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1、 利用空间向量证明空间中的线面关系，计算空间利用空间向量证明空间中的线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法，它以代数运的各种角是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替复杂的空间想象，给解决立体几何带来了鲜活算代替复杂的空间想象，给解决立体几何带来了鲜活的方法。此类问题多以解答题为主，难度中档偏上，的方法。此类问题多以解答题为主，难度中档偏上，主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，运算能力要求较高。力及应用能力，运算能力要求较高。教你快速教你快速规范审题规范审题教你准确教你准确规范解题规范解题教你一个教你一个万
2、能模版万能模版“大题规范解答得全分”系列之（七） 空间向量在立体几何中的应用答题模版【典例】（2012安徽高考 满分12分）平面平面图形形ABB1A1C1C如如图所示，其中所示，其中BB1C1C是矩形，是矩形，BC2，BB14，ABAC ，A1B1A1C1 ，现将将该平面平面图形分形分别沿沿BC和和B1C1折叠，使折叠，使ABC与与A1B1C1所所在平面都与平面在平面都与平面BB1C1C垂直，再分垂直，再分别连接接A1A，A1B，A1C，得到如，得到如图所示的空所示的空间图形形对此空此空间图形解答下列形解答下列问题(1)证明：明：AA1BC；(2)求求AA1的的长；(3)求二面角求二面角ABC
3、A1的余弦的余弦值返回教你快速教你快速规范审题规范审题平面平面图形形ABB1A1C1C如如图所示，其中所示，其中BB1C1C是矩形，是矩形，BC2，BB14，ABAC ，A1B1A1C1 ，现将将该平面平面图形分形分别沿沿BC和和B1C1折叠，使折叠，使ABC与与A1B1C1所所在平面都与平面在平面都与平面BB1C1C垂直，再分垂直，再分别连接接A1A，A1B，A1C，得到如，得到如图所示的空所示的空间图形形对此空此空间图形解答下列形解答下列问题(1)证明：明：AA1BC；(2)求求AA1的的长；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦的余弦值观察条件观察条件:四四边形形BB1C1C是矩形，面是
4、矩形，面BCA面面BB1C1C，面，面A1B1C1面面BB1C1C取取BC，B1C1的中点的中点D，D1 连DD1 DD1，B1D1，A1D1两两垂直两两垂直 教你快速教你快速规范审题规范审题平面平面图形形ABB1A1C1C如如图所示，其中所示，其中BB1C1C是矩形，是矩形，BC2，BB14，ABAC ，A1B1A1C1 ，现将将该平面平面图形分形分别沿沿BC和和B1C1折叠，使折叠，使ABC与与A1B1C1所所在平面都与平面在平面都与平面BB1C1C垂直，再分垂直，再分别连接接A1A，A1B，A1C，得到如，得到如图所示的空所示的空间图形形对此空此空间图形解答下列形解答下列问题(1)证明：
5、明：AA1BC；(2)求求AA1的的长；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦的余弦值观察结论观察结论:(1)证明：明：AA1BC；(2)求求AA1的的长；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦的余弦值需建立空间直角坐标系需建立空间直角坐标系正确找出相关点的坐标正确找出相关点的坐标转化为向量运算问题转化为向量运算问题教你快速教你快速规范审题规范审题平面平面图形形ABB1A1C1C如如图所示，其中所示，其中BB1C1C是矩形，是矩形，BC2，BB14，ABAC ，A1B1A1C1 ，现将将该平面平面图形分形分别沿沿BC和和B1C1折叠，使折叠，使ABC与与A1B1C1所所在平面都与平面在平面都与
6、平面BB1C1C垂直，再分垂直，再分别连接接A1A，A1B，A1C，得到如，得到如图所示的空所示的空间图形形对此空此空间图形解答下列形解答下列问题(1)证明：明：AA1BC；(2)求求AA1的的长；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦的余弦值教你快速规范审题流程汇总观察条件观察条件:四四边形形BB1C1C是矩形，面是矩形，面ABC面面BB1C1C，面，面A1B1C1面面BB1C1C取取BC，B1C1的中点的中点D，D1 连DD1 DD1，B1D1，A1D1两两垂直两两垂直 观察结论观察结论:(1)证明：明：AA1BC；(2)求求AA1的的长；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦的余弦值需建
7、立空间直角坐标系需建立空间直角坐标系正确找出相关点的坐标正确找出相关点的坐标转化为向量运算问题转化为向量运算问题 3分分 6分分返回教你准确教你准确规范解题规范解题解：解：(1)(1)证明：取明：取BCBC，B B1 1C C1 1的中点分的中点分别为D D和和D D1 1， 连接接A A1 1D D1 1，DDDD1 1，ADAD. .故以故以D D1 1为坐坐标原点，可建立如原点，可建立如图所示的空所示的空间直角坐直角坐标系系D D1 1xyzxyz. . 由由题设， 可得可得A A1 1D D1 12 2，ADAD1.1.由以上可知由以上可知ADAD平面平面BBBB1 1C C1 1C
8、C，A A1 1D D1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，于是于是ADADA A1 1D D1 1. . 所以所以A A(0(0，1,4)1,4)，B B(1,0,4)(1,0,4)，A A1 1(0,2,0)(0,2,0)，C C( (1,0,4)1,0,4)，D D(0,0,4)(0,0,4)， 又由又由A A1 1B B1 1A A1 1C C1 1知，知，A A1 1D D1 1B B1 1C C1 1. . 坐标系建立不当， 导致推证错误。由由BBBB1 1C C1 1C C为矩形知，矩形知，DDDD1 1B B1 1C C1 1. .因为平面因为平面BBBB1 1C C
9、1 1C C平面平面 ，所以所以DDDD1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1. . 返回 8分分 11分分 12分分教你准确教你准确规范解题规范解题又因为又因为所以所以(3)设平面平面A1BC的法向量的法向量为x10，y12z1 x12y14z10，x12y14z10得得令令z11，则，则 又因为平面又因为平面ABCz轴，所以取平面轴，所以取平面ABC的法向量为的法向量为 (0,0,1)， 10分分求出cosn1，n2 后 不判断二面角的大小直接得出结论从而失误。 返回教你一个教你一个万能模版万能模版利用向量解决空间几何问题，一般分为以下几个步骤：利用向量解决空间几何问题，一般分
10、为以下几个步骤：第一步：利用条件分析问题，建立恰当的空间坐标系。第一步：利用条件分析问题，建立恰当的空间坐标系。第二步第二步:结合建系过程与图形，准确地写出相关点的坐标。结合建系过程与图形，准确地写出相关点的坐标。第三步：利用点的坐标求出相关平面的法向量，若已知某直线第三步：利用点的坐标求出相关平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量作为该平面的法向量。垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量作为该平面的法向量。第四步：将空间关系转化为向量关系，空间角转化为向量的第四步：将空间关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证、求解。夹角问题去论证、求解。第五步：结合条件与图形，作出结论（注意角的范围）。第五步：结合条件与图形，作出结论（注意角的范围）。第六步：回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求第六步：回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结论。角的范围而写错结论。
