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1、1.8 1.8 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点1一、函数连续性的定义一、函数连续性的定义1 1、函数的增量、函数的增量2 例例1 1 证明函数证明函数y= =x2在给定点在给定点x0处连续。处连续。 证证 在在x0处，函数有定义且其改变量为处，函数有定义且其改变量为3 因此因此y = = x2 在给定点在给定点x0处连续。处连续。4下面给出函数连续的定义的另一种下面给出函数连续的定义的另一种等价形式等价形式。56定理定理3. 3. 单侧连续单侧连续7例例2 2解解即不右连续也不左连续即不右连续也不左连续 ,x y-1 1 O8例例3 3解解9连续函数的定义连续函数的定义10例例4 4
2、证证11定义定义 函数不连续的点称为函数的函数不连续的点称为函数的间断点间断点. 二二 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类121 1. .左右极限都存在的间断点左右极限都存在的间断点, ,称称第一类间断点第一类间断点： (1) (1) 可去间断点可去间断点间断点是按其左右极限是否存在来分类的间断点是按其左右极限是否存在来分类的.13例例5 5讨论函数讨论函数解解注注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.14(2) (2) 跳跃间断点跳跃间断点例例6 6解解15例例7 7解解2 2、左右极限至少有一个不存在的间断点、左右极限至少有一个不存在的间断点, ,称称第二类间第二类间断点断点。 16例例8 8解解这种情况称为这种情况称为振荡型间断点振荡型间断点。17小结小结间断点的分类与判别间断点的分类与判别;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)18可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx19解解例例9 920解解例例101021作业作业：P653: (2)(4)522
