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1、第十节第十节 闭区间闭区间上上连续函数连续函数的性质的性质介值定理介值定理( intermediate value theorem )小结小结 思考题思考题 作业作业最大值最大值(maximum )和和最小值最小值(minimum)定理定理 在在闭区间闭区间上的上的连续函数连续函数有一些重要的性质有一些重要的性质,这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作为理论的根据为理论的根据. . 这些性质的几何意义很明显这些性质的几何意义很明显. .第一章第一章 函数与极限函数与极限1定义定义例例设设f (x)在区间在区间I上上有定义有定义,使得当使得当恒有恒有若存
2、在点若存在点为函数为函数f(x)在区间在区间I上的上的最小最小 值值, ,记为记为则称则称( (大大) )一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质2在闭区间上连续的在闭区间上连续的注注 (1) 定理定理1中的条件中的条件“闭区间闭区间”和和“连续性连续性” 定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值. .是不可少的是不可少的.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质3在在开区间开区间(0,1)内连续内连续, 在在(0,1)内内又又如如: :在在闭区间闭区间0,2上上有有函数函数f
3、 (x)在在0,2上上既既没有最大值没有最大值,如如:函数函数没有最大值或最小值没有最大值或最小值.也没有最小值也没有最小值.间断点间断点函数函数闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质4(2) “闭区间闭区间”和和“连续连续性性”在在开区间开区间取得最小值取得最小值函数函数 处取得最大值处取得最大值 1.而不是必要条件而不是必要条件.如如 函数函数内连续内连续,但它在但它在处取得最大值处取得最大值1;又如又如在闭区间在闭区间上有上有间断点间断点取得最小值取得最小值但它在但它在仅是定理的仅是定理的充分条件充分条件,闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质5证证由由定理定理1(最值定理最
4、值定理),定理定理2(2(有界性定理有界性定理) )有有取取则有则有闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质6的的零点零点. .定理定理3(3(方程实根的存在定理方程实根的存在定理) )使得使得 零点定理零点定理几何意义几何意义: 如图所示如图所示.二、介值定理二、介值定理闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质7定理定理4(4(介值定理介值定理) )使得使得证证零点定理零点定理闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 辅助函数辅助函数8几何意义几何意义:至少有一个交点至少有一个交点.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质9几何意义几何意义:之间的任何值之间的任何值( (不会
5、有任何遗漏不会有任何遗漏).).推论推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值与最小值闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质10注注闭区间上连续函数的性质常用于闭区间上连续函数的性质常用于:证明某些等式或不等式证明某些等式或不等式;判断某些方程根的存在性或实根的范围判断某些方程根的存在性或实根的范围.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质11例例证证由由零点定理零点定理,闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质12闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例例 证明证明:任何实系数奇数次代数方程必有实根任何实系数奇数次代数方程必有实根
6、.证证 设实系数奇数次代数方程为设实系数奇数次代数方程为设设且不妨设且不妨设由于由于故故故故由由零点定理零点定理,即方程有实根即方程有实根.因为因为在闭区间在闭区间上连续上连续,使得使得13例例证证由由零点定理零点定理,使使 辅助函数辅助函数闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质14 证证 例例证明证明:令令闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 介值定理介值定理使使即得即得15证证则则零点定理零点定理且且闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质16注意条件注意条件1. 闭区间闭区间; 2. 连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立三、小结三
7、、小结闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质最值定理最值定理;有界性定理有界性定理;零点定理零点定理;介值定理介值定理.四个定理四个定理17思考题思考题 (是非题是非题)闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质非非例如例如:则至少存在一点则至少存在一点18作业作业习题习题1-10 (731-10 (73页页) ) 1. 2. 3. 4. 5.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 一个登山运动员从早上一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座开始攀登某座山峰山峰 ,在下午在下午7:00到达山顶到达山顶,第二天早上第二天早上7:00再再从山顶开始沿着上山的路下山从山顶开始沿着上山的路下山,下午下午7:00到达山到达山脚脚.试利用介值定理说明试利用介值定理说明:这个运动员在这两天这个运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点的某一相同时刻经过登山路线的同一地点. 补充补充19
