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1、单元整合思维导图误区警示课本经典备考演练思维导图课本经典误区警示备考演练例1课本题目:北师大版2-1P83习题3-3B组若双曲线-=1的离心率e(1,2),求m的取值范围.【解析】由题意可知a2=5,b2=m,所以e=,又e(1,2),所以1()22,解得0m0时,顶点C的轨迹方程为-=1(x5),是焦点在x轴上且除去两个顶点的双曲线;-1m-25m,顶点C的轨迹方程为+=1(x5),思维导图课本经典误区警示备考演练是焦点在x轴上且除去左右两个顶点的椭圆;m=-1时,25=-25m,顶点C的轨迹方程为x2+y2=25(x5),是圆心在原点半径为5且不包含(-5,0),(5,0)两点的圆;m-1
2、时,250)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.思维导图课本经典误区警示备考演练mx2-y2=ma2.当m-1时,曲线C的方程为+=1,C是焦点在y轴上的椭圆;当m=-1时,曲线C的方程为x2+y2=a2,C是圆心在原点的圆;当-1m0时,曲线C的方程为-=1,C是焦点在x轴上的双曲线.即mx2-y2=ma2(xa),又A1(-a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2-y2=ma2,故依题意,曲线C的方程为(2)由(1)知,当m=-1时,C1的方程为x2+y2=a2;思维导图课本经典误区警示备考演练对于给定的m(-1,0)(0,+),C
3、1上存在点N(x0,y0)(y00)使得F1NF2的面积S=|m|a2的充要条件是由得0|y0|a,由得|y0|=.当m(-1,0)(0,+)时,C2的两个焦点分别为F1(-a,0),F2(a,0).当0a,即m0或0a,即-1m时,不存在满足条件的点N.当m,0)(0,时,由=(-a-x0,-y0),=(a-x0,-y0),可得=-(1+m)a2+=-ma2,设|=r1,|=r2,F1NF2=,则由=r1r2cos=-ma2,可得r1r2=-,从而S=r1r2sin=-=-ma2tan,于是由S=|m|a2,思维导图课本经典误区警示备考演练可得-ma2tan=|m|a2,即tan=-.综上可
4、得:当m,0)时,在C1上,存在点N,使得S=|m|a2,且tanF1NF2=2;当m(0,时,在C1上,存在点N,使得S=|m|a2,且tanF1NF2=-2;当m(-1,)(,+)时,在C1上,不存在满足条件的点N.思维导图课本经典误区警示备考演练模拟试题:2012届江西省南康中学开学初摸底试题在平面直角坐标系xOy中,圆A:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心与点B关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的 斜 率 之 积 等 于-.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存
5、在,说明理由.【解析】(1)由题意有A(-1,1),所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得=-,化简得x2+3y2=4(x1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).思维导图课本经典误区警示备考演练(2)若存在点P使得PAB与PMN的面积相等,设点P的坐标为(x0,y0),则|PA|PB|sinAPB=|PM|PN|sinMPN.因为sinAPB=sinMPN,所以=,所以=,即(3-x0)2=|-1|,解得x0=.因为+3=4,所以y0=.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等,此时P点的坐标为(,).思维导图课本经典误区警示备考演练【点评】通过以上习题,我
6、们可以看出:1.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质是解析几何中的基础,高考所考的试题都要涉及这些内容.解决此类问题,通常要先看题目的条件,确定焦点的位置及a,b,c,p,e,再依据它们之间关系式求解.课本中有很多关于圆锥曲线基本性质的题目,许多高考题及各地的模拟题往往会根据课本中经典的例题进行改编,所以在复习中我们要重视课本中比较好的题目.2.求曲线的轨迹方程是解析几何的基本题型之一,是高考考查的一个热点与重点.直接法是求轨迹方程的最基本方法,如果题目中的条件有明显的等量关系,或者可以利用平面几何知识推出等量关系,求轨迹方程时可用直接法.求出方程后,可通过研究方程进一步确定曲思维导图课本经典误区警
7、示备考演练线的类型、形状和位置等.对所求的曲线再进一步拓展探求它的相关问题,或者与其他问题嫁接形成一个新题,使得整个题具有综合性,是高考命题常用的手段,因此对于课本中的好题,我们要能深入挖掘它的潜在价值.思维导图课本经典误区警示备考演练例1若椭圆+=1的离心率e=,则k的值为.【错解】由已知a2=k+8,b2=9,又e=,所以e2=,解得k=4.所以填4.【错解剖析】由于所给椭圆焦点的位置不确定,即焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以应分两种情况求解.【正解】(1)若焦点在x轴上,即k+890时,已知a2=k+8,b2=9,又e=,所以e2=,解得k=4.思维导图课本经典误区警示备考演练(2
8、)若焦点在y轴上,即0k+89时,由已知a2=9,b2=k+8,又e=,所以e2=,解得k=-.综上所述,k的值为4或-【答案】4或-思维导图课本经典误区警示备考演练例2求过点(0,1)且与抛物线y2=2x仅有一个交点的直线方程.【错解】设所求过点(0,1)的直线为y=kx+1,则它与抛物线的交点满足,消去y得(kx+1)2-2x=0.整理得k2x2+(2k-2)x+1=0.直线与抛物线仅有一个交点,=0,解得k=.所求直线为y=x+1.【错解剖析】此处解法共有三处错误:第一,设所求直线为y=kx+1时,没有考虑k=0与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严
9、密的.思维导图课本经典误区警示备考演练第二,错解题中要求,原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的联系和区别理解不透.第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零,即k0,而上述解法没作考虑,表现出思维不严密性.【正解】当所求直线斜率不存在时,即直线垂直x轴,因为过点(0,1),所以x=0,即直线为y轴,它正好与抛物线y2=2x相切.一般地,设所求过点(0,1)的直线为y=kx+1(k0),则,k2x2+(2k-2)x+1=0.k0时,令=0,解得k=,所求直线为y=x+1.思维导图课本经典误区警示备考演练当所求直线斜率为零即k=
10、0时,直线为y=1平行x轴,它正好与抛物线y2=2x只有一个交点.综上,满足条件的直线有三条,其方程为:y=1,x=0,y=x+1.思维导图课本经典误区警示备考演练1.实轴在y轴上的双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于()(A)-.(B)-4. (C)4.(D).【解析】由已知m0,b0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为().(A). (B). (C).(D).【解析】由题意可得=,c2=a2+b2,所以=.【答案】B思维导图课本经典误区警示备考演练7.设双曲线-=1(a0,b0)的半焦距为c,离心率为.若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c,则k等于()
11、(A).( B ).(C).(D).【解析】因为直线与双曲线的一个交点的横坐标为c,所以y=ck.即-=1e2-=1e2-=1k2=k=.【答案】C思维导图课本经典误区警示备考演练8.已知P(x,y)是抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点,则z=2x-y的最大值为()(A)0.( B ) 6-.(C)7. (D)6+.【解析】抛物线y2=-12的准线方程为x=3,双曲线-=1的渐近线方程为y=x,作图可知当x=3,y=-时,z最大为6+.【答案】D思维导图课本经典误区警示备考演练9.(2011年浙江省温州市八校联考)已知点P是双曲线-
12、=1(a0,b0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,I为PF1F2的内心,若=+成 立 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为()(A)4. (B).(C)2. (D).【解析】由=+得,|PF1|=|PF2|+2c,P是右支上的点,所以|PF1|=|PF2|+2a,即有2c=2a,e=2,选C.【答案】C思维导图课本经典误区警示备考演练10.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的 坐 标 为()(A)(,-1). (B)(,1).(C)(1,2).(D)(1,-2).【解析】如图所示,抛物线的焦点为F(1,0
13、),作PA垂直准线x=-1于点A,则|PA|=|PF|,当A、P、Q在同一条直线上时,|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|=|AQ|,此时,点P到Q点距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值,P点的纵坐标为-1,代入抛物线方程有1=4x,x=,此时P点坐标为 (,-1),故选A.【答案】A思维导图课本经典误区警示备考演练11.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则BCF与ACF的面积之 比等 于()(A). (B). (C).(D).【解析】思维导图课本经典误区警示备考演练又xAxB=3,xA=2.由图可知=.【
14、答案】A设直线方程为y=k(x-),将方程代入y2=2x得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0.=2,xB+=2,即xB=.思维导图课本经典误区警示备考演练12.已知双曲线-=1(a0,b0)上一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若已知抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,那么m的 值 等 于()(A). (B).(C)2.(D)3.【解析】由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2,y2=2,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)
15、(x1+x2),不妨设x1b0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直长轴的弦长为1,则椭圆方程为.【解析】由题意有b=1,=1,解得a=2.所以所求椭圆的方程为+x2=1.【答案】+x2=1二、填空题思维导图课本经典误区警示备考演练14.动直线l的倾斜角为60,若直线l与抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之和为3,则抛物线的方程为.【解析】设直线l的方程为y=x+b,联立,消去y,得x2=2p(x+b),即x2-2px-2pb=0,x1+x2=2p=3,p=,抛物线的方程为x2=y.【答案】x2=y思维导图课本经典误区警示备考演练15.在平面直角坐标系xOy中,已
16、知ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则=.【解析】由条件可知A、C恰为已知双曲线的两个焦点,则|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在ABC中 , 有=2R,从而=.【答案】思维导图课本经典误区警示备考演练16.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点P与点Q关于y轴对称,O为 坐 标 原 点 , 若= 2且=1,则点P的轨迹方程是.【解析】设P(x,y),由=2可得A(,0),B(0,3y),则=(-,3y),=(-x,y),所以=(-,3y)(-x,y)=1,化简可得x2+3y2=1(x0,y0),即为所求轨
17、迹方程.【答案】x2+3y2=1(x0,y0)思维导图课本经典误区警示备考演练17.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0),l交椭圆于A、B两个不同点.三、解答题(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围.思维导图课本经典误区警示备考演练【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),由题意得,解得,所以椭圆方程为+=1.(2)因为直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m,又kOM=,所以l的方程为y=x+m.由x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点,所以=(2m)2-4(2m2-4)
18、0,解得-2m2,又m0,故m的取值范围是m|-2m0).(1)若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3,求抛物线P的方程;(2)设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,连结AO,BO并延长分别交抛物线的准线于C,D两点,求证:以CD为直径的圆过焦点F.【解析】(1)由抛物线定义可知,抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离与到准线距离相等,即M(m,2)到y=-的距离为3,+2=3,解得p=2.抛物线P的方程为x2=4y.思维导图课本经典误区警示备考演练(2)直线l的斜率显然存在,设l:y=kx+,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消y得x2-2pkx-p2=0,且0.x1+x2=2p
19、k,x1x2=-p2.A(x1,y1),直线OA:y=x,与y=-联立可得C(-,-),同理得D(-,-).焦点F(0,),思维导图课本经典误区警示备考演练=(-,-p),=(-,-p),=(-,-p)(-,-p)=+p2=+p2=+p2=+p2=+p2=0.以CD为直径的圆过焦点F.思维导图课本经典误区警示备考演练20.如图,在RtABC中,CAB=90,AB=2,AC=.一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,直线l经过A与曲线E交于M、N两点.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;(2)设直线l的斜率为k,若MBN为钝角,求k的取值范围.【解析】(1)以
20、AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),C(-1,).思维导图课本经典误区警示备考演练由题设可得|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=+=2,动点P的轨迹方程为+=1(ab0),则a=,c=1,b=1,曲线E方程为+y2=1.(2)直线MN的方程为y=k(x+1),设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.=8k2+80,思维导图课本经典误区警示备考演练方程有两个不等的实数根,x1+x2=-,x1x2=,=(x1-1,y1),=(x2-1,y2).=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-
21、1)(x2-1)+k2(x1+1)(x1+1)=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2=(1+k2)+(k2-1)(-)+1+k2思维导图课本经典误区警示备考演练=,MBN是钝角,0,即0,解得:-k0)于B、C两点,且|BC|=2.(1)求抛物线的方程;(2)在(1)中的抛物线上是否存在点D,使得|DB|=|DC|成立?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,请说明理由.【解析】思维导图课本经典误区警示备考演练(1)直线l的方程为y=x-2,代入y2=2px,并整理得x2-2(2+p)x+4=0.p0,=4(2+p)2-160.设B(x1,y1)、C(x2,y2),x1+x
22、2=4+2p,x1x2=4.|BC|=2,而|BC|=|x1-x2|,2=2,解得p=1,抛物线方程为y2=2x.(2)假设在抛物线y2=2x上存在点D(x3,y3),使得|DB|=|DC|成立,记线段BC的中点为E(x0,y0),则|DB|=|DC|等价于DEBC,即kDE=-=-1.思维导图课本经典误区警示备考演练当p=1时,式为x2-6x+4=0,x0=3,y0=x0-2=1,点D(x3,y3)应满足解得或存在点D(2,2)或(8,-4),使得|DB|=|DC|成立.思维导图课本经典误区警示备考演练22.(浙江省温州市2012届高三上学期八校联考试题)如图,已知椭圆E:+=1(ab0),
23、焦点为F1、F2,双曲线G:x2-y2=m(m0)的顶点是该椭圆的焦点,设P是双曲线G上异于顶点的任一点,直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D,已知三角形ABF2的 周 长 等 于 8,椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8.思维导图课本经典误区警示备考演练(1)求椭圆E与双曲线G的方程;(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2,探求k1和k2的关系;(3)是否存在常数,使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意知,椭圆中4a=8,a=2,2ab=8,b=2,所以椭圆的标准方程为+=1.又顶点与焦点重合,所以m=
24、c2=a2-b2=4,所以该双曲线的标准方程为-=1.(2)设点P(x,y),x2,k1=,k2=,k1k2=.思维导图课本经典误区警示备考演练P在双曲线上,所以-=1,y2=x2-4,所以k1k2=1.(3)设直线AB:y=k1(x+2),k10.由方程组得(2+1)x2+8x+8-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=.由弦长公式|AB|=.同理|CD|=思维导图课本经典误区警示备考演练由k1k2=1,k2=代入得|CD|=,|AB|+|CD|=|AB|CD|,=+=,所以存在=使得|AB|+|CD|=|AB|CD|成立.思维导图课本经典误区警示备考演练
