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1、 第二十一章第二十一章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 （动静法）（动静法） 通过引入惯性力的概念，将动力学问题转通过引入惯性力的概念，将动力学问题转化为形式上的静力学问题求解，用静力学化为形式上的静力学问题求解，用静力学平衡方程形式列写动力学方程，称为平衡方程形式列写动力学方程，称为动静动静法法。 第二十一章第二十一章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 （动静法）（动静法） 一、惯性力的概念一、惯性力的概念二、达朗贝尔原理二、达朗贝尔原理三、惯性力系的简化三、惯性力系的简化四、动静法的应用四、动静法的应用五、定轴转动刚体的轴承附加动约束力五、定轴转动刚体的轴承附加动约束力一、惯性力的概念一、惯性力的概念
2、根据牛顿第二定律：对非自由质点根据牛顿第二定律：对非自由质点 -作用于质点的主动力主作用于质点的主动力主矢矢 -作用于质点系的约束反力作用于质点系的约束反力 在惯性参考系中：在惯性参考系中：令令 称为达朗贝尔称为达朗贝尔惯性力惯性力 则有则有: 等效于静力学平衡方程等效于静力学平衡方程 在此瞬间在此瞬间 构成一形式上的平衡力构成一形式上的平衡力系系 惯性力的本质惯性力的本质 ：因此，对该质点而言，惯性力是一个虚设的力。因此，对该质点而言，惯性力是一个虚设的力。质点在真实的力和虚设的惯性力共同作用下，质点在真实的力和虚设的惯性力共同作用下，处于处于“平衡状态平衡状态”。由：由：的反作用力分别为的
3、反作用力分别为（作用在其它物体上）（作用在其它物体上）惯性力惯性力 , ,不是作用在要研究的质点上。不是作用在要研究的质点上。例：小球重例：小球重P 以两绳悬之如图以两绳悬之如图, , 在某时刻在某时刻 AB绳绳 突突然被剪断。然被剪断。求：小球在运动开始瞬时求：小球在运动开始瞬时 AC绳的拉绳的拉力及小球的力及小球的 加速度大小。加速度大小。 解：运动学分析：运动初始解：运动学分析：运动初始, , 小球受重力小球受重力P=mg, 和和 绳约束绳约束力力N作用，做圆周运动。初始瞬间作用，做圆周运动。初始瞬间, , 初速度初速度v0 0=0,=0, 故法向加故法向加速度速度an=0 , 于是小球
4、的等效平衡力系如图。于是小球的等效平衡力系如图。 由质点由质点A的的“平衡平衡”: : 约束反力约束反力 质点的惯性力，大小等于质量乘以加速度，方向与质点的惯性力，大小等于质量乘以加速度，方向与加速度相反加速度相反。二、质点系的达朗贝尔原理二、质点系的达朗贝尔原理 由质点达朗贝尔原理由质点达朗贝尔原理 注意：质点系的内力总是成对出现，即内力系为一注意：质点系的内力总是成对出现，即内力系为一平衡力系，把质点系的受力，分成外力系和惯性力平衡力系，把质点系的受力，分成外力系和惯性力系，根据平衡系，根据平衡 主矢等于零主矢等于零 对对A点主矩等于零点主矩等于零 n个个质质点点，质质量量m1,m2,mn
5、受受主主动动力力 , 约约束力束力 , 加速度为加速度为在运动的任意时刻：在运动的任意时刻： 三、惯性力系的简化三、惯性力系的简化 主矢：主矢： m-质点系（刚体）的总质量质点系（刚体）的总质量 -质点系（刚体）的质心加速度质点系（刚体）的质心加速度 即质心运动定理即质心运动定理1 1、惯性力系的主矢和主矩、惯性力系的主矢和主矩 用一简单的等效力系来替代质点系的惯性力系用一简单的等效力系来替代质点系的惯性力系惯性力系对惯性力系对O点的主矩：点的主矩： 根据根据 即为即为质点系对质点系对O点动量矩对时间一阶导数的负值。点动量矩对时间一阶导数的负值。 即质点系对定点即质点系对定点O的动量矩定理的动
6、量矩定理将将A点取为定点点取为定点O即对质心即对质心C的动量矩定理的动量矩定理设质点相对于质点系质心的矢径为设质点相对于质点系质心的矢径为 ，则质点系惯性力相对于质心的主矩为：则质点系惯性力相对于质心的主矩为：对时间求导对时间求导将点将点A取为质心取为质心C2 2、平面运动刚体的惯性力系的简化：、平面运动刚体的惯性力系的简化：设刚体有质量对称面，且平行于此面做平面运动，设刚体有质量对称面，且平行于此面做平面运动，则惯性力系可简化成质量对称面内的平面力系。则惯性力系可简化成质量对称面内的平面力系。 将平面运动刚体的惯性力系向质心简化：将平面运动刚体的惯性力系向质心简化：刚体做平面运动：刚体做平面
7、运动：1)平动：平动：x主矢：主矢： 2)2)刚体定轴转动（转轴是惯量主轴）刚体定轴转动（转轴是惯量主轴）向质心向质心C C简化：简化： (a)(a)切向惯性力切向惯性力 (b)(b)法向惯性力法向惯性力 (c)(c)主矩主矩2)2)刚体定轴转动（转轴是惯量主轴）刚体定轴转动（转轴是惯量主轴）向转动轴向转动轴O简化简化： 主矢：主矢： 主矩：主矩：例：均质圆盘在主动力偶例：均质圆盘在主动力偶 M0作用下，在水平面上作用下，在水平面上运动，圆盘半径运动，圆盘半径r，质量质量m，与地面滑动摩擦系数与地面滑动摩擦系数f ，不计滚动摩阻影响，求：在纯滚动条件下，驱动不计滚动摩阻影响，求：在纯滚动条件下
8、，驱动力矩力矩 M0的最大值。的最大值。 解：主动力系：解：主动力系： mg , M0约束力：约束力： 惯性力系：向质心惯性力系：向质心C简化简化 主矢：主矢： 主矩：主矩： 平衡方程：平衡方程： 未知量：未知量：F, N ,aC , 可解出可解出 ：只滚不滑的条件只滚不滑的条件 例：小球例：小球 E，D质量均为质量均为m, 以匀角速度以匀角速度 绕绕AB垂直轴转动，垂直轴转动，AB及连杆的重量不计及连杆的重量不计, ,设设连杆长连杆长OE=OD=b。求：约束求：约束A , B处的处的约束反力。约束反力。解：约束力解：约束力T为内力，外力为为内力，外力为mg 惯性力惯性力 整体平衡整体平衡 B
9、lmgFIDFBxAFAyFAxmgFIETT显然，显然，F FIE IE , ,F FIDID形成一个力偶，大小为形成一个力偶，大小为 形成反力偶，与之平衡。形成反力偶，与之平衡。 当当 或或 时时 ；当当 时时 BlFIDFBxAFAxFIE例：两匀质细长杆，例：两匀质细长杆，AB,BC长度均为长度均为l，质量相同为质量相同为m，以以铰在铰在B处连接自由挂在铅垂位置，处连接自由挂在铅垂位置，A为固定铰支座，各处为固定铰支座，各处摩擦不计。在摩擦不计。在AB中点施加一水平力中点施加一水平力F 。求：杆求：杆AB,BC的角加速度的角加速度 及及A点约束反力。点约束反力。 FABCmgmg2 2
10、自由度问题自由度问题解：初始速度为零解：初始速度为零 AB定轴转动，惯性力系向定轴转动，惯性力系向A A点简化点简化 BC平面运动平面运动 ，惯性力系向质心简化，惯性力系向质心简化FABCa1mgFAxFAyMI1a2MI2mg外力系：外力系：F, mg, mg约束反力： FAX, FAY整体平衡：整体平衡： 代入整理得：代入整理得： 还需补充一个方程还需补充一个方程 FABCa1mgFAxFAyMI1a2MI2mg单独以AB为研究对象 对B点的力矩 化简得： 与上式联立解得：与上式联立解得： FABa1mgFAxFAyMI1FBxFBX例例：匀质圆盘匀质圆盘I,II 的半径均为的半径均为R质
11、量为质量为m,两轮以绕两轮以绕在它们上面的无重细绳相连，在它们上面的无重细绳相连，I轮绕轮绕A做定轴转动，做定轴转动，II轮做平面运动。轮做平面运动。 求：系统由静止开始运动时，求：系统由静止开始运动时， 轮轮II的中心的中心B点的加点的加速度，速度， 绳子张力绳子张力s ，A点约束反力点约束反力 。解：解： 用动静法：考虑整体平衡用动静法：考虑整体平衡 外力外力 mg, mg约束反力约束反力 FAx,FAy惯性力惯性力 对对A点求矩点求矩 补充方程，机械能守恒补充方程，机械能守恒 考虑初始条件考虑初始条件: : 求一阶导数求一阶导数 mgFAxFAyIsCsaBmgIIFIBMIB对对B盘盘
12、 对对A盘盘 五、定轴转动刚体的轴承附加动约束力五、定轴转动刚体的轴承附加动约束力转动轴转动轴AB，坐标系，坐标系Axyz与刚体固连，与刚体固连，z轴与转轴与转动轴动轴AB重合。设：主动力重合。设：主动力 ，质心质心C，约束反力如图，将惯性力系向，约束反力如图，将惯性力系向A点点简化：简化：系统在主动力、约束力及惯性力系统在主动力、约束力及惯性力共同作用下处于共同作用下处于“平衡平衡”。支座处的约束力称为支座处的约束力称为动约束力动约束力。动约束力由两部分组成：动约束力由两部分组成：与主动力与主动力 相关的部相关的部分称为静约束力。分称为静约束力。与惯性力相关的部分称为与惯性力相关的部分称为动
13、约束力。动约束力。而动坐标系而动坐标系Axyz相对于定系以相对于定系以匀角速度转动，因而附加动约匀角速度转动，因而附加动约束力在定系坐标轴上的投影按束力在定系坐标轴上的投影按正弦规律周期变化。正弦规律周期变化。正常工作状态，通常正常工作状态，通常 ，即，即 为常量。因此，附加动约束力在为常量。因此，附加动约束力在动坐标系动坐标系Axyz轴上的投影是固定轴上的投影是固定不变的。不变的。 消除定轴转动附加动约束力的消除定轴转动附加动约束力的方法是：使惯性力系成为自平方法是：使惯性力系成为自平衡力系。衡力系。要求：要求：xC=0, yC=0, 即质心位于即质心位于转动轴上，且转动轴上，且Jxz=Jy
14、z=0, 即即z轴轴为惯量主轴。为惯量主轴。例：高速涡轮机转子的动反力问题例：高速涡轮机转子的动反力问题 :例：已知：例：已知：AD=BD=0.5m, P=2kN ，偏心距偏心距e =0.3mm ，匀速转动，匀速转动， n=6000r/mim， 。 求：轴承约束力？求：轴承约束力？ 设：设：AB=l 解：惯性力解：惯性力 解得：解得： FAy,FBy动约束力，其中动约束力，其中 为附加动约束力。为附加动约束力。把已知带入得：把已知带入得： 没有转动时：没有转动时： 例：一均质细杆（单叶螺旋桨），质量为例：一均质细杆（单叶螺旋桨），质量为m长度为长度为l，如图以匀角速度，如图以匀角速度 转动。转动。求：轴承的附加动约束力。求：轴承的附加动约束力。解：建立动坐标系解：建立动坐标系Cxyz, x轴为惯量主轴。轴为惯量主轴。方向周期变化。方向周期变化。惯性力的分布如图：惯性力的分布如图：
