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1、第二十七章第二十七章 Schrdinger方程方程Schrdinger Equation本章主要内容本章主要内容27-127-127-127-1 Schrdinger方程方程27-227-227-227-2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子27-327-327-327-3 势垒穿透势垒穿透27-427-427-427-4 谐振子谐振子Schrdinger方方程程是是波波函函数数Y 所所满满足足的的偏偏微微分分方方程程，它它是物质波的是物质波的波动方程波动方程，也是量子力学中基本，也是量子力学中基本动力学方程动力学方程。用波函数用波函数Y 定量地描述粒子的波动定量地描述粒子的波动性性。
2、Y = Y (x,y,z,t)第二十七章第二十七章 Schrdinger方程方程由由此此，Schrdinger发发展展建建立立了了波波波波动动动动力力力力学学学学量量子子力力学学的的一个理论分支。另有一个理论分支。另有Heisenberg的的矩阵力学矩阵力学矩阵力学矩阵力学。在给定条件下在给定条件下( (给定一势场给定一势场) )，粒子的波函数是怎样的？，粒子的波函数是怎样的？第二章 Schrodinger方程27-1 27-1 Schrdinger方程方程Schrdinger Equation或或 含时含时Schrdinger方程方程一维特例：一维特例：1926年，年， E. Schrdin
3、ger（奥）奥）发表了他对发表了他对非相对论非相对论形式形式下定量处理物质波的研究结果，提出了下定量处理物质波的研究结果，提出了Schrdinger方程。方程。含时含时Schrdinger方程是量子力学中的普遍方程。方程是量子力学中的普遍方程。本章不本章不作作具体具体讨论。讨论。含时含时含时含时SchrdingerSchrdinger方程方程方程方程22-1 Schrodinger方程 定态定态Schrdinger方程方程在势函数不显含时间在势函数不显含时间 t 的情况下，即的情况下，即 ，方，方程可以用分离变量法求解，即将波函数表示为程可以用分离变量法求解，即将波函数表示为定态定态定态定态S
4、chrdingerSchrdinger方程方程方程方程得方程得方程 和和解得解得于是于是E 是粒子的能量是粒子的能量.2-1 Schrodinger方程定态定态Schrdinger方程方程一维特例：一维特例：因为定态波函数（概率幅）满足因为定态波函数（概率幅）满足由此得由此得Y 称为称为定态波函数定态波函数定态波函数定态波函数, 定态定态定态定态是指发现粒子的概率分布是指发现粒子的概率分布不随时间变化。不随时间变化。2-1 Schrodinger方程说明说明： 波函数的基本性质：有限，单值，连续波函数的基本性质：有限，单值，连续（1 1）概率总值是）概率总值是1 1，不能无限大，所以波函数，不
5、能无限大，所以波函数必须必须 有限；有限；（2 2）任何位置只能有一个概率，所以波函数应为单值。）任何位置只能有一个概率，所以波函数应为单值。（3 3）粒子的运动是连续的，故波函数）粒子的运动是连续的，故波函数应是连续的；应是连续的； 波函数还应满足波函数还应满足归一化条件归一化条件归一化条件归一化条件：一维：一维：2-1 Schrodinger方程27-2 27-2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子Particles in a Square Infinitely Deep Potential Well 讨论粒子做一维运动的情形。讨论粒子做一维运动的情形。已知粒子在某外力场中的势能已知
6、粒子在某外力场中的势能此势能分布叫此势能分布叫一维无限深方势阱一维无限深方势阱。 粒粒子子在在势势阱阱内内势势能能为为零零，受受力力为为零零，自自由由运运动动。在在阱阱外外势势能能为为无无穷穷大大，在在阱阱壁壁上上受受到到无无穷穷大大的的斥斥力力。因因此此粒粒子子的的位位置置就就被被限限制在阱内。制在阱内。无限深方势阱的势函数：无限深方势阱的势函数：利用利用波函数连续波函数连续性质性质得出的边界条件得出的边界条件通解：通解：其中其中C、D为积分常数为积分常数即即 ，Schrdinger方程：方程：2-2 无限深方势阱中的粒子由边界条件，有由边界条件，有即即C 和和 D 不能同时为零不能同时为零
7、, 否则否则 到处为零到处为零, 物理上没有意义。物理上没有意义。因此因此, 我们得到两组解我们得到两组解:能量本征值能量本征值能量本征值能量本征值/能级能级能级能级说明束缚在势阱内的粒子的能量只能取离散的值说明束缚在势阱内的粒子的能量只能取离散的值(能量量子化能量量子化)，能量最能量最低值不为零。低值不为零。 En 中的中的 n 称为称为量子数量子数量子数量子数。2-2 无限深方势阱中的粒子得到得到两种形式两种形式的的波函数（奇波函数（奇/偶函数）：偶函数）：能量本征函数能量本征函数能量本征函数能量本征函数eigenfunction将以上两组解依次代入通解：将以上两组解依次代入通解：如何求系
8、数如何求系数 C 和和 D ?继续求解波函数：继续求解波函数：同理，由同理，由 得得用归一化条件用归一化条件求解积分常数求解积分常数C、D：Yn(x) 所描述所描述的粒子状态称为的粒子状态称为能量本征态能量本征态能量本征态能量本征态。 eigenstate能量本征函数的最终结果为：能量本征函数的最终结果为：2-2 无限深方势阱中的粒子返回返回2-2 无限深方势阱中的粒子解解：（：（1）基态基态 n = 1 例例1 一维无限深势阱（一维无限深势阱（0 x a）中粒子的定态波函数为中粒子的定态波函数为 试试求：求：（1）粒子处于基态时）粒子处于基态时;（2）粒子处于）粒子处于 n = 2 ;（2）
9、粒子处于粒子处于 n = 3 的状态时，在的状态时，在 x = 0 到到a/3之间找到粒子的概率。之间找到粒子的概率。（2）n = 2 态态（3）n = 3 态态27-3 27-3 势垒穿透势垒穿透Barrier Penitration1. 半无限深方势阱半无限深方势阱Schrdinger方程：方程：势函数：势函数：只考虑只考虑 的束缚态的束缚态（如果是经典粒子只能处于阱内！）（如果是经典粒子只能处于阱内！）解得：解得：y 有限有限2-3 势垒穿透左端左端 y 连续；连续；右端右端 y 和和 dy/dx 均连续：均连续： 结论结论结论结论：在：在 的区域的区域仍有粒子出现的概率。仍有粒子出现的
10、概率。按照经典理论，按照经典理论， 是不是不可能的。但由不确定关系可证明可能的。但由不确定关系可证明 有有 ，这正是粒子波，这正是粒子波动性所致。动性所致。 2-3 势垒穿透Schrdinger方程：方程：2. 一维方势垒一维方势垒一维方势垒的势函数：一维方势垒的势函数：解函数：解函数：入射入射+反射反射透射透射结论结论结论结论：对有限高度和宽度的势垒，粒子不仅可以进入：对有限高度和宽度的势垒，粒子不仅可以进入 的的区域，而且可以穿透势垒到达它的另一侧，这种效应区域，而且可以穿透势垒到达它的另一侧，这种效应称为称为势垒穿透势垒穿透势垒穿透势垒穿透或或隧道效应隧道效应隧道效应隧道效应。barri
11、er penitration / tunneling effect2-3 势垒穿透说明说明： 势垒穿透是量子效应势垒穿透是量子效应 势垒穿透效应的实例与应用势垒穿透效应的实例与应用 扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STM） scanning tunneling microscope a 衰变过程衰变过程 对黑洞理论的支持对黑洞理论的支持理论上，宏观物体也有波动性，因此经典粒子也理论上，宏观物体也有波动性，因此经典粒子也应有隧道效应，只是概率极小，实际不可能发生。应有隧道效应，只是概率极小，实际不可能发生。2-3 势垒穿透27-4 27-4 谐谐 振振 子子Harmonic Oscillator
12、一维谐振子的势函数：一维谐振子的势函数：Schrdinger方程：方程：能量本征值能量本征值（利用波函数有限和连续的性质）（利用波函数有限和连续的性质）：零点能零点能零点能零点能（n = 0）：）：能级间隔：能级间隔： Planck的能量量子化假的能量量子化假设就是对谐振子提出的：设就是对谐振子提出的： En = nhn ( n = 0, 1, 2, ) DE = hn2-4 谐振子在在 的区域仍有粒子出现的概率的区域仍有粒子出现的概率势垒穿透效应。势垒穿透效应。在在 的区域为束缚态，能量取值不连续。的区域为束缚态，能量取值不连续。2-4 谐振子本本章结束章结束The End of This Chapter
