” 命令是求矩阵的行最简形命令是求矩阵的行最简形 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.2、课后讨论、研究、课后讨论、研究（1）求解）求解(2)求向
12、量的坐标求向量的坐标13(3)求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式13 实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（5）化二次型为标准型及判断矩阵正定）化二次型为标准型及判断矩阵正定14其中其中T是上三角阵是上三角阵（6）把）把线性无关的向量性无关的向量组正交化正交化141) 3)若欲在正交化后得到正
13、交阵，可令若欲在正交化后得到正交阵，可令则则D的列向量组为标准正交组。的列向量组为标准正交组。 (7)求正定求正定阵A的分解式的分解式 14Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （8）初等变换在多项式理论中的应用）初等变换在多项式理论中的应用 15（判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的（判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的 根，求最大公因式）根，求最大公因式）（i）
14、求两个多项式的最大公因式）求两个多项式的最大公因式(ii)判定多项式有无重因式判定多项式有无重因式(iii) 求商和余式求商和余式(9) 数学实验数学实验Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.(10)利用行等价判断方程组同解（考研題題型）：利用行等价判断方程组同解（考研題題型）： 例例1（1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四）年全国硕士研究生入学统一考试数学四）已知两个线性方程组已知两个线性方程组为同
15、解线性方程组，求参数为同解线性方程组，求参数m、n、t之值之值（1）（2）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.要使（要使（1）与（）与（2）同解，只要保证这两个方程组对应的增广矩阵）同解，只要保证这两个方程组对应的增广矩阵有相同的行标准形即可！有相同的行标准形即可！Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile
16、5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由唯一性得由唯一性得求求 ，并求（，并求（4）的一般解）的一般解 例例2（18，P100，习题23）已知）已知线性方程性方程组的解都的解都满足方程足方程组 （4）（3）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例例1（2007年北京交通大学硕士研究生入学考试试题年北京交通大学硕士研究生入学考试试题10）设有两个线性方程组设有
17、两个线性方程组（1）求（）求（I）的通解；）的通解；（2）当且仅当（）当且仅当（II）中参数）中参数a、b、c为何值时，（为何值时，（I）和）和（II）同解）同解（I）（II）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例例1（2007年湖北大学硕士研究生入学考试年湖北大学硕士研究生入学考试2）已知两个线性方程组已知两个线性方程组同解，试确定参数同解，试确定参数a、b、c的值的值（I）（II）Evaluatio
18、n only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例例3（ 2008年浙江理工大学硕士研究生入学考试年浙江理工大学硕士研究生入学考试）设（5）（6）为两个为两个n+1维向量组，证明：若向量组（维向量组，证明：若向量组（5）和向量组（）和向量组（6）等价，则线性方程组）等价，则线性方程组 （7）和）和（8）同解。举例说明上述命题的逆命题不成立。同解。举例说明上述命题的逆命题不成立。Evaluation only.Created with
19、 Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.事实上，逆命题是成立的！事实上，逆命题是成立的！Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.3、能力提升（毕业论文选题）、能力提升（毕业论文选题）（1）在初等数论中的应用）在初等数论中的应用 （i）求整数的最大公因式及其线性表出）求整数的最大公
20、因式及其线性表出 （ii）求自然数等幂和）求自然数等幂和 (见20 ) (见见19 ) （2）解线性不定方程）解线性不定方程(见见 19 )（3）解同余方程）解同余方程 (见见21 )（4）求最小多）求最小多项式（向量关于矩式（向量关于矩阵的最小多的最小多项式式 )(见见22)（6）化行简化梯形矩阵的初等变换次数）化行简化梯形矩阵的初等变换次数 (见见23 )（7）行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用）行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用 (见见24 )Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.
21、0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.四四 、理论研究理论研究 行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，如上可以发行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，如上可以发现，现，它它在研究讨论矩阵的秩、矩阵的逆、向量的线性相在研究讨论矩阵的秩、矩阵的逆、向量的线性相关性的判别、求向量组的极大线性无关组及其余向量用关性的判别、求向量组的极大线性无关组及其余向量用极大无关组的线性表示式和线性方程组的解等多方面有极大无关组的线性表示式和线性方程组的解等多方面有着重要的应用。着重要的应用。但在很多的国内外教材中都未将此标准但在很多的国内外教材中都未将此标准形的唯一性证明放在课堂教
22、学上形的唯一性证明放在课堂教学上. . 文献文献【2525】虽亦列有虽亦列有唯一性定理唯一性定理, ,但未给出证明，只是说：但未给出证明，只是说：“这个定理的证这个定理的证明是十分麻烦的明是十分麻烦的, ,我们省略它。我们省略它。” Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.要怎样在教学的同步即可完成，是长期以来被众多学者要怎样在教学的同步即可完成，是长期以来被众多学者注意而还没有解决好的问题。目前，对行简化梯
23、形矩阵唯一注意而还没有解决好的问题。目前，对行简化梯形矩阵唯一性的证明，前人至少已给出性的证明，前人至少已给出四种证明方法四种证明方法（见文（见文1、10、11、26）.这些方法具有各自的特点，但所用的知识较多，这些方法具有各自的特点，但所用的知识较多，不适合将他们放在课堂上进行同步教学，这也是在教材中很不适合将他们放在课堂上进行同步教学，这也是在教材中很少见到行简化梯形矩阵唯一性证明的原因之一少见到行简化梯形矩阵唯一性证明的原因之一. 现结合学生现结合学生的的毕业论文毕业论文24 ，给出了此唯一性的另一种证明方法，给出了此唯一性的另一种证明方法.Evaluation only.Created
24、 with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.唯一性定理唯一性定理 中任意一个矩阵中任意一个矩阵 仅与唯一的行仅与唯一的行简化梯形矩阵行等价，即简化梯形矩阵行等价，即 的行简化梯形矩阵是唯一的行简化梯形矩阵是唯一的的. .记记 的唯一行简化梯形矩阵为的唯一行简化梯形矩阵为 . . 设，设， 是的两个行简化梯形矩阵，要证是的两个行简化梯形矩阵，要证 。根据行简化梯形矩阵的定义，可设根据行简化梯形矩阵的定义，可设证明的主要过程证明的主要过程Evaluation o
25、nly.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.1 1、先根据、先根据 和和 是行等价的，是行等价的， 和和 中列向量之间的线中列向量之间的线性关系是一样的，这样可证得它们的主元列位置是相同的。性关系是一样的，这样可
26、证得它们的主元列位置是相同的。2 2、再根据再根据 和和 行等价，存在一个行等价，存在一个 阶可逆阵阶可逆阵 ，使得：，使得： . .将将 ， 两个矩阵代入，比较等式两边可推出矩阵两个矩阵代入，比较等式两边可推出矩阵 的结的结构是构是将矩阵将矩阵 和和 进行分块变成进行分块变成 和和 ，则，则 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.可容易计算解得可容易计算解得 于是于是而而即即 . .这就证得了唯一性这就证
27、得了唯一性. . Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.这种证法正是在这已有的这种证法正是在这已有的四种证明四种证明方法上给出的，方法上给出的，它是采用了第三种证明方法中所提到的行等价矩阵的列它是采用了第三种证明方法中所提到的行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想，以及第二种所提到的具有完全一样的线性相关性思想，以及第二种所提到的两个行等价矩阵，两个行等价矩阵， 间存在一可逆阵有间存在一可逆阵有 这个这
28、个知识点，较完整地表述了证明过程知识点，较完整地表述了证明过程. . 所以所以, ,可以说它是可以说它是前人已有证明方法的一种结合前人已有证明方法的一种结合, ,与他们相比与他们相比, ,是有存在不是有存在不同之处的同之处的. .此种方法可以尝试用于课堂教学上或课外提此种方法可以尝试用于课堂教学上或课外提高内容，学生不需要积累太多的理论知识就可以理解这高内容，学生不需要积累太多的理论知识就可以理解这个证明个证明. .对于教师授课，教师也只要讲述大概的证明过对于教师授课，教师也只要讲述大概的证明过程，学生在课后可以自己去补充完成证明，让他们对此程，学生在课后可以自己去补充完成证明，让他们对此唯一
29、性的证明有更深刻的理解唯一性的证明有更深刻的理解. .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.1 袁玉玲袁玉玲.简化梯形矩阵及其应用简化梯形矩阵及其应用 J.曲阜师范学报（自然科学版）曲阜师范学报（自然科学版）. 1983.第第2期期.P27-28.2 大学数学课程报告论坛组委会大学数学课程报告论坛组委会. 2007论文集论文集M.高等教育出版社高等教育出版社, 北京北京, 2008.5.3 Birkhoff
30、 GMaclance S.A Survey of Modern Algebra(4th Edition)M.New York: Macmilan. 1977.4 Kenneth Hoffnian and Ray Kange. Linear Algebra (2nded)M. Prentice-Hill, Juc. Englewood Cliffs Ne Jersey(1971): 11-12, 5-66, 397-395.5 Assen S. Deif. Advanced Matrix Theory for Scientists and Engineers (1982): 2-3, 49-52
31、.6 居余马等居余马等. 线性代数线性代数(第二版第二版)M.，清华大学出版社，清华大学出版社, 北京北京, 2002. 参考文献参考文献Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.7 同济大学应用数学系编同济大学应用数学系编, 工程数学线性代数工程数学线性代数(第四版第四版)M. 高等教育教出版社高等教育教出版社, 北京北京, 2004.8 李建华等李建华等. 经济应用数学线性代数经济应用数学线性代数(第四版第
32、四版)M. 高等教高等教 育出版社育出版社, 北京北京, 2004. 9 同济大学应用数学系编同济大学应用数学系编, 线性代数线性代数(第四版第四版)附册学习辅附册学习辅 导与习题选解导与习题选解M. 高等教育出版社高等教育出版社, 北京北京, 2004.10(美美)David C.Lay著著.刘深泉刘深泉,洪毅洪毅,马东魁马东魁,郭国雄郭国雄,刘勇平刘勇平 译译.线性代线性代数及其应用（原书第数及其应用（原书第3版）版）M.北京：机械工业出版社北京：机械工业出版社.2005.8.P433.11 谭思文谭思文,杨忠鹏杨忠鹏.关于矩阵的行等价的一些问题关于矩阵的行等价的一些问题J. 吉林师院学报
33、吉林师院学报(自自然科学版然科学版).1985.第第1期期.P54-56.12 王萼芳王萼芳, 邱维声邱维声. 高等代数讲义高等代数讲义(上册上册) (中央广播电视大学中央广播电视大学 教材教材)M. 北京大学出版社北京大学出版社, 1983: 62-6413王文省王文省 姚忠平姚忠平 钟红心。初等变换的思想方法在高等代数中的应用钟红心。初等变换的思想方法在高等代数中的应用J.聊城师院学报（自然科学版）聊城师院学报（自然科学版）, 2000,13(2):76-78. Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client P
34、rofile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.14朱振广，朱振广， 初等变换在线性代数中的应用初等变换在线性代数中的应用J，辽宁工学院学报，辽宁工学院学报，1999，19（2）：）：778215杨纯富杨纯富.矩阵的初等变换在多项式理论中的应用矩阵的初等变换在多项式理论中的应用J.重庆文理重庆文理学院学报（自然科学版）学院学报（自然科学版）, 2008,27(3):55-57.16 黄承绪黄承绪. 论矩阵行标准形及其应用论矩阵行标准形及其应用J，武汉理工大学报，武汉理工大学报(交通交通科学与工程版科学与工程版), 27(2)(2003)：22
35、9-230. 17晏瑜敏，杨忠鹏晏瑜敏，杨忠鹏.矩阵行标准形与同解线性方程组矩阵行标准形与同解线性方程组J，北华大，北华大学学报学学报(自然科学版自然科学版), 7(1)(2006)： 6-10. 18 龙承业龙承业.线性代数复习指导与典型立体分析（第线性代数复习指导与典型立体分析（第2版）版）M.工业工业出版社，北京，出版社，北京，2003.19 陈碧琴陈碧琴.矩阵初等变换在初等数论中的应用矩阵初等变换在初等数论中的应用J.南通工学院学南通工学院学报（自然科学版）报（自然科学版）, 2004,3(1):9-12.20刘瑞林刘瑞林 周立先周立先 刘培武刘培武.用矩阵初等变换求自然数等幂和用矩阵
36、初等变换求自然数等幂和J.青青岛教育学院学报岛教育学院学报, 1994,2:60-61.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.21 唐宗明唐宗明.矩阵初等变换在解同余方程中的应用矩阵初等变换在解同余方程中的应用J.西藏科技西藏科技, 2002,9:34-36.22 杨继明，曹军杨继明，曹军.求矩阵最小多项式的初等变换方法求矩阵最小多项式的初等变换方法J.数学数学的实践与人事的实践与人事,2004,34（10
37、）:174-176.23陈璇，刘锡志，朱明晨，王仁杰陈璇，刘锡志，朱明晨，王仁杰.化行简化梯形矩阵的初等化行简化梯形矩阵的初等变换次数变换次数J.吉林师范学报，吉林师范学报，1985，1： 89-9724林丽生林丽生.行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用 .莆田学院学莆田学院学生生2008届毕业论文届毕业论文.25 汪庆丽汪庆丽.矩阵行初等变换的定理及其应用矩阵行初等变换的定理及其应用J.岳阳师范学院岳阳师范学院学报（自然科学版）学报（自然科学版）, 2002,15(1):12-14.26 徐兆强徐兆强.矩阵行标准形的一些性质矩阵行标准形的一些性质J.甘肃教育学院学
38、报甘肃教育学院学报(自然科学版自然科学版).2001.10.第第15卷第卷第4期期.P12. Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2008 年 5 月 16 日Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.与已有的证明方法进
39、行比较与已有的证明方法进行比较 前人已有的四种证明方法的主要思路：前人已有的四种证明方法的主要思路： (1)(1)文文11中是应用线性空间的知识，先用行向量组中是应用线性空间的知识，先用行向量组等等价价的理论来证得主元列是相同的，再根据等价向量组间可的理论来证得主元列是相同的，再根据等价向量组间可以互相表示且表法唯一来证出对应的非零行向量是相等的，以互相表示且表法唯一来证出对应的非零行向量是相等的，这样即证得唯一性这样即证得唯一性. .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.C
40、opyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2) (2)文文 1111 采用采用“矩阵证法矩阵证法”，设，设 ， 是是矩矩阵阵 的两个行标准形，由于的两个行标准形，由于 ， 都是由都是由 经过初等行变换得到的，经过初等行变换得到的，所以所以 ， 是行等价的，这样就存在两个可逆矩阵是行等价的，这样就存在两个可逆矩阵 ， 使得：使得： ， . .根据根据 ， 所具有的特别结构和特点进行比较并推出所具有的特别结构和特点进行比较并推出可逆阵可逆阵 ， 的结的结构构: : ， . .这样就这样就有：有： ，即证得了此唯一性即证得了此唯一性. .Evaluation only.
41、Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (3) (3)文文 1010 中作者中作者D.C.LayD.C.Lay并没有将此唯一性的证明放在定理中并没有将此唯一性的证明放在定理中, ,而是将它放在课本的附录而是将它放在课本的附录 中中, ,且只是用很简炼的语言说明了证明且只是用很简炼的语言说明了证明的思路的思路. .但要详细写出来的话并不是一件简单的事但要详细写出来的话并不是一件简单的事.D.C.Lay.D.C.Lay对此唯对此唯一性证明的思
42、路是：假设一个矩阵的两个行最简形是一性证明的思路是：假设一个矩阵的两个行最简形是 和和 ，先利，先利用行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想来证出主元列相用行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想来证出主元列相等，然后再考虑任意的非主元列，例如等，然后再考虑任意的非主元列，例如 的列的列 ，“这个列或者是这个列或者是零或者是左边主元列的线性组合（因为这些主元列是第零或者是左边主元列的线性组合（因为这些主元列是第 列左边列列左边列生成空间的一个基）生成空间的一个基）. .两种情形下，对第两种情形下，对第 个元素为个元素为1 1的的 都可表都可表示写成示写成 ，那么也有，那么也有 . .这说
43、明这说明 的第的第 列或者是零列或者是零或者同样是它左边的主元列的线性组合，由于或者同样是它左边的主元列的线性组合，由于 和和 对应的主对应的主元列是相等的，元列是相等的， 和和 的第的第 列也相等，这个结果对列也相等，这个结果对 和和 所有非主元列相等所有非主元列相等.”10.”10这就证明了这就证明了 ，即唯一性得证，即唯一性得证. .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (4) (4)文文 2626
44、 将此唯一性作为矩阵行标准形的一种性质将此唯一性作为矩阵行标准形的一种性质给出给出. .在文在文26,26,性质性质66中指出矩阵的行标准形是唯一的并中指出矩阵的行标准形是唯一的并给出了证明给出了证明. .先利用文先利用文2626中的性质中的性质4 4：“ “ 是是 中最靠前的中最靠前的 个线性无关的列向量个线性无关的列向量 ，即任取即任取 的的 个线性无关的列向量个线性无关的列向量 ，必，必有有 ，其，其中中 ， .”26 .”26证得主元列相证得主元列相同，再根据等价向量组间可以互相表示且表法唯一来证出同，再根据等价向量组间可以互相表示且表法唯一来证出对应的非主元列也是相等的，这样即证得唯
45、一性对应的非主元列也是相等的，这样即证得唯一性. . Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.爱荷华州立大学爱荷华州立大学 Leslie HogbenLeslie HogbenEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
