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1、小结小结 思考题思考题 作业作业第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用洛必达洛必达 (LHospital) 法国数学家法国数学家(1661-1705)1其极限都不能直接利用极限运算其极限都不能直接利用极限运算在第一章中看到在第一章中看到,无穷大之商无穷大之商,法则来求法则来求.那末那末极限极限定义定义型型未定式未定式.或或如如, , 意味着关于它的极限不能确定出一般的意味着关于它的极限不能确定出一般的 未定未定 不能确定不能确定.而并不是在确定的情况下关于它的极限而并不是在确定的情况下关于它的极限结论结论,两个无穷小之商或两个两个无穷小
2、之商或两个洛必达法则洛必达法则两个函数两个函数 f (x)与与F(x)都趋于零或趋于无穷大都趋于零或趋于无穷大,2 这这一节一节介绍一个求未定式极限的有效方法介绍一个求未定式极限的有效方法, 此方法的关键是将此方法的关键是将 的计算问题转化为的计算问题转化为 的计算的计算. 其基本思想是由微积分著名其基本思想是由微积分著名先驱先驱, 从而产生了简从而产生了简洛必达法则洛必达法则. .后人对他的思想作了推广后人对他的思想作了推广,提出的提出的,17世纪的法国数学家世纪的法国数学家洛必达洛必达 (LHospital) 便而重要的便而重要的洛必达法则洛必达法则3定理定理1洛必达法则洛必达法则4注注(
3、多次用法则多次用法则)再求极限来确定未定式的值的方法称为再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达洛必达法则法则. .这种在一定条件下这种在一定条件下通过分子分母分别求导通过分子分母分别求导洛必达法则洛必达法则7例例解解例例解解洛必达法则洛必达法则8定理定理2则则证证则则等价于等价于用定理用定理1有有洛必达法则洛必达法则9注注定理定理2成立成立;例例解解洛必达法则洛必达法则10用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去;(3) 每用完一次法则每用完一次法则,要将式子整理化简要将式子整理化简;(4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限为简化运算经常
4、将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用的其它性质结合使用.(2) 在用法则之前在用法则之前,式子是否能先化简式子是否能先化简;洛必达法则洛必达法则11例例解解洛必达法则洛必达法则12例例解解洛必达法则洛必达法则13解解先把此定先把此定式式因式分离出来因式分离出来洛必达法则洛必达法则14例例解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效. 洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.注注用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性 当导数比的极限不存在时当导数比的极限不存在时,不能断定函数不能断定函数比的极限不存在比的极限不存在,其一其一其一其一, ,这时不能使用洛必达法则这
5、时不能使用洛必达法则.洛必达法则洛必达法则15可能永远得不到结果可能永远得不到结果! 分子，分母有单项无理式时分子，分母有单项无理式时,不能简化不能简化.如如其实其实: 杜波塔托夫的一个著名例子杜波塔托夫的一个著名例子.其二其二其二其二用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性洛必达法则洛必达法则16例例解解注注例例解解n次次洛必达法则洛必达法则17例例解解步骤步骤:关键关键或或将其它类型未定式化为洛必达法则可将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型解决的类型洛必达法则洛必达法则18例例解解洛必达法则洛必达法则19例例解解步骤步骤:洛必达法则洛必达法则20步骤步骤:例例解解三、
6、三、型未定式型未定式第一章第一章第九节第九节定理定理3洛必达法则洛必达法则21例例解解注注或写成或写成其中其中是指数函数是指数函数的一种表示方式的一种表示方式.exponent洛必达法则洛必达法则22例例解解 1993年考研数学一年考研数学一, 5分分还有别的方法吗还有别的方法吗?洛必达法则洛必达法则23例例解解数列的极限数列的极限转化为函数的未定式的极限转化为函数的未定式的极限!由于由于是是中的一种中的一种特殊情况特殊情况,所以有所以有不能用洛必达法则不能用洛必达法则洛必达法则洛必达法则24洛必达法则洛必达法则解解 法一法一 用三次用三次洛必达法则可求得洛必达法则可求得. 法二法二 结合其它
7、方法用三次结合其它方法用三次洛必达法则可求得洛必达法则可求得. 法三法三25洛必达法则洛必达法则法四法四用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理(1)(2)同理同理,所以所以,26均为正数均为正数.解解 法一法一洛必达法则洛必达法则27解解 法二法二均为正数均为正数.洛必达法则洛必达法则28洛必达法则洛必达法则四、小结四、小结一、一、二、二、三、三、注意注意但但求某些未定式极限不要单一使用洛必达求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法尤其是下述两种方法, 可使问题大大简化可使问题大大简化.各类未定式极限问题各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用
8、洛必达法则是最常用的工具的工具,法则法则, 三三大大类类未未定定式式29 (1) 存在极限为存在极限为非零的因子非零的因子,可根据积的极可根据积的极限运算法则先求出其极限限运算法则先求出其极限.洛必达法则洛必达法则 (2) 凡乘积或商的凡乘积或商的非零无穷小因式非零无穷小因式, 可先用简可先用简单形式的等价无穷小替换单形式的等价无穷小替换. 务必记住常用的等价无穷小务必记住常用的等价无穷小.30思考题思考题问上述做法是否正确问上述做法是否正确洛必达法则洛必达法则31思考题解答思考题解答非非正确的做法是正确的做法是不一定存在不一定存在.洛必达法则洛必达法则32作业作业习题习题3-2 (1373-2 (137页页) ) 1.(2)(3)(6)(8)(10)(11)(13)(15)(16) 3. 4. 洛必达法则洛必达法则33
