教师培训课件：高中数学人教A版选修系列1、２介绍

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1、普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学（人教数学（人教A A版）选修系版）选修系列列1 1、介绍、介绍一一、主编寄语、主编寄语二、二、分章分章介绍介绍一、主编寄语一、主编寄语 数学是自然的；数学是清楚的。数学是自然的；数学是清楚的。 数学是有用的；学数学对于提高个体能力是数学是有用的；学数学对于提高个体能力是至关重要的。至关重要的。 学数学要摸索自己的学习方法；学数学趁年学数学要摸索自己的学习方法；学数学趁年轻轻 。 数学教学要讲背景，讲数学，讲应用；讲历数学教学要讲背景，讲数学，讲应用；讲历史，讲思想，讲文化。史，讲思想，讲文化。 数学教材要自然、生动、活泼，不强加于人；

2、数学教材要自然、生动、活泼，不强加于人；要激发学生的兴趣和美感要激发学生的兴趣和美感 ，引发学习激情，引发学习激情 ；要引导学生提问，使学生；要引导学生提问，使学生“看过问题三百看过问题三百个，不会解题也会问个，不会解题也会问”；要强调类比、推广、；要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用。特殊化、化归等思想方法的运用。 什么是一堂好课什么是一堂好课三个理解三个理解注重思想方法的引导注重思想方法的引导调动学生的思维调动学生的思维二、分章介绍二、分章介绍普通高中课程标准实验教科书（普通高中课程标准实验教科书（A A版）版）选修选修1-11-1，2-22-2导数及其应用导数及其应用 一、内容

3、与要求一、内容与要求选修选修1-11-1选修选修2-22-2 导数概念及其几何意导数概念及其几何意义；导数公式及其四则义；导数公式及其四则运算法则；导数与函数运算法则；导数与函数单调性的关系；函数某单调性的关系；函数某点取得极值的充分、必点取得极值的充分、必要条件；生活中的优化要条件；生活中的优化问题举例。问题举例。 导数概念及其几何意导数概念及其几何意义；导数公式及其四则义；导数公式及其四则运算法则；导数与函数运算法则；导数与函数单调性的关系；函数某单调性的关系；函数某点取得极值的充分、必点取得极值的充分、必要条件；生活中的优化要条件；生活中的优化问题举例；问题举例；定积分的概定积分的概念；

4、微积分基本定理的念；微积分基本定理的含义。含义。文科（文科（1616课时）：课时）：3.1变化率与导数变化率与导数约约4课时课时3.2导数的计算导数的计算约约4课时课时3.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用约约3课时课时3.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例约约3课时课时实习作业实习作业约约1课时课时小结小结约约1课时课时二、内容安排及说明二、内容安排及说明理科理科(24(24课时课时) )：1.1变化率与导数变化率与导数约约4课时课时1.2导数的计算导数的计算约约4课时课时1.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用约约3课时课时1.4生活中的优化问题举例生活中的优

5、化问题举例约约3课时课时1.5定积分的概念定积分的概念约约4课时课时1.6微积分基本定理微积分基本定理约约2课时课时1.7定积分的简单应用定积分的简单应用约约2课时课时实习作业实习作业约约1课时课时小结小结约约1课时课时三、对一些关键问题的处理三、对一些关键问题的处理突出概念本质突出概念本质（1 1）导数）导数瞬时变化率瞬时变化率（2 2）定积分）定积分 曲面梯形面积曲面梯形面积 定积分定积分（变速直线运动）（变速直线运动）导数概念的引入导数概念的引入 反复反复通过大量实例，引导学生经历由平均变化率通过大量实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，到瞬时变化率刻画现实问题的

6、过程，引入引入导数的导数的概念，概念，体会导数的思想，理解导数的含义体会导数的思想，理解导数的含义： 气球平均膨胀率；气球平均膨胀率； 高台跳水的平均速度高台跳水的平均速度 瞬时速度；瞬时速度； 函数的平均变化率函数的平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率;(定义定义) 曲线的割线斜率曲线的割线斜率 切线斜率。切线斜率。 （几何意义）（几何意义）高台跳水问题高台跳水问题（一以贯之）（一以贯之） 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度h h( (单位：米单位：米) )与起跳与起跳后的时间后的时间t t（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系h h( (t t)=-4.9)=-4.9t t

7、2 2+6.5+6.5t t+10.+10. （1 1）用运动员在某些时间段内的平均速度粗）用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态；略地描述其运动状态；（2 2）探究运动员在时间段）探究运动员在时间段 内的运动状态内的运动状态平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。 （3 3）如何求（比如，如何求（比如， t t=2=2时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势： 从平均速度从平均速度 过渡到瞬时速度过渡到瞬时速度 ，得到瞬时速度得到瞬

8、时速度 的值为的值为-13.1 .-13.1 . 从数学上来看，这个过程能够说明变化趋从数学上来看，这个过程能够说明变化趋势，也是学生容易理解的势，也是学生容易理解的( (实际上利用了极限实际上利用了极限的描述性定义的描述性定义) )，不追求严格的证明。，不追求严格的证明。 一一般般化化：从从函函数数的的平平均均变变化化率率到到瞬瞬时时变变化率化率 导数的几何意义导数的几何意义通通过过观观察察曲曲线线y=f(x)在在点点P(x0,f(x0)处处的的割割线线PPn的的变变化化趋趋势势，既既获获得得切切线线定定义义，又又得得到到割割线线PPn的的斜斜率率与与切切线线PT的的斜斜率率k之之间间的的关

9、关系系：函函数数的的平平均均变变化化率率到到瞬瞬时时变变化化率率。将将切切线线斜斜率率和和导导数数相相联联系系，得得到到导导数数的的几几何何意意义义（又又一一次次经经历历平平均均变变化化率率到到瞬瞬时时变变化化率率的的过过程程）。）。 定积分概念的引入定积分概念的引入着重揭示定积分的思想方法和求解问题的着重揭示定积分的思想方法和求解问题的一般步骤一般步骤（1 1）通过解决曲边梯形的面积、变速直线运动的）通过解决曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题，着重揭示出定积分的思路程这两个典型问题，着重揭示出定积分的思想方法：在每个局部小范围内想方法：在每个局部小范围内“以直代曲以直代曲” “

10、以不变代变以不变代变 ”和逼近的思想事实上，这和逼近的思想事实上，这就是定积分概念中蕴涵的最本质思想，这也是就是定积分概念中蕴涵的最本质思想，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法应用定积分解决实际问题的思想方法 （2 2）给出求解这类问题的一般步骤）给出求解这类问题的一般步骤“四步四步曲曲” ：分割、近似代替、求和、取极限：分割、近似代替、求和、取极限 曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题的引出问题的引出 如何求由抛物线如何求由抛物线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0,x=1,y=0,所所围成的平面图形部分的面积围成的平面图形部分的面积S S？ 解决问题的关键（思想方法）解决问题的关键

11、（思想方法） 通过回顾求一种特殊的曲边形通过回顾求一种特殊的曲边形圆圆的面积的过程，通过类比启发学生得的面积的过程，通过类比启发学生得到解决问题的思想方法到解决问题的思想方法局部小范局部小范围内围内“以直代曲以直代曲”“以不变代变以不变代变 ”和和逼近的思想逼近的思想解决问题的解决问题的“四步曲四步曲”第一步第一步分割分割 把把区区间间0,10,1等等分分成成n n个个小小区区间间，原原来来的的曲曲边边梯梯形形就被分成就被分成n n个小曲边梯形个小曲边梯形第二步第二步近似代替近似代替 在在每每个个小小区区间间上上进进行行近近似似代代替替， “以以直直代代曲曲”，求求出出每每个个小小曲曲边边梯梯

12、形形面面积积的的近近似似值值（用用左左段段点点处的函数值）处的函数值）第三步第三步求和求和 求求出出所所有有这这些些近近似似值值的的和和，就就得得到到原原来来的的曲曲边边梯梯形面积的近似值形面积的近似值第四步第四步取极限取极限 对对曲曲边边梯梯形形面面积积的的近近似似值值取取极极限限得得到到曲曲边边梯梯形形的的面积面积 通过教科书中的图可以看出，随着分割越来越通过教科书中的图可以看出，随着分割越来越细，近似值不断趋向于曲边梯形的面积细，近似值不断趋向于曲边梯形的面积 教教科书中给出的表可以使学生能够定量地看出，科书中给出的表可以使学生能够定量地看出，随着区间等分数随着区间等分数n n的增大，曲

13、边梯形的面积趋的增大，曲边梯形的面积趋向于常数向于常数 设设置置“探探究究”栏栏目目，先先用用右右段段点点处处的的函函数数值值进进行行近近似似代代替替，求求出出曲曲边边梯梯形形的的面面积积，再再借借助助几几何何直直观观（可可利利用用信信息息技技术术手手段段）得出面积的一般表达式：得出面积的一般表达式： 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 类比求曲边梯形面积的过程，类比求曲边梯形面积的过程， 从函数值与物从函数值与物理意义两方面分析、解决问题。得到结果后，理意义两方面分析、解决问题。得到结果后， 再从反方向上推断出该再从反方向上推断出该路程在数值上等于一个曲边梯形的面积，从而路程在数值上等于一

14、个曲边梯形的面积，从而为给出定积分的几何意义作铺垫。为给出定积分的几何意义作铺垫。 引入定积分概念引入定积分概念导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 从几何图象上观察并归纳出导数与函数从几何图象上观察并归纳出导数与函数的单调性、极值之间的关系，从而实现应用的单调性、极值之间的关系，从而实现应用导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题中的作用。导数在解决数学问题中的作用。 2.2.强调几何直观，重视背景，体现应用强调几何直观，重视背景，体现应用函数的单调性函数的单调性先研究跳水运动，进先研究跳水运动，进而从若干个函数的几何图形上，利用

15、导而从若干个函数的几何图形上，利用导数的几何意义，观察、分析单调性与导数的几何意义，观察、分析单调性与导函数符号之间的关系，总结出一般规律，函数符号之间的关系，总结出一般规律，并用来解决函数单调性（包括实际问题），并用来解决函数单调性（包括实际问题），求一些简单函数的单调区间。求一些简单函数的单调区间。关注用导数本质及其几何意义解决问题关注用导数本质及其几何意义解决问题 在导数的计算中，给出几个简单函数的导数的在导数的计算中，给出几个简单函数的导数的推导过程推导过程: : y=x, y=c, y=x2, y=1/x 并给出前并给出前3 3个结果的几何意义或物理意义。个结果的几何意义或物理意义。

16、微积分基本定理微积分基本定理突出微积分基本定理的探究过程突出微积分基本定理的探究过程, ,分别从物理分别从物理意义和（导数）几何意义意义和（导数）几何意义两个角度两个角度，直观地了，直观地了解微积分基本定理的含义，同时又一次经历了解微积分基本定理的含义，同时又一次经历了数学知识的发现过程反映微积分基本定理的数学知识的发现过程反映微积分基本定理的基本思想基本思想, ,不给出严格证明。不给出严格证明。探究探究: :一个作变速直线运动的物体的运动规一个作变速直线运动的物体的运动规律是律是y=y(t)，由导数的概念可知，它在任意时由导数的概念可知，它在任意时刻刻t t的速度的速度v(t)= y(t)，

17、设这个物体在时间段设这个物体在时间段a,b内的位移为内的位移为s，你能分别用，你能分别用y(t),y(t)表示表示s吗？吗？3 3. .关注微积分的文化价值关注微积分的文化价值（1 1）引言）引言 介绍了与微积分紧密相关的介绍了与微积分紧密相关的“四大问题四大问题”（2 2）拓展栏目探究与发现）拓展栏目探究与发现 牛顿法牛顿法用导数方法求方程的近似解用导数方法求方程的近似解（3 3）实习作业）实习作业 走进微积分（理科可适当补充微积分基本定理走进微积分（理科可适当补充微积分基本定理的意义方面的内容）的意义方面的内容）三、几个需要注意的问题三、几个需要注意的问题1.1.不专门讲极限不专门讲极限

18、从数学逻辑体系上看，导数、定积分概念学从数学逻辑体系上看，导数、定积分概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数、定积分。这种概念建立方式极限，再到导数、定积分。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义。因此也影响了对导数、定极限的形式化定义。因此也影响了对导数、定积分本质的理解。积分本质的理解。 不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的方法定义导数、定积分。用直观形象的方法定义导数、定积分。 （1 1）通过列表计算、

19、直观地把握函数变化趋）通过列表计算、直观地把握函数变化趋势势( (蕴涵着极限的描述性定义蕴涵着极限的描述性定义) )，学生容易理解；，学生容易理解； （2 2）所涉及到的数列或函数都很简单，学生）所涉及到的数列或函数都很简单，学生容易观察出其变化趋势；容易观察出其变化趋势； （3 3）如果讲极限的）如果讲极限的 - - 定义，就特别抽象，难，就特别抽象，难度急剧增大，加大学生对导数、定积分概念的度急剧增大，加大学生对导数、定积分概念的本质认识的难度。本质认识的难度。 需适时说明极限符号。需适时说明极限符号。2.2.强调本质、几何意义、物理意义强调本质、几何意义、物理意义 理解导数的本质（含义）

20、，从几何直理解导数的本质（含义），从几何直观、物理意义上理解概念，借助几何直观、物理意义上理解概念，借助几何直观、物理意义分析问题、解决问题。观、物理意义分析问题、解决问题。 “数形结合数形结合”是学习和研究数学的一种是学习和研究数学的一种重要的思想方法，借助几何直观可以更重要的思想方法，借助几何直观可以更好地学习、理解数学概念，并提高应用好地学习、理解数学概念，并提高应用数学概念解决实际问题的能力数学概念解决实际问题的能力3.3.避免过量的形式化的运算避免过量的形式化的运算 避免过度的形式化运算，避免过度的形式化运算，防止将导数、定防止将导数、定积分仅仅作为一些规则和步骤来学习，积分仅仅作为

21、一些规则和步骤来学习，忽略它忽略它们的思想和价值。们的思想和价值。4.4.控制难度控制难度 直接给出复合函数的求导公式，不作直接给出复合函数的求导公式，不作推导，且只要求利用公式求形推导，且只要求利用公式求形y=y=f(ax+bf(ax+b) )的复合函数的导数。的复合函数的导数。控制导数、定积分计算的难度，严格控制导数、定积分计算的难度，严格控制定积分应用的广度和难度。控制定积分应用的广度和难度。 5.5.揭示导数方法的一般性、有效性揭示导数方法的一般性、有效性 通过利用导数研究函数的基本性质通过利用导数研究函数的基本性质（单调性、极值、最值），以及解决一些（单调性、极值、最值），以及解决一

22、些优化问题，并通过与初等方法比较，体现优化问题，并通过与初等方法比较，体现导数方法的一般性、有效性；使学生自觉导数方法的一般性、有效性；使学生自觉地利用导数方法解决有关问题。地利用导数方法解决有关问题。 6.6.适当使用信息技术适当使用信息技术（1 1）导数的概念、几何意义）导数的概念、几何意义（2 2）利用导数研究函数单调性、极值）利用导数研究函数单调性、极值（3 3）定积分概念的形成）定积分概念的形成使用信息技术的目的是帮助学生更使用信息技术的目的是帮助学生更好地认识和理解数学！好地认识和理解数学！主要用于传统教学方法无法呈现或主要用于传统教学方法无法呈现或难以呈现的内容难以呈现的内容!案

23、例：导数、定积分的概念等。案例：导数、定积分的概念等。普通高中课程标准实验教科书（普通高中课程标准实验教科书（A A版）版）选修选修2-32-3、选修、选修1-21-2 统计概率链简介统计概率链简介反反思思统计、概率内容的整体定位统计、概率内容的整体定位内容安排内容安排说明说明统计案例统计案例 反反 思思1 1概率统计是以随机现象为研究对象，对象具概率统计是以随机现象为研究对象，对象具有随机性，方法上具有特殊性，甚至于结论有随机性，方法上具有特殊性，甚至于结论也带有随机性，它完全是一个新内容、新思也带有随机性，它完全是一个新内容、新思想和新方法。概率统计是揭示必然与偶然想和新方法。概率统计是揭

24、示必然与偶然（规律性与随机性）之间的一对特殊矛盾。（规律性与随机性）之间的一对特殊矛盾。真正理解它是比较困难的，掌握它、并且能真正理解它是比较困难的，掌握它、并且能够应用它就更难了。对老师来说，教有难度，够应用它就更难了。对老师来说，教有难度，对学生来说，学也有难度。对学生来说，学也有难度。 2.2.从学生来看，没有直接参加实践，许多东西不从学生来看，没有直接参加实践，许多东西不知从何而来，也不知要干什么知从何而来，也不知要干什么, ,其个人的经历其个人的经历和思维能力的水平也限制了他们对随机现象本和思维能力的水平也限制了他们对随机现象本质的认识；在加上又是非考试重点质的认识；在加上又是非考试

25、重点等等。等等。 结果造成：把概率统计作为简单的加减乘结果造成：把概率统计作为简单的加减乘除算术问题。不了解统计、概率的基本思想，除算术问题。不了解统计、概率的基本思想，没掌握统计、概率的基本方法，更不能树立起没掌握统计、概率的基本方法，更不能树立起应用意识。课程设置形如虚设。应用意识。课程设置形如虚设。 为此，课程标准要求为此，课程标准要求: : 统计过程要多参与统计过程要多参与一点一点, ,概率统计思想要多一点感受和体会。概率统计思想要多一点感受和体会。统计、概率内容的整体定位统计、概率内容的整体定位在义务教育阶段学习统计与概率的基在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学

26、习随机抽样、础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归、独立性检验等样本估计总体、线性回归、独立性检验等基本方法，体会用样本估计总体及其特征基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想。的思想。 通过解决实际问题，较为系统地经历通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。与确定性思维的差异。 结合具体实例，学习概率的某些基本结合具体实例，学习概率的某些基本性质、简单的概率模型、随机变量及其分性质、简单的概率模型、随机变量及其分布等知识，加深对随机现象的理解，能通布等知识，加深对随机现象的理解，能通过

27、实验、计算器（机）模拟估计简单随机过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。事件发生的概率。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制订决策提供依据.在终极的分析中，一切知识都是历史在抽象的意义下，一切科学都是数学在理性的基础上，所有的判断都是统计学 C.R.劳统计学不止是一种方法和技术，还含有世界观的成分它是看待世界上万事万物的一种方法。 陈希孺 统计的思维方法总有一天会像读和写的能力一样，成为一个效率公民的必备能力。威尔斯(H.G.Wells)概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础

28、。统计和概率关系概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，而数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究。虽然两者在方法上是如此明显的不同，但是作为一门学科，它们却是相互渗透、相互联系的。概率论是统计学的理论和方法的依据，而统计学可视为概率论的一种应用。内容安排内容安排数学数学3 3： 统计（统计（1616课时）、概率（课时）、概率（8 8 课时）课时） 选修选修1-21-2：统计案例（：统计案例（1010课时）课时）选修选修2-32-3：统计案例（：统计案例（1010）、）、 概率（概率（1212随机变量及其分布）。随机变量及其分布）。 数学数学3 3：统计：随机抽样、用样本估计总体、变统计：随机抽样

29、、用样本估计总体、变量间的相关关系量间的相关关系概率：随机事件的概率、古典概型、几概率：随机事件的概率、古典概型、几何概型何概型选修选修2-32-3( (选修选修1-2)1-2)：概率：离散型随机变量及其分布列、二概率：离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量的均项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差、正态分布值与方差、正态分布回归分析的基本思想及其初步应用、独回归分析的基本思想及其初步应用、独立性检验的基本思想及其初步应用立性检验的基本思想及其初步应用选修选修4-9 4-9 风险与决策风险与决策几点说明几点说明 分布的重要性在概率论中 , 最重要的概念是分布 .作为中学

30、教材的整体 , 教师应对分布、均值、方差的意义有一定的了解 .分布的具体讲授 , 教师应没有困难 .这里不再多说 .下面谈谈为什么分布那么重要.概率论是研究随机现象的 .随机现象有两个最基本的特点 , 粗略地说是 :1. 结果的随机性 ;2. 频率的稳定性. “随机性 ” 是指 , 重复同样的试验时 , 所得结果并不相同 , 以至于在试验之前无法预料试验的结果 .稳定性 是指 , 在大量重复试验中 , 每个试验结果发生的频率稳定 在一个常数附近 .什么叫做把一个随机现象研究清楚了 ? 这是一个令某些人感到困惑的问题 .任何一种研究总是把未知的、不认识的事物 , 逐渐变为已知的、可以认识的事物

31、.于是 , 有人错误地以为对随机现象的研究 , 将使事前无法预料的结果最终变为可以预料的结 果 .甚至期望摸彩票能中奖 , 赌博能赢钱 .殊不知随机现象特点就在于事前无法预料其结果 .无论你如何研究、分析都不会改变这一特点 .( 除非你发现它不再是随机现象 , 从而不再是概率论研究的对象 .) 换句话说 , 掌握了随机现象的规律并不意味着改变了结果的随机性 .因此 , 了解 一个随机现象是指 , 知道 (1) 这随机现象中所有可能出现的结果 ; (2) 每个结果出现的概率 .知道了这两点 , 就说对这随机现象研究清楚了 .我们不可能了解得比这更多 .对于给定的随机现象对于给定的随机现象 , ,

32、 首先要描述所有可首先要描述所有可能出现的结果能出现的结果 . .在数学上处理时在数学上处理时 , , 一个常一个常用的、很自然的用的、很自然的 做法是做法是 : : 用数来表示结果用数来表示结果 . .即把每个结果对应一个数即把每个结果对应一个数 . .例如例如 , , 在观察在观察天气时天气时 , , 可以用可以用 0 0 来表示晴天来表示晴天 , 1 , 1 表示阴天表示阴天 , , 等等等等 . .当然这种表示完全是任当然这种表示完全是任意的意的 . . 你完全可以用你完全可以用0 0 来表示阴天来表示阴天 . .在大在大多数情形多数情形 , , 其结其结 果本身就是用数量来刻画果本身

33、就是用数量来刻画的的 . .例如例如 , , 产品的重量产品的重量 , , 旅旅 客的人数等客的人数等等等 . .这样做的结果这样做的结果 , , 从数学上讲就是从数学上讲就是 , , 建建立了一个从试验结果的集合到实数集合的映立了一个从试验结果的集合到实数集合的映射射 . .这个映射称为随机变量这个映射称为随机变量 . .因此因此 , , 所谓所谓随机变量就是随机变量就是把把 每一个结果用一个数表每一个结果用一个数表示示 的数学说法的数学说法 . . 一旦给出了随机变量一旦给出了随机变量 , , 即把每个结果都用即把每个结果都用一个一个 数表示后数表示后 , , 了解随机现象了解随机现象 ,

34、 , 就变成就变成了解这随机变量了解这随机变量 所有可能的取值和取每个所有可能的取值和取每个值的概率值的概率 . .如果这随机变量的取值是离散的如果这随机变量的取值是离散的 , , 不难看不难看出出 , , 了解了它的分布列就了解了这随机变了解了它的分布列就了解了这随机变量的所有取量的所有取 值和取值的概率值和取值的概率 , , 从而了解了从而了解了这随机现象这随机现象 . .换句话换句话 说说 , , 分布列完全描述分布列完全描述了随机现象的规律了随机现象的规律 .( .( 对连续性对连续性 随机变量随机变量讨论是类似的讨论是类似的 .).)从这里我们可以看到分布的重要性从这里我们可以看到分

35、布的重要性 . .了解随了解随机机 现象就是要了解分布现象就是要了解分布 . .人们面对着形形色色的随机现象人们面对着形形色色的随机现象 , , 有着千有着千差万别的分布差万别的分布 . .如体去研究它们呢如体去研究它们呢 ? ? 我们我们采用的方法类采用的方法类 似于几何中对三角形的研究似于几何中对三角形的研究方法方法 , , 即不是对一个个即不是对一个个 具体的三角形进行具体的三角形进行研究研究 , , 而是采用分类的办法而是采用分类的办法 , , 对一些重要对一些重要的类型的类型 , , 如直角三角形、等腰三角形等如直角三角形、等腰三角形等 , , 加以研究加以研究 . .这十分有助于讨

36、论一般的三角形这十分有助于讨论一般的三角形 . .同样同样 , , 在研究分布时在研究分布时 , , 人们也是讨论一人们也是讨论一些最常见、最重要的分布类些最常见、最重要的分布类 , , 如二项分布如二项分布 ( ( 类类 ) ) 、超几何分布、超几何分布 ( ( 类类 ) ) 、正态分布、正态分布 ( ( 类类 ) ) 等等等等 . .尽管这些分布无法覆盖住务尽管这些分布无法覆盖住务种各样的随机现象种各样的随机现象 , , 但它们描述了随机现但它们描述了随机现象中最有用最常见的情形象中最有用最常见的情形 , , 十分有助于我十分有助于我们对一般随机现象们对一般随机现象的理解和讨论的理解和讨论

37、.数字特征的重要性数字特征的重要性数字特征的重要性在于它们有非常明确的含义，反映了随机变量的重要信息。均值、方差等数字特征都是数，它们分别表示平均位置、变化剧烈程度；样本均值(方差)具有随机性，而随机变量的均值(方差)没有随机性；样本均值(方差)的极限是总体均值(方差) 。分布可以确定数字特征，数字特征一般无法确定分布。概率模型的选取三张奖券抽签： A：YX X, YXX, XYX, XYX , XXY , XXY B：Y X X, X Y X, X X Y在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为事件空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的。又

38、如，两颗骰子点数和(1,1 )(1,2)(2,1)(6,6) (奇,奇)(奇,偶)(偶,奇)(偶,偶) 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12统计中的案例统计中的案例统计的方法都具有部分推断总体的性质。这统计的方法都具有部分推断总体的性质。这个是统计方法的一大特点，区别与其他数学个是统计方法的一大特点，区别与其他数学方法。方法。由于统计推断是基于抽样数据，而抽样数据由于统计推断是基于抽样数据，而抽样数据又不能包含研究对象的全部信息，因此由此又不能包含研究对象的全部信息，因此由此所获得的结论（即统计推断）必然包含不确所获得的结论（即统计推断）必然包含不确定性。也就是说，统计方法的另一特

39、点是，定性。也就是说，统计方法的另一特点是，由统计方法得出的结论可能存在错误和误差。由统计方法得出的结论可能存在错误和误差。为何在为何在统计统计的教学中强调案例教学？的教学中强调案例教学？统计的研究对象使得统计与其他数学内容统计的研究对象使得统计与其他数学内容有很大的差别有很大的差别:其他数学内容更强调演绎推理，其他数学内容更强调演绎推理，而统计问题往往是根据具体事物归纳出来的，而统计问题往往是根据具体事物归纳出来的，所以更强调归纳的过程。在中学阶段，由中学所以更强调归纳的过程。在中学阶段，由中学生的基础和认识水平，学习统计不应是从定义、生的基础和认识水平，学习统计不应是从定义、定理出发，而是

40、从具体的实例出发，这有助于定理出发，而是从具体的实例出发，这有助于帮助学生了解解决统计问题的全过程：提出统帮助学生了解解决统计问题的全过程：提出统计问题，收集数据计问题，收集数据，整理、分析数据，提取，整理、分析数据，提取信息，得出推断，做出预测与决策。有助于学信息，得出推断，做出预测与决策。有助于学生了解统计基本概念（如总体和样本），掌握生了解统计基本概念（如总体和样本），掌握用统计解决问题的基本方法，并在解决问题的用统计解决问题的基本方法，并在解决问题的过程中进一步加深理解统计基本思想。过程中进一步加深理解统计基本思想。在必修在必修3统计的各节中，配备了阅读统计的各节中，配备了阅读与思考。

41、在选修与思考。在选修2-3(1-2)统计各节，全部统计各节，全部采用了案例教学。采用了案例教学。好的统计案例，应从下面几个方面好的统计案例，应从下面几个方面考虑：一是问题来自学生的生活实际或考虑：一是问题来自学生的生活实际或是现实问题；二是问题能体现出统计思是现实问题；二是问题能体现出统计思想；三是能引起学生的兴趣并适合学生想；三是能引起学生的兴趣并适合学生的认知水平；四是便于使用信息技术。的认知水平；四是便于使用信息技术。第三章第三章统计案例统计案例1.教学目标2.结构设置与课时分配3.回归分析4.独立性检验1.教学目标a.通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用。

42、b.通过典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及其初步应用。1.教学目标2.结构设置与课时分配3.回归分析4.独立性检验统计案例（10课时）独立性检验模型（3课时）回归分析模型（4课时）实习作业与小结（3课时）2. 结构设置与课时分配1.教学目标2.结构设置与课时分配3.回归分析4.独立性检验3. 回归分析a.比数学3中“回归”增加的内容b.回归分析知识结构图c.几个应注意的问题1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程解决应用问题必修数学已学回归内容a.比数学3中“回归”增加的内容1.引入线性回归模型ybxae2.了解模型中随

43、机误差项e产生的原因3.了解R2 和模型拟合的效果之间的关系4.了解残差图的作用5.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题6.正确理解统计分析方法与结果选修数学23新增内容a.比数学3中“回归”增加的内容3. 回归分析a.比数学3中“回归”增加的内容b.回归分析知识结构图c.几个应注意的问题b.回归分析知识结构图问题背景分析线性回归模型两个变量线性相关最小二乘法两个变量非线性相关非线性回归模型残差分析R2散点图应用例例1 1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表3-1所示。 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。编号12345678

44、身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359(1)画散点图(2)散点图上样本点呈现出线性相关。(3)由最小二乘法可求得： 回归方程为：(4)预报体重为：引入线性回归模型：与函数关系不同，在回归模型中，y的值由x和随机误差e共同确定。对于样本点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）随机误差为(不可观测)ei=yi-bxi-a其估计值（残差）为模型诊断1残差散点图模型诊断2R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好； R2越接近0，说明模型的拟合效果越差。3. 回归分析a.比数学3中“回归”增加的内容b.回归分析知识结构图c.几个应注意的

45、问题95 注意提炼案例所蕴含的统计思想如在例1结尾提到“用身高预报体重时，需要注意下列问题：”，这些论述适用于所有的回归模型。1. 模型适用的总体；2. 模型的时间性；3. 样本的取值范围对模型的影响；4. 模型预报结果的正确理解。1.教学目标2.结构设置与课时分配3.回归分析4.独立性检验4.独立性检验a.两个假设检验问题b.独立性检验知识结构图c.几个应注意的问题4.独立性检验a.两个假设检验问题b.独立性检验知识结构图c.独立性检验的教学建议a.两个假设检验问题阿布兹诺特的从两性出生数观察的规律性所得关于神的意旨存在的一个论据（1）生男生女纯属偶然（即有同等机会）（2）由于“神的意旨”

46、，生男的机会大于生女。a.两个假设检验问题费歇尔的“女士品茶”（TM和MT各4杯）（1）该女士对TM和MT并无鉴别力，所得结论纯属偶然；（2）该女士对TM和MT有一定的鉴别能力。假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表示；另一个叫做备择假设，用H1表示。例如，在前面的例子中，原假设为： H0：生男生女纯属偶然，备择假设为： H1：由于“神的意旨” ，生男的机会大于生女。这个假设检验问题可以表达为： H0： H1：4.独立性检验a.两个假设检验问题b.独立性检验知识结构图c.几个应注意的问题不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计987491

47、9965例1 为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果： 吸烟与患肺癌列联表吸烟与患肺癌列联表那么吸烟是否对患肺癌有影响？等高条形图不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例22列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d独立性检验用A表示不吸烟，B表示不患肺癌。 假设H0：吸烟和患肺癌没有关系。独立性检验在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：P(K2k0)0.100.050.0250.010.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828结果的解释：k56.6326

48、.635解释为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”。这里概率的计算基于K2的分布独立性检验假设检验的基本思想：1. 在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；2. 如果样本使得这个小概率事件发生，就能在犯错误概率不超过小概率的前提下犯断言H1成立；否则，就说从数据中没有发现充分的证据支持H1成立。 独立性检验的基本思想： 当K2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。检验问题的解：一个规则，用以判断H1是否成立。b.独立性检验知识结构图背景分析列联表条形图独立性检验分类变量之间关系4.独立性检验a.两个假设检验问题b.独立性检验知

49、识结构图c.几个应注意的问题c.几个应注意的问题独立性检验的本质反证法原理与假设检验原理的比较犯错误概率的计算检验结果的表述两个结果不矛盾K2统计量的非其次问题把没有关系作为假设的原因临界值的确定总结“两个分类变量独立性检验”的本质问题：建立判断结论H：分类变量X与Y之间有关系是否成立的规则。判别指标：规则k0：如果kk0,判定H成立；否则认为H0不成立。确定规则k0判定“H成立”犯错误的概率。表310给出了一些规则的犯错误的概率。反证法原理： 在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立。 假设检验原理：在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错

50、误的概率不超过这个小概率。 反证法原理与假设检验原理检验结果的表述如果根据实际问题确定的显著性水平为0.01，其对应的临界值为6.635。 当k6.635时，表述为：在犯错误概率不超过0.01的前提下认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。P(K2k0)0.100.050.0250.010.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828这里概率的计算基于K2的分布犯错误概率的计算在教学过程中强调只有在两个分类变量没有关系的假设，才能得到这个近似公式。在教学过程中可以指出估算需要很多的概率统计知识。表3-11是个近似值表，通常要求总观察

51、数大于40，且a，b，c，d都不小于5。在前面案例中，由 k54.7216.635 可得结论：在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”。另一方面，由 k54.72110.828 还可得结论：在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”。问题：二个结论矛盾吗？可引导学生讨论下面问题，加深对假设检验问题的正确理解。两个结论不矛盾，它们是对两个不同评判规则的结论。结论“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关”是相对于规则一：如果随机变量的观测值大于或等于6.635就认为“吸烟与患肺癌有关系” 。结论“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟

52、与患肺癌有关”是相对于规则二：如果随机变量的观测值大于或等于10.828就认为“吸烟与患肺癌有关系” 。关于 非齐次的问题，例如为什么总是把“没有关系” 作为原假设临界值的设定 关于例1的教学建议例1.秃头与患心脏病 在解决实际问题时，可以直接计算K2的观测值k进行独立检验，而不必写出K2的推导过程 。提醒学生们注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）。因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体选修选修2-1空间向量与立体几何空间向量与立体几何内容与要求内容与要求3.1 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算 5 5课时课时3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体

53、几何中的向量方法 5 5课时课时小结小结 2 2课时课时 空空间间向向量量运运算算的的几几何表何表示示空空 间间 向向量量 的的 定定义义 及及 其其运运 算算立立 体体 几几何何 中中 向向量量方法方法空空间间向向量量及及其其运运算算的的坐坐标标表表示示用用空空间间向向量量表表示示点点、直直线线、平平面面空空 间间 位位置置 关关 系系与与 空空 间间向向 量量 的的联联系系全章知识结构框图全章知识结构框图 与大纲教材相比侧重点有所不同与大纲教材相比侧重点有所不同大纲教材：侧重立体几何知识，空间大纲教材：侧重立体几何知识，空间向量只作为解决部分问题的工具向量只作为解决部分问题的工具课标教材：

54、空间向量和向量方法是重课标教材：空间向量和向量方法是重点，对立体几何知识并不作系统安排，点，对立体几何知识并不作系统安排，而是以立体几何问题为载体，体现向而是以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理。和原理。几点教学建议几点教学建议 （一）把重点放在空间向量和向量方法上；（一）把重点放在空间向量和向量方法上； （二）注意数与形的关联；（二）注意数与形的关联；（三）深化理解向量运算的作用。（三）深化理解向量运算的作用。 “向量是躯体，运算是灵魂向量是躯体，运算是灵魂”“没没有有运运算算的的向向量量只只能能起起路路标标的作用的作用”普通高中

55、课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书数学数学 选修选修1-21-2、2-2 2-2 推理与证明推理与证明一、内容结构一、内容结构文科（文科（1010课时）课时）2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 约约5 5课时课时2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明 约约4 4课时课时小结小结 约约1 1课时课时理科（理科（8 8课时）课时）2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 约约3 3课时课时2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明 约约3 3课时课时2.32.3数学归纳法数学归纳法 约约2 2课时课时推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推

56、理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳（部分到整体、（部分到整体、特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）证证 明明直接证明直接证明间接证明间接证明综合法综合法分析分析法法反证反证法法数学归纳法数学归纳法（理科、（理科、2课时）课时）二、教学目标二、教学目标1.1.了解合情推理和演绎推理的含义。了解合情推理和演绎推理的含义。2.2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。单的推理。3.3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。别。4.4.

57、了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法分析法分析法和综合法的思考过程、特点。和综合法的思考过程、特点。 5.5.了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法反证法的思考过程、特点。的思考过程、特点。 6.6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。证明一些简单的数学命题。1.1.以变分散为集中，变隐性为显性的方以变分散为集中，变隐性为显性的方式讲推理和证明式讲推理和证明推理与证明的方法（除数学归纳法外）是推理与证明的方法（除数学归纳法外）是学生在以前的学习中遇到过的，但对它们的特学生在以前的学习中遇到过的，但对

58、它们的特点和内涵不很明确，被动地、不自觉地使用。点和内涵不很明确，被动地、不自觉地使用。任务：明确化、显性化，主动地、自觉地任务：明确化、显性化，主动地、自觉地使用使用.三、编写特点与教学建议三、编写特点与教学建议.结合实例了解推理（引入、应用）结合实例了解推理（引入、应用）紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例，紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例，以具体的例子为载体，以具体的例子为载体，总结总结合情推理和演绎合情推理和演绎推理推理的特点、明确它们的内涵，并应用于数的特点、明确它们的内涵，并应用于数学问题的推理，使学生真正作到学问题的推理，使学生真正作到“言之有理言之有理”，避免空泛地讲推

59、理。避免空泛地讲推理。通过典型且简单的数学问题或实际问题，体通过典型且简单的数学问题或实际问题，体验合情推理和演绎推理的特点验合情推理和演绎推理的特点总结特点，给出合情推理和演绎推理的含义总结特点，给出合情推理和演绎推理的含义应用于数学问题的推理（强化、自觉使用）应用于数学问题的推理（强化、自觉使用）归纳推理归纳推理歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 1037，20317，301317偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数63+3，83+5，105+5，125+7，147+7， 165+11， 1 00029+971，一个偶数（大于一个偶数（大于6

60、）总可以表示成两个奇）总可以表示成两个奇质数之和；质数之和；没有发现反例没有发现反例。歌德巴赫猜想：歌德巴赫猜想：任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇的偶数都等于两个奇质数之和质数之和。总结特点：总结特点： 这种由某类事物的部分对象具有某些特这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物也具有这些特征的推理，征，推出该类事物也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，通或者由个别事实概括出一般结论的推理，通常称为常称为归纳推理归纳推理（简称归纳）简言之，归（简称归纳）简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理理归纳

61、推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤： 对对某类事物的部分对象某类事物的部分对象( (有限的资料有限的资料) )进行观察、分析、整理；进行观察、分析、整理； 提出猜想；提出猜想； 检验猜想检验猜想! 教学问题举例教学问题举例类比推理类比推理“火星上是否有生命火星上是否有生命” 总结特点：总结特点： 这种由两类对象具有某些类似特征，和其中这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理（简称（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的

62、推理的推理类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想检验猜想( (通过证明确认猜想的正确性通过证明确认猜想的正确性, ,或或举出反例否定猜想举出反例否定猜想)! )! 类比推理举例类比推理举例直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的长度个边的长度a，b，c2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF904个面的面积个面的面积S1

63、，S2，S3和和S3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试给出空间中四面体性质的猜想给出空间中四面体性质的猜想归纳推理归纳推理、类比推理统称为合情推理、类比推理统称为合情推理. . 演绎推理演绎推理举例归纳出演绎推理的含义举例归纳出演绎推理的含义特点：前提和推理形式（规则）正确，结论正确！特点：前提和推理形式（规则）正确，结论正确！证明函数证明函数f f( (x x)=)=x x22x x 在在( (，1）内是增函数内是增函数分析：分析：证明本例所依据的大前提是：在某证明本例所依据的大前提是：在某个区间（个

64、区间（a,b）内，如果）内，如果f(x)0,那么函数那么函数f(x)在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增小前提是小前提是f(x) =x22x在在(，1）内满足内满足f(x)0，这是证明本例的关键，这是证明本例的关键注：很多情况下，省略大前提。注：很多情况下，省略大前提。2.2.纠正典型错误，进一步理解推理纠正典型错误，进一步理解推理 合情推理的结论不一定正确合情推理的结论不一定正确费马猜想：费马猜想：任何形如任何形如 （nNN* *）的数都是质数）的数都是质数反例：反例： （初步体验证明的必要性）（初步体验证明的必要性）“平面内，两组对边分别相等的四边形是平平面内，两组对边分别相等的四边形

65、是平行四边形行四边形”；“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行互相平行”“空间中，两组对边分别相等的四边形是平空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形行四边形”；“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行互相平行”类类比比演绎推理的形式正确，大前提错误，演绎推理的形式正确，大前提错误，结论也是错误的结论也是错误的3.3.结合实例讲结合实例讲“证明证明”通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生真确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生

66、真正作到正作到“论证有据论证有据”：回忆遇到过的某类证明方法的特点回忆遇到过的某类证明方法的特点通过证明典型且简单的数学问题或实际问题，通过证明典型且简单的数学问题或实际问题，体验证明方法的特点体验证明方法的特点总结特点，给出证明方法的含义总结特点，给出证明方法的含义证明的流程框图（提炼特点）证明的流程框图（提炼特点）证明数学命题证明数学命题（强化、自觉使用）（强化、自觉使用） 综合法综合法（1 1）回忆、描述）回忆、描述 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些学过在数学证明中，我们经常从已知条件和某些学过的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所要的

67、结论要的结论（2 2）举例）举例体验特点体验特点（3 3）总结特点）总结特点 一般地，利用已知条件和某些已经学过一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、公理、定理等，经过一系列的推理、的定义、公理、定理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做种证明方法叫做综合法综合法 。（4 4）证明数学命题）证明数学命题（强化、自觉使用）（强化、自觉使用） 分析法分析法（1 1）回忆、描述）回忆、描述 在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个推

68、回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个明显成立的条件为止明显成立的条件为止（2 2）举例、体验特点）举例、体验特点（3）总结特点 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析分析法法 （4 4）证明数学命题）证明数学命题（强化、自觉使用）（强化、自觉使用） 反证法反证

69、法 反证法的特点反证法的特点( (选修选修1-2)1-2)： 选修选修2-22-2中的引例稍复杂中的引例稍复杂, ,解决问题的过程均为解决问题的过程均为: : 假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得出假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立立 应用反证法证明数学命题（强化、自觉使用）应用反证法证明数学命题（强化、自觉使用） 应用反证法的情形应用反证法的情形： 直接证法难找到证明思路（例题）、需分成直接证法难找到证明思路（例题）、需分成很多类进行讨论（引例）很多类进行讨论（引例）数学归纳法数学归纳法 通过实

70、例通过实例( (生活中、数学中生活中、数学中) )，归纳出数归纳出数学归纳法的原理。学归纳法的原理。 一个数学问题（需要探索新的证明方法一个数学问题（需要探索新的证明方法） “对于数列对于数列a an n，已知，已知a a1 11 1，a an n+1+1 （n n1 1，2 2，），通过对），通过对n n = 1= 1，2, 3, 42, 3, 4前前4 4项项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 a an n ” 逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明通过有限个步骤的推理，证明n n取所有正整数

71、取所有正整数都成立都成立 “多米诺骨牌多米诺骨牌”全部倒下的原理全部倒下的原理使使“多米诺骨牌多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：全部倒下的两个条件： 第一块骨牌倒下；第一块骨牌倒下； 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下一定导致后一块倒下 两个条件的作用：两个条件的作用： 条件条件：奠基；条件：奠基；条件：递推关系：递推关系利利用用“多多米米诺诺骨骨牌牌”原原理理证证明明这这个个数数学学猜猜想（经历利用合情推理提出猜想想（经历利用合情推理提出猜想 逻辑推理进行证明）逻辑推理进行证明）数学归纳法的原理：数学归纳法的原理：（归纳奠基（归纳奠基）：命题对）：命

72、题对n=n0成立成立(n0为使猜想为使猜想成立的最小的正整数成立的最小的正整数)；（归纳递推）：命题若对（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对成立，则对k1也成立（也成立（kn0）学生普遍存在的问题：学生普遍存在的问题：为什么第二步能在假设下进行证明？为什么第二步能在假设下进行证明？第二步实际上是证明一个命题：第二步实际上是证明一个命题：“假设假设n=kn=k（knkn0 0）时命题成立，证明当）时命题成立，证明当n=kn=k1 1时命题时命题也成立也成立” 其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递是从前往后传递. . .合情推理与逻辑推理

73、的联系与差异合情推理与逻辑推理的联系与差异通过合情推理去探索、猜测结论，但合情推理通过合情推理去探索、猜测结论，但合情推理所得结论的正确性需要演绎推理（包括数学证所得结论的正确性需要演绎推理（包括数学证明）进行证证明。合情推理往往提供证明思路明）进行证证明。合情推理往往提供证明思路四、需要注意的问题四、需要注意的问题1.1.推理部分的教学重点推理部分的教学重点( (发现问题、解发现问题、解决问题决问题) ) （1 1）教学的重点在于通过具体实例理解合教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。表述。 （2 2）用合情推理探索

74、、猜测结论，并体会）用合情推理探索、猜测结论，并体会证明的必要性证明的必要性 通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。（这也是学习确性，或者用反例推翻错误的猜想。（这也是学习和研究的一般方法）和研究的一般方法）2.2.根据命题的特点，选择证明方法，并体根据命题的特点，选择证明方法，并体会证明的必要性会证明的必要性 （1 1）充分重视解决问题的分析过程，引导学）充分重视解决问题的分析过程，引导学生分析命题中条件与结论的特点，选择合适生分析

75、命题中条件与结论的特点，选择合适的证明方法。使学生逐步由被动地、不自觉的证明方法。使学生逐步由被动地、不自觉地进行证明，转向主动地、自觉地利用所学地进行证明，转向主动地、自觉地利用所学方法进行证明。方法进行证明。（2 2）综合利用各种方法进行证明）综合利用各种方法进行证明 在证明一些数学问题时，仅用单一的证明方在证明一些数学问题时，仅用单一的证明方法很难解决问题，往往需要综合利用各种方法很难解决问题，往往需要综合利用各种方法进行证明。法进行证明。3. 3. 对证明的技巧性不宜作过高的要求对证明的技巧性不宜作过高的要求 讲清楚数学归纳法的原理，但讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学只需用数学归纳

76、法证明一些简单的数学命题归纳法证明一些简单的数学命题；其他部分的例、习题是以前所学的内容，不其他部分的例、习题是以前所学的内容，不能拔高技巧性而产生新的学习难点。能拔高技巧性而产生新的学习难点。4.4.文理差异文理差异课堂教学的课堂教学的“六字经六字经”问题引导学习问题引导学习教学重心前移教学重心前移典型丰富例证典型丰富例证提供概括时机提供概括时机保证思考力度保证思考力度加强思想联系加强思想联系使用变式训练使用变式训练强调反思迁移强调反思迁移全国数学教师都是我们的好朋友全国数学教师都是我们的好朋友愿本套教材成为您的好帮手愿本套教材成为您的好帮手教材的进步需要您的智慧和贡献教材的进步需要您的智慧和贡献让我们携手共进，为新课让我们携手共进，为新课程的推进再作贡献！程的推进再作贡献！谢谢谢！谢！联系方式联系方式: :(010)58758330(010)58758330(办办) )Email: Email: 网址网址: :