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1、 目录 上页 下页 返回 结束许多方程可以通过变量变化方法化为已知许多方程可以通过变量变化方法化为已知类型来求解。类型来求解。1.3 1.3 （续） 变量替量替换法法例如：例如： 对微分方程对微分方程 目录 上页 下页 返回 结束，就将方程变换为，就将方程变换为下面我们介绍几种常见类型的变量替换法。下面我们介绍几种常见类型的变量替换法。通过引进新的变量通过引进新的变量线性方程：线性方程：1 形如形如方程方程 目录 上页 下页 返回 结束引进变量引进变量，则，则原方程可化为原方程可化为这是一个变量可分离的方程。这是一个变量可分离的方程。 目录 上页 下页 返回 结束例例 1 求方程求方程对上式分
2、离变量得：对上式分离变量得：（1）解：解： 令令则则代入（代入（ 1） 整理得整理得 目录 上页 下页 返回 结束积分得积分得 代入原变量得到（代入原变量得到（1 1）的通解为：）的通解为： 目录 上页 下页 返回 结束 利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一般依赖于方程的形式和求导的经验。般依赖于方程的形式和求导的经验。 2 2、 其它变化法其它变化法 例例 2 求方程求方程（2）解：将此方程改写为：解：将此方程改写为： 目录 上页 下页 返回 结束做变化做变化。因为。因为代入方程后得：代入方程后得：这是一个变量可分离方程，求解得这是一个变量可分离方程，
3、求解得 目录 上页 下页 返回 结束故原方程的通解为故原方程的通解为 例例 3 求方程求方程（3） 目录 上页 下页 返回 结束解：解：该方程求解的困难在于右端的根号，该方程求解的困难在于右端的根号，因为因为 代入（代入（3 3）我们希望去根号，因此，做变化我们希望去根号，因此，做变化这是一个齐次方程：这是一个齐次方程： 求解得求解得 目录 上页 下页 返回 结束故我们做变化故我们做变化例例 4 求方程求方程解：根据经验，仔细观察该方程的特征：解：根据经验，仔细观察该方程的特征：代人原方程得：代人原方程得：因此得到原方程的解：因此得到原方程的解： 目录 上页 下页 返回 结束例例 5 求解方程
4、求解方程解：仔细观察该方程的特征：解：仔细观察该方程的特征：对方程做恒等变形得，对方程做恒等变形得， 目录 上页 下页 返回 结束自然做变化自然做变化 求解上面的线性方程得：求解上面的线性方程得：原方程化为：原方程化为： 目录 上页 下页 返回 结束形如形如 定义定义 3 3、 Riccati Riccati方程方程 的方程称为的方程称为Riccati方程。方程。 一般情况下，一般情况下，Riccati方程无法用初等积分积分方程无法用初等积分积分法求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了法求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了他的一个特解，才可以求出他的通解。他的一个特解，才可以求出他的
5、通解。 目录 上页 下页 返回 结束都是常数时，都是常数时， Riccati方程方程时，时， Riccati方程方程是是Bernoulli方程。方程。Riccati方程方程一些可求解的特殊类型：一些可求解的特殊类型：1、当、当是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。2、当、当时，时， Riccati方程方程是线性方程。是线性方程。3、当、当4、当、当Riccati方程方程的形式为的形式为: 目录 上页 下页 返回 结束时，可利用变量替换时，可利用变量替换 将方程化为变量将方程化为变量可分离的方程。可分离的方程。5、当、当Riccati方程方程有一个特
6、解，有一个特解，时，可利用变量替换时，可利用变量替换 代入原方程得代入原方程得 目录 上页 下页 返回 结束因为，因为，是方程的解，因此方程变形为：是方程的解，因此方程变形为： 这是一个这是一个BernoulliBernoulli方程。方程。6、对一些特殊类型的、对一些特殊类型的Riccati方程，我们介绍一个方程，我们介绍一个用变量替换法化为变量可分离方程的定理。用变量替换法化为变量可分离方程的定理。 目录 上页 下页 返回 结束定理定理 设设Riccati方程为：方程为：其中其中都是常数，且设都是常数，且设又设又设则当则当时，方程可通过适当变化化为变量可分离的方程。时，方程可通过适当变化化
7、为变量可分离的方程。（4 4） 目录 上页 下页 返回 结束代入原方程得代入原方程得证证. . 不妨设不妨设 化为化为 否则可通过变量变化否则可通过变量变化 因此，代替原方程，我们考虑因此，代替原方程，我们考虑 当当 时，时， 上述方程是一个变量可分离的方程上述方程是一个变量可分离的方程当当 时，时， 做变量变化做变量变化 （5 5） 目录 上页 下页 返回 结束当当这是一个变量可分离的方程。这是一个变量可分离的方程。时，时， 做变量变化做变量变化 代入原方程得：代入原方程得：（6 6） 目录 上页 下页 返回 结束其中其中再做变换再做变换进一步可把方程变为：进一步可把方程变为：其中其中（7 7） 目录 上页 下页 返回 结束的依赖关系不难看出，只要上述的的依赖关系不难看出，只要上述的方程（方程（7）与）与 （5）在形式上是一样的，只）在形式上是一样的，只是右端自变量的指数从是右端自变量的指数从变为变为比较比较与与对对变化过程重复变化过程重复 次，就能把方程（次，就能把方程（5）化为）化为当当时，时， 方程（方程（4）就是方程）就是方程（6）。）。 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束
