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1、计算机图形学计算机图形学Computer GraphicsComputer Graphics使用班级：地信2009级 王增武 WangZTel:13518208752QQ:64434430第一章第一章 绪论绪论第二章第二章 光栅图形学光栅图形学第三章第三章 曲线和曲面曲线和曲面第四章第四章 图形变换图形变换第五章第五章 造型技术造型技术第四章第四章 真实感图形显示真实感图形显示上机实验上机实验第四章第四章 图形变换图形变换4.1 4.1 图形变换的数学基础图形变换的数学基础4.2 4.2 窗口视图变换窗口视图变换4.3 4.3 图形的几何变换图形的几何变换4.4 4.4 形体的投影变换形体的投
2、影变换4.5 4.5 三维线段裁剪三维线段裁剪第四章第四章 图形变换图形变换4.1 4.1 图形变换的数学基础图形变换的数学基础4.2 4.2 窗口视图变换窗口视图变换4.3 4.3 图形的几何变换图形的几何变换4.4 4.4 形体的投影变换形体的投影变换4.5 4.5 三维线段裁剪三维线段裁剪4.1 4.1 图形变换的数学基础图形变换的数学基础 矢量（矢量（矢量（矢量（vector)vector)vector)vector) 矩阵矩阵矩阵矩阵 齐次坐标齐次坐标齐次坐标齐次坐标矢量（矢量（矢量（矢量（vector)vector)vector)vector)矢量是重要数学工具之一，利用矢量矢量是
3、重要数学工具之一，利用矢量来描述具有许多的优点：来描述具有许多的优点：形式简单；形式简单；与坐标系的选择无关；与坐标系的选择无关；1.1.矢量的定义矢量的定义有些物理量有些物理量( (如位移、速度、加速度、力等）需要同时如位移、速度、加速度、力等）需要同时指明其大小和方向，进行相加运算时遵从平行四边形法指明其大小和方向，进行相加运算时遵从平行四边形法则，这类量称为则，这类量称为矢量（矢量（vector)vector)。矢量的特点：。矢量的特点：由大小和方向（由大小和方向（magnitude and directionmagnitude and direction）唯一地确定，平）唯一地确定，平
4、行一动不会改变一个矢量。行一动不会改变一个矢量。平行四边形相加法则；平行四边形相加法则；vector algebra vector algebra 有些物理量（如质量、温度、电量等）只需用包含正负有些物理量（如质量、温度、电量等）只需用包含正负的数字来表征，这类量称为的数字来表征，这类量称为标量（标量（scalar)scalar)，标量遵从，标量遵从代数运算法则。标量的特点：代数运算法则。标量的特点：用包含正负的数就可充分描述；用包含正负的数就可充分描述；遵从代数运算法则；遵从代数运算法则；矢量（矢量（矢量（矢量（vector)vector)vector)vector)2.2.矢量的表示矢量的
5、表示矢量几何表示矢量几何表示：从几何的观点看，可用有方向的线段来表示矢量，：从几何的观点看，可用有方向的线段来表示矢量，线段的长度表示该矢量的大小，箭头的方向表示该矢量的方向线段的长度表示该矢量的大小，箭头的方向表示该矢量的方向矢量的书写矢量的书写：习惯上，：习惯上，书写时在字母上方加一箭头代表矢量，如书写时在字母上方加一箭头代表矢量，如印刷时用黑体字母表示矢量，如印刷时用黑体字母表示矢量，如 A A 矢端矢尾矢量及其表示矢量及其表示矢量及其表示矢量及其表示3.3.有关矢量的定义有关矢量的定义矢量的模矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，矢量：矢量的大小称为矢量的模，矢量A A的模，记为的模，记为
6、| |A A| |注：在不致引起混淆的情况下，可用斜体字母表示矢量的模：注：在不致引起混淆的情况下，可用斜体字母表示矢量的模：A矢量相等矢量相等(Equality of two vectors)(Equality of two vectors): : 具有相同长度和相同方具有相同长度和相同方向的两个矢量彼此相等。向的两个矢量彼此相等。零矢量（零矢量（zero vector)zero vector)：模等于零的矢量称为零矢量，记为：模等于零的矢量称为零矢量，记为 零矢量的方向是任意的。零矢量的方向是任意的。单位矢量（单位矢量（unit vector)unit vector)：若一个矢量的长度为：
7、若一个矢量的长度为1 1单位，则该矢单位，则该矢量称为单位矢量量称为单位矢量例如：沿直角坐标系例如：沿直角坐标系xyzxyz轴的正向，取单位矢量，记作轴的正向，取单位矢量，记作利用矢量的模和延矢量方向的单位矢量利用矢量的模和延矢量方向的单位矢量A A0 0可将矢量可将矢量A A表示为表示为A A=|=|A A| |A A0 0矢量及其表示矢量及其表示矢量及其表示矢量及其表示定义定义: :矢量矢量A A与实数与实数m的乘积仍是一个矢量的乘积仍是一个矢量, ,记为记为mA AmA A的大小的大小: |: |mA A|=|=|m|A A| |mA A的方向的方向: :m0: 0: 与与A A同向同向
8、; ;m0: BEBCEC若在视点E与物体间设置一个透明的画面P,让P通过AA，则在画面上看到的各电线杆的投影aabbccaa即EA,EA与画面P的交点的连线;bb即为EB，EB与画面P的交点的连线。cc即为EC，EC与画面P的交点的连线。近大远小近大远小透视的基本知识若连a,b,c及a,b,c各点，它们的连线汇聚于一点。然而，实际上，A,B,C与A，B，C的连线是两条互相平行的直线，这说明空空间间不不平平行行于于画画面面(投投影影面面）的的一一切切平平行行线线的的透透视视投投影影，即a,b,c与a,b,c的连线，必交于一点必交于一点，这点我们称之为灭点。平面几何投影-透视投影透视投影投影中心
9、与投影平面之间的距离为有限灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点.主灭点:平行于坐标轴的平行线产生的灭点。一点透视两点透视三点透视特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。 透视投影主灭点数是和投影平面切割坐标轴的数量相对应的,即由坐标轴与投影平面交点的数量来决定的。 如投影平面仅切割z轴，则z轴是投影平面的法线，因而只在z轴上有一个灭点，平行于x轴或y轴的直线也平行于投影平面，因而没有灭点。yxzo一点透视（平行透视）人眼从正面去观察一个立方体，当z轴与投影平面垂直时，另两根轴ox,oy轴平行于投影平面。这时的立方体透视图只有一个灭点
10、，即与画面垂直的那组平行线的透视投影交于一点。二点透视（成角透视）人眼观看的立方体是绕y轴旋转一个角度之后，再进行透视投影。三坐标轴中oy轴与投影平面平行，而其它两轴与画面倾斜，这时除平行于oy轴的那组平行线外，其它两组平行线的透视投影分别在投影平面的左右两侧，作出的立方体透视图产生两个灭点。三点透视（斜透视）此时，投影平面与三坐标轴均不平行。这时的三组平行线均产生灭点。透视举例一点透视投影的变换矩阵 1)一点透视设z轴上有一观察点（即视点）V(0,0,h)从V点出发将物体上的点P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P(x,y,0)由相似三角形可知：一点透视投影的变换矩阵令:一点透视投影的变换
11、矩阵这是变换矩阵为的齐次坐标变换 它可以看作是先作变换一点透视投影的变换矩阵再做变换的合成。一点透视投影的变换矩阵在透视变换Mr下有：一点透视投影的变换矩阵当z时，x0,y0,z-h(0,0,-h)为该透视的一个灭点。同样，视点在(h,0,0)的透视变换，灭点在(-h,0,0)变换矩阵为一点透视投影的变换矩阵视点在(0,h,0)的透视变换，灭点在(0,-h,0)变换矩阵为一点透视投影的变换矩阵在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用一点透视投影的变换矩阵当p、q、r中有一个不为0时的变换。假定q!=0,p=r=0.对空间上任一点(x,y,z)进行透视变换结果如下：对该结果进行规范化处理后
12、，便得：一点透视变换的几何意义当y=0时： x = x y = 0 z = z 即处于y=0平面上的点，经过透视变换后没有变化。当y=时 x = 0 y = 1/q z = 0 即当y-所有点的变换结果都集中到Y轴的1/q处，也即所有平行于Y轴的直线，变换后都将沿伸相交于该点。该点即为灭点。二点透视投影的变换矩阵)二点透视在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：二点透视投影的变换矩阵由上式可看出：当x-时，在X轴上1/p处有一个灭点；当z-时，在
13、Z轴上1/r处有一个灭点；经齐次化处理后得：三点透视投影的变换矩阵)三点透视类似，若p,q,r都不为0，则可得到有三个灭点的三点透视。经齐次化处理后得：三点透视投影的变换矩阵由上式可看出：当x-时，在X轴上1/p处有一个灭点；当y-时，在Y轴上1/q处有一个灭点;当z-时，在Z轴上1/r处有一个灭点；透视投影的技巧 一点透视图的生成 在生成一点透视图时，为了避免将物体安置在坐标系原点，而产生下图所示的透视效果，通常在透视变换前，先将立体作一平移变换。透视投影的技巧其变换过程如下：1）先作平移变换；2）再作透视变换；3）最后将结果投影到投影面。 由于往XOZ平面上投影，故一点透视变换的灭点选在Y
14、轴上。以下是其变换公式。透视投影的技巧透视投影的技巧二点透视投影图的生成 当立体经透视变换后，若直接投影到V面上，可能其立体效果并不理想，所以，在透视变换后，对变换结果绕Z轴旋转后，以使物体轴线不与投影面垂直，再向V面上投影其效果会更好。 变换过程如下：1）先对立体进行二点透视变换；2）再把变换结果绕Z轴旋转一角度；3）最后将上述变换结果投影到投影面上。透视投影的技巧三点透视投影图生成 与二点透视投影图生成变换理由一样，在透视变换后，先对变换结果作旋转变换，以保证透视投影面与物体上的三个坐标轴均不平行，从而获得立体效果更好的透视投影图。变换过程如下： 1）首先对物体作三点透视变换； 2）将透视
15、变换结果绕Z轴旋转一角度 3）再绕X轴旋转一角； 4）将上述结果投影到投影面。第四章第四章 图形变换图形变换4.1 4.1 图形变换的数学基础图形变换的数学基础4.2 4.2 窗口视图变换窗口视图变换4.3 4.3 图形的几何变换图形的几何变换4.4 4.4 形体的投影变换形体的投影变换4.5 4.5 三维线段裁剪三维线段裁剪4.5 4.5 三维线段裁剪三维线段裁剪投影面是无限的，实际上投影面上有一个观察窗口，对于一个物体，它的其中一个部分通过投影变换后，很可能落在窗口，因此要将物体经过三维裁剪后，再进行投影变换。 延长裁剪空间的六个面，可将空间分成27个空域，对每个域用6位二进制进行编码。设右边为第一位： 第一位是1，表示在裁剪空间之上。 第二位是1，表示在裁剪空间之下。 第三位是1，表示在裁剪空间之右。 第四位是1，表示在裁剪空间之左。 第五位是1，表示在裁剪空间之后。 第六位是1，表示在裁剪空间之前。如果线段两端点的编码都为0，则线段完全落在裁剪空间内。如果线段两端点的编码按位与非0，则线段完全落在裁剪空间外。否则需要计算线段落与裁剪空间平面的交点，裁剪线段，重复前两种判断。总结1 1 图形变换的数学基础图形变换的数学基础2 2 窗口视图变换窗口视图变换3 3 图形的几何变换图形的几何变换4 4 形体的投影变换形体的投影变换作业习题
