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1、第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3 序列的序列的Z变换变换3.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(3.1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式(3.2)第三章第三章 序列的序列的Z变换变换使(3.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(3.3)第三
2、章第三章 序列的序列的Z变换变换图3.1Z变换的收敛域第三章第三章 序列的序列的Z变换变换常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：(3.4)第三章第三章 序列的序列的Z变换变换式中z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(3.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位
3、圆。例3.1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，|z|1第三章第三章 序列的序列的Z变换变换由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(3.4)式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域。1.有限长序列如序列x(n)满足下式：x(n)n1nn2x(n)=0其它第三章第三章
4、 序列的序列的Z变换变换即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：第三章第三章 序列的序列的Z变换变换n10，n20时，0zn10时，00时，0z例3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域解：这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零
5、点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果(2.3.5)公式是相同的。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换2.右序列右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。ROC：分析：当n10时第三章第三章 序列的序列的Z变换变换第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果x(n)是因果序列，收敛域定为Rx-|z|。推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含点，则x(n)是因果序列第三章第三章
6、 序列的序列的Z变换变换例3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：在收敛域中必须满足|az-1|a|。3.左序列左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn2，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为第三章第三章 序列的序列的Z变换变换当n20当n20第二项为有限长序列，在整个Z平面收敛（z=点不收敛）。第一项根据前式的论述，当时收敛因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域第三章第三章 序列的序列的Z变换变换例3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。X(z)存在要求|a-1z|1，即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx
7、-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例3.5x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：第三章第三章 序列的序列的Z变换变换第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：|a|z|a|-1如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0aa，求其Z反变换x(n)。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n0时，z=0不是极点。
8、n0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n0和n0两种情况求x(n)。n0时，第三章第三章 序列的序列的Z变换变换n|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a-1|种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此第三章第三章 序列的序列的Z变换变换最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和第三章第三
9、章 序列的序列的Z变换变换最后将x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=ax(n)=ResF(z),a=an第三章第三章 序列的序列的Z变换变换n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此x(n)=-ResF(z),a-1=a-n最后将x(n)表示为ann0x(n)=x(n)=a|n|a-nn0第三章第三章 序列的序列的Z变换变换第三章第三章 序列的序列的Z变换变换2.幂级数法(长除法)按照Z变
10、换定义(3.1)式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列，级数应是负幂级数；如x(n)是左序列，级数则是正幂级数。例3.8已知用长除法求其Z反变换x(n)。解由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数第三章第三章 序列的序列的Z变换变换1-az-1第三章第三章 序列的序列的Z变换变换例3.9已知求其Z反变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3.部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求Z反变换。设x(n)的Z变换X(z)是
11、有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表3.1)求得各部分的反变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展开为第三章第三章 序列的序列的Z变换变换观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。(3.11)(3.12)(3.13)(3.14)求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换例3.10已知，求Z反变换。解第三章第三章 序列的序列的Z变换变换因为收敛域为2|z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3
12、。查表3.1得到x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常见的序列的Z变换可参考表3.1。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换表3.1常见序列Z变换第三章第三章 序列的序列的Z变换变换第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3.4Z变换的性质和定理Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。1.线性设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),Rm-|z|Rx-Ry+Ry-时，则M(z)不存在。2.序列的移位设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+则ZTx(n-n0)=z-n0X(z),Rx-
13、|z|Rx+(3.16)第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3.乘以指数序列设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+y(n)=anx(n),a为常数则Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1z)|a|Rx-|z|a|Rx+(3.17)证明因为Rx-|a-1z|Rx+，得到|a|Rx-|z|a|Rx+。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换4.序列乘以n设则(3.18)证明第三章第三章 序列的序列的Z变换变换5.复序列的共轭设则证明(3.19)第三章第三章 序列的序列的Z变换变换6.初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)(3.20)证明因此7.终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换
14、的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则(3.21)第三章第三章 序列的序列的Z变换变换证明因为x(n)是因果序列，因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限第三章第三章 序列的序列的Z变换变换终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为(3.22)因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换8.序列卷积设则第三章第三章 序列的序列的Z变换变换证明W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换例3.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列
15、x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换由收敛域判定y(n)=0,n0。n0y(n)=ResY(z)zn-1,1+ResY(z)zn-1,a第三章第三章 序列的序列的Z变换变换将y(n)表示为9.复卷积定理如果ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+ZTy(n)=Y(z),Ry-|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则第三章第三章 序列的序列的Z变换变换W(z)的收敛域(3.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(3.24)(3.25)(3.26)第三章
16、第三章 序列的序列的Z变换变换证明由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到第三章第三章 序列的序列的Z变换变换例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：因此第三章第三章 序列的序列的Z变换变换W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换10.帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。那么v平面上，c所在的收敛域为第三章第三章 序列的序列的Z变换变换证
17、明令w(n)=x(n)y*(n)按照(3.24)式，得到按照(3.25)式，Rx-Ry-|z|Rx+Ry+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=ej，得到(3.29)令x(n)=y(n)得到上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式还可以表示成下式：第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3.5 利用利用Z变换分析信号和系统变换分析信号和系统的频域特性的频域特性 3.5.1频率响应函数与系统函数设系统初始状态为零，系统对单位脉冲序列
18、(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(ej)(3.5.1)一般称H(ej)为系统的频率响应函数，它表征系统的频率特性。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(3.5.2)如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：(3.5.3)第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3.5.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时
19、，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。一个稳定线性系统的充要条件是H(z)的收敛域包含单位圆。一个线性系统是因果的充要条件是系统函数H(z)的收敛域Z=一个稳定因果系统的系统函数H(z)的收敛域1|z|一个稳定因果系统的系统函数H(z)的全部极点在单位圆内第三章第三章 序列的序列的Z变换变换例3.5.1已知分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图3.5所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)
20、(参考例题3.7)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题3.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图3.5.1(a)所示。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换图3.5.1第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3.5.3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将(3.5.2)式因式分解，得到(3.5.4
21、)式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B的向量表示，如图3.5.2所示。和分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表将和表示式代入(3.5.7)式，得到第三章第三章 序列的序列的Z变换变换(3.5.8)(3.5.9)第三章第三章 序列的序列的Z变换变换系统的传输特性或者信号的频率特性由(3.5.8
22、)式和(3.5.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(3.5.8)式(3.5.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图3.5.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换图3.5.2频响的几何表示法第三章第三章 序列的序列的Z变换变换3.5.2已知H(z)=z-1，分析其频率特性解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性|H(ej)|=1,相位特性()=-，频响如图3.5.3所示。用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。第三章第三章 序列的序列的Z变换变换图3.5.3H(z)=z-1的频响
