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1、数学选修选修2-2 人教人教A版版新课标导学新课标导学新课标导学新课标导学第二章推理与证明推理与证明22直接证明与间接证明直接证明与间接证明22.2反证法反证法1 1自自主主预预习习学学案案2 2互互动动探探究究学学案案3 3课课时时作作业业学学案案自主预习学案自主预习学案1反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设_，从而证明了原命题_，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法2反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确矛盾 成立 错误 1应用反证法推出矛盾的推
2、导过程中，要把下列哪些作为条件使用()原结论的相反判断，即假设原命题的结论公理、定理、定义等原命题的条件A BCD解析由反证法的规则可知都可作为条件使用，故应选CC2用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数或都是奇数解析“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选DD3如果两个实数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个正数D两个都是负数解析假设两个数分别为x1
3、、x2，且x10，x20，则x1x20，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C4“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_解析全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”C存在一个三角形，其外角最多有一个钝角互动探究学案互动探究学案命题方向1用反证法证明否(肯)定性命题 典例 1 (1)(2017武汉高二检测)用反证法证明命题“如果ab，那么a3b3”时，假设的内容是()Aa3b3Ba3b3Ca3b3 Da3180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中
4、不能有两个直角；假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90正确顺序的序号排列为_解析(1)假设的内容应为结论“a3b3”的否定“a3b3”，故选C(2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论 规律总结1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命
5、题，结论的反面比较具体，适于应用反证法(3)注意否定结论时，要准确无误命题方向2反证法证明“至多”“至少”问题典例 2规律总结1当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法2用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q命题方向3用反证法证明存在性、唯一性命题 已知：一点A和平面求证：
6、经过点A只能有一条直线和平面垂直思路分析典例 3规律总结1证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明2若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立跟踪练习3若函数f(x)在区间a，b上的图象连续，且f(a)0，f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(
7、2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题适宜运用反证法证明的命题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点典例 4规律总结1反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果2反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的
8、，从而肯定原结论是正确的跟踪练习4证明：对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A，B关于直线yax(a为常数)对称 已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0错解假设a0，b0，c0，则abc0，abc0与题设条件abc0，abc0矛盾假设不成立，原命题成立辨析错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误“求证：a0，b0，c0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0”结论反设不当致误 典例 5正解证法1：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a0，若a0，得bc0得，bca0，a
9、bbcaca(bc)bc0矛盾又若a0，则abc0与abc0矛盾故“a0”不成立，a0，同理可证b0，c0证法2：假设a、b、c是不全为正的实数，由于abc0，所以a、b、c中只能是两负一正，不妨设a0，b0，abbcac0，a(bc)bc0，bc0，a0，bc0，abc0矛盾，故假设不成立，原结论成立即a，b，c全为正实数点评含“至多”、“至少”、“唯一”等的结论，或以否定形式给出的结论，常用反证法证明证明的第一步是写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可能情形一一推证1命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()Aab”的对立面为“ab”2“实数a，b，c不全为0”等价于()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0解析“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”BDB
