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1、 目录 上页 下页 返回 结束4.14.1 线性微分方程的基本理论线性微分方程的基本理论 线性微分方程是常微分方程中线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理十分完善，本节将介绍它的基本理论论. . 目录 上页 下页 返回 结束一、基本概念一、基本概念及其各阶及其各阶均为一次的均为一次的n n阶微分方程，阶微分方程，n阶线性阶线性微分方程微分方程: : 我们将未知函数我们将未知函数导数导数称为称为n阶线性微分方程阶线性微分方程.它的一般形式为它的一般形式为: 目录 上页 下页 返回 结束式中式中上的连续函数。上的连续函数
2、。及及是区间是区间n阶线性齐次阶线性齐次微分方程微分方程: : 如果如果式中的式中的则则(4.1.1)变为变为 我们称以上方程为我们称以上方程为n n阶线性齐次微分方程，简称阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程齐线性方程,（4.1.1）称非齐线性方程。称非齐线性方程。 目录 上页 下页 返回 结束上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的也有相类似的解的存在惟一性定理存在惟一性定理. 目录 上页 下页 返回 结束定理定理4.14.1：如果如果(4.1.1）的系数的系数 及右端函数及
3、右端函数 在区间在区间 上连续，上连续， 则对任一个则对任一个 及任意的及任意的 方程（方程（4.1.14.1.1）存在惟一的解）存在惟一的解 满足下列初始条件满足下列初始条件 目录 上页 下页 返回 结束引入引入 称称L L为线性微分算子为线性微分算子. .为常数为常数. .性质性质4.14.1 线性微分算子线性微分算子:性质性质4.1例如例如: 目录 上页 下页 返回 结束二、齐次线性方程解的性质和结构二、齐次线性方程解的性质和结构定理定理4.1 (4.1 (叠加原理叠加原理) ) 如果如果 是方程是方程（4.1.2）的的n n个解，个解， 则它的线性组合则它的线性组合 也是方程也是方程（
4、4.1.2）的解，这里的解，这里是常数是常数. 目录 上页 下页 返回 结束例例1 1 验证验证是方程是方程 的解的解. .解解: 分别将分别将代入方程代入方程, 得得所以为方程的解所以为方程的解. 目录 上页 下页 返回 结束基本解组基本解组:如果方程如果方程（4.1.2）的任意一个解的任意一个解都可以表示为都可以表示为 ,是方程组是方程组（4.1.2） 则称则称的基本解组。的基本解组。线性相关线性相关:对定义在区间对定义在区间(a, b)上的函数组上的函数组 如果存在不全为如果存在不全为0 0的常数的常数 ，使得，使得 目录 上页 下页 返回 结束在在(a,b)(a,b)上恒成立上恒成立,
5、 ,称这些函数在所给的区间上线称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关性相关，不然称这些函数线性无关.例例2:2: 函数函数在任何区间在任何区间上都是线性上都是线性无关的，无关的，因为如果因为如果(4.1.5)只有当所有的只有当所有的 时才成立时才成立. . 目录 上页 下页 返回 结束事实上事实上, 如果至少有一个如果至少有一个则则 (4.1.5)式的左端是一个不高于式的左端是一个不高于n次的多项式，它最多可次的多项式，它最多可有有n个不同的根个不同的根 . 因此因此, 它在所考虑的区间上不它在所考虑的区间上不能有多于能有多于n个零点个零点, 更不可能恒为零更不可能恒为零.注
6、注1 1：在函数在函数 中有一个函数中有一个函数等于零等于零, 则函数则函数在（在（a,ba,b）上线性相关。）上线性相关。 目录 上页 下页 返回 结束注注2 2：考虑到两个函数构成的函数组考虑到两个函数构成的函数组 如果如果 或或 则在（则在（a,ba,b）上线性无关的充要条件为）上线性无关的充要条件为 或或在（在（a,ba,b）上不恒为常数）上不恒为常数. . 在在(a, b) 上有定义上有定义,例例3:3:在任何区间上都线性无关在任何区间上都线性无关. . 在任何区间上都线性相关在任何区间上都线性相关. . 目录 上页 下页 返回 结束注注3 3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取
7、函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取例例4:4: 函数函数 上是线性上是线性无关无关, 而而在在上是线性相关的上是线性相关的. . 的区间。的区间。事实上事实上和和在区间在区间上不是常数上不是常数, 分别在区间分别在区间和和上是常数上是常数. 目录 上页 下页 返回 结束Wronskian 行列式行列式:由定义在区间（由定义在区间（a, b）上的）上的k个个k-1k-1次可微函数次可微函数 所作成的行列式所作成的行列式称为这些函数的称为这些函数的Wronskian行列式行列式, 通常记做通常记做 目录 上页 下页 返回 结束定理定理4.34.3 如果函数组如果函数组 在区间在区间(a, b)
8、 上线性相关上线性相关, 则在则在(a, b) 上它们的上它们的 Wronskian证明证明: 由假设知存在一组不全为零的常数由假设知存在一组不全为零的常数使得使得依次将此恒等式对依次将此恒等式对t微分微分, 得到得到n个恒等式个恒等式行列式恒等于零行列式恒等于零, 即即. 目录 上页 下页 返回 结束上述上述n个恒等式所组成的方程组是关于个恒等式所组成的方程组是关于的齐次方程组的齐次方程组, 它的系数行列式就是它的系数行列式就是Wronskian行列式行列式, 由线性代数的知识知由线性代数的知识知, 要使方程组存在要使方程组存在非零解非零解, 则必有则必有 目录 上页 下页 返回 结束处不等
9、于处不等于0,0, 即即 , ,则该函数组在区间则该函数组在区间注注: : 定理定理4.34.3的逆定理不一定成立的逆定理不一定成立. .例例 推论推论 4.1如果函数组如果函数组的的Wronskian行列式在区间（行列式在区间（a, b）上某点）上某点 上线性无关。上线性无关。 目录 上页 下页 返回 结束显然对所有的显然对所有的t, 恒有恒有但但在在上线性无关上线性无关.事实上事实上, 假设存在恒等式假设存在恒等式则当则当时时, 有有当当时时, 有有故故在在上线性无关上线性无关. 目录 上页 下页 返回 结束定理定理4.4 4.4 若函数组若函数组 是方程是方程（4.1.2）在区间（在区间
10、（a,ba,b）上的）上的n n个线性无关的解个线性无关的解, ,则它们的则它们的Wronskian 行列式行列式在该区间上任何点都不为在该区间上任何点都不为零零. .证明证明: 用反证法用反证法假设有假设有使得使得考虑关于考虑关于的齐次线性代数方程组的齐次线性代数方程组 目录 上页 下页 返回 结束其系数行列式其系数行列式故它有非零解故它有非零解现以这组解构造函数现以这组解构造函数由定理由定理4.1 知知,是方程是方程(4.1.2) 的解的解.又因为又因为 目录 上页 下页 返回 结束即这个解满足初始条件即这个解满足初始条件又又也是方程也是方程(4.1.2)满足初始条件的解满足初始条件的解,
11、 由解由解的惟一性知的惟一性知,由由不全为零不全为零, 知矛盾知矛盾, 从而定理得证从而定理得证. 目录 上页 下页 返回 结束使得它的使得它的Wronskian 行列式行列式在区间（在区间（a,ba,b）上的）上的n n个解。如果存在个解。如果存在 则该解组在（则该解组在（a,ba,b）上线性相关）上线性相关. .推论推论4.1：设设是方程是方程 (4.1.2)推论推论4.34.3 方程方程（4.1.2）的的n n个解个解 在其定义区间（在其定义区间（a,ba,b）上线性无关的充要条件是在）上线性无关的充要条件是在存在一点存在一点 使得使得 该区间上该区间上 目录 上页 下页 返回 结束定理
12、定理4.54.5 n n阶齐次线性方程组阶齐次线性方程组（4.1.2）一定存在一定存在n n个线性无关的解个线性无关的解. . 下面几个定理给出了线性无关解组下面几个定理给出了线性无关解组, 基本解组基本解组,及通解的关系及通解的关系.证明证明: 由定理由定理4.1 知知, 方程满足初始条件方程满足初始条件 目录 上页 下页 返回 结束的解一定存在的解一定存在, 因为因为所以这所以这n个解一定线性无关个解一定线性无关, 故定理得证故定理得证.定理定理4.64.6 如果如果 是是n n阶齐次方程阶齐次方程（4.1.2）的的n n个线性无关的解。则它一定是该方程的个线性无关的解。则它一定是该方程的
13、基本解组，即方程基本解组，即方程（4.1.2）的任一解的任一解 都可以都可以表示成表示成证明证明: 设设是方程是方程 (4.1.2) 的任一解的任一解, 并且满足条件并且满足条件 目录 上页 下页 返回 结束考虑方程组考虑方程组由于它的系数行列式是方程的由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的个线性无关解的Wronskian 行列式在行列式在 处的值处的值, 故它不为零故它不为零. 因而上面的方程组有惟一解因而上面的方程组有惟一解现以这现以这 目录 上页 下页 返回 结束组解构造函数组解构造函数由解的叠加原理由解的叠加原理和惟一性定理得和惟一性定理得即即定理定理4.7 (通解结构定理通解结构
14、定理)若若 是方程（是方程（4.1.24.1.2）的的n个线个线性无关的解，则方程的通解可以表示成性无关的解，则方程的通解可以表示成 其中其中 是任意常数是任意常数 . 目录 上页 下页 返回 结束综上得到下列等价命题综上得到下列等价命题.定理定理4.84.8是方程是方程（4.1.2）的的n n个解，个解， 设设 则下列命题等价则下列命题等价 (1) (1) 方程方程（4.1.2）的通解的通解为 (2) (2) 是方程的基本解是方程的基本解组. . (3) (3) 在在(a,b)(a,b)上上线性无关性无关. . (4) 存在存在使使 (5) 任给任给有有 目录 上页 下页 返回 结束定理定理
15、 4.9 (4.9 (刘维尔公式刘维尔公式) )注注1 1： 在在 内有一点为零，则在整个内有一点为零，则在整个上恒为零上恒为零.设设 是（是（4.1.24.1.2）的任意）的任意n n个解，个解， 是它的是它的WronskianWronskian行列式，则对行列式，则对(a,b)(a,b)上上任意任意都有都有 一点，一点，上述公式我们称为刘维尔上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式公式. 目录 上页 下页 返回 结束注注2 2：对二阶微分方程对二阶微分方程 若若 是方程的一个解，则可得通解是方程的一个解，则可得通解. .设是设是 与与 不同解，则由刘维尔公式可以推得不同解，则由刘维
16、尔公式可以推得用用 乘以上式两端可得乘以上式两端可得 目录 上页 下页 返回 结束由此得由此得 取取 则则为另一个解，因为为另一个解，因为所以所以与与线性无关线性无关. 目录 上页 下页 返回 结束例例5 5 求方程求方程 的通解的通解. . 解：易知解：易知 为通解，所以为通解，所以 目录 上页 下页 返回 结束三、非齐次线性方程解的结构三、非齐次线性方程解的结构定理定理4.104.10 n n阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程 的通解等于它所对应的齐次方程的通解与的通解等于它所对应的齐次方程的通解与 它的一个特解之和。它的一个特解之和。(4.1.10) 目录 上页 下页 返回 结束证明证明:
17、 设设是方程是方程 （4.1.10) 的一个特解，的一个特解，是方程是方程 （4.1.2) 的通解。首先我们证明的通解。首先我们证明是方程是方程 （4.1.10) 的解。事实的解。事实上上所以所以是方程是方程 （4.1.10) 的解。的解。即即 目录 上页 下页 返回 结束是方程是方程 （4.1.10) 的通解。的通解。其次证其次证即证对于（即证对于（4.1.10）的任意一解）的任意一解总可以表示为总可以表示为其中其中是由是由中的任意常数取中的任意常数取某一特定的值而得到的。事实上，某一特定的值而得到的。事实上， 因为因为所以所以是方程（是方程（4.1.2）的解，其中）的解，其中可由可由中的任
18、意常数取某一特定的值而得到。中的任意常数取某一特定的值而得到。于是于是 目录 上页 下页 返回 结束定理定理 4.114.11 设设 与与 分别是非齐次线性方程分别是非齐次线性方程和和的解的解 ，则，则 是方程是方程 的解。的解。 目录 上页 下页 返回 结束证明：由已知可得证明：由已知可得因为因为所以所以是方程是方程的解。的解。 目录 上页 下页 返回 结束常数变易法求特解常数变易法求特解是方程是方程（4.1.2）的的n n个线个线性性设设 无关的解，无关的解， 因而因而 (4.1.2) 的通解为的通解为(4.1.11)为求为求 (4.1.1) 的一个特解的一个特解, 将将(4.1.11)
19、中的中的 常数看成常数看成关于关于t 的函数的函数, 此时此时(4.1.11) 式变为式变为(4.1.12)将将 (4.1.12) 代入代入 (4.1.1) 得到一个得到一个所满足的关系式所满足的关系式. 目录 上页 下页 返回 结束我们还需要另外我们还需要另外 n-1个条件来求出个条件来求出在理论上这些条件是任意给出的在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便为了运算的方便, 我们按下面的方法来给出这我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件个条件.对对 (4.1.12) 式两边对式两边对t 求导得求导得令令得到得到 目录 上页 下页 返回 结束对上式两边继续对对上式两边继续对t 求导求导,
20、 并象上面的方法一样并象上面的方法一样, 我们得到我们得到继续上面的做法继续上面的做法, 直到获得第直到获得第 n-1 个条件个条件 目录 上页 下页 返回 结束最后最后, 将上式两边对将上式两边对t 求导得求导得将上面得到的将上面得到的代入代入 (4.1.10), 得到得到由由n 个未知函数个未知函数所满足的方程组所满足的方程组 目录 上页 下页 返回 结束该方程组的系数行列式恰好是该方程组的系数行列式恰好是 (4.1.2) 的的n 个线性个线性无关解的无关解的 Wronskian 行列式行列式, 故它不等于零故它不等于零, 因而因而该方程组有惟一解该方程组有惟一解.由上面方程组求得由上面方程组求得 目录 上页 下页 返回 结束这样我们就得到了这样我们就得到了(4.1.1) 的特解的特解.从而从而 (4.1.1)的通解为的通解为 目录 上页 下页 返回 结束例例6 6 求方程求方程 的通解，已知它的对应的通解，已知它的对应 齐次线性方程的两个解为齐次线性方程的两个解为 解：利用常数变易法，令解：利用常数变易法，令 将它带入方程，可得关于将它带入方程，可得关于 的方程的方程 目录 上页 下页 返回 结束解得解得 于是原方程的通解为于是原方程的通解为
