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1、第第2828讲讲 数列中的综合问题数列中的综合问题第第2828讲数列中的综合问题讲数列中的综合问题知识梳理第第2828讲讲 知识梳理知识梳理 1 1等差数列和等比数列的综合等差数列和等比数列的综合 等差数列中最基本的量是其首项等差数列中最基本的量是其首项a a1 1和公差和公差d d，等比数列中，等比数列中最基本的量是其首项最基本的量是其首项a a1 1和公比和公比q q，解决等差数列和等比数列的，解决等差数列和等比数列的综合问题关键就是根据已知的条件建立方程组，从中解出数综合问题关键就是根据已知的条件建立方程组，从中解出数列的这两个基本量，来解决问题的列的这两个基本量，来解决问题的 2 2数
2、列和函数数列和函数 等差数列的通项公式和前等差数列的通项公式和前n n项和公式分别是关于项和公式分别是关于n n的一次的一次和二次函数，等比数列的通项公式和前和二次函数，等比数列的通项公式和前n n项和公式在公比不等项和公式在公比不等于零的情况下是公比于零的情况下是公比q q的方幂的函数，可以根据函数的观点解的方幂的函数，可以根据函数的观点解决数列问题决数列问题第第2828讲讲 知识梳理知识梳理 3 3数列和不等式数列和不等式 数列问题往往和不等式问题相交汇，通过数列的通项以及求数列问题往往和不等式问题相交汇，通过数列的通项以及求和，然后解决一个不等式问题，这类不等式是关于正整数的不等和，然后
3、解决一个不等式问题，这类不等式是关于正整数的不等式，可以通过比较法，基本不等式法，导数方法和数学归纳法解式，可以通过比较法，基本不等式法，导数方法和数学归纳法解决决 4 4数列的应用题数列的应用题 解决数列应用题的基本步骤是：解决数列应用题的基本步骤是： (1) (1)根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；用数列表示问题的已知； (2) (2)根据等差数列和等比数列的知识，以及实际问题的要求根据等差数列和等比数列的知识，以及实际问题的要求建立数学模型；建立数学模型； (3) (3)求出数学模型，根据求解结果对实际问
4、题作出结论求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论要点探究探究点探究点1等差数列和等比数列的综合等差数列和等比数列的综合第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究 思路思路 (1) (1)根据条件求出等差数列的首项根据条件求出等差数列的首项a a1 1和公差和公差d d即即可；可；(2)(2)根据求出的等差数列求出等比数列的公比，按照求根据求出的等差数列求出等比数列的公比，按照求和公式计算即可和公式计算即可 第第2828讲讲 要点探究要点探究探究点探究点2数列与函数的综合数列与函数的综合第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第282
5、8讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究探究点探究点3数列与不等式的综合数列与不等式的综合第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究 思路思路 (1) (1)对递推式进行倒数变换；对递推式进行倒数变换；(2)(2)求出数列求出数列的通项公式，进行变换；的通项公式，进行变换；(3)(3)适当地进行放缩适当地进行放缩 第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究探究点探究点4数列的实际应用问题数列
6、的实际应用问题第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究 思路思路 显然各年末的实际住房面积是其前一年的显然各年末的实际住房面积是其前一年的实际住房面积乘以实际住房面积乘以1.11.1再减去拆除的面积，根据这个规再减去拆除的面积，根据这个规律逐个写出各年末的实际住房面积，根据已知列方程律逐个写出各年末的实际住房面积，根据已知列方程求解即可求解即可 第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要点探究要点探究第第2828讲讲 要
7、点探究要点探究规律总结第第2828讲讲 规律总结规律总结 1 1在等差数列和等比数列的综合问题中，方程和函数在等差数列和等比数列的综合问题中，方程和函数思想占有重要位置，如通过方程求解基本量、如通过函数思想占有重要位置，如通过方程求解基本量、如通过函数研究运动变化情况，在本节中要体会函数与方程思想的应研究运动变化情况，在本节中要体会函数与方程思想的应用用 2 2数列本身就是一种函数，在函数的观点下研究数列数列本身就是一种函数，在函数的观点下研究数列问题是研究数列的方法之一问题是研究数列的方法之一 3 3数列中不等式问题一般是关于正整数的不等式，解数列中不等式问题一般是关于正整数的不等式，解决不
8、等式问题的方法都可以用来解决数列中的不等式，但决不等式问题的方法都可以用来解决数列中的不等式，但要注意在使用导数研究数列中的不等式时要把离散的正整要注意在使用导数研究数列中的不等式时要把离散的正整数变量转化为在数变量转化为在(0(0，) )上的函数上的函数 第第2828讲讲 规律总结规律总结 4 4解数列实际应用问题的关键是识别数列模型，设解数列实际应用问题的关键是识别数列模型，设置相应的数列表示实际问题，在本讲中要特别注意例题置相应的数列表示实际问题，在本讲中要特别注意例题4 4的数列模型，这种既增长又消亡的模型在自然界中是大量的数列模型，这种既增长又消亡的模型在自然界中是大量存在的，如公司每年的利润按照一定的增长率增长，但公存在的，如公司每年的利润按照一定的增长率增长，但公司在年底还要把利润拿出一部分用于基础建设，就是这样司在年底还要把利润拿出一部分用于基础建设，就是这样的一个模型的一个模型
