《微分方程2ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程2ppt课件（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章第九章 微分方程微分方程第一节 微分方程的概念引例：引例：解解微分方程微分方程解解微微分分方方程程前言前言变量与量与导数或微分数或微分之之间的关系的关系变量量间的函数关系的函数关系微分方程微分方程解微分方程解微分方程微分方程也是一个数学模型。许多实践问题可以笼统为微分方程问题。例如：物体的冷却、人口的增长、电磁波的传播等。微分方程是一门独立的数学学科，有完好的实际体系。本章主要引见微分方程的一些根本概念，几种最简单的微分方程的求解方法。9.1 微分方程的普通概念微分方程的普通概念一、微分方程的定一、微分方程的定义凡含有未知函数的凡含有未知函数的导导数或微分的方程叫微分方程数或微分的方程叫
2、微分方程. .例例本本质: : 联络自自变量量, ,未知函数以及未知函数的某未知函数以及未知函数的某些些导数数( (或微分或微分) )之之间的关系式的关系式. .微分方程的微分方程的阶: : 微分方程中出微分方程中出现的未知函数的最的未知函数的最高高阶导数的数的阶数数. .例例1、解：解：根据题意可得：物体冷却的物体冷却的数学模型数学模型微分方程微分方程微分方程微分方程分分类1: 1: 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. .分分类2:2:一一阶微分方程微分方程高高阶(n)(n)微分方程微分方程二、微分方程的分类二、微分方程的分类一元函数一元函数普通方式普通方式三、微分方程解
3、的概念三、微分方程解的概念1 1、微分方程的解、微分方程的解: :代入微分方程能使方程成代入微分方程能使方程成为恒等式的函数恒等式的函数. . 可以验证函数以下函数为微分方程 的解解为解为2、微分方程的解的分、微分方程的解的分类类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有恣意常数微分方程的解中含有恣意常数, ,且独且独立的恣意常数的个数与微分方程的立的恣意常数的个数与微分方程的阶阶数一数一样样. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中恣意常数以后的解确定了通解中恣意常数以后的解. .3 3初始条件初始条件: : 用来确定恣意常数的条件用来确定恣意常数的条件. .如：如：4 4初初值问
4、题: : 求微分方程求微分方程满足初始条件的解的足初始条件的解的问题. .一阶一阶:过定点的定点的积分曲分曲线;二阶二阶:归纳：归纳：微微分分方方程程的的解解通解通解特解特解初始条件初始条件微分方程微分方程初值问题3 3、微分方程解的几何意义、微分方程解的几何意义解的解的图象象: : 微分方程的微分方程的积分曲分曲线. .通解的通解的图象象: : 积分曲分曲线族族. .一阶微分方程初值问题的几何意义：求微分方程经过定点的积分曲线。解解所求特解所求特解为小小结微分方程微分方程; 微分方程的微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件;特解特解; 初初值问题; 积分曲分曲
5、线;思索思索题思索思索题解答解答中不含恣意常数中不含恣意常数,故故为微分方程的特解微分方程的特解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案第九章 微分方程第二节 一阶微分方程复习：复习：一一阶方程的普通方式方程的普通方式为初值问题：初值问题： 这这个方程个方程虽虽然然简单简单，但，但经经常很常很难难求出解的表达式求出解的表达式本本节只只讨论几种特殊几种特殊类型的一型的一阶微分方程的解法。微分方程的解法。9.2 一一阶阶微分方程微分方程教学义务两两边积分得分得两两边积分得分得 或或两两边积分得分得 一、可分别变量的微分方程一、可分别变量的微分方程可分可分别变量的微分方程量的微分方程1、方程的特点及方
6、式已分已分别变量的微分方程量的微分方程可分可分别变量的微分方程量的微分方程留意方程右留意方程右边解法解法分别变量法分别变量法为微分方程的解微分方程的解.求解步求解步骤：1分分别变量量2两两边积分分3化化简整理得通解整理得通解例例1、解：解：分别变量得：两边积分微分方程的通解微分方程的通解为：例例2、解：解： 分别变量得：两边积分得 微分方程的通解微分方程的通解为：例例3、解：解： 变形方程得：分别变量得：两边积分得微分方程的通解微分方程的通解为：小结：小结：分分别变量法量法分分别变量量两两边积分分通解通解留意：留意：特殊情形的求解例例4、求解初值问题：、求解初值问题：解： 分别变量得：两边积分
7、复习：复习：分分别变量法量法分分别变量量两两边积分分通解通解特殊情形：特殊情形：解解分分别变量量两两边积分分微分方程的通解微分方程的通解为：二、齐次方程二、齐次方程1.1.定定义义的微分方程称的微分方程称为齐次方程次方程. .引例：求解微分方程引例：求解微分方程解：变形方程得：微分方程的通解微分方程的通解为：2.解法解法 作作变量代量代换代入原式代入原式可分别变量的方程可分别变量的方程3.步步骤骤4回代复原1变量变换2代入原方程，化为可分别变量的方程3求解新方程例例5、解解令令那那么么代入化代入化简 并分并分别变量量两两边积分分换回原回原变量量或或例例6 6 、 求解微分方程求解微分方程解解微
8、分方程的解微分方程的解为二、齐次方程二、齐次方程步步骤回代复原回代复原变量代换法例例7 7、 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解微分方程的解为三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一一阶线性微分方程的性微分方程的规范方式范方式:y和和y是一次的是一次的举例例线性方程线性方程非线性方程非线性方程一一阶线性微分方程的解法性微分方程的解法:1. 线线性性齐齐次方程次方程方程的通解方程的通解为例例8、解：解：代入原方程得：代入原方程得：原方程的通解为：解微分方程：一一阶线性微分方程的解法性微分方程的解法:2. 线线性非性非齐齐次方程次方程常数常数变易法易法非非齐次方程的通解次方程的通解为常数变
9、易法步骤：例例9、解：解：代入原方程得：原方程的通解原方程的通解为：解微分方程：例例10、解：解：代入原方程得：原方程的通解原方程的通解为：解微分方程：一一阶线性微分方程的解法性微分方程的解法:1. 线线性性齐齐次方程次方程齐次方程的通解次方程的通解为2. 线线性非性非齐齐次方程次方程常数常数变易法易法非非齐次方程的通解次方程的通解为一一阶非非齐次次线性微分方程的通解性微分方程的通解为:对应齐次次方程通解方程通解非非齐次方程特解次方程特解非非齐通解通解 = 齐通解通解 + 非非齐特解特解线线性微分方程解的构造。性微分方程解的构造。第九章 微分方程第三节 可降阶的二阶微分方程引入：引入：二二阶微
10、分方程的普通方式微分方程的普通方式两种特殊方式两种特殊方式一、一、特点：特点：右端不含右端不含 仅是是 x 的函数的函数 解法：解法：两端两端积分分再再积分分解法：解法： 延延续n次次积分分例例1、解：解：例例2、解：解：二、二、 型型特点：特点： 右端不含右端不含 y 解法：解法：令令 一一阶微分方程微分方程积分分例例3解方程解方程解解令令分分别变量得量得由由由由故故前往三、三、 型型特点：特点：右端不含右端不含 x解法：解法： 令令例例4解：解：代入原方程得代入原方程得 原方程通解原方程通解为小结：小结：方程解法延续积分微分方程的根本概念方程方程特点特点解法解法可分别变量的方程两边积分两边积分齐次方程线性方程常数变易法常数变易法一阶微分方程的求解方程方程解法解法延续积分几种二阶微分方程的解法第九章 微分方程第四节 微分方程的运用 例1、某种气体的气压 P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比，将此问题用微分方程表示.解：由题意可得：解：由题意可得：解：由题意建立初值问题：解得：
