高等数学邱茂路最新课件

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1、第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 多元函数就是有多个自变量的函数。多元函数微分学的核心内容是偏导数与全微分的概念及运算。 本章包括九节。前三节主要介绍一些术语，其中包括多元函数的极限与连续的概念。中间四节是本章重点，其中包括偏导数与全微分的概念，偏导数与全微分的计算方法。最后两节是多元函数微分学在极值计算中的应用。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8.1 8.1 空间解析几何简介空间解析几何简介空间解析几何简介

2、空间解析几何简介 8.2 8.2 多元函数多元函数多元函数多元函数 8.3 8.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续 8.4 8.4 偏导数偏导数偏导数偏导数 8.5 8.5 全微分全微分全微分全微分 8.6 8.6 复合函数微分法复合函数微分法复合函数微分法复合函数微分法 8.7 8.7 隐函数微分法隐函数微分法隐函数微分法隐函数微分法 8.8 8.8 二元函数的极值二元函数的极值二元函数的极值二元函数的极值 8.9 8.9 条件极值条件极值条件极值条件极值 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8

3、. 1 8. 1 8.1 8.1 空间解析几何简介空间解析几何简介空间解析几何简介空间解析几何简介 8.1.1 8.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系 多元函数的研究，需要一些空间解析几何的知识。本节的目的，就是介绍这些知识。 过空间一点O，作三条互相垂直的数轴OX，OY，OZ，并按右手规则确定方向，即四指由OX轴正向，转向OY轴正向，则拇指指向OZ轴的正向，这样就建立了空间直角坐标系，如图8.1-1。 图8.1-1第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 O称为坐标原点，三条数轴，称为坐标轴。每两条坐

4、标轴确定一个坐标平面，由OX，OY轴确定的坐标平面称为XY坐标平面。其余类推。如图8.1-2。 图8.1-2第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 给定一个三元数组(x, y, z )，如图8.1-3所示，我们沿OX轴走x单位距离(x 0，沿OX轴正向，x 0，沿OX轴负向)，接着再沿平行于OY轴的方向走y单位距离，再沿平行于OZ轴的方向走z单位距离，找到一点M。 反过来，若给定空间一点M，逆着上述过程可得到一个三元数组(x, y, z )。 图8.1-3 这样，空间中的点M，与三元数组(x, y, z )之间便建立了一一对应的关

5、系 M (x, y , z ) 三元数组(x, y, z )称为点M的坐标，x, y , z 分别称为点M 的第一分量、第二分量、第三分量。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 8.1.2 8.1.2 空间两点间的距离空间两点间的距离空间两点间的距离空间两点间的距离 由图8.1-4，利用勾股定理，可得空间两点M1 (x1, y1, z1 )，M2 (x2, y2 , z2 )之间的距离公式 图8.1-4它与直线上两点间的距离 平面上两点间的距离 具有同一个形式。由此，你不难得出四维、五维空间的两点间距离公式该是什么样子。 第八

6、章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 8.1.3 8.1.3 空间中的曲面与方程空间中的曲面与方程空间中的曲面与方程空间中的曲面与方程 一般说来，一个三元方程F(x,y,z) = 0有无穷多解，每一个解(x, y, z )在空间可表示为一个点，则方程F(x, y , z ) = 0的所有解将给出空间中的一张曲面S，我们把S叫做方程F(x, y , z ) = 0的曲面，而把方程F(x, y , z ) = 0叫做曲面S的方程。 例例例例8.1.18.1.1方程 (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2 (1)

7、 的解集，给出空间中的球面，球心在(x0, y0 , z0 )，半径为R。见图8.1-5。 方程(1)叫球面的方程。 图8.1-5第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 例例8.1.2方程 Ax + B y + Cz + D = 0 (2) 给出空间中的平面，平面在空间中的摆放，由系数A、B、C、D来确定。如图8.1-6、图8.1-7。 方程(2)叫平面方程的一般形式。 图8.1-7图8.1-6第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 例如，已知两点M1(1,-1,0)

8、，M2(2,0,-2)，考虑线段M1 M2的垂直平分面的方程。见图8.1-8。 | MM1 | = | MM2 | 图8.1-8 想象这个垂直平分面由一个动点M(例如铅笔的笔尖)描出，则M必满足方程 即 整理，得 x + y + 2z - 3 = 0 可见线段M1M2的垂直平分面的方程就是一个形如(2)式的方程。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 例例8.1.3方程 x2 + y2 = R2 的解集给出空间中的圆柱面，它在XY平面上的解集为一个圆。 用类似的分析可知,在空间直角坐标系中: 当点(x, y, 0)是方程的解，即

9、点(x, y, 0)在圆上，则对z，(x, y, z)也是方程的解。这些解构成过点(x, y, 0)平行于 z 轴的一条直线，所有这样的直线，就形成了一个圆柱面。如图8.1-9。 图8.1-9若方程缺少变量，其解曲面一定是平行于所缺变量坐标轴的柱面。 我们经常利用这一点来确定一个方程所表示的曲面在空间的摆放方式。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 例例8.1.4方程 x = 4，缺两个变量，因此方程所表示的曲面既平行于Y轴又平行于Z轴。方程x = 4的解集是平行于YZ坐标平面的平面，且到YZ坐标面的距离是4。如图8.1-10

10、。 注意，注意，x = 4在一维空间中表示一点，在二维空间中表示一条直线，方程的图形与所在空间的维数有关。 图8.1-10第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 8.2 8.2 多元函数多元函数多元函数多元函数 8.2.1 8.2.1 平面区域平面区域平面区域平面区域 平面上由一条或几条曲线围成的部分叫区域。如图8.2-1。 围成区域的曲线叫区域的边界曲线。 包括边界的区域叫闭区域，不包括边界区域的叫开区域。 图8.2-1第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 区域通

11、常由不等式组的解集给出。 例如,不等式x2 + y2 4的解集为闭圆域,见图8.2-2.图8.2-2表示为 。 不等式组 的解集为闭环域， 表示为 ，见图8.2-3。 图8.2-3区域叫点(x0, y0)的邻域，见图8.2-4。 图8.2-4第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 直观上，不连通的区域是由几块“彼此隔离”的区域组成的，如图8.2-7，而连通的区域是一块区域。 若区域延伸到无穷远，称区域为无界区域；若区域总能被某个半径为R的圆所包围，称区域为有界区域。 也为有界连通闭区域。如图8.2-5、 若区域内的任意两点,总可用

12、区域内的一条曲线联结,称区域为连通区域。例如， 为有界、连通、闭区域； 图8.2-6。 图8.2-6图8.2-5第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 8.2.2 8.2.2 多元函数的概念多元函数的概念多元函数的概念多元函数的概念 若变量u依赖于两个变量x, y，称变量u是两个变量x, y的二元函数，记为u = f (x, y)。 例如，一个矩形面积S，就依赖于矩形的长x和宽y，面积S就是一个二元函数，S = xy 。 若变量u 依赖于三个变量x, y, z，称变量u是三个变量x, y, z的函数，记为u = f (x, y,

13、z)。 例如，一个长方体，长、宽、高分别为x, y, z，则体积和表面积 V = x y z S = 2xy + 2yz + 2zx 都是一个三元函数。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 一般地，若变量u依赖于n个变量x1, , xn(此时变量不再用不同的字母表示，而是用带有下标的同一个字母表示)，称变量u是n个变量x1, , xn的n元函数，记为 u = f (x1, xn) 一般人们称多于一个自变量的函数，叫多元函数。在多元函数中，二元函数的理论最重要。因为二元函数，可以象一元函数那样用图形表示，因而一些结论直观，便于理

14、解，表述起来相对简单，而且二元函数也最常用。 更重要的是，多元函数的一般理论与二元函数是类似的。因此，以下两章中，就以二元函数为主进行讨论。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 与一元函数一样，自变量的变化范围称为函数的定义域，二元函数的定义域通常为平面上的一个区域。确定一个函数的定义域，也是考虑两个方面，一个是实际意义，一个是使函数的表达式有意义。例如矩形面积 S = xy 定义域就是XY平面上第一象限内点的集合 函数 的定义域，就是满足不等式 4 - x2 + y2 0 的解集，即 这是平面上的一个闭区域。 第八章第八章第

15、八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 将平面上的一个点(x, y)，用一个字母P表示(P为point的第一个字母)，在很多情况下表达起来是很方便的，这时u随着x, y的变化而变化，就可说u随着点P的变化而变化。u是x, y的函数，就可说u是P的函数，记成 u = f (P) 前面对多元函数的描述，不应算作是定义，因为其中有一个没有说清楚的东西，就是“u依赖于x, y”。正式的定义，应该把函数定义成一个对应规则： 这时二元函数表述起来几乎象一元函数一样。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8.

16、2 8. 2 定义定义定义定义 8.2.1 8.2.1： 设D是平面上的一个区域，若对PD，按照对应规则f，有唯一确定的实数u与之对应，称u是P的函数，记为 u = f (P) 或 u = f (x, y) 记D为f的定义域，x, y为自变量。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 8.2.3 8.2.3 二元函数的几何表示二元函数的几何表示二元函数的几何表示二元函数的几何表示 给定一个二元函数z = f (x, y)，其定义域为XY平面上的一个区域D，对(x,y)D，有唯一确定的z与之对应，以(x, y, z)为点的坐标，在空

17、间中可定出一点。 当(x, y)走遍D，所有这种点(x, y, z)便在空间中形成一张曲面，称为二元函数z = f (x, y)的图象或图形。用上节的术语，二元函数z = f (x, y)的图象，也就是方程z = f (x, y)的解曲面。见图8.2-8。 图8.2-8第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 2 8. 2 函数z = x2 - y2的图像，见图8.2-10。函数z = x2 - y2的图像常称为马鞍面。 例如：函数 的图像，见图8.2-9。函数 的图像常称为钟形曲面。 图8.2-9图8.2-10 函数z = x2 + y2的图像

18、，见图8.2-11。函数z = x2 + y2的图像常称为旋转抛物面。 图8.2-11第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 3 8. 3 8.3 8.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续 对于二元函数 8.3.1 8.3.1 二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限 z = f (P)，P为点(x, y) 其极限与连续的定义，在形式上与一元函数一样。 若当P P0时，f (P)无限趋于常数A，称当P P0时，f P)的极限为A，记为 或 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多

19、元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 3 8. 3 解：解：解：解： 例例8.3.1求 其中，第二步利用了重要极限。 解：解：解：解： 例例8.3.2求 = 0 其中，第二步利用了“有界量与无穷小量的积还是无穷小量”。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 3 8. 3 8.3.2 8.3.2 二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性 若当P P0时，f (P)的极限存在，且等于P0处的函数值，即 称二元函数在P0处连续。 若f (P)在区域D上处处连续，称f (P)在D上连续。若P表示n维空间中的点(x1,

20、 xn)，上述定义可看作是n元函数的极限与连续的定义。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 3 8. 3 8.3.3 8.3.3 连续函数的性质连续函数的性质连续函数的性质连续函数的性质 与一元函数类似，连续函数有性质： (1)若 f (x, y )，g (x, y ) 在 D 上连续，则 也在D上连续。 (2)连续函数的复合函数还是连续函数。 (3)若f (x)是一元连续函数，则把z = f (x)看作x, y的二元函数，也是二元连续函数。 ( 就像我们把y = C看作x的一元函数一样，在讨论二元函数时，我们把 z = f (x)看作x,

21、 y的二元函数，尽管z 并不依赖于y，或者说，尽管 f (x)中并不含有y )。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 3 8. 3 类似地，xy连续，ev连续，从而复合函数exy连续。 利用上述性质，就可由一元初等函数的连续性来判断一个二元函数的连续性。例如 由 x2，y2 连续，其和 x2 + y2 连续；sinu 连续，从而复合函数 sin (x2 + y2) 连续。 f (x, y) = sin (x2+y2) + exy 所以和sin (x2y2) + exy连续。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分

22、学多元函数微分学 8. 3 8. 3 8.3.4 8.3.4 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 有界闭区域上的连续函数具有下述性质： (1)若f (P)是有界闭区域上的连续函数，则f (P)必有界，即 M，使得| f (P)| M。 (2)若f (P)是有界闭区域上的连续函数，则f (P)必取得最大值与最小值， 即，存在 P1D，使得 f (P) f (P1) , PD 存在P2D，使得 f (P) f (P2) , PD 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 3 8.

23、3 即，C，m C M (3)若f (P)是有界连通闭区域上的连续函数，则对于任一介于最大值与最小值之间的值C，C必是某点的函数值 PD，s.t. f (P) = C 这些性质，记住就行了。 有界连通闭区域上的连续函数，其图形是一张连续的曲面。 下面一条性质，除了要求区域是“有界”的、“闭”的以外，还要求区域是“连通”的。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 8.4 8.4 偏导数偏导数偏导数偏导数 8.4.1 8.4.1 在一点处的偏导数在一点处的偏导数在一点处的偏导数在一点处的偏导数 对于二元函数z = f (x, y)，

24、将y固定在y0，则z = f (x, y0)便成为x的一元函数(见图8.4-1)。一元函数z = f (x, y0)在x0处的导数，称为函数 f (x, y)在(x0, y0)处对x的偏导数值，记为 几何上,偏导数值 是曲线 z = f(x, y0)在点(x0, y0, z0)处的切线的斜率。 图8.4-1第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 类似地 (见图8.4-2), 将x固定在x0，一元函数f (x0, y)在y0处的导数，称为函数f 在(x0, y0)处对y的偏导数，记为 几何上，偏导数值是曲线 z = f (x0, y

25、)在点(x0, y0, z0)处的切线的斜率。 图8.4-2第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 8.4.2 8.4.2 偏导函数偏导函数偏导函数偏导函数 若 f 在区域D内每一点 (x, y) 处都有对x的偏导数，fx(x, y)，则 fx(x, y)是定义在D上的二元函数，称为f 对x的偏导(函)数，通常括号中的“函”字并不读出，对x的偏导数还常记为 类似地，可定义对y的偏导数，对y的偏导(函)数，常记为 注注：函数 f(x,y)对x的偏导数在(x0, y0)处的值，除了记为fx(x0, y0)外，还常记为 第八章第八章第八

26、章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 对y的偏导数在(x0, y0)处的值，除了记为fy (x0, y0)外，还常记为 由上述定义可见： f 对x的偏导数，就是在f (x, y)中， 将y看作常数(f (x, y)看作x的一元函数)时，对x的导数。 符号fx()表示：将其它变量都看作常数，对x求导。 符号fy()表示：将其它变量都看作常数，对y求导。 这样，求偏导数在方法上与一元函数一样。 fx (x, y) = 将y看作常数，对x导 fy (x, y) = 将x看作常数，对y导 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微

27、分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 例例8.4.1求 z = yx 的偏导 解：解：解：解： (y看作常量，yx就是指数函数) (x看作常量，yx就是幂函数) 函数在一点(x0, y0)处的偏导数,也就是偏导函数在(x0, y0)处的值。解：解：解：解： 例例8.4.2z = f (xy), 求 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 解：解：解：解： 上述偏导数的概念与计算，我想，你已经知道该如何推广到n元函数。 例例8.4.3 求 设有n元函数u = f (x1, xn) = 将其它变量都看作常数，对xi导 i =1, n

28、 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 解：解：解：解： 注意，在偏导数记号fx (x, y)中，应当把作为“下标”的字母x与作为“变量”的字母x区别开来，下标字母只表示对谁求导。 类似地，有 所以， 例例8.4.4设函数 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 8.4.3 8.4.3 高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数 定义定义定义定义 8.4.18.4.1： 二元函数z = f (x, y)的偏导数，有两个 它们仍为x, y的二元函数，对它们可以继续求偏导

29、。 fx (x, y)，fy (x, y) 或 数f 的偏导数的偏导数，称为f 的二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有四个,记为 一般地，n -1阶偏导数的偏导数称为n阶偏导。 按照上述定义,求二阶偏导,只要“导了再导”就可以,以下类推。第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 解：解：解：解： 例例8.4.6求 z = exy + x的二阶偏导 = 3x2y2 - 2xy3 + y ； = 2 x3y - 3x2y2 + x = 6xy2 - 2y3 ； = 6x2y - 6xy2 + 1 = 6x2y - 6xy2 + 1 ； =

30、 2 x3 - 6x2y 注意： 。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 解：解：解：解： 例例8.4.5求z = x3y2 - x2y3 + xy 的二阶偏导 = y exy + 1 ； = xexy = y2exy ； = exy + x y exy = exy + x y exy ； = x2exy 注意： 。 二阶偏导数 叫二阶混合偏导。二阶混合偏导一般说来与求导顺序有关，但在下述条件下，与求导顺序无关。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 4 8. 4 定理定理定

31、理定理 8.4.1 8.4.1： 若二阶混合偏导 连续,则与求导顺序无关,即 当混合偏导与求导顺序无关,则可以写类似于“ ”的式子。 偏导数fx 表示，z对x的变化率，也就是当y不变，x变化一单位，z将变化几单位。类似地，fy 表示z对y的变化率。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 5 8. 5 8.5 8.5 全微分全微分全微分全微分 8.5.1 8.5.1 微分的概念微分的概念微分的概念微分的概念 一元函数在一点x0处可微，是指存在线性函数 Ax，使得函数改变量 y能够表示为 (1) 其中| x |是x0到x0 + x的距离。为了便于

32、类比，将其表示为距离的一般形式 于是(1)式又可表示为 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 5 8. 5 类似地，二元函数在一点(x0, y0)处可微，也是指在这点处的函数改变量z可以用一个线性函数近似，即，存在线性函数Ax+ By，使得函数改变量z可以表示成 其中 为由点(x, y)到点(x + x，y + y)距离。 有了这些准备，我们可以正式提出定义了。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 5 8. 5 定义定义定义定义 8.5.1 8.5.1： 设f 在(x0, y0)的某个领域

33、内有定义，若存在线性函数Ax+ By，使得函数改变量z = f (x0+x，y0+y) - f (x0, y0)可以表示为 dz = Ax + By (2) 称f 在(x0, y0)处可微，并称线性部分Ax+ By为f 在(x0, y0)处的全微分，记为dz，即 由定义可知，f 在(x0, y0)处可微是指： 函数改变量可用线性函数近似(因为这个线性函数与函数改变量只差一个高阶无穷小量)，这个线性函数就叫全微分。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 5 8. 5 例如，z = x2 + y2 注意，注意，全微分是“线性函数”，而不是一个“数

34、”。 z = x2 + y2 在 (x0, y0) 处可微，且微分就是dz = 2x0x + 2y0y ，它是关于x，y的线性函数。 其中 就是 。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 5 8. 5 8.5.2 8.5.2 可微充分条件，全微分的计算可微充分条件，全微分的计算可微充分条件，全微分的计算可微充分条件，全微分的计算 定理定理定理定理 8.5.1 8.5.1： 若f (x, y)的偏导数在(x0, y0)的某邻域内存在，且在(x0, y0)处连续，则f (x, y)在(x0, y0)处可微，且 自变量的改变量x, y，习惯上写成d

35、x, dy，因而(x0, y0)处的全微分为 (3) 若f 在D内处处可微，称f 在D上可微，此时f 在D上的全微分为 这个定理告诉我们，微分定义中的系数A就是偏导数 fx(x, y)，系数B就是偏导数 fy(x, y)。于是计算全微分，只需计算fx(x, y)，fy(x, y)，再代入(3)式。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 5 8. 5 解：解： 例例8.5.1 ，求dz 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 5 8. 5 解：解： 例例8.5.2求函数 的全微分 解：解： 例例

36、8.5.3u = xyz + exyz , 求du。 = yz + exyz yz = yz (1+ exyz) = xz + exyz xz = xz (1+ exyz) = xy + exyz xy = xy (1+ exyz) 可得 du = (1+ exyz )(yzdx + xzdy + xydz) 。 类似地，n元函数的全微分为(4) 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 8.6 8.6 复合函数微分法复合函数微分法复合函数微分法复合函数微分法 8.6.1 8.6.1 两个中间变量，一个自变量两个中间变量，一个自变量

37、两个中间变量，一个自变量两个中间变量，一个自变量 复合函数求偏导，基本规则就是链式法则：即复合函数的导数，是各函数导数的乘积。但多元函数的复合方式多种多样，链式法则的形式也就五花八门。这里的关键，是搞清楚复合关系，并正确地画出复合关系图。 我们通过两种情况，来介绍复合函数求偏导数的方法。其余可依此类推。 设有复合函数 它由z = f (u,v)，u = (x)，v = (x)复合而成，u和v称为中间变量。这一复合关系可用图8.6-1表示： 图8.6-1 图8.6-1常说成：z到x有两条路，每条路有两步，一条线段表示一步。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元

38、函数微分学 8. 6 8. 6 定理定理定理定理 8.6.1 8.6.1： 若z = f (u,v)可微,u = (x),v = (x)可导,则复合函数可导,且 (1)式称为链式法则。 (1) 证：证：证：证：由z = f (u, v)可微，有 两边同除以x， 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 令x0，注意到 0， (当x0) 有 书写中，常 将记成 f1(u,v)，甚至更简单地，记成f1。f1表 示 f 对第一变量求导。类似地， 记成f2 。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分

39、学 8. 6 8. 6 将链式法则与复合关系图8.6-1比较，可见有下列对应关系： 例如， z对u的导数就是偏导,记为 ；同理,对v的导数就是偏导 。u x： u对x就是一元函数的导数，记为 。 每条路中，各步导数相乘。 一步对应一次求导，若有分叉，对应着偏导。 例如，z u x这条路，对应 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 将z到x的所有条路的导数相加： z u x这条路，对应着 z v x这条路，对应着 将这两路的导数 相加,即 。 这样，对复合函数求导，就可以先画出复合关系图，然后再按照上述对应关系，照图写式。这是直观

40、、方便、又不易出错的一种方法。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 例例8.6.1 解：解：解：解： 其中u = x2，v = sinx， 由链式法则，有 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 8.6.2 8.6.2 两个中间变量，两个自变量两个中间变量，两个自变量两个中间变量，两个自变量两个中间变量，两个自变量 设有复合函数，它由z = f (u, v)，u = (x, y)，v = (x, y)复合而成，这一复合关系可用图8.6-2表示： 图8.6-2第八章

41、第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 定理定理定理定理 8.6.2 8.6.2： 若z = f (u, v)可微，u = (x, y)，v = (x, y)偏导存在，则复合函数的两个偏导数存在，且 (2)式称为复合函数的链式法则。通常人们所说的链式法则，一般指(2)式。 将y看作常数，就归结为定理8.6.1的情况。由定理8.6.1，(2)的第一式成立，类似地，将x看作常数，可知(2)的第二式也成立。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 例例8.6.2 解：设u = x

42、2 + y2，v = sinxy，则 要注意复合关系图与链式法则的对应关系： 一步一导，分叉偏导； 按路相乘； 各路相加。 z到x有两条路：z u x，z v x。按照“按路相乘”“各路相加”的规则，有 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 画出复合关系图； z到y有两条路：z u y，z v y。所以 注意，注意，f1是fu(u, v)的简记形式。对于简记形式，心中必须清楚其完整表达的形式。类似地，f2是fv(u, v)的简记形式。 从上面的例子可以看出，对复合函数求导，我们并没有直接套公式，而是 再看几个例子。 按照规则：一

43、步一导、分叉偏导、按路相乘、各路相加、照图写式。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 于是， 例例8.6.3设 解：设u = x , v = x y , w = x2y2，则 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 6 8. 6 于是， 例例8.6.4设 解：解：解：解：设u = x y , 则 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 7 8. 7 8.7 8.7 隐函数微分法隐函数微分法隐函数微分法隐函数微分法 8.7.1 8

44、.7.1 由方程由方程由方程由方程F F( (x x, , y y) = 0 ) = 0 确定的隐函数确定的隐函数确定的隐函数确定的隐函数 y y = = y y( (x x) )的导数的导数的导数的导数 隐函数求偏导的规则与以前一样，仍是： “记住y是x的函数，两边对x导，解出y”。 只不过现在是利用偏导数符号，把这一规则公式化了。 当 ，方程F(x, y) = 0，确定隐函数y = y (x)，代入方程 F( x, y(x) ) = 0 (1) 注意左边的复合关系，见图8.7-1： 图8.7-1第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 7 8

45、. 7 F到x有两条路：F x，F y x， 于是，(1)式两边对x求导： (2) 这就是由方程F(x, y) = 0确定的隐函数的导数公式。以后再求隐函数的导数，你可以直接用这个公式。当然也可以仍如从前那样：两边对x导，解出y。 解出 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 7 8. 7 注注1当 ，方程F(x, y) = 0，可确定隐函数y = y(x)，当 ，方程F(x, y) = 0，可确定隐函数x = x(y)。 注注2方程F(x, y) = 0，确定隐函数y = y(x)，但并不意味着我们能把y解出来而写成显式。把y解出写成显式，常

46、常很困难，甚至是不可能的。 例例8.7.1求由 siny + xey = xy2 确定的隐函数y = y(x)的导数。 解：解：解：解：原方程可变为siny + xey - xy2 = 0 (标准形式，右边是零) 设 F(x,y) = siny + xey - xy2，则有 于是 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 7 8. 7 8.7.2 8.7.2 由方程由方程由方程由方程F F( (x x, , y y, , z z) = 0 ) = 0 确定的二元隐函数的导数确定的二元隐函数的导数确定的二元隐函数的导数确定的二元隐函数的导数 当 ，

47、方程 F(x, y, z) = 0，确定二元隐函数 z = z (x, y)，将此式代入方程 F ( x, y, z(x, y) ) = 0 (3) 注意左边的复合关系，见图8.7-2： 图8.7-2F到x有两条路：F x，F z x， 于是，(3)式两边对x求导(把y看作常数)： 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 7 8. 7 (4) 这是由方程F(x, y, z) = 0确定的隐函数的导数公式。 解出 (5) 类似的 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 7 8. 7 同样的，求F(

48、x, y, z) = 0确定的隐函数的导数，你可以用这个公式，也可以： 将y看作常数，两边对x导，解出 ，。 注注1. 当 ，方程F(x, y, z) = 0，可确定隐函数z = z(x, y)。 注注2. 当 ，方程F(x, y, z) = 0，可确定隐函数x = x(y, z)。 还有一种情况，你可以自己说出。 符号z(x, y)表示z是x, y的函数，x(y, z)表示x是y, z的函数。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 7 8. 7 令 F(x,y,z) = sinz - xyz 例例8.7.2sinz = xyz 确定 z =

49、 f (x,y), 求 解：解：解：解：化为标准形 sinz - xyz = 0 由公式(4)、(5)，有 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 8.8 8.8 二元函数的极值二元函数的极值二元函数的极值二元函数的极值 8.8.1 8.8.1 极值的概念极值的概念极值的概念极值的概念 为方便表述，本节中p0表示点(x0, y0)，p表示点(x, y)。 若存在p0的某邻域N(p0)，s.t. p N (p0)，有 f (p) f (p0) 称f (p0)为f的一个极大值，p0为一个极大值点。见图8.8-1。 图8.8-1第八章第

50、八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 8.8.2 8.8.2 极值必要条件极值必要条件极值必要条件极值必要条件 定理定理定理定理 8.8.18.8.1： 若f在p0处偏导数存在，且p0为极值点，则 fx(p0) = 0， fy(p0) = 0 证：证：证：证：不妨设 p0为极大值点，则存在 p0 的某邻域 N(p0)，s.t. p N (p0)，有 f (p) f (p0) 特别，有 f (x, y0) f (x0, y0) 这说明f (x0, y0)是一元函数f (x, y0)的极大值点。 由一元函数极值必要条件，知 fx(x0, y

51、0) = 0 同理，有 fy(x0, y0) = 0 证毕 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 使两个偏导同时为0的点，称为二元函数的驻点。 (在三元函数中,使三个偏导数同时为0的点,叫驻点。其余类推) 定理8.8.1说，偏导数存在的极值点必是驻点。 但驻点不一定是极值点。 例如(见图8.8-2)，(0,0)是驻点,但(0,0)不是f的极值点,因为 沿直线y = 0， f (x, 0) = -x2 f (0, 0) = 0， 沿直线x = 0， f (0, y) = y2 f (0, 0) = 0 图8.8-2f (x, y)

52、 = y2 - x2 fx = -2x，fy = 2y fx(0,0) = 0，fy (0,0) = 0 函数z = y2 -x2的图形称为马鞍面，点(0, 0)称为鞍点。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 极值点也可能在偏导不存在的点处取得，见图8.8-3。但这样的点没法使用微积分的工具，我们不予考虑。 图8.8-3第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 8.8.3 8.8.3 极值充分条件极值充分条件极值充分条件极值充分条件 定理8.8.1说，在偏导数存在的

53、情况下，极值点必是驻点。因此为求极值点，要先求驻点。 驻点可以通过解方程组 求出。 但有例子说明，驻点又不一定是极值点。下述充分条件，能使我们从驻点中进一步“选出”极值点。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 定理定理定理定理 8.8.2 ( 8.8.2 (二元函数极值充分条件二元函数极值充分条件二元函数极值充分条件二元函数极值充分条件) )： 设f (x, y)在点(x0, y0)的某邻域内有二阶连续偏导数，(x0, y0)为f 的驻点，记 = B2 -AC 则 当 0，是极小值点； 当A 0，(x0, y0)不是极值点。

54、注意：当 = 0，本判别法失效。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 8.8.4 8.8.4 极值计算步骤极值计算步骤极值计算步骤极值计算步骤 由上述讨论，对于二元函数f (x, y)，可按下述步骤计算极值。 解方程组 求驻点； 计算三个二阶偏导数； 计算三个二阶偏导数在驻点处的值A，B，C， 根据 以及A的符号确定(x0, y0)的极值情况。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 例例8.8.1求f (x,y) = y3 - x2 + 6x -12y + 5的

55、极值。 . 计算三个二阶偏导数 . 计算三个二阶偏导数在驻点处的值A，B，C， (3,-2) = 02 - (-2) (-12) = -24 0 (3, 2)不为极值点。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 例例8.8.2要用铁皮做一个容积为8立方米有盖长方体水箱，怎样选取长、宽和高的尺寸，才能使用料最省？ 解解解解: : : :设水箱的长、宽、高各为x米、y米、z米,则xyz = 8立方米。设水箱的表面积为 S，则S = 2 ( xy + yz + zx )， (这是在条件xyz=8下,求S=2(xy+yz+zx)的极值,是

56、条件极值问题) 由条件xyz = 8解出 ,代入函数S = 2 ( xy + yz + zx ),得 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 由 有 由实际意义，水箱所用铁皮面积有最小值，又只有一个驻点(2,2)，所以驻点(2,2)就是使S取得最小值的点。因此，当x = y = 2时，水箱所用材料最省。 从而解得 , 代入 , 得 , 得驻点(2,2) 。第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 98.9 8.9 条件极值条件极值条件极值条件极值 8.9.1 8.9.1 条件

57、极值问题条件极值问题条件极值问题条件极值问题 引例引例引例引例1 1用16米长的铁丝, 做一个矩形,怎样做矩形的面积最大?你可能已经知道了答案，但这里是以此例来说明概念。 设矩形的长为x,宽为y,如图8.9-1。面积为S,则周长为2x+2y。 图8.9-1这一问题可表述为： 求函数 S = xy 在条件 2x + 2y = 16 下的极值问题。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9 函数S = xy是我们要最大化的对象，或者说是我们要最优化的对象；方程2x + 2y = 16称为约束条件。 从实际意义上讲，约束条件反应了资源的限定

58、。 从数学意义上讲，约束条件是对函数S = xy的自变量的取值范围的约束。 由于约束的存在，自变量的取值范围受到限制，自变量的取值范围变小了。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9 引例引例引例引例2 2做一个容积为8立方米的密闭长方体水箱，怎样做表面积最小(即用材料最省)？ 设水箱的长、宽、高分别为x、y、z，如图8.9-2。表面积为S。 这一问题可表述为： 求函数 S = 2( xy + yz + zx ) 在条件 xyz = 5 下的极值问题。 图8.9-2 函数S = 2(xy + yz + zx)是我们要最小化的对象，或

59、者说是我们要最优化的对象；方程xyz = 8称为约束条件。 这种求函数 f 在一定条件下的极值问题，称为“条件极值”问题。相应的，8.8中所讨论的极值问题为“无条件极值”问题。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9上述两个引例虽然很简单,却代表了经济活动中两类基本问题： 一是在资源一定的条件下，追求利益最大； 一是在目标一定的条件下，追求成本最小。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 98.9.2 8.9.2 条件极值的计算条件极值的计算条件极值的计算条件极值的计算 求

60、解条件极值的基本思想是化为无条件极值。化为无条件极值的方法有： (1)从条件极值中解出一个变量,代入函数中化为无条件极值。例例8.9.1求S = xy，在条件2x + 2y = 16下的极值。 解解解解：由2x + 2y = 16，有y = 8- x，代入S = xy中，有 S = x (8- x) = - x2 + 8x S (x) = -2 x +8 令 S(x) = 0，得驻点x0 = 4， 又 S” = -2，S”(4) 0 。 当x0 = 4，从而y = 4时，面积最大。 在约束条件为线性方程时，这种方法比较方便。 但大多数情况下，要从约束条件中解出一个变量很难，甚至不可能，这时常用

61、拉格朗日乘数法。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9(2)拉格朗日(Lagrange)乘数法。 下面我们要经历一段漫长的分析说明过程，试图说明拉格朗日乘数法的基本思想。如果你对这样一种分析不满 (不管出于什么原因)，你可以跳过它，直奔结果。 对于条件极值问题： 求函数 S = xy 在条件 2x + 2y = 16 下的极值问题。 以前是这样求解的： . 从条件方程中解出y：y = 8-x . 代入函数S中： S = xy = x(8-x) = 8x - x2 . 求此一元函数的无条件极值： 第八章第八章第八章第八章 多元函数微

62、分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9对于一般的条件极值问题： 求函数 z = f (x, y) 在条件 g (x, y) = 0 下的极值。 . 设想从条件方程g (x, y) = 0中解出y：y = (x) . 代入函数z = f ( x, y)中：z = f ( x, y) = f ( x, ( x) . 求此一元函数的无条件极值： 按照同样的思路求解，就会得出一个程序化的求解步骤，称为拉格朗日乘数法。 求z = f (x, (x)的导数， 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9注意到z = f (x

63、, (x)，有如图8.9-2所示的复合关系， 有 解方程： (1) 图8.9-2( 由隐函数求导法，有 ) 得可能的极值点x0(也就是驻点)。 方程(1)说明：为了求可能的极值点x0，只需要得到 这些数据。为了得到这些数据，不需要解出显函数然后再代入，直接求导数就可以得到。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9(2) 解此方程组，得可能的极值点(x0, y0)。 为了使方程组(2)更加简洁和对称，我们令 这里还有一个麻烦，就是方程(1)是关于x, y的一个二元方程，有无穷多个解，还需要一个条件才能定解。注意到x, y总是要满足约束

64、条件，因此我们可以把约束条件加进来，构成方程组(2)： (3) 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9(4) 于是方程组(2)可表示为： (注意方程组(4)中的第二个方程是由方程(3)变形而来) 解此方程组，即得可能的极值点( x0, y0 )。 注意到方程组(4)实际上是三元函数F(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y)的三个偏导数构成的，解方程组(4)我们得到函数F(x, y, )的可能的无条件极值点。这样我们就把条件极值问题转成了函数F(x, y, )的无条件极值问题。 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分

65、学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9总结上述，我们有 求函数 z = f (x, y) 在条件 g(x, y) = 0 下的条件极值的步骤： 作辅助函数 (拉格朗日函数) 由实际意义确定(x0, y0)是否为极值点。 F(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y) (其中叫拉格朗日乘数) 解方程组 ，求可能的极值点(x0, y0) 第八章第八章第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9例例8.9.2求函数S = 2( xy + yz + zx ),在条件xyz = 8下的最小值。解：解：解：解：设F( x, y, z , ) = 2 ( xy + yz + zx ) + (8-xyz )， 解方程组：(注意，约束条件一定要写成g(x, y) = 0的形式) (1) x，(2) y，(3) z，注意到xyz = 8，得 解得 x = y = z = 2。 由实际意义知S有最小值,由于只有一个驻点 (2,2,2) 所以该驻点也是最小值点。