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1、二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程第六节第六节 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构证毕1. 线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理叠加原理) 定理定理1.说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无
2、关线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数, 故方程的通解为推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为则2. 线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解
3、, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .解的叠加原理解的叠加原理推广:分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是
4、二阶非齐次线性方程的解, 是任意例1.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)例2. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 例例3 3解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（）原方程为（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为思考题思考题思考题解答思考题解答都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解原方程的通解原方程的通解练练 习习 题题 练习题答案练习题答案
