孙训方材料力学第五版课后题答案

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1、材料力学第五版课后答案材料力学第五版课后答案（重点课后习题）（重点课后习题） 习题习题 2-22-2一打入基地内的木桩如图所示， 杆轴单位长度的摩擦力f=kx*2，试做木桩的后力图。解：由题意可得：l01fdx F,有kl3 F,k 3F /l33l0FN(x1) 3Fx2/l3dx F(x1/l)3 习题习题 2-32-3 石砌桥墩的墩身高l 10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F 1000kN，材料的密度 2.35kg /m3，试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为：N (F G) F Alg2-3 图 1000(323.1412)102.359.8 3104.942(kN)墩

2、身底面积：A (323.141 ) 9.14(m )因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。22N3104.942kN 339.71kPa 0.34MPa2A9.14m 习题习题 2-72-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。2-7 图解：取长度为dx截离体（微元体） 。则微元体的伸长量为：d(l) lFdxFFldxdx ，l 00EA(x)EA(x)EA(x)r rd d1dr r1xx 1，r 21 x r12l2l2r2 r1ld d1dd d1d d d1x 1) du 2dxA(x) 2x 1 u2，d(22l22l22l22ld ddx2ldu2l221du

3、 (2)dx du，d2 d1A(x)(d1 d2)uu因此，lFFldx2Fldul dx ()0EA(x)E0A(x)E(d1 d2)0u2lll2Fl2Fl11 dE(d1 d2)u0E(d1 d2)d2d1x 122l02Fl11d1d1E(d1 d2)d2d1l 222l 24Fl2Fl2 Ed dE(d1d2)d2d112 习题习题 2-102-10 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,，试求 C 与 D 两点间的距离改变量CD。解： F / AF EEA22式中，A (a ) (a ) 4a，故： F4EaaFF ，a a a a4Ea4Ea a

4、F145223，CD (2a) ( a)a344E12223CD(23a) (4a)145a12(CD) CDCD 145145FF(a a) 1.00312124E4E 习题习题 2-112-11 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量E 210GPa，已知l 1m，A1 A2100mm2，A3150mm2，F 20kN。试求 C点的水平位移和铅垂位移。受力图变形协调图2-11图解： （1）求各杆的轴力以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。因为 AB 平衡，所以o，X 0N cos45 0，N3 03由对称性可知，CH 0，N1N2 0.5F 0.52

5、0 10(kN)（2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。A 点的铅垂位移：l1N1l10000N 1000mm 0.476mm22EA1210000N /mm 100mmN2l10000N 1000mm 0.476mm22EA2210000N /mm 100mmB 点的铅垂位移：l21、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到 AB 为刚性杆，可以得到C 点的水平位移：CH AH BH l1tan45o 0.476(mm)C 点的铅垂位移：C l1 0.476(mm) 习题习题 2-122-12 图示实心圆杆 AB 和 AC 在 A 点以铰相连接

6、，在 A 点作用有铅垂向下的力F 35kN。已知杆 AB 和 AC 的直径分别为d112mm和d215mm，钢的弹性模量E 210GPa。试求 A 点在铅垂方向的位移。解： （1）求 AB、AC 杆的轴力以节点 A 为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件得出：oo：X 0Nsin30 Nsin45 0ACABNAC2NAB(a)Y 0：NACcos30o NABcos45o35 03NAC2NAB 70(b)(a) (b)联立解得：NAB N118.117kN；NAC N2 25.621kN（2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移2N12l1N2l21FA22EA12EA22l21N12l

7、1N2A()FEA1EA2式中，l11000/sin45 1414(mm)；l2 800/sin30 1600(mm)A1 0.253.1412 113mm；A2 0.253.1415 177mm21181172141425621 1600() 1.366(mm)故：A35000210000113210000177oo2222 习题习题 2-132-13 图示 A 和 B 两点之间原有水平方向的一根直径d 1mm的钢丝， 在钢丝的中点C加一竖向荷载F。 已知钢丝产生的线应变为 0.0035， 其材料的弹性模量E 210GPa，钢丝的自重不计。试求：（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在

8、断裂前可认为符合胡克定律） ；（2）钢丝在 C 点下降的距离；（3）荷载 F 的值。解： （1）求钢丝横截面上的应力0.0035 735(MPa) E 210000（2）求钢丝在 C 点下降的距离l Nll2000 735 7(mm)。其中，AC 和 BC 各3.5mm。EAE2100001000 0.9965122071003.51000) 4.7867339o arccos(1003.5coso 1000tan4.7867339 83.7(mm)（3）求荷载 F 的值以 C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：Y 0：2N sin a P 0P 2N sin a 2Asin 27350.2

9、53.1412sin4.7870 96.239(N) 习题习题 2-152-15水平刚性杆 AB 由三根 BC,BD 和 ED 支撑，如图，在杆的 A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为 A1=12 平方毫米，A2=6 平方毫米，A,3=9 平方毫米，杆的弹性模量 E=210Gpa，求：（1）端点 A 的水平和铅垂位移。（2）应用功能原理求端点 A 的铅垂位移。解： （1）13fdx F,有kl F03k 3F /l3lFN(x1) 3Fx2/l3dx F(x1/l)30lFN3cos45 0FN1 F2FN3sin45 F 0F0.45 F0.15 0N1F1 60KN,F

10、1 401KN,F1 0KN,由胡克定理，FN1l601070.15l1 3.8796EA121010 1210FN2l401070.15l2 4.7696EA221010 1210从而得，Ax l2 4.76，Ay l22l13 20.23 （）（2）V F Ay F1l1+F2l2 0Ay 20.33 （） 习题习题 2-172-17 简单桁架及其受力如图所示，水平杆 BC 的长度l保持不变，斜杆 AB 的长度可随夹角的变化而改变。 两杆由同一种材料制造， 且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1）两杆的夹角；（2）两杆横截面

11、面积的比值。解： （1）求轴力取节点 B 为研究对象，由其平衡条件得：Y 0FsinNABsin F 0NABX 0Fcos F cot2-17sin NABcos NBC 0NBC NABcos（2）求工作应力ABBCNABFAABAABsinNBCF cotABCABC（3）求杆系的总重量W V (AABlAB ABClBC)。是重力密度（简称重度，单位：kN /m） 。3(AABl ABCl)cos1l(AAB ABC)cos（4）代入题设条件求两杆的夹角条件：ABNABFF，AABsinAABAABsinNBCF cotF c ot，ABCABCABC11 ABC) l(AAB ABC

12、)coscosBC条件：W的总重量为最小。W l(AABl(F1F cotFl1cos) ()sincos sincossinFl 1cos22Fl1cos2sincossin2从W的表达式可知，W是角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得最小值。dW2Fld 2cossinsin2(1 cos2)cos222 0sin 2sin223 cos2cos22 02sin223cos2cos22 03cos2 1，cos2 0.33332 arccos(0.3333) 109.47o， 54.74o 54o44（5）求两杆横截面面积的比值AABFF cot，ABCsinAABABCF11sin

13、F cotsincotcos112，cos332因为：3cos2 1，2cos1 cos13，13cos所以：AAB3ABC 习题习题 2-182-18 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力 170MPa，试选择AC 和 CD 的角钢型号。解： （1）求支座反力由对称性可知，RA RB 220kN()（2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力以 A 节点为研究对象，由其平衡条件得：Y 02-18RA220 366.667(kN)sin3/5RA NACcos 0NAC以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得：X 02204/5 293.333(kN)3/5NCD NACcos

14、0NCD NACcos（3）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号AC 杆：AACNAC366667N22 2156.86mm 21.569cm2170N /mm2选用 2807（面积210.86 21.72cm） 。CD 杆：ACDNCD293333N221725.488mm 17.255cm2170N /mm2选用 2756（面积28.797 17.594cm） 。 习题习题 2-192-19 一结构受力如图所示，杆件 AB、CD、EF、GH 都由两根不等边角钢组成。已MPa，材料的弹性模知材料的许用应力 170量E 210GPa，杆 AC 及 EG 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，

15、并分别求点D、C、A 处的铅垂位移D、C、A。解： （1）求各杆的轴力NABNCD3.2300 240(kN)40.8300 60(kN)4FM 0NGH33001.5601.2 02-191NGH(450 72) 174(kN)3Y 0NEF17460300 0NEF186(kN)（2）由强度条件确定AC、CD 杆的角钢型号AB 杆：AABNAB240000N1411.765mm214.12cm22170N /mm2选用 290565（面积27.212 14.424cm） 。CD 杆：ACDNCD60000N22 352.941mm 3.529cm2170N /mm2选用 240 253（面

16、积21.89 3.78cm） 。EF 杆：AEFNEF186000N221094.118mm 10.412cm2170N /mm2选用 270 455（面积25.609 11.218cm） 。GH 杆：AGHNGH174000N221023.529mm 10.353cm2170N /mm2选用 270 455（面积25.609 11.218cm） 。（3）求点 D、C、A 处的铅垂位移D、C、AlABNABlAB2400003400 2.694 2.7(mm)EAAB2100001442.4NCDlCD600001200 0.907(mm)EACD210000378NEFlEF18600020

17、001.580(mm)EAEF2100001121.8lCDlEFlGHNGHlGH17400020001.477(mm)EAGH2100001121.8EG 杆的变形协调图如图所示。DlGH1.8lEFlGH3D1.4771.81.580 1.4773D1.54(mm)C DlCD1.540.907 2.45(mm)A lAB 2.7(mm) 习题习题 2-212-21 （1）刚性梁 AB 用两根钢杆 AC、BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和 BD 的直径分别为d1 25mm和d218mm，钢的许用应力 170MPa，弹性模量E 210GPa。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形lA

18、C、lBD及 A、B 两点的竖向位移A、B。解： （1）校核钢杆的强度 求轴力NACNBC3100 66.667(kN)4.51.5100 33.333(kN)4.5 计算工作应力ACNAC66667NAAC0.253.14252mm2135.882MPaBDNBD33333N2-2122ABD0.253.1418 mm131.057MP a因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即AC；BD，所以 AC 及 BD 杆的强度足够，不会发生破坏。（2）计算lAC、lBDlACNAClAC6666725001.618(mm)EAAC210000490.625NBDlBD33333250

19、01.560(mm)EABD210000254.34lBD（3）计算 A、B 两点的竖向位移A、BA lAC1.618(mm)，B lBD1.560(mm) 习题习题 3-23-2 实心圆轴的直径d 100mm， 长l 1m， 其两端所受外力偶矩Me14kN m，材料的切变模量G 80GPa。试求：（1）最大切应力及两端面间的相对转角；（2） 图示截面上 A、 B、 C 三点处切应力的数值及方向；（3）C 点处的切应变。解： （1）计算最大切应力及两端面间的相对转角maxMTe。WpWp11d33.141591003196349(mm3)。3-21616式中，Wp故：maxMe14106N m

20、m 71.302MPa3Wp196349mm11T l3.141591004 9817469(mm4)。故：，式中，Ipd43232GIpT l14000N m1m 0.0178254(rad) 1.02o92124GIp8010 N /m 981746910m（2）求图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向ABmax 71.302M P a，由横截面上切应力分布规律可知：CB 0.571.302 35.66MPa， A、 B、 C 三点的切应力方向如图所示。（3）计算 C 点处的切应变C12CG35.66MPa43 4.457510 0.4461038010 MPa 习题习题 3-3

21、3-3 空心钢轴的外径D 100mm，内径d 50mm。已知间距为l 2.7m的两横截o面的相对扭转角1.8，材料的切变模量G 80GPa。试求：（1）轴内的最大切应力；（2）当轴以n 80r /min的速度旋转时，轴所传递的功率。解； （1）计算轴内的最大切应力11D4(14) 3.141591004(10.54) 9203877(mm4)。323211WpD3(14) 3.141591003(10.54) 184078(mm3)1616式中， d / D。IpT l，GIpT GIpl1.83.14159/18080000N /mm29203877mm42700mm 8563014.45N

22、 mm 8.563(kN m)maxT8563014.45N mm 46.518MPaWp184078mm3（2）当轴以n 80r /min的速度旋转时，轴所传递的功率T Me 9.549NkN 9.549k 8.563(kN m)n80Nk 8.56380/9.549 71.74(kW) 习题习题 3-53-5 图示绞车由两人同时操作， 若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为 0.2kN，已知轴材料的许用切应力 40MPa，试求：（1）AB 轴的直径；（2）绞车所能吊起的最大重量。解： （1）计算 AB 轴的直径AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：Me左 Me右 0.2

23、0.4 0.08(kN m)Me主动轮 2Me右 0.16(kN m)扭矩图如图所示。3-5由 AB 轴的强度条件得：maxMe右16Me右3Wpdd 316Me右1680000N mm3 21.7mm23.1415940N /mm（2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：Me主动轮0.2Me从动轮0.35，Me从动轮0.350.16 0.28(kN m)0.20由卷扬机转筒的平衡条件得：P0.25 Me从动轮，P0.25 0.28P 0.28/0.25 1.12(kN) 习题习题 3-63-6 已知钻探机钻杆（参看题 3-2 图）的外径D 60mm，内径d 50mm，功

24、率P 7.355kW， 转速n 180r /min， 钻杆入土深度l 40m， 钻杆材料的G 80GMPa，许用切应力 40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）两端截面的相对扭转角。解： （1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mMe 9.549Nk7.355 9.549 0.390(kN m)n180设钻杆轴为x轴，则：Mx 0，ml Me，m Me0.390 0.00975(kN /m)l40（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核作钻杆扭矩图T(x) mx 0.39x 0.00975x。x

25、0,4040T(0) 0；T(40) Me 0.390(kN m)扭矩图如图所示。强度校核，max式中，WpMeWp1150D3(14) 3.141596031()4 21958(mm3)161660maxMe390000N mm17.761MPaWp21958mm3因为max17.761MPa， 40MPa，即max，所以轴的强度足够，不会发生破坏。（3）计算两端截面的相对扭转角400T(x)dxGIp1150D4(14) 3.141596041()4 658752(mm4)323260式中，Ip400|T(x)| dx1GIpGIp4000.00975x2400.00975xdx 0801

26、06kN /m26587521012m42 0.148(rad) 8.50 习题习题 3-83-8 直径d 50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me 6kN m，而在圆杆表面上的 A 点将移动到 A1点，如图所示。已知s AA1 3mm，圆杆材料的弹性模量E 210GPa，试求泊松比（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系：G E。2(1)解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：T Me 6kN m。设O,O1两截面之间的相对对转角为，则s d，22sT l2s，式中，dGIPdIp11d43.14159504 61359(2 mm4)3-83232T l d6106N mm1

27、000mm50mmG 81487.372MPa 81.4874GPa42Ips2613592mm 3mm由G E210E11 0.289得：2G281.48742(1) 习题习题 3-103-10 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为 d；空心轴的外径为 D，内径为 d0，且d0 0.8。试求当D空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力 （max） ，扭矩 T 相等时的重量比和刚度比。解： （1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。maxTWp1D3(14)，故：16式中，Wpmax,空D316T27.1T343D (10.8 )

28、D27.1T3-10（1）求实心圆轴的最大切应力maxd3116T16TTd3，故：max,实33，式中，Wp16ddWpD16TD327.1T1.69375，1.192，() dd16T（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比2W空0.25(D2d0)l D2D222 () (10.8 ) 0.36() 0.361.192 0.5122W实dd0.25d l （4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比Ip空GIp空GIp实11D4(10.84) 0.01845D4，Ip实d4 0.03125d432320.01845D4D44 0.5904() 0.59041.192 1.1924d0.03125d 习题

29、习题 3-113-11 全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为：dMedxGIP1d432式中，Ipr r1xr2 r1lr r2 r1d d1d x r12x 1l2l2d 2r d2 d1x d1ld4 (d2 d1x d1)4 u4ldu 故d2 d1ldx，dx duld2 d1：M dxMee0GIGpldxMe0IpGl32dx32Me0d4Glldu32Mel1l0u4d2d1du G(d2d1)0u4llldu32Mel32Mel32Mel1l130

30、43G(d2d1)0uG(d2d1)3u3G(d2d1)d2d1x d1l0 32 1 d13 d232Mel d12 d1d2 d232Mel32Mel1 3 =33333G(d2 d1)d2d13G(d1 d2)d1d23Gd13d2 习题习题 3-123-12 已知实心圆轴的转速n 300r /min，传递的功率p 330kW，轴材料的许用o切应力 60MPa，切变模量G 80GPa。若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过1，试求该轴的直径。解：T lMel1GIPGIp180Nk1330 9.54910.504(kN m)；Ipd4。故：32n300式中，Me 9.549Ip180Me

31、l180Mel1d4，G32G32180Mel43218010.504106N mm2000mmd 4111.292mm2G3.14280000N /mm2取d 111.3mm。 习题习题 3-163-16 一端固定的圆截面杆 AB，承受集度为m的均布外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为 G。T2(x)dx解：dV2GIpm2x2dx16m2x2dx41d G2Gd432m2l3m2l3 3-1616GIp6d4G3216m2l216m2l3V4x dx 40d G3d G 习题习题 3-183-18 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F 如图，簧丝直径d 10mm，

32、材料的许用切应力 500MPa，切变模量为 G，弹簧的有效圈数为n。试求：（1）弹簧的许可切应力；（2）证明弹簧的伸长 解：（1）求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：剪力Q F扭矩T FR最大扭矩：Tmax FR216Fn2(R1 R2)(R21R2)。4GdmaxQTmax4F16FR216FR2d2(1) ，33AWpd4R2dd3.14103mm3500N /mm2F 957.3Nd10mm16R2(1)16100mm(1)4R24100mm因为D/d 200/10 20 10， 所以上式中小括号里的第二项， 即由 Q所产生的

33、剪应力可以忽略不计。此时d33.14103mm3500N /mm2F 981.25Nd16100mm16R2(1)4R2（2）证明弹簧的伸长 d316Fn2(R1 R2)(R21R2)4Gd1T2(Rd)外力功：W F，dU 22GIpU 2n0(FR)2(Rd)F22GIp2GIp2n0F23R d2GIp2n0R R1R12 d2n34 R14F2n R24GIpR2 R14 R141F2n R2W U，F 24GIpR2 R14 R1416Fn2FnR22 (R R )(R1 R2)1242GIpR2 R1Gd 习题习题 3-193-19 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶Me 3kN m。

34、已知材料的切变模量G 80GPa，试求：（1）杆内最大切应力的大小、位置和方向；（2）横截面短边中点处的切应力；（3）杆的单位长度扭转角。解解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向，由表得，长边中点处的切应力，在上面，由外指向里（2）计算横截面短边中点处的切应力MPa短边中点处的切应力，在前面由上往上（3）求单位长度的转角单位长度的转角 习题习题 3-233-23 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：（1）最大切应力之比；（2）相对扭转角之比。解：（1）求最大切应力之比开口：max,开口Me

35、It122r03r0333依题意：2r0 4a，故：It124a3It2r03r03333max,开口Me3Me3 MeIt4a34a2闭口：max,闭口max,开口3Me2a23aMeMe2，22A02amax,闭口4aMe2（3）求相对扭转角之比开口：ItM3Me124a3T2r03r03，开口e3333GItGIt4GaMesMe4aMeTs24GA04GA024Ga4Ga3闭口：闭口开口3MeGa33a223Me闭口4Ga44-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩a（5）=h（4）q02a q0a21q3FS11 q0a0a q0a22411a11M11 q0aq0aq0a2231

36、2114FS22 0,M22 q0a2aq02a2a q0a2233FRA FRBb（5）=f（4）4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图a（5）=a（4）b（5）=b（4）f（5）=f（4）4-3 试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e 和 f 题）（e）（f）（h）4-4 试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。 4-4 （b） 4-5 （b）4-5根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。4-6已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。4-6（a） 4-74-7根据图示梁的弯矩

37、图做出剪力图和荷载图。4-8 用叠加法做梁的弯矩图。4-8（b） 4-84-9选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。（a）（c）4-9（b） 4-9（c）4-104-14长度 l=2m 的均匀圆木，欲锯做Fa=0.6m 的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上， 一只锯木架放在圆木一段， 试求另一只锯木架应放位置。x=0.4615m4-184-19M=30KN4-214-234-254-284-294-334-364-355-25-35-75-155-225-23 选 22a 工字钢5-246-4lA6Fl/(23 3)EA)6-127-3-55mpa7-3-

38、55mpa。-55mpa-55mpa7-47-4习题习题 7-37-3 一拉杆由两段沿mn面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于0 600范围内。作为“假定计算” ，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载 F，试问角的值应取多大？解：xF；y 0；x 0Axy2xy2c o 2 sxs i n 2FFF 1 cos2cos22A2AA2F 1 cos2F，cos2A2AAAF F，max,Ncos2cos2xy2s i n 2xc o s 2F31.5A1

39、.5Asin2 ，F ，Fmax,T2A4sin2sin20.910201.1322.334301.3331.73236.88331.5631.562401.7041.5235060（0）Fmax,N（A）Fmax,T（A）1.0001.03147.7544.3862.4204.0001.5231.732最大荷载随角度变化曲线5.0004.0003.0002.0001.0000.0000102030Fmax,N40Fmax,T5060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,T由以上曲线可知，两曲线交点以左， 由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当

40、 60时，杆能承受最大荷载，该荷载为：0Fmax1.732A7-67-6习题习题 7-77-7 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。解： （1）求计算点的正应力与切应力My12My12100.72106N mm40mm10.55MPa334Izbh80160 mm*QSz10103N (8040)60mm3 0.88MPa1Izb3480160 mm 80mm12（2）写出坐标面应力X（10.55，-0.88）Y（0，0.88）(3) 作应力圆求最大与最小主应力，并求最大主应力与x轴的夹角

41、作应力圆如图所示。从图中按比例尺量得：110.66MPa3 0.06MPa0 4.7507-77-7习题习题 7-87-8 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 习题习题 7-87-8（a a） 解：坐标面应力：X（20，0） ；Y（-40，0） 60。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：0120 25MPa，120 26MPa；1 20MPa，3 40MPa；0 00。0031单元体图应力圆（O.Mohr 圆） 习题习题 7-

42、87-8（b b） 0主单元体图解：坐标面应力：X（0，30） ；Y（0，-30） 30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：60 26MPa，6015MPa；1 30MPa，3 30MPa；0 450。00单元体图 习题习题 7-87-8（c c） 应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图解：坐标面应力：X（-50，0） ；Y（-50，0） 30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：060 50MPa，60 0；2 50MPa，3 50MPa。0032单元体图应力圆（O.Mohr

43、圆）主单元体图 习题习题 7-87-8（d d） 解：坐标面应力：X（0，-50） ；Y（-20，50） 0。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：45 40MPa，4510；1 41MPa,2 0MPa，3 61MPa；0 39035。000单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图 习题习题 7-107-10 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。平面应力状态下的两斜面应力解：两斜面上的坐标面应力为：A（38，28） ，B（114，-48）由以上上两点

44、作出的直线AB 是应力圆上的一条弦，如图所示。作 AB 的垂直平分线交水平坐标轴于C点，则 C 为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（x,0）则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等性质，可列以下方程：应力圆(x 38)2 (0 28)2(x 114)2 (0 48)2解以上方程得：x 86。即圆心坐标为 C（86，0）应力圆的半径：r (86 38)2 (0 28)2 55.570主应力为：1 x r 8655.57 141.57MPa2 x r 8655.57 30.43MPa3 0（2）主方向角（上斜面 A 与中间主应力平面之间的夹角）（上斜面 A 与最大主应力平面之间的夹角）（3）两截面

45、间夹角： 习题习题 7-147-14 单元体各面上的应力如图所示。 试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。 习题习题 7-157-15（a a） 解：坐标面应力：X（70，-40） ，Y（30，-40） ，Z（50，0）单元体图应力圆由 XY 平面内应力值作 a、b 点，连接 a、b 交应力圆半径：轴得圆心 C（50，0） 习题习题 7-157-15（b b） 解：坐标面应力：X（60，40） ，Y（50，0） ，Z（0，-40）单元体图应力圆轴于 C 点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0）由 XZ 平面内应力作 a、b 点，连接a、b 交应力圆半径： 习题习题 7-157-15（c

46、c） 解：坐标面应力：X（-80，0） ，Y（0，-50） ，Z（0，50）单元体图应力圆由 YZ 平面内应力值作 a、b 点，圆心为 O，半径为 50，作应力圆得，如图所示。 已知材料 习题习题 7-197-19 D=120mm，d=80mm 的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩在轴的中部表面 A 点处， 测得与其母线成的弹性常数，方向的线应变为。，试求扭转力偶矩解：方向如图 习题习题 7-207-20 在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中， 测得中性层上 k 点处沿45方向的线应变为450。已知材料的弹性常数E,和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。 试求集中力偶矩Me。解：支座反力：R

47、A0MeMe（）；RB（）llK 截面的弯矩与剪力：Mk RAa aMeMe；Qk RAllK 点的正应力与切应力： 0；1.5Qk3MeA2Al故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）1zy23Me12(xy)2 4x22Al2 03zy23Me12(xy)2 4x 22Altan202x xy，故0 450（最大正应力1的方向与x正向的夹角）45101(13)E4503Me3Me13Me() (1)E2Al2Al2EAlMe2EAl4503(1)2Ebhl4503(1) 习题习题 7-227-22 已知图示单元体材料的弹性常数E 200GPa， 0.3。试求该单元体的形状改变能密度。解：坐

48、标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0）在 XY 面内，求出最大与最小应力：m a xzy212(xy)2 4x2max70 301(70 30)2 4(40)2 94.721(MPa)22minmaxzy212(xy)2 4x270 301(70 30)2 4(40)2 5.279(MPa)22故，1 94.721(MPa)，2 50MPa，3 5.279(MPa)。单元体的形状改变能密度：vd1(12)2 (23)2 (31)26E1 0.3222(94.72150) (50 5.279) (5.279 94.721) 3620010 0.01299979MPa 12

49、.99979kN m/m3 习题习题 7-257-25 一简支钢板梁承受荷载如图a 所示，其截面尺寸见图 b。已知钢材的许用应力为 170MPa， 100MPa。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。 并按第四强度理论校核危险截面上的 a 点的强度。注：通常在计算 a 点处的应力时，近似地按a点的位置计算。解： 左支座为 A，右支座为 B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为 D。支座反力：RA RB1(550 550 408) 710(kN)（）2 =Iz1124084032308003 2040746670(mm4) 2.04103m41212（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘M

50、max 7104550314042 870(kN m)2maxMmaxymax870103N m420103m179MPa34Iz2.0410m超过的 5.3%，在工程上是允许的。（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度超过的 3.53%，在工程上是允许的。 习题习题 7-277-27 用 Q235 钢制成的实心圆截面杆， 受轴向拉力 F 及扭转力偶矩Me共同作用，且Me1Fd。今测得圆杆表面 k 点处沿图示方向的线应变30014.33105。已知杆直10径d 10mm，材料的弹性常数E 200GPa， 0.3。试求荷载 F 和Me。若其许用

51、应力 160MPa，试按第四强度理论校核杆的强度。解：计算 F 和Me的大小：Me在 k 点处产生的切应力为：max16MeT16T16Fd8F3 WPdd3d3105d2F 在 k 点处产生的正应力为：F4FAd28F8F4F即：X（，） ，Y （0，）2225d5dd广义虎克定律：3001(0600)E30xy2xy2c o 2 sxs i n 23002F2F8F(15 4 3)F00cos60 sin60 13.967103F(MPa)2222dd5d5d（F 以 N 为单位，d 以 mm 为单位，下同。 ）6002F2F8F(5 4 3)F003cos(120 ) sin(120 )

52、 1.22810Fd2d25d25d214.3310514.3310213313.96710F 0.31.22810F320010F(13.967 0.31.228)20010314.33102 6.7993105FF 2107.570N 2.108kN11MeFd 2108N 10mm 2108N mm 2.108N m1010按第四强度理论校核杆件的强度：x 8F82108N 10.741(MPa)5d253.14102mm24F42108Nx2 26.854(MPa)22d3.1410 mm11xy212xy 4x2226.85412226.8542 4(10.741)2 30.622(

53、MPa)2 0326.85412226.8542 4(10.741)2 3.768(MPa)1(12)2(23)2(31)221(30.6220)2(03.768)2(3.76830.622)22 32.669(M P a ) 160M P a符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。 习习题题 8-18-1 14 号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知l 0.8m，F1 2.5kN，F21.0kN，试求危险截面上的最大正应力。解：危险截面在固定端， 拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：式中，Wz，Wy由 14 号工字钢，查型钢表得到Wz102

54、cm3，Wy16.1cm。故max332.5103N 0.8m1.0103N 0.8m 79.1106Pa 79.1MPa6363210210m16.110m 习题习题 8-28-2受集度为q的均布荷载作用的矩形截面简支梁， 其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 300，如图所示。已知该梁材料的弹性模量E 10GPa；梁的尺寸为l 4m，h 160mm，b 120mm；许用应力 12MPa；许用挠度w l /150。试校核梁的强度和刚度。解：（1）强度校核qy qcos300 20.866 1.732(kN /m)（正 y 方向）qz qsin300 20.5 1(kN /m)（负 z 方向

55、）Mzmaz11qyl21.73242 3.464(kN m)出现在跨中截面88121qzl142 2(kN m)出现在跨中截面88MymazWz121bh 1201602 512000(mm3)66121hb 1601202 384000(mm3)66Wy最大拉应力出现在左下角点上：maxMzmaxMymaxWzWy3.464106N mm2106N mm11.974MPa33512000mm384000mmmax因为max11.974MPa， 12MPa，即：max所以满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。（2）刚度校核= 0.0202m w 4/150 0.0267m

56、。即符合刚度条件，亦即刚度安全。 习题习题 8-108-10 图示一浆砌块石挡土墙，墙高4m，已知墙背承受的土压力F 137kN，并且与铅垂线成夹角 45.7，浆砌石的密度为2.35103kg /m3，其他尺寸如图所示。试取01m长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面 AB 上 A 点和 B 点处的正应力。又砌体的许用压应力c为3.5MPa，许用拉应力为0.14MPa，试作强度校核。解：沿墙长方向取1m作为计算单元。分块计算砌体的重量：33PkN1 (0.614)m 2.359.8kN /m 55.2721P2 (1.641)m32.359.8kN /m3 73.696kN2竖向力分量为：0F

57、v P1 P2 F cos45.7 55.27273.696137cos45.70 224.651(kN)各力对 AB 截面形心之矩为：AB 之中点离 A 点为：1.1m，P1的偏心距为e11.10.3 0.8(m)P2的偏心距为e2 (0.61.6) 1.1 0.0333(m)3Fy的偏心距为e3 (2.21cos68.20)1.1 0.729(m)Fx的力臂为e41.50.5 1(m)M P1e1 P2e2 Pye3 Pxe4 55.2720.873.6960.0333137cos45.700.729137sin 45.701(kN m) 70.061砌体墙为压弯构件截面核心边界点坐标的计

58、算(习题 8-13)A FvM224.651kN70.061kN m 188.966kPa 0.189MPa1AWz2.21m22312.2 m6FvM224.651kN70.061kN m 15.262kPa 0.0153MPa21AWz2.21m12.22m36B 因为|A|c，|B|c，所以砌体强度足够。 习题习题 8-118-11 试确定图示各截面的截面核心边界。 习题习题 8-118-11（a a） 解：惯性矩与惯性半径的计算1A 800800 3.145402 411094(mm2)42.9961521010i i 7.2882406104(mm2)A4110942y2zIy截面核

59、心边界点坐标的计算中性轴编号中性轴的截距2iyiz24001-4002-40034004ayaz对应的核心边界上的点核心边界上点iz2y ay72882-18201820的坐标值（m)z 2iyaz7288201820-182 习题习题 8-118-11（b b） 解：计算惯性矩与惯性半径111002003501003 6.25107(mm4)121211Iz20010031005031.5625107(mm4)1212IyA 10020050100 15000(mm2)6.25107i 4167(mm2)A150002yIyIz1.5625107i 1042(mm2)A150002z截面核心

60、边界点坐标的计算(习题 8-14b)中性轴编号中性轴的截距2iyiz250ay-50az-1001001234对应的核心边界上的点核心边界上点iz2y ay1042-210210的坐标值（m)z 2iyaz41670420-42 习题习题 8-118-11（c c） 解： （1）计算惯性矩与惯性半径半圆的形心在 Z 轴上，zc4R4200 85(mm)333.14半圆的面积：A 0.5R2 0.53.142002 62800(mm2)半圆形截面对其底边的惯性矩是d4yc的惯性矩：IyC1288R44R2R2R48R4() 83289R4，用平行轴定理得截面对形心轴3.14200482004175062987(mm4)893.14IzC3.142004 6.28108(mm4)88IyCAIzC175062987 2788(mm2)62800R42iy6.2810810000(mm2)i A628002z（2）列表计算截面核心边缘坐标截面核心边界点坐标的计算(习题 8-14b)中性轴编号中性轴的截距2iyiz2100-851-10021153ayaz对应的核心边界上的点110000-100核心边界上点iz2y ay01000的坐标值（m)z 2iyaz27880330-24