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1、浙江财经学院本科教学课程浙江财经学院本科教学课程-经济数学经济数学(一一)微积分第六章第六章 定积分定积分6.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质6.2微积分基本定理微积分基本定理6.3定积分计算方法定积分计算方法6.4定积分的应用定积分的应用6.5广义积分初步广义积分初步1高等数学微积分61定积分的概念与性质6.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质n n一、曲边梯形的面积一、曲边梯形的面积n n二、定积分的定义二、定积分的定义n n三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义n n四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质在本节中我们将从一些实际问题的计算里在本节中我们将从一些实际问题的计算里
2、提炼出一类关于提炼出一类关于“和式极限和式极限”计算的数学问计算的数学问题题,从而引申出定积分的概念从而引申出定积分的概念,并探讨它的性并探讨它的性质、几何意义。质、几何意义。2引例：曲边梯形的面积引例：曲边梯形的面积n n曲边梯形的概念曲边梯形的概念:由连续曲线由连续曲线 y=f(x) 与直线与直线x=a,x=b以及以及x轴围成的平面图形叫轴围成的平面图形叫曲边梯形曲边梯形。n n如何计算曲边梯形的面积？如何计算曲边梯形的面积？(不规则图形的面不规则图形的面积积)yxO aby = f (x)n n初等数学中对规则图形初等数学中对规则图形(直直线边线边)面积的计算：面积的计算：(来源来源于矩
3、形面积的定义于矩形面积的定义)n n矩形矩形S=a bn n三角形三角形 S= a b/2n n梯形梯形S=(a+b) h/23无限细分、无限求和无限细分、无限求和n n处理该类问题的基本思路：处理该类问题的基本思路：无限细分无限细分(化曲为直化曲为直)、无限求和！、无限求和！xyOaby= f (x)4曲边梯形的面积计算曲边梯形的面积计算分割分割n n设函数在区间设函数在区间a,b上连续上连续, y=f(x)0 0n n分割：分割：任意插入任意插入任意插入任意插入n n-1-1个分点：个分点：个分点：个分点：个小区间其长度其长度如上图，过各分点作如上图，过各分点作 x 轴的垂线，轴的垂线，将
4、曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形其面积为个小曲边梯形其面积为把分成5曲边梯形的面积计算曲边梯形的面积计算近似、求近似、求和和n n取近似：取近似：在每个小区间上任在每个小区间上任取一点取一点以以为高，为高， 以以为底，为底，作作 n 个小矩形，其面积分个小矩形，其面积分别为别为, 则则n n求和：求和：6思考：思考：n n为什么可以用小矩形的面积近似计算小曲边为什么可以用小矩形的面积近似计算小曲边梯形面积，而不直接用一个矩形的面积近似梯形面积，而不直接用一个矩形的面积近似计算整个曲边梯形面积？计算整个曲边梯形面积？n n近似计算的前提：是近似计算的前提：是x i要充分的小！要充分的
5、小！7曲边梯形的面积计算曲边梯形的面积计算极限极限n n取极限：取极限：取极限：取极限：n=4n=8n n可见：可见：可见：可见：时时曲边梯形的面积曲边梯形的面积即即即即8引例：变速直线运动的位移引例：变速直线运动的位移n n设某物体作变速直线设某物体作变速直线运动运动,已知速度已知速度v=v(t)是时间间隔是时间间隔T1,T2上上的连续函数的连续函数,且且 v(t)0, 0, 求物体在这段时间内求物体在这段时间内所经过的位移所经过的位移s s？ O.TOt1titi-1tn-1S始点终点t2.9变速直线运动位移的计算变速直线运动位移的计算分割分割:时间段时间段T1,T2上任取分点上任取分点t
6、i(i=1,2,n-1);把把T1,T2分成分成n小段小段ti-1, ti (i=1,2,n),每每小段时间长度小段时间长度ti= ti- - ti-1 ;相相应地地,位移也分成位移也分成n段段si取近似取近似: si v( i)ti (i=1,2,n)O.求和求和:取极限取极限: 所求位移为所求位移为(其中其中)10解决此类求和问题的数学模解决此类求和问题的数学模式式n n四个基本步骤：四个基本步骤：(1)分割分割; (2)取近似取近似; (3)求和求和; (4)取极取极限限n n曲边梯形的面积曲边梯形的面积n n变速直线运动的路程变速直线运动的路程n n还有其它许多实际问题还有其它许多实际
7、问题(如如“变力做功变力做功”等等)的的解决都将归结于这种特殊类型的和式极限。人解决都将归结于这种特殊类型的和式极限。人们把这类极限称为定积分们把这类极限称为定积分,进行专门研究。进行专门研究。11定积分的定义定积分的定义n n定义：设定义：设f(x)在在a,b上有定义上有定义,在在a,b内任内任意插入意插入n-1个点个点: a=x0x1x2xn-1xn=b，它们把区间它们把区间a,b分成了分成了n个小区间个小区间: xi-1,xi (i=1,2,n),其长度依次为其长度依次为xi = xi-xi-1(i=1,2,n);在各小区间上任取一点在各小区间上任取一点 i (xi-1 i xi),作乘
8、积作乘积 f( i)xi ；并作和式；并作和式如果不论对区间如果不论对区间a,b如何分法如何分法,也不论在小区也不论在小区间间xi-1,xi上分点上分点 i的取法的取法,只要当只要当 0,和式和式Sn总有极限总有极限S存在存在,即即则称极限则称极限S为为 f(x)在在a,b上的上的定积分定积分。12定积分的记号定积分的记号n n我们将函数我们将函数f(x)在在a,b上的定积分记为：上的定积分记为：被积函数被积函数被积函数被积函数积分变量积分变量积分变量积分变量积分限积分限积分限积分限( ( ( (下限）下限）下限）下限）-积分符号积分符号积分符号积分符号其中其中其中其中-被积函数被积函数被积函
9、数被积函数-被积表达式被积表达式被积表达式被积表达式-积分变量积分变量积分变量积分变量-积分区间积分区间积分区间积分区间-积分下限积分下限积分下限积分下限-积分上限积分上限积分上限积分上限n n注注: f(x)在在a,b上定积分存在上定积分存在,亦称亦称f(x)在在a,b上可积。上可积。13关于定积分定义的说明关于定积分定义的说明n n定积分是一种特殊的和式定积分是一种特殊的和式定积分是一种特殊的和式定积分是一种特殊的和式( (黎曼和黎曼和黎曼和黎曼和) )的极限的极限的极限的极限, ,其结果其结果其结果其结果是一个数值。是一个数值。是一个数值。是一个数值。( (比较：不定积分结果一组函数比较
10、：不定积分结果一组函数比较：不定积分结果一组函数比较：不定积分结果一组函数) )n n该和式极限存在该和式极限存在该和式极限存在该和式极限存在( (即函数即函数即函数即函数f f( (x x) )可积可积可积可积), ),是指不论对区是指不论对区是指不论对区是指不论对区间间间间 a a, ,b b 如何分割如何分割如何分割如何分割, ,也不论在每个小区间上分点也不论在每个小区间上分点也不论在每个小区间上分点也不论在每个小区间上分点 i i怎怎怎怎样取法样取法样取法样取法, ,该极限都要唯一地存在。该极限都要唯一地存在。该极限都要唯一地存在。该极限都要唯一地存在。n n定积分只与被积函数、积分上
11、、下限有关，而与定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积分变量的记号无关，即积分变量的记号无关，即积分变量的记号无关，即积分变量的记号无关，即n n无界函数不可积无界函数不可积无界函数不可积无界函数不可积; ;若若若若f f( (x x) )在在在在 a a, ,b b 上有界上有界上有界上有界, ,且只有有限且只有有限且只有有限且只有有限个间断点个间断点个间断点个间断点, ,则则则则f f( (x x) )在在在在 a a, ,b b 上必可积。上必可积。上必可积。上必可积。n n规定：规定：规定：规定：
12、14例题与讲解例题与讲解n n例：利用定义计算定积例：利用定义计算定积分分n n解：在解：在0,1上上y=x2连续连续,故可积故可积(任意分割都收敛任意分割都收敛任意分割都收敛任意分割都收敛) 。15定积分的几何意义定积分的几何意义n n定积分几何意义定积分几何意义定积分几何意义定积分几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积( (笼统说法笼统说法笼统说法笼统说法), ),具体有：具体有：具体有：具体有：n n若在区间若在区间若在区间若在区间a,ba,b上上上上 f f( (x x) )0,0,0,0,则则则则 n n若在区间若在区间若在区间若在区间a,ba,b上上上上 f f(
13、 (x x) )0,0,0,0,则则则则 n n一般地，一般地，一般地，一般地， f f( (x x) )在区间在区间在区间在区间 a a, ,b b 上可上可上可上可积积积积, , , ,则定积分等于由曲线则定积分等于由曲线则定积分等于由曲线则定积分等于由曲线y y= = = =f f( (x x), ),与直线与直线与直线与直线x x= =a a, ,x x= =b b, ,y y=0=0所围成曲边梯形面积所围成曲边梯形面积所围成曲边梯形面积所围成曲边梯形面积的的的的代数和代数和代数和代数和( (x x轴下方图形面积用负数轴下方图形面积用负数轴下方图形面积用负数轴下方图形面积用负数表示表示
14、表示表示) )。如：。如：。如：。如：16定积分的性质定积分的性质n n性质：性质：性质：性质：分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？17定积分的性质定积分的性质(13)n n性质性质1(和、差的运算性质和、差的运算性质)n n性质性质2(数乘的运算性质数乘的运算性质)n n性质性质3(区间可加性区间可加性)若若a,b,c为任意常数为任意常数,则则前提条件：前提条件：前提条件：前提条件：f f( (x x) )、g g( (x x) )可积可积可积可积18定积分的性
15、质定积分的性质(4)n n性质性质4(比较性质比较性质)在区间在区间a,b上上,若若f(x)g g( (x x),),则则n n例：比较定积分例：比较定积分与与的大小的大小.n n解：因为在解：因为在上，上，所以所以故由定积分比较性质有故由定积分比较性质有19定积分的性质定积分的性质(56)n n性质性质5设设f(x)在在a,b上连续上连续, f(x)0,0,且且f(x)不不恒为零恒为零,则有则有n n性质性质6(估值定理估值定理)若对任意若对任意x a,b,恒有恒有A f(x)B B, ,则有则有解：解：20定积分的性质定积分的性质(7)n n性质性质7(简单积分中值定理简单积分中值定理)
16、f(x)在在a,b上连上连续续,则至少存在一点则至少存在一点 a,b ,使得使得证证证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知, ,必有必有必有必有a,b,a,b,使使即即概念：概念：概念：概念：f(x)f(x)在区间在区间在区间在区间a,ba,b上的平均值上的平均值上的平均值上的平均值21积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释n n在区间在区间在区间在区间a,ba,b上至少存在一点上至少存在一点上至少存在一点上至少存在一点 , ,使得以区间使得以区间使得以区间使得以区间a,ba,b为底边为底边为底边为底边, ,以以以以曲线曲线曲线曲线y y= =f f( (x x) )为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形面积等于高为面积等于高为面积等于高为面积等于高为f f( ( ) )的同底矩的同底矩的同底矩的同底矩形面积。形面积。形面积。形面积。n n例：设例：设例：设例：设f f( (x x) )可导可导可导可导, ,且且且且解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使22练习练习n n1:利用定积分定义计算利用定积分定义计算y=x3，直线，直线x=0,直线直线x=1及及x轴所围成的图形的面积轴所围成的图形的面积S23
