《高等数学：D1_5极限运算法则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：D1_5极限运算法则（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节极限运算法则时, 有一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 .设当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设u在x0的领域内有定义且有界，则又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论推论 1 .
2、 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .例例1. 求解解: 利用定理 2 可知说明说明 : y = 0 是的渐近线 .二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证证: 因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 若定理定理 4 . 若则有提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .( C 为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数 )为无穷小定理定理 5 . 若且 B0 , 则有证
3、证: 因有其中设因此由极限与无穷小关系定理 , 得为无穷小,定理定理6 . 若则有提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .定理定理7: 若且则利用保号性定理证明 .提示提示: 令例例2. 设 n 次多项式试证证证: x = 3 时分母为 0 !例例3. 设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 证证: 说明说明: 若不能直接用商的运算法则 .例例4. 若例例5 . 求解解: x = 1 时分母 = 0 , 分子0 ,因且在x=1的去心邻域内不等于0,例例6 . 求解解: 时,分子分子分母同除以则分母原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常
4、数 )( 如如P47 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )三、三、 复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则定理定理7. 设且 x 满足时,又则有证证: 当时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立.定理定理7. 设且 x 满足时,又则有 说明: 若定理中则类似可得内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量作业作业P49 1 （5），（7），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1）思考及练习思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.解解:原式2.问3. 求解法解法 1 原式 =解法解法 2 令则原式 =
