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1、 变形特点变形特点：横截面绕轴线转过不同角度。横截面绕轴线转过不同角度。 相对扭转角相对扭转角 BA : B 截面相对截面相对A 截面绕轴截面绕轴 angle of twistangle of twist 线转过的角度。线转过的角度。 单位长度扭转角单位长度扭转角lMeMeB BA ABAdxT TT T4.5 4.5 圆轴扭转变形圆轴扭转变形 刚度条件刚度条件一、扭转变形一、扭转变形twist deformationtwist deformation 1. 单位长度扭转角单位长度扭转角 angle of twist per unit length of the shaftangle of t
2、wist per unit length of the shaftGIP 扭转刚度扭转刚度dxT TT TGIp微段变形微段变形=d d d dxTGIp pd d =d dxTGIp p2. 相对扭转角相对扭转角dlT TABT T 相对扭转角相对扭转角当当T是常数是常数正负号：正负号： 同扭矩同扭矩T拉压拉压二、刚度条件二、刚度条件 单位：度单位：度/米（米（/m） 值一般为：值一般为： 精密机器的轴精密机器的轴 ( 0.250.5)/m 一般传动轴一般传动轴 (0.5 1.0)/m 较低精度的轴较低精度的轴 (1.0 2.5)/m8007kNm3kNmCB800A例题例题1 1已知已知已
3、知已知: : d d1 1=100mm=100mm d d2 2=60mm,=60mm, = 60 = 60 MPaMPa, , =1 /m, =1 /m, G G = 80 = 80 GPaGPa 求：求：求：求：校核强度、刚度校核强度、刚度校核强度、刚度校核强度、刚度 解：解：解：解：1. 内力分析内力分析T T1 1=10 =10 kNmkNm, , T T2 2=3 =3 kNmkNm 作扭矩图作扭矩图作扭矩图作扭矩图 2. 校核强度校核强度103T（kNm） 3. 校核刚度校核刚度 结论：第一段满足强度和刚度要求，结论：第一段满足强度和刚度要求， 第二段则都不满足。第二段则都不满足。
4、40020012MBMAMCACB例题例题2 2已知已知已知已知: : M MA A = 7024 Nm = 7024 Nm MMB B = 2810 Nm = 2810 Nm MMC C = 4214 Nm = 4214 NmG G = 80 = 80 GPaGPa, , = 70 = 70 MPaMPa, , = 1 = 1 /m/m求：求：求：求：AB AB 和和和和 BC BC 段直径段直径段直径段直径解：解：解：解：1. 内力分析内力分析 T T1 1 = =MMA A = = 7024 Nm7024 Nm T T2 2 = =MMC C = = 4214 Nm4214 Nm 作扭矩
5、图作扭矩图作扭矩图作扭矩图70244214T（Nm）2.计算各段直径计算各段直径计算各段直径计算各段直径 ABAB段：段：段：段： 由扭转强度条件由扭转强度条件由扭转强度条件由扭转强度条件得得 由刚度条件由刚度条件由刚度条件由刚度条件得得得得取取取取 d d1 1= 84.6 mm= 84.6 mmBCBC段：段：段：段： 同理，由强度条件，同理，由强度条件，同理，由强度条件，同理，由强度条件， d d2 267 mm67 mm 由刚度条件，由刚度条件，由刚度条件，由刚度条件，d d2 274.5 mm74.5 mm取取取取 d d2 2=74.5 mm.=74.5 mm.讨论讨论 MMA A
6、 = 7024 Nm = 7024 Nm MMB B = 2810 Nm = 2810 Nm MMC C = 4214 Nm = 4214 Nm将轮将轮将轮将轮A A与轮与轮与轮与轮B B的位置交换，的位置交换，的位置交换，的位置交换，如何？如何？如何？如何？解：解：解：解：1. 内力分析内力分析 T T1 1 = =MMB B =2810 Nm=2810 Nm T T2 2 = =MMC C = = 4214 Nm4214 Nm 作扭矩图作扭矩图作扭矩图作扭矩图2810421440020012MBACBMAMCT（Nm）40020012MBMAMCACB70244214T（Nm）4.6 4.
7、6 扭转静不定问题扭转静不定问题一、概念一、概念一、概念一、概念 扭转问题中，外力或内力仅用静力平衡方程扭转问题中，外力或内力仅用静力平衡方程扭转问题中，外力或内力仅用静力平衡方程扭转问题中，外力或内力仅用静力平衡方程不能完全求解，称扭转静不定问题不能完全求解，称扭转静不定问题不能完全求解，称扭转静不定问题不能完全求解，称扭转静不定问题 statically indeterminate problems in torsionstatically indeterminate problems in torsion二、解法二、解法二、解法二、解法 类似拉压静不定问题类似拉压静不定问题类似拉压静不定
8、问题类似拉压静不定问题 判断静不定次数判断静不定次数判断静不定次数判断静不定次数建立补充方程建立补充方程建立补充方程建立补充方程 建立几何方程建立几何方程建立几何方程建立几何方程列物理方程列物理方程列物理方程列物理方程联合求解联合求解联合求解联合求解 建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程建立平衡方程ABDCaaaMMe eMMe e变形比较法变形比较法1.多余约束多余约束 对结构保持一定几何形状来讲不必要的约束，对结构保持一定几何形状来讲不必要的约束，对结构保持一定几何形状来讲不必要的约束，对结构保持一定几何形状来讲不必要的约束， 如约束如约束如约束如约束B B（或（或（或（或 A A）. .
9、ABDCaaaMMe eMMe e相当系统的作法相当系统的作法 解除多余约束，代之以多余未知力解除多余约束，代之以多余未知力.相当系统的特点相当系统的特点 静定；静定； 外力有多余未知力。外力有多余未知力。2. 相当系统相当系统 equivalent systemequivalent system 去掉多余约束后的静定结构。去掉多余约束后的静定结构。ABDCaaaMMe eMMe eMMB B 3. 几何方程的建立几何方程的建立变形比较变形比较 相当系统多余未知力作用处的位移，相当系统多余未知力作用处的位移， 等于原静不定结构多余约束处的实际位移。等于原静不定结构多余约束处的实际位移。 满足上
10、述条件后，相当系统的受力和满足上述条件后，相当系统的受力和变形就与原静不定结构完全相同，相当系统变形就与原静不定结构完全相同，相当系统的解就是原静不定结构的解，也就是说，的解就是原静不定结构的解，也就是说，解题可以在相当系统上进行。解题可以在相当系统上进行。例题例题解：解：解：解：1. 1. 受力分析受力分析受力分析受力分析 一次静不定一次静不定一次静不定一次静不定 3. 3. 建立几何方程建立几何方程建立几何方程建立几何方程已知已知已知已知: : MMe e , , a a GI GIP P求：作扭矩图求：作扭矩图求：作扭矩图求：作扭矩图2. 2. 建立相当系统建立相当系统建立相当系统建立相
11、当系统 解除约束解除约束解除约束解除约束B B, , 代之以多余未知力偶代之以多余未知力偶代之以多余未知力偶代之以多余未知力偶 MMB B BABA = = CACA DCDC BDBD = 0= 0ABDCaaaMMe eMMe eABDCaaaMMe eMMe eMMB BABDCaaaMMe eMMe eMMB B4. 4. 建立物理方程建立物理方程建立物理方程建立物理方程T T1 1= =MMB B , , 即即即即 （MMB B ）+ +（ MMB BMMe e ) ) ) )+(+( MMB B) = 0 ) = 0 解得解得解得解得5.5.5.5.建立补充方程并求解建立补充方程并
12、求解建立补充方程并求解建立补充方程并求解 BABA = = CACA DCDC BDBD = 0= 0T T2 2= =MMB BMMe e , , T3=MB 3 31 12 26.6.6.6.作扭矩图作扭矩图作扭矩图作扭矩图TABDCaaaMMe eMMe eMMB B复杂扭转问题分析复杂扭转问题分析 当扭转变形伴随着其他引起切应力的当扭转变形伴随着其他引起切应力的变形时，可用叠加法计算切应力。变形时，可用叠加法计算切应力。 4.7 4.7 密圈螺旋弹簧的强度密圈螺旋弹簧的强度内力内力内力内力 F FS S= = F F T T = = FDFD/2 /2 应力应力应力应力最大应力最大应力
13、最大应力最大应力内侧内侧内侧内侧A AFSFFFSAd1TAd24.8 4.8 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转 一、非圆截面杆扭转变形特点一、非圆截面杆扭转变形特点 截面翘曲截面翘曲 warpingwarping！二、自由扭转和约束扭转二、自由扭转和约束扭转 1. 自由扭转自由扭转 free torsionfree torsion 截面翘曲不受任何限制。截面翘曲不受任何限制。截面翘曲不受任何限制。截面翘曲不受任何限制。 只有一种情形：两端各有一个扭转力偶，无约束。只有一种情形：两端各有一个扭转力偶，无约束。只有一种情形：两端各有一个扭转力偶，无约束。只有一种情形：两端各有一个扭转力偶，无约束
14、。 各纵线尺寸无变化，横截面只有切应力，无正应力。各纵线尺寸无变化，横截面只有切应力，无正应力。各纵线尺寸无变化，横截面只有切应力，无正应力。各纵线尺寸无变化，横截面只有切应力，无正应力。 2. 约束扭转约束扭转 constraint torsionconstraint torsion 横截面翘曲受到某种限制。横截面翘曲受到某种限制。 各横截面翘曲程度不同，各纵线变形不同，各横截面翘曲程度不同，各纵线变形不同，横截面内不仅有切应力，还有正应力，它对横截面内不仅有切应力，还有正应力，它对薄壁截面杆影响很大。薄壁截面杆影响很大。bh三、矩形截面杆自由扭转简介三、矩形截面杆自由扭转简介 外边缘平行于
15、边线；外边缘平行于边线；外边缘平行于边线；外边缘平行于边线； 对称轴上于该轴垂直；对称轴上于该轴垂直；对称轴上于该轴垂直；对称轴上于该轴垂直； 角点、形心为零；角点、形心为零；角点、形心为零；角点、形心为零； 其余各点较复杂。其余各点较复杂。其余各点较复杂。其余各点较复杂。 maxmax位于长边中点。位于长边中点。位于长边中点。位于长边中点。 max短边中点短边中点单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角 狭矩形狭矩形狭矩形狭矩形 h /bh /b1010 = = 1/3 1/3长边：长边：长边：长边： 近乎均匀分布近乎均匀分布近乎均匀分布近乎均匀分布短轴：近乎线性分布短轴：近乎线性分布短轴：近乎线性分布短轴：近乎线性分布h作业作业 4-11 4-17 4-18
