《高等数学课件：2-5 隐函数参数方程的导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：2-5 隐函数参数方程的导数（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 高等数学（上）高等数学（上）第二节第二节 4 隐函数、参数方程的导数、隐函数、参数方程的导数、 相关变化率相关变化率一、隐函数求导一、隐函数求导- - 显函数显函数 由由 所确定的函数所确定的函数 -隐函数隐函数定义定义 如果函数如果函数 满足满足则称则称 是由方程是由方程 所确定所确定的的隐函数隐函数 . 高等数学（上）高等数学（上）注注 (1)有些隐函数可显化有些隐函数可显化. .如如(2)并不是任何隐函数都能化成显函数并不是任何隐函数都能化成显函数. .如如对任何固定的对任何固定的 x R , 由介质定理由介质定理 , 这个这个奇次多项式在实数域中有一根奇次多项式在实数域中有一根 y(
2、x) , 因因此此 , y =y(x)是由该方程所确定的隐函数是由该方程所确定的隐函数.但此隐函数无法写成显函数但此隐函数无法写成显函数.(3)一个方程确定的隐函数可以不止一个一个方程确定的隐函数可以不止一个. 高等数学（上）高等数学（上）隐函数的求导方法：隐函数的求导方法：解解 方程两边同时对方程两边同时对 求导求导, ,得得例例1 设设 ，求，求 . .即即 高等数学（上）高等数学（上）所以所以 又又 ，故，故例例2 设设 ，求，求 . .解解 方程两边同时对方程两边同时对 求导，得求导，得不能不能不能不能它是隐导函数它是隐导函数它是隐导函数它是隐导函数 高等数学（上）高等数学（上）隐函数
3、求导要点:4方程两端同时关于x求导,遇到y时,将y当作 中间变量,先对y求导,然后,马上乘以y, 最 后解出y. 高等数学（上）高等数学（上）例例3 求曲线求曲线 在点在点 处的切线方程处的切线方程, ,并证明该点处的法线过原点并证明该点处的法线过原点. .解解 方程两边同时对方程两边同时对 求导求导, ,得得所以所以故切线方程为：故切线方程为： 高等数学（上）高等数学（上）故法线方程为：故法线方程为：即即 ，过原点，过原点. .例例4 设设 , , 求求 . .解解 高等数学（上）高等数学（上）例例5 设设 ，求，求 . .解解 原方程化为原方程化为： 方程两边同时对方程两边同时对 求导求导
4、, ,得得整理得整理得（对数求导法对数求导法） 高等数学（上）高等数学（上）解解 等式两边等式两边取对数取对数得得例如例如所以所以上式两边对上式两边对 求导求导: 高等数学（上）高等数学（上） 以下情形要考虑用对数求导法;4(1)幂指函数;4(2)多因子乘积.4注意:要完全彻底地使用对数性质.对数性质：对数性质： 高等数学（上）高等数学（上）二、参数方程的导数二、参数方程的导数参数方程参数方程, , 为参数为参数, , 均可导均可导如何来求如何来求 呢呢?先来看物理学中的一个实例先来看物理学中的一个实例: 高等数学（上）高等数学（上） 抛射体的运动规律是抛射体的运动规律是 其中其中 求求 (1
5、)任一时刻的速度大小任一时刻的速度大小; (2)任一时刻的速度方向任一时刻的速度方向; (3)抛射体达到的最大高度抛射体达到的最大高度; (4)抛射体的落点抛射体的落点. 高等数学（上）高等数学（上）因此因此给定参数方程给定参数方程, , 均可导。均可导。设设 反函数反函数 存在，则存在，则即即即即均存在，求均存在，求均存在，求均存在，求 高等数学（上）高等数学（上）例例6 设设 , ,求求 ， . .解解如何求如何求 ？问题：何时化简整理？问题：何时化简整理？注注:分母有分母有xt 高等数学（上）高等数学（上）例例7 设曲线方程为设曲线方程为 , 求此曲线求此曲线在在 x=2 处的切线方程与
6、法线方程处的切线方程与法线方程.解解 当当 x = 2 时时 , t = 0 , 则则y=1.所以所以, 切线方程为切线方程为 高等数学（上）高等数学（上）三、相关变化率三、相关变化率与与 的的相关变化率相关变化率. .设参数方程设参数方程 , , x 关于关于 t 的变化率的变化率 与与 y 关于关于 t 的变化率的变化率 之间的关系称为之间的关系称为解题关键解题关键:设法寻求设法寻求y和和x的关系的关系y=f(x). 高等数学（上）高等数学（上）例例8 一气球在离观察员一气球在离观察员 500m 处离地铅直上处离地铅直上升，速率为升，速率为140m/min，当气球高度，当气球高度 h=500m时，观察者视线的仰角时，观察者视线的仰角 的增加率是多少？的增加率是多少？500mh对对 t 求导求导解解 设设t(min)后后, ,气球高度为气球高度为h, ,仰角为仰角为 则则 与与h的关系为的关系为 高等数学（上）高等数学（上）所以所以而而 高等数学（上）高等数学（上）课堂练习课堂练习 高等数学（上）高等数学（上）
