第五节直线、平面的判定及其性质

1、 第五节 直线、平面的判定及其性质一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 直线直线l与平面与平面内的内的 一条直线都垂直，就说直线一条直线都垂直，就说直线l与与 平面平面互相垂直互相垂直任何任何2直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理.文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言判判定定定定理理一条直一条直线与一个平面与一个平面内的内的 都都垂直，垂直，则该直直线与此与此平面垂直平面垂直两相交直两相交直线3直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理.文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言性性质定定理理垂直于同一个平面垂直于同一个平面的两条直的两条直线平行平行二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直 1平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理.文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言判判定定定定理理一个平面一个平面过另一个另一个平面的平面的 ，则这两个平面垂直两个平面垂直垂垂线2平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理.文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言性性质定定理理两个平面垂直，两个平面垂直，则一个平面内垂直于一个

2、平面内垂直于 的直的直线与另与另一个平面垂直一个平面垂直交交线垂直于同一平面的两平面是否平行？垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：提示：不一定不一定.可能平行也可能相交可能平行也可能相交.1直线直线l不垂直于平面不垂直于平面，则，则内与内与l垂直的直线有垂直的直线有() A0条条B1条条 C无数条无数条 D内所有直线内所有直线解析：解析：内与内与l垂直的直线有无数条垂直的直线有无数条答案：答案：C2设设l、m、n均为直线，其中均为直线，其中m、n在平面在平面内，则内，则“l ”是是 “l m且且l n”的的 () A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：l l m，l n，反之因为，反之因为m、n不一定相交，不一定相交，故故l m且且l n不一定推出不一定推出l .答案：答案：A3关于直线关于直线m，n与平面与平面，有以下四个命题：，有以下四个命题： 若若m ，n 且且 ，则，则m n； 若若m ，n 且且 ，则，则m n； 若若m ，n 且且 ，则，则m n； 若若m ，n 且且 ，则

3、，则m n. 其中真命题的序号是其中真命题的序号是 ( ) A B C D解析：解析：很明显很明显错，故排除错，故排除A、C，正确，排除正确，排除B.答案：答案：D4如图，平面如图，平面ABC 平面平面BDC， BAC BDC90， 且且ABACa，则，则AD_.解析：解析：取取BC中点中点E，连结，连结ED、AE， ABAC， AE BC. 平面平面ABC 平面平面BDC，AE平面平面BCD.AEED.在在RtABC和和RtBCD中，中，答案：答案：a5三棱锥三棱锥PABC的顶点的顶点P在底面的射影为在底面的射影为O，若，若PAPBPC， 则点则点O为为 ABC的的_心，若心，若PA、PB、PC两两垂直，则两两垂直，则O 为为 ABC的的_心心解析：解析：若若PAPBPC，则，则O为为 为为ABC的外心，若的外心，若PA、PB、PC两两垂直，则两两垂直，则O为为 ABC的垂心的垂心答案：答案：外垂外垂证明直线和平面垂直的常用方法有证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性利用平行线垂直于平面的传递性(a b，a b )(3)利用面面

4、平行的性质利用面面平行的性质(a ， a )(4)利用面面垂直的性质利用面面垂直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直常用来证明线线垂直 如图，已知如图，已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面，所在平面，M，N分分别是别是AB，PC的中点，若的中点，若 PDA45，求证：，求证：MN 平面平面PCD.取取CD的中点的中点E易证易证CD ME，可推证，可推证CD 面面MNE.问问题即得证题即得证.【证明证明】法一：法一：PA 平面平面ABCDPA AD， PDA45PAADBC，又又M是是AB的中点，的中点，设设E为为CD的中心点，连接的中心点，连接ME，EN，法二：法二：如图，取如图，取PD的中点的中点F，连接连接AF，NF，F，N分别为分别为PD，PC的中点，的中点，FN CD.又又CD AB，FN AB，即即FN AM，四边形四边形AFNM为平行四边形，为平行四边形，MNAF.PA平面平面ABCD且且PDA=45，PAD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AFPD 又又 CD AD，CD P

5、A， CD 平面平面PAD， CD AF 又又PDCDD则由则由知知AF 平面平面PDC， MN 平面平面PDC.1若将条件改为若将条件改为“ PAD为正三角形，且平面为正三角形，且平面PAD 平面平面 ABCD，四边形，四边形ABCD为矩形，为矩形，M、N分别是分别是AB、PC的中的中 点点”，试问直，试问直 线线MN与平面与平面PCD是否仍然垂直？是否仍然垂直？解：解：如图，取如图，取PD的中点为的中点为F，连接，连接AF、NF.F、N分别是分别是PD、PC的中点，的中点，FN CD.又又CD AB，FN AB，即即FN AM，四边形四边形AFNM为平行四边形，为平行四边形，MNAF.平面平面PAD平面平面ABCD，CDAD，CD平面平面PAD.CDAF. 又又PAD为正三角形，且为正三角形，且F为为PD的中点，的中点， AF PD.又又PDCDD则由则由、知知AF 平面平面PDC. MN 平面平面PDC.即直线即直线MN与平面与平面PDC仍然垂直仍然垂直.1判定面面垂直的方法判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算作两平面构成二面角

6、的平面角，计算 其为其为90)(2)面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理(a ，a )2关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆【注意注意】在求平面垂直时，一般要用性质定理，在一个在求平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直线线垂直”、“线面垂直线面垂直”、“面面垂直面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本讲内容的显著特征掌握转化思想方法是解决这类法是本讲内容的显著特征掌握转化思想方法是解决这类问题的关键问题的关键 (2010苏北四市调研苏北四市调研)如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，中，AB BC，BC BC1，ABBC1，E、F、G分别为线段分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证：的中点，求证：(1)平面平面ABC 平面平面ABC1；(2)FG 平面平面AB1C1.(1)由面面垂直判定定理易证；由面面垂直判定定理易证；(2)先证

7、先证FG AC1，再证明，再证明BC B1C1，B1C1 BE，B1C1 平面平面ABC1可得可得FG B1C1，则结论得证，则结论得证.【证明证明】(1) AB BC，BC BC1，ABBC1B， BC 平面平面ABC1，又又 BC平面平面ABC， 平面平面ABC 平面平面ABC1.(2)在在 AA1C1中，中， E、F分别为分别为AC1、A1C1的中点，的中点， EF AA1，EF AA1.在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中，中，G为为BB1的中点，的中点， BG AA1，BG AA1， EF BG，且，且EFBG，连接，连接BE， 四边形四边形BEFG为平行四边形，为平行四边形， FG EB. ABBC1，E为为AC1的中点，的中点， BE AC1，则，则FG AC1. BC AB，BC BC1，B1C1 BC， B1C1 AB，B1C1 BC1，又，又ABBC1B， B1C1 平面平面ABC1. BE平面平面ABC1， B1C1 BE，则，则B1C1 FG， AC1B1C1C1， FG 平面平面AB1C1.2(2009扬州调研扬州调研)在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1

8、中，中，M，N分别分别 是是AB，BC的中点的中点 (1)求证：平面求证：平面B1MN 平面平面BB1D1D； (2)若在棱若在棱DD1上有一点上有一点P，使，使BD1 平面平面PMN，求线段，求线段DP与与 PD1的比的比解：解：(1)证明：连接证明：连接AC，则，则ACBD，又又M，N分别是分别是AB，BC的中点，的中点，MNAC，MNBD.ABCD-A1B1C1D1是正方体，是正方体，BB1平面平面ABCD，MN平面平面ABCD，BB1MN，BDBB1=B，MN平面平面BB1D1D，MN平面平面B1MN，平面平面B1MN平面平面BB1D1D.(2)设设MN与与BD的交点是的交点是Q，连接，连接PQ，BD1平面平面PMN，BD1平面平面BB1D1D，平面平面BB1D1D平面平面PMN=PQ，BD1PQ，DP PD1=DQ QB=3 1.几个易混淆的结论几个易混淆的结论(1)垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行(2)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行(3)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交垂直于同一个平面的两个平面平行或相交(4)垂

9、直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面 理理(2009北京高考北京高考)如图，在三棱锥如图，在三棱锥PABC中，中，PA 底面底面ABC，PAAB， ABC60， BCA90，点，点D、E分别在棱分别在棱PB、PC上，且上，且DE BC.(1)求证：求证：BC 平面平面PAC；(2)当当D为为PB的中点时，求的中点时，求AD与与平面平面PAC所成的角的正弦值；所成的角的正弦值；(3)是否存在点是否存在点E使得二面角使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由为直二面角？并说明理由(1)由由PA 平面平面ABC，BCA=90易证得易证得.(2)作出角作出角DAE，解直角三角形，解直角三角形.(3)先证先证AEP为二面角为二面角A-DE-P的平面角再探求的平面角再探求.【解解】(1)证明：证明： PA 底面底面ABC, PA BC.又又 BCA90， AC BC，又又 PAACA， BC 平面平面PAC.(2) D为为PB的中点，的中点，DE BC， DE BC.又由又由(1)知，知，BC 平面平面PAC， DE 平面平面PAC，垂足为点，垂足为

10、点E，DAE是是AD与平面与平面PAC所成的角所成的角 PA 底面底面ABC， PA AB.又又PAAB，ABP为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， AD在在Rt ABC中，中， ABC60， BC 在在Rt ADE中，中，sin DAE AD与平面与平面PAC所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为(3) DE BC，又由，又由(1)知，知，BC 平面平面PAC， DE 平面平面PAC.又又 AE平面平面PAC，PE平面平面PAC， DE AE，DE PE，AEP为二面角为二面角ADEP的平面角的平面角 PA 底面底面ABC， PA AC，PAC90， 在棱在棱PC上存在一点上存在一点E，使得使得AE PC.这时，这时， AEP90，故存在点故存在点E使得二面角使得二面角ADEP是直二面角是直二面角3理理(2009广州调研广州调研)如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD中，中，PA 平面平面ABCD，ABCD是直角梯形，是直角梯形，AD BC， BAD90， BC2AD. (1)求证：求证：AB PD； (2)在线段在线段PB上是否存在一点上是否存在一点E，使，使AE 平面平面PCD

11、，若存在，指出点，若存在，指出点E的位置并的位置并 加以证明；若不存在，请说明理由加以证明；若不存在，请说明理由解：解：(1)证明证明 PA 平面平面ABCD，AB平面平面ABCD， PA AB. AB AD，PAADA， AB 平面平面PAD， PD平面平面PAD， AB PD.(2)取线段取线段PB的中点的中点E，PC的中点的中点F，连接，连接AE，EF，DF，则则EF是是PBC的中位线的中位线EFBC，EF= BC，ADBC，AD= BC，ADEF，AD=EF，四边形四边形EFDA是平行四边形，是平行四边形，AEDF.AE 平面平面PCD，DF平面平面PCD，AE平面平面PCD.线段线段PB的中点的中点E是符合题意的点是符合题意的点 文文(2010皖南八校联考皖南八校联考)如图如图1所示，在边长为所示，在边长为12的正方形的正方形AAA1A1中，中，BB1 CC1 AA1，且，且AB3，BC4，AA1分别交分别交BB1，CC1于点于点P，Q，将该正方形沿，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使折叠，使得得AA1与与AA1重合，构成如图重合，构成如图2所示的三棱柱所示的三棱柱ABCA1

12、B1C1中中(1)求证：求证：ABPQ；(2)在底边在底边AC上是否存在一点上是否存在一点M，满足，满足BM平面平面APQ，若存在试求若存在试求AM，若不存在请说明理由，若不存在请说明理由(1)注意注意AC2=AB2+BC2易证易证AB PQ；(2)关关键键在在于于利利用用BM 平平面面APQ推推证证四四边边形形PBMN为平行四边形为平行四边形.【解解】(1)证明：因为证明：因为AB3，BC4，所以所以AC5，从而，从而AC2AB2BC2，即，即AB BC.又因为又因为AB BB1，而，而BCBB1B，所以所以AB 平面平面BCC1B1，又，又PQ平面平面BCC1B1，所以所以AB PQ.(2)假设存在一点假设存在一点M满足满足BM 平面平面APQ，过过M作作MNCQ交交AQ于于N，PBCQ，MNPB，连接连接PN，因为，因为BM平面平面APQ，BMPN，四边形四边形PBMN为平行四边形为平行四边形MN=3，AM AC=MN CQ=3 7，当当AM= 时，时，BM平面平面APQ.3文文如图在四棱锥如图在四棱锥PABCD中，侧面中，侧面PAD是正三角形，且是正三角形，且 与底面与底面AB

13、CD垂直，底面垂直，底面ABCD是边长为是边长为2的菱形，的菱形， BAD 60，N是是PB中点，过中点，过A、D、N三点的平面交三点的平面交PC于于M， E为为AD的中点的中点 (1)求证：求证：EN 平面平面PCD； (2)求证：平面求证：平面PBC 平面平面ADMN； 证明：证明：(1) AD BC，BC平面平面PBC，AD 平面平面PBC， AD 平面平面PBC.又平面又平面ADN平面平面PBC于于MN， AD MN. MN BC. 点点M为为PC的中点的中点 MN BC.又又E为为AD的中点，的中点， 四边形四边形DENM为平行四边形为平行四边形 EN DM，又，又 DM平面平面PCD，EN 平面平面PCD， EN 平面平面PDC.(2)连结连结PE、BE， 四边形四边形ABCD是边长为是边长为2的菱形，的菱形，且且 BAD60， BE AD.又又 PE AD， AD 平面平面PBE. AD PB.又又 PAAB且且N为为PB的中点，的中点， AN PB， PB 平面平面ADMN. 平面平面PBC 平面平面ADMN. 近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考近年来开放

14、型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向.2009年浙江卷中立体几何命题融探索与证明于一题，设计年浙江卷中立体几何命题融探索与证明于一题，设计新颖，能力考查突出新颖，能力考查突出.(2009浙江高考浙江高考)如图，平面如图，平面PAC平面平面ABC，ABC是以是以AC为为斜边的等腰直角三角形，斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为分别为PA，PB，AC的中的中点，点，AC=16，PA=PC=10.(1)设设G是是OC的中点，证明：的中点，证明：FG平面平面BOE；(2)证明：在证明：在ABO内存在一点内存在一点M，使，使FM平面平面BOE，并求点，并求点M到到OA、OB的距离的距离.证明证明(1)如图，取如图，取PE的中点为的中点为H，连结连结HG、HF.因为点因为点E，O，G，H分

15、别是分别是PA，AC，OC，PE的中点，的中点，所以所以HGOE，HFEB.因此平面因此平面FGH 平面平面BOE.因为因为FG在平面在平面FGH内，内，所以所以FG 平面平面BOE.(2)在平面在平面OAP内，过点内，过点P作作PNOE，交，交OA于点于点N，交，交OE于于点点Q.连结连结BN，过点，过点F作作FMPN，交，交BN于点于点M.下证下证FM 平面平面BOE.由题意，得由题意，得OB 平面平面PAC，所以所以OB PN，又因为又因为PN OE，所以，所以PN 平面平面BOE.因此因此FM 平面平面BOE.在在Rt OAP中，中，ONOPtan NPO OA，所以点所以点N在线段在线段OA上上因为因为F是是PB的中点，所以的中点，所以M是是BN的中点的中点因此点因此点M在在 AOB内，点内，点M到到OA，OB的距离分别为的距离分别为 OB OE= PA= 5 ，PQ= 考生在解答本题时主要出现以下失误：考生在解答本题时主要出现以下失误：(1)不能将线面平行不能将线面平行问题转化为面面平行解决问题转化为面面平行解决(2)不能很好地掌握解决探索性不能很好地掌握解决探索性问题的一般思路，解决这类问题常用两种方法：一是分析问题的一般思路，解决这类问题常用两种方法：一是分析法，即从问题的结论出发，探求问题成立的条件，二是反法，即从问题的结论出发，探求问题成立的条件，二是反证法，先假设使结论成立的条件存在，然后进行推证，推证法，先假设使结论成立的条件存在，然后进行推证，推出矛盾，否定假设，确定使结论成立的条件不存在同学出矛盾，否定假设，确定使结论成立的条件不存在同学们考虑一下在本例中三棱锥们考虑一下在本例中三棱锥GBOE的体积是多少？的体积是多少？

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