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1、1.1.掌握三角函数的图象及其变换掌握三角函数的图象及其变换. .2.2.灵活掌握三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期灵活掌握三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期 性性. .3.3.理解三角函数的图象的对称性（轴对称、中心对理解三角函数的图象的对称性（轴对称、中心对 称）称）. .4.4.会求三角函数的单调区间，并能利用单调性求三角会求三角函数的单调区间，并能利用单调性求三角 函数的最值函数的最值. . 学案学案10 10 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质1.(20091.(2009安徽安徽) )已知函数已知函数 ( 0),( 0),y y= =f f( (x x) )的图象与直线的图
2、象与直线y y=2=2的两个相邻交点的距的两个相邻交点的距 离等于离等于 , ,则则f f( (x x) )的单调递增区间是的单调递增区间是 （ ）解析解析 因为函因为函 数数y y= =f f( (x x) )的图象与的图象与y y=2=2的两个相邻交点的距离为的两个相邻交点的距离为 , ,故故 函数函数y y= =f f( (x x) )的周期为的周期为 , ,所以所以 答案答案 C C2.(20092.(2009全国全国)如果函数如果函数y y=3cos(2=3cos(2x x+ )+ )的图象关的图象关 于点于点 中心对称中心对称, ,那么那么 的最小值为的最小值为 （ ） A. B.
3、 C. D.A. B. C. D.解析解析 由由y y=3cos(2=3cos(2x x+ )+ )的图象关于点的图象关于点 中心对称中心对称 知知, , A A3.(20093.(2009四川四川) )已知函数已知函数f f( (x x)=sin()=sin(x x - )(- )(x xR),R),下下 面结论错误的是面结论错误的是 （ ） A.A.函数函数f f( (x x) )的最小正周期为的最小正周期为 B.B.函数函数f f( (x x) )在区间在区间 上是增函数上是增函数 C.C.函数函数f f( (x x) )的图象关于直线的图象关于直线x x=0=0对称对称 D.D.函数函
4、数f f( (x x) )是奇函数是奇函数解析解析 y y=sin(=sin(x x - )=-cos - )=-cos x x,T T= ,A= ,A正确正确; ; y y=cos =cos x x在在 上是减函数，上是减函数，y y=-cos =-cos x x在在 上上 是增函数，是增函数，B B正确；正确； 由图象知由图象知y y=-cos =-cos x x关于直线关于直线x x=0=0对称，对称，C C正确正确; ; y y=-cos =-cos x x是偶函数，是偶函数，D D错误错误. . D D4.(20094.(2009山东山东) )将函数将函数y y=sin 2=sin
5、2x x的图象向左平移的图象向左平移 个个 单位，再向上平移单位，再向上平移1 1个单位，所得图象的函数解析式个单位，所得图象的函数解析式 是是 （ ） A.A.y y=cos 2=cos 2x x B.B.y y=2cos=2cos2 2x x C. C.y y=1+sin(2=1+sin(2x x+ ) D.+ ) D.y y=2sin=2sin2 2x x解析解析 将函数将函数y y=sin 2=sin 2x x的图象向左平移的图象向左平移 个单位，得个单位，得 到函数到函数y y=sin 2(=sin 2(x x+ ),+ ),即即y y=sin(2=sin(2x x+ )=cos 2
6、+ )=cos 2x x的图的图 象，再向上平移象，再向上平移1 1个单位，所得图象的函数解析式为个单位，所得图象的函数解析式为 y y=1+cos 2=1+cos 2x x=2cos=2cos2 2x x, ,故选故选B. B. B B题型一题型一 三角函数图象及其变换三角函数图象及其变换【例【例1 1】已知函数】已知函数 为偶函数为偶函数, ,且函数且函数y y= =f f( (x x) )图象的两相图象的两相 邻对称轴间的距离为邻对称轴间的距离为 （1 1）求）求 的值；的值；（2 2）将函数）将函数y y= =f f( (x x) )的图象向右平移的图象向右平移 个单位后个单位后, ,
7、再将再将 得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4 4倍，纵坐倍，纵坐 标不变，得到函数标不变，得到函数y y= =g g( (x x) )的图象的图象, ,求求g g( (x x) )的单调递减的单调递减 区间区间. . 解解 因为因为f f( (x x) )为偶函数，为偶函数， 所以对所以对x xR,R,f f(-(-x x)=)=f f( (x x) )恒成立，恒成立， 因为因为 0,0,且且x xRR，所以，所以(2)(2)将将f f( (x x) )的图象向右平移的图象向右平移 个单位后个单位后, ,得到得到 的图象的图象, ,再将所得图象上各点的横
8、坐标伸长到原来的再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 4倍，纵坐标不变，得到倍，纵坐标不变，得到 的图象的图象. . ( (k kR) R) 即即 ( (k kZ)Z)时时, ,g g( (x x) )单调递减单调递减. .因此因此g g( (x x) )的单调递减区间为的单调递减区间为 ( (k kZ).Z).【探究拓展探究拓展】在用图象变换作图时，提倡先平移后伸】在用图象变换作图时，提倡先平移后伸 缩，但先伸缩后平移也经常出现在考题中缩，但先伸缩后平移也经常出现在考题中,因此必须因此必须 熟练掌握，切记：无论怎样变换，都是对变量熟练掌握，切记：无论怎样变换，都是对变量“x x” 而言
9、，即图象变换要看而言，即图象变换要看“变量变量”有多大变化有多大变化,而不是而不是“角角”变化多少变化多少. 变式训练变式训练1 1 已知函数已知函数 (1)(1)求函数求函数f f( (x x) )的最小正周期及最值；的最小正周期及最值； (2)(2)令令g g( (x x)=)=f f( (x x+ ),+ ),判断函数判断函数g g( (x x) )的奇偶性的奇偶性, ,并说明并说明 理由理由. .解解 f f( (x x) )的最小正周期的最小正周期 当当 时，时，f f( (x x) )取得最小值取得最小值-2-2； 当当 时，时，f f( (x x) )取得最大值取得最大值2. 2
10、. (2)(2)由由(1)(1)知，知，f f( (x x)=2sin )=2sin 函数函数g g( (x x) )是偶函数是偶函数. . 题型二题型二 三角函数图象及解析式三角函数图象及解析式【例【例2 2】已知函数】已知函数 x xRR 的最大值是的最大值是1 1，其图象经过点，其图象经过点 (1)(1)求求f f( (x x) )的解析式；的解析式； (2)(2)已知已知解解（1 1）依题意有）依题意有A A=1,=1,则则 将点将点 代入得代入得【探究拓展探究拓展】确定三角函数】确定三角函数 的解析式的解析式 时时, ,往往利用待定系数法往往利用待定系数法, ,根据条件求得根据条件求
11、得 的值的值, , 进而确定所求三角函数的解析式进而确定所求三角函数的解析式. . 变式训练变式训练2 2 已知函数已知函数 g g( (x x)=cos )=cos x xf f(sin(sinx x) ) +sin +sin x xf f(cos (cos x x),), (1)(1)将函数将函数g g( (x x) )化简成化简成 的形式；的形式；(2)(2)求函数求函数g g( (x x) )的值域的值域. .解解 |cos |cos x x|=-cos |=-cos x x,|sin ,|sin x x|=-sin |=-sin x x. .题型三题型三 三角函数图象的对称性三角函数
12、图象的对称性【例【例3 3】(2009(2009重庆重庆) )设函数设函数(1)(1)求求f f( (x x) )的最小正周期的最小正周期; ;(2)(2)若函数若函数y y= =g g( (x x) )与与y y= =f f( (x x) )的图象关于直线的图象关于直线x x=1=1对称对称, , 求当求当 时，时，y y= =g g( (x x) )的最大值的最大值. .解解故故f f( (x x) )的最小正周期为的最小正周期为(2)(2)在在y y= =g g( (x x) )的图象上任取一点的图象上任取一点( (x x, ,g g( (x x),),它关于它关于x x=1=1的的 对
13、称点为（对称点为（2-2-x x, ,g g( (x x).). 由题设条件由题设条件, ,点点(2-(2-x x, ,g g( (x x)在在y y= =f f( (x x) )的图象上，的图象上， 从而从而g g( (x x)=)=f f(2-(2-x x) )【探究拓展探究拓展】对于正弦函数】对于正弦函数 或余弦函或余弦函 数数 来说，以下性质在解题中起着重来说，以下性质在解题中起着重 要的作用：要的作用：函数在其对称轴上取到最大（最小）函数在其对称轴上取到最大（最小） 值，相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；值，相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；图图 象与象与x x轴的交点是其对称中
14、心，相邻两对称中心之间轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心之间 的距离是半个周期的距离是半个周期. . 变式训练变式训练3 3 函数函数 的图象为的图象为C C，如下，如下 结论中正确的是结论中正确的是_(_(写出所有正确结论的编号写出所有正确结论的编号).).图象图象C C关于直线关于直线 对称；对称；图象图象C C关于点关于点 对称；对称；函数函数f f( (x x) )在区间在区间 内是增函数；内是增函数；由由y y=3sin 2=3sin 2x x的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度可以得个单位长度可以得 到图象到图象C C. .解析解析 为对称轴；为对称轴； 为为f f（x x）
15、的图象的对称中心；）的图象的对称中心；由于函数由于函数y y=3sin =3sin x x在在 内单调递增，内单调递增，故函数故函数f f( (x x) )在在 内单调递增；内单调递增； 由由y y=3sin 2=3sin 2x x的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度得到函数个单位长度得到函数 的图象，得不到图象的图象，得不到图象C C. .答案答案 题型四题型四 三角函数图象与性质的综合应用三角函数图象与性质的综合应用【例【例4 4】已知函数】已知函数 试求：试求：(1)(1)函数函数f f( (x x) )的最小正周期和图象的对称轴方程的最小正周期和图象的对称轴方程; ;(2)(2)函
16、数函数f f( (x x) )在区间在区间 上的值域上的值域. .解解（1 1） = cos 2 = cos 2x x+ sin 2+ sin 2x x+(sin +(sin x x-cos -cos x x)(sin )(sin x x+cos +cos x x) ) = cos 2 = cos 2x x+ sin 2+ sin 2x x+sin+sin2 2 x x-cos-cos2 2 x x = cos 2 = cos 2x x+ sin 2+ sin 2x x-cos 2-cos 2x x= = (kZ) (kZ) 函数图象的对称轴方程为 (kZ).【探究拓展探究拓展】求三角函数的值
17、域通常利用三角函数的】求三角函数的值域通常利用三角函数的 单调性求解单调性求解; ;对形如对形如y y= =a asin sin x x+ +b bcos cos x x的三角函数的三角函数, ,可可 通过引入辅助角化为通过引入辅助角化为 的形式，的形式， 则则 ( (k kZ);Z); ( (k kZ)Z)，也可，也可 借助三角函数的单调性求解借助三角函数的单调性求解. . 变式训练变式训练4 4 已知已知 ( (a aR).R). (1) (1)若若x xR,R,求求f f( (x x) )的单调递增区间；的单调递增区间； (2)(2)若若x x0, 0, 时时, ,f f( (x x)
18、)的最大值为的最大值为4,4,求实数求实数a a的值的值. .解解 ( (k kZ)Z) f f( (x x) )的单调递增区间是的单调递增区间是 ( (k kZ)Z) 当当x x= = 时，时，f f( (x x) )取得最大值取得最大值a a+3.+3. 则由条件有则由条件有a a+3=4,+3=4,得得a a=1. =1. 【考题再现】【考题再现】(2009(2009陕西陕西) )已知函数已知函数 x xR(R(其中其中 A A0, )0, )的周期为的周期为 , ,且图象上一个最低且图象上一个最低 点为点为 (1)(1)求求f f( (x x) )的解析式；的解析式； (2)(2)当当
19、x x 时，求时，求f f( (x x) )的最值的最值. .【解题示范解题示范】（1 1）由最低点为）由最低点为 得得A A=2.=2. 2 2分分 由由 3 3分分 ( (k kZ) Z) 5 5分 8 8分 当当 即即x x=0=0时时, ,f f( (x x) )取得最小值取得最小值1 1； 1010分分 当当 即即 时，时，f f( (x x) )取得最大值取得最大值 1212分分 1.1.在解答三角函数在解答三角函数y y=sin =sin x x变换为变换为 的图象时的图象时, ,平移变换一定要弄清楚平移的方向和长度平移变换一定要弄清楚平移的方向和长度 单位单位, ,向左向左(
20、(右右) )平移平移 个单位个单位, ,横向拉长横向拉长( (压缩压缩) )为原为原 来的来的 倍倍, ,再纵向拉伸再纵向拉伸( (压缩压缩) )为原来的为原来的| |A A| |倍倍, ,向上向上 ( (下下) )平移平移| |m m| |个单位个单位. .牢记牢记“左加右减左加右减, ,上加下减上加下减”. .2.2.三角函数三角函数 的图象关于直线的图象关于直线x x= =x xk k对称对称, , 其中其中 ( (k kZ);Z);关于点关于点( (x xi i,0),0)对称对称, ,其中其中 ( (k kZ).Z).3.3.在解答三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期性在解答三角函数
21、的最值、单调性、奇偶性、周期性的问题时的问题时, ,通常是将三角函数化为只含一个函数名称通常是将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一且角度唯一, ,最高次数为一次的形式最高次数为一次的形式, ,即即 若给定区间若给定区间x xa a, ,b b 上上, ,则最大则最大( (小小) )值、单调区间随之确定值、单调区间随之确定; ;若定义域关于若定义域关于原点对称原点对称, ,且且 是奇是奇函数函数; ;若定义域关于原点对称若定义域关于原点对称, ,且且 是偶函数是偶函数; ;其周期为其周期为一、选择题一、选择题1.(20091.(2009湖南湖南) )将函数将函数y=sin y=sin x x
22、的图象向左平移的图象向左平移 个单位后，得到函数个单位后，得到函数 的图象的图象, , 则则 等于等于 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D.解析解析 由图象平移的性质易得，由图象平移的性质易得，D D2.2.（20092009天津）已知函数天津）已知函数 ( (x xR,R, 的最小正周期为的最小正周期为 , ,为了得到函数为了得到函数 的图象的图象, ,只要将只要将y y= =f f( (x x) )的图象的图象 （ ） A.A.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 B.B.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度 C.C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 D.D.向右
23、平移向右平移 个单位长度个单位长度解析解析 由题意可知，由题意可知，A A3.(20093.(2009浙江浙江) )已知已知a a是实数是实数, ,则函数则函数f f( (x x)=1+)=1+a asin sin axax 的图象不可能是的图象不可能是 （ ） 解析解析 因为三角函数的周期为因为三角函数的周期为|a a| |1, 1, 而而D D不符合要求不符合要求, ,它的振幅大于它的振幅大于1,1,但周期反而大于了但周期反而大于了D D4.4.将函数将函数 的图象的图象F F按向量按向量 平移得到平移得到 图象图象F F,若若F F的一条对称轴是直线的一条对称轴是直线 的一个的一个 可能
24、取值是可能取值是 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 将函数将函数 的图象按向量的图象按向量 平移平移 得到的图象的解析式为得到的图象的解析式为 由由 是一条对称轴得是一条对称轴得 ( (k kZ).Z). 当当k k=-1=-1时，时，A A5.5.已知函数已知函数 在区间在区间 上的上的 最小值是最小值是-2-2，则，则 的最小值等于的最小值等于 （ ） A. B. C.2 D.3A. B. C.2 D.3解析解析 函数函数 在区间在区间 上的上的 最小值是最小值是-2-2，则，则 的取值范围是的取值范围是 的最小值等于的最小值等于B B6.6.已知函数已知函数
25、f f( (x x)=)=a asin sin x x- -b bcos cos x x ( (a a、b b为常数，为常数，a a0,0, x xRR）在）在 处取得最小值，则函数处取得最小值，则函数 是是 （ ） A.A.偶函数且它的图象关于点偶函数且它的图象关于点 对称对称 B.B.偶函数且它的图象关于点偶函数且它的图象关于点 对称对称 C.C.奇函数且它的图象关于点奇函数且它的图象关于点 对称对称 D.D.奇函数且它的图象关于点奇函数且它的图象关于点 对称对称解析解析 函数函数f f( (x x)=)=a asin sin x x- -b bcos cos x x( (a a、b b为
26、常数为常数, ,a a0,0, x xR),R),f f( (x x)= )= 若函数若函数 在在 处取得最小值，处取得最小值， 二、填空题二、填空题7.(20097.(2009江苏江苏) )函数函数 在闭区间在闭区间 上的图象如图所示上的图象如图所示, ,则则解析解析 由图象可知，由图象可知，3 38.8.已知已知x x, ,y y是实数且满足是实数且满足sin sin x xcos cos y y=1,=1,则则 cos(cos(x x+ +y y)=_.)=_.解析解析 sin sin x xcos cos y y=1,=1, sin sin x x=cos =cos y y=1=1或或
27、sin sin x x=cos =cos y y=-1,=-1, ( (k kZ),Z), ( (k kZ),Z),于是于是cos(cos(x x+ +y y)=0. )=0. 0 09.9.已知函数已知函数 的最大值为的最大值为3,3,f f( (x x) )的图象在的图象在y y轴上的截距为轴上的截距为2,2,且相邻且相邻 两对称轴间的距离为两对称轴间的距离为1 1，则，则f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+ +f f(2 010)(2 010) =_. =_.解析解析 从而从而f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+ +f f(2 010)=2(2 010)=22 010=4
28、 020. 2 010=4 020. 4020402010.10.已知已知 且且f f( (x x) )在区在区 间间 上有最小值，无最大值，则上有最小值，无最大值，则解析解析 如图所示，如图所示， 又又f f( (x x) )在区间在区间 内只有最小值、无最大值，内只有最小值、无最大值，f f( (x x) )在在 处取得最小值处取得最小值. . （k kZ） （k k Z Z） 答案答案 三、解答题三、解答题11.11.已知函数已知函数(1)(1)若若 求求 的值的值; ;(2)(2)在在(1)(1)的条件下的条件下, ,若函数若函数f f( (x x) )的图象的相邻两条对的图象的相邻两
29、条对 称轴之间的距离等于称轴之间的距离等于 , ,求函数求函数f f( (x x) )的解析式；并的解析式；并 求最小正实数求最小正实数m m，使得函数，使得函数f f( (x x) )的图象向左平移的图象向左平移m m个个 单位长度后所对应的函数是偶函数单位长度后所对应的函数是偶函数. .解解 12.12.如图所示如图所示, ,函数函数 的图象与的图象与y y轴交于点轴交于点(0, ),(0, ),且且在该点处切线的斜率为在该点处切线的斜率为-2.-2. (1) (1)求求 的值；的值； (2)(2)已知点已知点A A( ,0),( ,0),点点P P是该函数图象上一点是该函数图象上一点, ,点点Q Q ( (x x0 0, ,y y0 0) )是是PAPA的中点的中点, ,当当y y0 0= = 时时, ,求求x x0 0的的 值值. . 解解 (1)(1)将将x x=0,=0,y y= = 代入函数代入函数返回
